江苏省2023_2024学年高一数学上学期12月阶段检测试题含解析
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这是一份江苏省2023_2024学年高一数学上学期12月阶段检测试题含解析,共20页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容, 已知函数, 流行病学基本参数等内容,欢迎下载使用。
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容:苏教版必修第一册第一章至第七章第1节.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则()
A. B.
C. D.
2. 若扇形的弧长为,圆心角为2弧度,则扇形的面积为()
A. B. C. D.
3. 已知,则“”是“”()
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
4. 已知,,,则()
A. B. C. D.
5. 下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的函数是()
A. B.
C. D.
6. 已知函数(其中)的图象如图所示,则函数的图象是()
A. B.
C. D.
7. 已知在R上是减函数,那么a的取值范围是()
A. B. C. D.
8. 流行病学基本参数:基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可用模型:(其中是开始确诊病例数)描述累计感染病例随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与,T满足,有学者估计出.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,当时,t的值为()( )
A. 1.2B. 1.7C. 2.0D. 2.5
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的是2分,有选错的得0分.
9. 已知角与角的终边相同,则角可以是()
A. B. C. D.
10. 若a>b>0,则下列几个不等式中正确的是()
AB.
C. a5>b5D.
11已知函数,,对于任意,,,且当时,均有,则()
A.
B.
C.
D. 若,则
12. 通过等式我们可以得到很多函数模型,例如将a视为常数,b视为自变量x,那么c就是b(即x)的函数,记为y,则,也就是我们熟悉的指数函数.若令是自然对数的底数),将a视为自变量,则b为x的函数,记为,下列关于函数的叙述中正确的有()
A.
B,
C. 在上单调递减
D. 若对任意,不等式恒成立,则实数m的值为0
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 计算:______.
14. 已知正数x,y满足,则的最小值为______.
15. 设幂函数同时具有以下两个性质:①函数在第二象限内有图象;②对于任意两个不同的正数,,都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.
16. 设,则__________;不等式的解的范围为__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
17. 设函数的定义域为集合的定义域为集合.
(1)当时,求;
(2)若“”是“”的必要条件,求实数的取值范围.
18已知函数,且,.
(1)求函数的解析式;
(2)设,判断函数g(x)的单调性并用定义证明.
19. 已知函数是偶函数
(1)求实数的值;
(2)设,若函数与的图象有公共点,求实数的取值范围.
20. 为了加强“平安校园”建设,有效遏制涉校案件的发生,保障师生安全,某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由子此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14400元,设屋子的左右两面墙的长度均为米.
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价.
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元,苦无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求的取值范围.
21. 已知函数.
(1)解关于x的不等式
(2)若在区间(-∞,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
22. 已知函数的定义域为D,若恰好存在n个不同的实数,,…,,使得(其中,2,…,n,),则称函数为级J函数”.
(1)若函数,试判断函数是否为“n级J函数”.如果是,求出n的值;如果不是,请说明理由.
(2)函数是定义在R上的“4级J函数”,求实数m的取值范围.
江苏省百校大联考高一年级12月份阶段检测
数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容:苏教版必修第一册第一章至第七章第1节.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的运算法则计算.
【详解】由题意,所以.
故选:A.
2. 若扇形的弧长为,圆心角为2弧度,则扇形的面积为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出答案.
【详解】设扇形的弧长为,圆心角为,
扇形的弧长为,圆心角为2弧度,即,
,可得,
该扇形的面积,
故选:.
3. 已知,则“”是“”的()
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解出不等式,再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】解不等式,得,显然真包含于,
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选:B
4. 已知,,,则()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性可大致判断和1的大小,将用换底公式化为以2为底的对数形式,再根据对数函数的单调性即可判断的大小,进而选出结果.
【详解】解:由题知单调递增,
,
,
,
,
即,
综上:.
故选:A
5. 下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的函数是()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用偶函数定义及判断函数在上的单调性,逐项判断即得.
【详解】对于A,函数是R上的奇函数,A不是;
对于B,函数是R上的偶函数,在上单调递增,B是;
对于C,函数是R上的偶函数,在上单调递减,C不是;
对于D,函数是R上的偶函数,在上单调递减,D不是.
故选:B
6. 已知函数(其中)的图象如图所示,则函数的图象是()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性,结合指数型函数的性质进行判断即可.
【详解】由图象可知,所以,
因为,所以由(1)可得:,由(3)可得:,所以,
由(2)可得:,所以,
因此有,所以函数是减函数,
,所以选项A符合.
故选:A.
7. 已知在R上是减函数,那么a的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据各段上的单调性和分段处的高低可得关于的不等式组,求出其解后可得正确的选项.
【详解】因为为上的减函数,所以,解得,
故选:A.
8. 流行病学基本参数:基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可用模型:(其中是开始确诊病例数)描述累计感染病例随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与,T满足,有学者估计出.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,当时,t的值为()( )
A. 1.2B. 1.7C. 2.0D. 2.5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给模型求得,代入已知模型,再由,得,求解值得答案
【详解】解:把代入,得,解得,
所以,
由,得,则,
两边取对数得,,得,
故选:B
【点睛】关键点点睛:此题考查函数模型的实际应用,考查计算能力,解题的关键是准确理解题意,弄清函数模型中各个量的关系,属于中档题
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的是2分,有选错的得0分.
9. 已知角与角的终边相同,则角可以是()
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据终边相同的角的知识确定正确选项.
【详解】依题意,
当时,,
当时,,
所以BD选项符合,AC选项不符合.
故选:BD
10. 若a>b>0,则下列几个不等式中正确的是()
A. B.
C. a5>b5D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】举例说明即可判断选项A;
根据不等式的基本性质即可判断选项B、C;
根据基本不等式的应用和对数的运算性质即可判断选项D.
