2024-2025学年湖南省名校联合体高三（上）入学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省名校联合体高三（上）入学数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,3),b=(3,λ)，若a⊥b，则实数λ的值为( )
A. 7B. 3C. −1D. −3
2.已知集合A={x|−1b>0)的两个焦点，点P在椭圆C上，若PF1⊥PF2，△F1PF2的面积等于4.则下列结论正确的是( )
A. 若点P是椭圆的短轴顶点，则椭圆C的标准方程为x28+y24=1
B. 若P是动点，则b的值恒为2
C. 若P是动点，则椭圆的离心率的取值范围是[12,1)
D. 若P是动点，则|PF1|+|PF2|的取值范围是[4 2,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将函数f(x)=sin(2x−π3)的图象沿x轴向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(π4)的值为______．
13.奇函数f(x)在定义域(−1,1)上是减函数，且f(1+a)+f(1−a2)0)的焦点为F，点D(x0,2)在抛物线C上，且|DF|=2．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)抛物线的准线与x轴交于点K，过K的直线l交抛物线C于M，N两点，且KM=λKN,λ∈(1,2]，点G为线段MN的垂直平分线与x轴的交点，求点G的横坐标xG的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D是侧棱CC1的中点，∠ACB=120°,AA1= 3AC= 3BC．
(1)证明：平面AB1C1⊥平面A1BD；
(2)求锐二面角B−A1D−B1的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=12x2−lnx,g(x)=ex−1−12x2−ax(a>0)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设函数F(x)=f(x)+g(x).证明：
(i)函数F(x)有唯一极值点；
(ii)若函数F(x)有唯一零点x0，则10，即m2>1，
所以y2−4my+4=0，y1+y2=4m，y1y2=4，
即可得λy2+y2=4m,λy22=4，
联立两式并整理可得4m2=(1+λ)2λ=λ+1λ+2，
又x1+x2=m(y1+y2)−2=4m2−2，
由10，且f′(x)=x−1x=x2−1x=(x+1)(x−1)x，
当00，F(x)=ex−1−lnx−ax的定义域为(0,+∞)，
所以F′(x)=ex−1−1x−a，
设ℎ(x)=ex−x−1，则ℎ′(x)=ex−1，当x>0时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)单调递增，
当x0，又F′(1)=−a