2024-2025学年河北省保定一中贯通班高一（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省保定一中贯通班高一（上）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合M={x|−1≤x≤3}和N={x|x=2k−1,k∈N+}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有( )
A. −1B. 0C. 1D. 1，3
2.命题：“∃x0∈R，x02+lnx0>0”的否定是( )
A. ∀x∈R，x2+lnx0
3.“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荷子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的( )
A. 充分条件B. 必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知OA=a，OB=b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则OD在基{a,b}下的坐标为( )
A. (49,59) B. (916,716)
C. (23,13) D. (34,14)
5.已知α∈(0,π)，且cs(α+π4)=13，则cs2α=( )
A. 4 29B. ±4 29C. 79D. ±79
6.如图，在△ABC中，已知∠BAC=π3，AB=AD=2BD=2，则sinC为( )
A. 15− 38 B. 15+ 38
C. 3− 38 D. 3+ 38
7.如图，O是坐标原点，M，N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则|OM+ON|的范围为( )
A. [0, 2)B. [0,2)C. [1, 2)D. [1,2)
8.奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O是锐角△ABC内的一点，且点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则必有( )
A. sin∠BAC⋅OA+sin∠ABC⋅OB+sin∠ACB⋅OC=0
B. cs∠BAC⋅OA+cs∠ABC⋅OB+cs∠ACB⋅OC=0
C. tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+tan∠ACB⋅OC=0
D. sin2∠BAC⋅OA+sin2∠ABC⋅OB+sin2∠ACB⋅OC=0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的是( )
A. 在△ABC中，A>B，则sinA>sinB
B. 在锐角△ABC中，不等式sinA>csB恒成立
C. 在△ABC中，若acsA=bcsB，则△ABC必是等腰直角三角形
D. 在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形
10.定义域为R的函数f(x)满足：∀x,y∈R,f(x)f(y)=f2(x+y2)−f2(x−y2)，当x>0时，f(x)0,|φ|0)的最小正周期为2π3，当x∈[0,π3]时，关于x的方程f(nx)=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，矩形ABCD中，AB=2 3，BC=4，点M，N分别在线段AB，CD(含端点)上，P为AD的中点，PM⊥PN，设∠APM=α．
(1)求角α的取值范围；
(2)求出△PMN的周长l关于角α的函数解析式f(α)，并求△PMN的周长l的最小值及此时α的值．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.A
6.B
7.A
8.C
9.ABD
10.BC
11.AC
12.12cs(πx)+12(答案不唯一)
13.13π12
14.3.2
15.解：(1)由题意，a=(sinx,csx),b=(csx,csx),x∈R，
所以f(x)=a⋅(a+b)=a2+a⋅b=sin2x+cs2x+sinxcsx+cs2x
=1+12sin2x+1+cs2x2=12sin2x+12cs2x+32= 22sin(2x+π4)+32，
可得函数f(x)的最小正周期为π，
当2x+π4=π2+2kπ,(k∈Z)，
即x=π8+kπ,(k∈Z)时，函数取得最大值3+ 22；
(2)由(1)f(x)= 22sin(2x+π4)+32，
令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，
解得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ],(k∈Z)．
16.解：(1)函数f(x)=mx+nx2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，
且f(1)=1，可得f(0)=0即n=0；
又12(m+n)=1，则m=2，所以m=2，n=0；
(2)f(x)=2xx2+1在[−1,1]上为增函数．
证明：设−1≤x1