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2024-2025学年江苏省镇江外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）
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这是一份2024-2025学年江苏省镇江外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范围是( )
A. r=125B. r>125C. 32.关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+|a|−1=0的一个根是0，则实数a的值为( )
A. −1B. 0C. 1D. −1或1
3.一个等腰三角形的两条边长分别是方程2x2−13x+15=0的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A. 8B. 11.5C. 10D. 8或11.5
4.已知a是方程x2+x−1=0的一个根，则2a2−1−1a2−a的值为( )
A. −1+ 52B. −1± 52C. −1D. 1
5.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=−2，x2=1(a,m,b均为常数，a≠0)，则方程a(x+m+2)2+b=0的解是( )
A. x1=−2，x2=1B. x1=1，x2=3
C. x1=−4，x2=−1D. 无法求解
6.已知关于x的一元二次方程x2−x+14m=0有实数根，设此方程得一个实数根为t，令y=4t2−4t−5m+4，则( )
A. y>−2B. y≥−2C. y≤−2D. y<−2
7.已知关于x的方程ax2+bx+c=5的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为( )
A. (2,−3)B. (2,1)C. (2,5)D. (5,2)
8.如图，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+2(a≠0)与y=−ax2−2x(a≠0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
9.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )
A. (−3,−6)B. (−3,0)C. (−3,−5)D. (−3,−1)
二、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分。
10.已知关于x的方程(m+2)x2+4mx+1=0是一元二次方程，则m的取值范围是______．
11.方程x2−2021x=0中较小的根是______．
12.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(0,1)和( 3,0)，则△OAB外接圆的圆心坐标是______．
13.若一个三角形两条边长为和2和4，第三边长满足方程x2−7x+10=0，则此三角形的周长为______．
14.关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
15.如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上
的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为______．
16.若一元二次方程x2−x+a=0有实数根，则a的取值范围是______．
17.已知a−b=8，ab+16≤0，则a+2b的值为______．
18.如图，在△AOB中，∠AOB=90°，∠A=30°，OB=4，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交OA、AB于点C、D，则阴影部分面积为______(结果保留π)．
19.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b=0；③a−b+c<0；④b2>4ac；⑤当x<2时，y随x的增大而增大，你认为其中正确的是______.(填序号)
20.当x≤1时，二次函数y=−(x−m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
(1)求证：BD=CD；
(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
22.(本小题8分)
已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1，且a、b满足b= a−2+ 2−a+3，求c的值．
23.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0．
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2=3，求m的值．
24.(本小题8分)
矩形ABCD中，AB=17，BC= 21，点P在AB边上，且满足AP=3PC，求PB之长．
25.(本小题8分)
已知CD为△ABC的中线，∠A及∠BDC的度数分别是方程x2−75x+1350=0的两根．
(1)求∠A及∠BDC的度数；
(2)求∠B的度数．
26.(本小题8分)
王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值.要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5=x2+4x+22−22+5=(x+2)2+1，
∵(x+2)2≥0，∴(x+2)2+1≥1．
当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)直接写出(x−1)2+3的最小值为______．
(2)求代数式x2+10x+32的最小值．
(3)你认为代数式−13x2+2x+5有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
(4)若7x−x2+y−11=0，求x+y的最小值．
27.(本小题8分)
如图一，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．
(1)求证：∠CAD=∠BAC；
(2)如图二，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点(点C在点G的右侧)，连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.D
5.C
6.B
7.C
8.D
9.B
10.m≠−2
11.0
12.( 32,12)
13.11
14.k>−1且k≠0
15. 10− 2
16.a≤14
17.−4
18.4 3−4π3
19.①②④
20.2或− 3
21.(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得：BD=CD
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．
(2)解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由(1)知：BD=CD，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠4=∠5，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由(1)知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．(7分)
22.解：∵a−2≥0，a−2≤0，
∴a=2，
∴b=3，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1，
∴a+b+c=0，
∴2+3+c=0，
∴c=−5．
23.(1)证明：△=b2−4ac=(−4)2−4×(−m2)=16+4m2．
∵m2≥0，
∴16+4m2>0，即△>0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
(2)解：∵方程x2−4x−m2=0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=4，x1x2=−m2．
又∵x1x2+x1+x2=3，
∴−m2+4=3，即m2=1，
解得m=±1．
故m的值为±1．
24.解：设PB为x，则AP=17−x，
∵AP=3PC，
∴PC=17−x3，
在Rt△PBC中，PC2=PB2+BC2，
∴x2+21=(17−x3)2，
∴4x2−17x−50=0，
解得：x1=2，x2=−254(不符合题意舍去)，
答：PB之长为2．
25.解：(1)x2−75x+1350=0，
(x−30)(x−45)=0，
x−30=0或x−45=0，
x1=30，x2=45，
∵∠BDC=∠A+∠ACD，
∴∠BDC>∠A，
∴∠BDC=45°，∠A=30°
∴∠A的度数为30°，∠BDC的度数为45°；
(2)过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接HD，
∴∠AHB=∠CHB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABH=90°−∠A=60°，
∵DH是斜边AB上的中线，
∴DH=BD=12AB，
∴△BHD是等边三角形，
∴HD=HB，∠HDB=∠ABH=60°，
∵∠BDC=45°，
∴∠HDC=∠HDB−∠BDC=15°，
∵∠ACD=∠BDC−∠A=15°，
∴∠ACD=∠HDC=15°，
∴HD=HC，
∴HB=HC，
∴∠HBC=∠HCB=45°，
∴∠ABC=∠ABH+∠HBC=105°，
∴∠ABC的度数为105°．
26.(1)3；
(2)x2+10x+32=x2+10x+25−25+32=(x+5)2+7，
∵(x+5)2≥0，∴(x+5)2+7≥7．
当(x+5)2=0时，(x+5)2+7的值最小，最小值是7，
∴x2+10x+32的最小值是7；
(3)−13x2+2x+5
=−13(x2−6x)+5
=−13(x2−6x+9−9)+5
=−13(x−3)2+3+5
=−13(x−3)2+8，
∵(x−3)2≥0，
∴−13(x−3)2≤0，
∴−13(x−3)2+8≤8，
∴当(x−3)2=0时，−13x2+2x+5有最大值，最大值是8；
(4)∵7x−x2+y−11=0，
∴y=x2−7x+11
∴x+y
=x+x2−7x+11
=x2−6x+11
=x2−6x+9+2
=(x−3)2+2，
∵(x−3)2≥0，
∴(x−3)2+2≥2，
当(x−3)2=0时，(x−3)2+2的值最小，最小值是2．
∴x+y的最小值是2．
27.(1)证明：如图一，连接OC，则OC⊥EF，且OC=OA，
易得∠OCA=∠OAC．
∵AD⊥EF，
∴OC//AD．
∴∠OCA=∠CAD，
∴∠CAD=∠OAC．
即∠CAD=∠BAC．
(2)解：与∠CAD相等的角是∠BAG．
证明如下：
如图二，连接BG．
∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，
∴∠ABG+∠ACG=180°．
∵D，C，G共线，
∴∠ACD+∠ACG=180°．
∴∠ACD=∠ABG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAG+∠ABG=90°
∵AD⊥EF
∴∠CAD+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BAG．
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范围是( )
A. r=125B. r>125C. 3
A. −1B. 0C. 1D. −1或1
3.一个等腰三角形的两条边长分别是方程2x2−13x+15=0的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A. 8B. 11.5C. 10D. 8或11.5
4.已知a是方程x2+x−1=0的一个根，则2a2−1−1a2−a的值为( )
A. −1+ 52B. −1± 52C. −1D. 1
5.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=−2，x2=1(a,m,b均为常数，a≠0)，则方程a(x+m+2)2+b=0的解是( )
A. x1=−2，x2=1B. x1=1，x2=3
C. x1=−4，x2=−1D. 无法求解
6.已知关于x的一元二次方程x2−x+14m=0有实数根，设此方程得一个实数根为t，令y=4t2−4t−5m+4，则( )
A. y>−2B. y≥−2C. y≤−2D. y<−2
7.已知关于x的方程ax2+bx+c=5的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为( )
A. (2,−3)B. (2,1)C. (2,5)D. (5,2)
8.如图，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+2(a≠0)与y=−ax2−2x(a≠0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
9.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )
A. (−3,−6)B. (−3,0)C. (−3,−5)D. (−3,−1)
二、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分。
10.已知关于x的方程(m+2)x2+4mx+1=0是一元二次方程，则m的取值范围是______．
11.方程x2−2021x=0中较小的根是______．
12.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(0,1)和( 3,0)，则△OAB外接圆的圆心坐标是______．
13.若一个三角形两条边长为和2和4，第三边长满足方程x2−7x+10=0，则此三角形的周长为______．
14.关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
15.如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上
的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为______．
16.若一元二次方程x2−x+a=0有实数根，则a的取值范围是______．
17.已知a−b=8，ab+16≤0，则a+2b的值为______．
18.如图，在△AOB中，∠AOB=90°，∠A=30°，OB=4，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交OA、AB于点C、D，则阴影部分面积为______(结果保留π)．
19.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b=0；③a−b+c<0；④b2>4ac；⑤当x<2时，y随x的增大而增大，你认为其中正确的是______.(填序号)
20.当x≤1时，二次函数y=−(x−m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
(1)求证：BD=CD；
(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
22.(本小题8分)
已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1，且a、b满足b= a−2+ 2−a+3，求c的值．
23.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0．
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2=3，求m的值．
24.(本小题8分)
矩形ABCD中，AB=17，BC= 21，点P在AB边上，且满足AP=3PC，求PB之长．
25.(本小题8分)
已知CD为△ABC的中线，∠A及∠BDC的度数分别是方程x2−75x+1350=0的两根．
(1)求∠A及∠BDC的度数；
(2)求∠B的度数．
26.(本小题8分)
王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值.要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5=x2+4x+22−22+5=(x+2)2+1，
∵(x+2)2≥0，∴(x+2)2+1≥1．
当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)直接写出(x−1)2+3的最小值为______．
(2)求代数式x2+10x+32的最小值．
(3)你认为代数式−13x2+2x+5有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
(4)若7x−x2+y−11=0，求x+y的最小值．
27.(本小题8分)
如图一，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．
(1)求证：∠CAD=∠BAC；
(2)如图二，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点(点C在点G的右侧)，连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.D
5.C
6.B
7.C
8.D
9.B
10.m≠−2
11.0
12.( 32,12)
13.11
14.k>−1且k≠0
15. 10− 2
16.a≤14
17.−4
18.4 3−4π3
19.①②④
20.2或− 3
21.(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得：BD=CD
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．
(2)解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由(1)知：BD=CD，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠4=∠5，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由(1)知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．(7分)
22.解：∵a−2≥0，a−2≤0，
∴a=2，
∴b=3，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1，
∴a+b+c=0，
∴2+3+c=0，
∴c=−5．
23.(1)证明：△=b2−4ac=(−4)2−4×(−m2)=16+4m2．
∵m2≥0，
∴16+4m2>0，即△>0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
(2)解：∵方程x2−4x−m2=0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=4，x1x2=−m2．
又∵x1x2+x1+x2=3，
∴−m2+4=3，即m2=1，
解得m=±1．
故m的值为±1．
24.解：设PB为x，则AP=17−x，
∵AP=3PC，
∴PC=17−x3，
在Rt△PBC中，PC2=PB2+BC2，
∴x2+21=(17−x3)2，
∴4x2−17x−50=0，
解得：x1=2，x2=−254(不符合题意舍去)，
答：PB之长为2．
25.解：(1)x2−75x+1350=0，
(x−30)(x−45)=0，
x−30=0或x−45=0，
x1=30，x2=45，
∵∠BDC=∠A+∠ACD，
∴∠BDC>∠A，
∴∠BDC=45°，∠A=30°
∴∠A的度数为30°，∠BDC的度数为45°；
(2)过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接HD，
∴∠AHB=∠CHB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABH=90°−∠A=60°，
∵DH是斜边AB上的中线，
∴DH=BD=12AB，
∴△BHD是等边三角形，
∴HD=HB，∠HDB=∠ABH=60°，
∵∠BDC=45°，
∴∠HDC=∠HDB−∠BDC=15°，
∵∠ACD=∠BDC−∠A=15°，
∴∠ACD=∠HDC=15°，
∴HD=HC，
∴HB=HC，
∴∠HBC=∠HCB=45°，
∴∠ABC=∠ABH+∠HBC=105°，
∴∠ABC的度数为105°．
26.(1)3；
(2)x2+10x+32=x2+10x+25−25+32=(x+5)2+7，
∵(x+5)2≥0，∴(x+5)2+7≥7．
当(x+5)2=0时，(x+5)2+7的值最小，最小值是7，
∴x2+10x+32的最小值是7；
(3)−13x2+2x+5
=−13(x2−6x)+5
=−13(x2−6x+9−9)+5
=−13(x−3)2+3+5
=−13(x−3)2+8，
∵(x−3)2≥0，
∴−13(x−3)2≤0，
∴−13(x−3)2+8≤8，
∴当(x−3)2=0时，−13x2+2x+5有最大值，最大值是8；
(4)∵7x−x2+y−11=0，
∴y=x2−7x+11
∴x+y
=x+x2−7x+11
=x2−6x+11
=x2−6x+9+2
=(x−3)2+2，
∵(x−3)2≥0，
∴(x−3)2+2≥2，
当(x−3)2=0时，(x−3)2+2的值最小，最小值是2．
∴x+y的最小值是2．
27.(1)证明：如图一，连接OC，则OC⊥EF，且OC=OA，
易得∠OCA=∠OAC．
∵AD⊥EF，
∴OC//AD．
∴∠OCA=∠CAD，
∴∠CAD=∠OAC．
即∠CAD=∠BAC．
(2)解：与∠CAD相等的角是∠BAG．
证明如下：
如图二，连接BG．
∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，
∴∠ABG+∠ACG=180°．
∵D，C，G共线，
∴∠ACD+∠ACG=180°．
∴∠ACD=∠ABG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAG+∠ABG=90°
∵AD⊥EF
∴∠CAD+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BAG．
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