【详解】对于A:当a=2,b=1时,,故A错误;
对于B:a>b>0,则,故B正确;
对于C:a>b>0,则a5>b5,故C正确;
对于D:a>b>0,则,
则,故D正确.
故选:BCD.
11. 已知函数,,对于任意,,,且当时,均有,则()
A.
B.
C.
D. 若,则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据抽象函数的性质,利用赋值法可判断A,根据性质可判断B,由赋值法及性质可判断C,根据抽象函数的性质判断函数的单调性可判断D.
【详解】令,则,解得,故A错;
因为,故B正确;
因为,所以,故C正确;
设任意的,且,则,所以,
即,所以函数为上的增函数,因为,
所以,解得,故D正确.
故选:BCD
12. 通过等式我们可以得到很多函数模型,例如将a视为常数,b视为自变量x,那么c就是b(即x)的函数,记为y,则,也就是我们熟悉的指数函数.若令是自然对数的底数),将a视为自变量,则b为x的函数,记为,下列关于函数的叙述中正确的有()
A.
B. ,
C. 在上单调递减
D. 若对任意,不等式恒成立,则实数m的值为0
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据题意得出的解析式,根据计算易于判断A,B两项,对于B项,可根据在上的单调性和值的正负可推得的单调性,对于D项,则需要等价转化,运用参变分离法分区间讨论得出的范围进行判断.
【详解】由题意可得,,两边取自然对数得,,即.
对于A选项,,故A项正确;
对于B选项,,,因,但是(否则,值不存在),
则,故B项错误;
对于C选项,当时,且为增函数,则恒为负且为减函数,故C项正确;
对于D选项,①当时,,则由可推得在上恒成立,
即在上恒成立,不妨设则,,记,
因在上单调递减,故,从而,即,故,
②当时,,则由可推得在上恒成立,
即上恒成立,不妨设则,同法得,
因在在上单调递增,上单调递减,故,从而,即,故.
综上分析知,实数m的值为0,故D项正确.
故选:ACD.
【点睛】关键点点睛:此题关键即在于选项D判断,紧紧围绕给定区间,对等价转化后的不等式恒成立问题进行处理,一般考虑运用参变分离法,其中,对于分离后另一侧函数的值域界定需要换元,并借助于对勾函数在不同区间上的值域进行判断才能得出结果.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 计算:______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件,利用指数运算、对数运算计算即得.
【详解】.
故答案为:
14. 已知正数x,y满足,则的最小值为______.
【答案】12
【解析】
【分析】根据指数方程,得出的关系式,运用消元法将所求式化成关于的关系式,再利用基本不等式求解.
【详解】由,可得,即,代入中,
可得
当且仅当时,取等号,
所以的最小值为12.
故答案为:12.
15. 设幂函数同时具有以下两个性质:①函数在第二象限内有图象;②对于任意两个不同的正数,,都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件,写出一个满足题意的幂函数即可.
【详解】由题意可得,幂函数需满足在第二象限内有图象且在上是单调递减即可,所以,故满足上述条件的可以为.
故答案为:(答案不唯一).
16. 设,则__________;不等式的解的范围为__________.
【答案】 ①. ; ②. .
【解析】
【分析】根据题意,化简函数的解析式再代入计算即得解;设,分析的奇偶性和单调性,将原不等式等价变形为,解可得答案.
【详解】解:根据题意,,则;
设,其定义域为,易得为减函数(减函数+减函数=减函数),
又由,则函数为奇函数,
不等式,
即,则有,解可得,
即不等式的解集为.
故答案为:.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
17. 设函数的定义域为集合的定义域为集合.
(1)当时,求;
(2)若“”是“”的必要条件,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)求出集合A,B,根据集合的补集、交集运算求解即可;
(2)由必要条件转化为集合间的包含关系,建立不等式求解即可.
【小问1详解】
由,解得或,
所以.
.
当时,由,即,解得,
所以.所以.
【小问2详解】
由(1)知,.
由,即,解得,
所以.
因为“”是“”的必要条件,
所以.所以,解得.
所以实数的取值范围是.
18. 已知函数,且,.
(1)求函数的解析式;
(2)设,判断函数g(x)的单调性并用定义证明.
【答案】(1)
(2)函数在定义域上是增函数;证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法,即可求出函数解析式;
(2)先求出函数在定义域,再根据定义法证明函数单调递增即可.
【小问1详解】
解:由得,,解得,
所以
【小问2详解】
解:,
在定义域上为增函数,证明如下:
设任意,且,
,
因为,且,
所以由知,即,
所以,因此,
所以函数在定义域上是增函数.
19. 已知函数是偶函数
(1)求实数的值;
(2)设,若函数与的图象有公共点,求实数的取值范围.
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】(1)根据函数解析式以及偶函数的定义可求得实数的值;(2)利用函数与方程的思想,把函数与的图象有公共点的问题转化成方程有解的问题,进而求得参数的取值范围.
【小问1详解】
由函数,得,
又因为是偶函数,所以满足,
即,所以,
即对于一切恒成立,所以,
故;
【小问2详解】
由得
若函数与的图象有公共点,等价于方程有解,
即,所以,
即方程在上有解,
由指数函数值域可知,,所以,
所以实数的取值范围是.
20. 为了加强“平安校园”建设,有效遏制涉校案件的发生,保障师生安全,某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由子此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14400元,设屋子的左右两面墙的长度均为米.
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价.
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元,苦无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求的取值范围.
【答案】(1)当左右两侧墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为28800元;(2).
【解析】
【分析】(1)甲工程队的总造价为元,求出,再利用基本不等式求解;
(2)由题意可得对任意的恒成立,化简得恒成立,利用基本不等式求函数的最小值得解.
【详解】(1)甲工程队的总造价为元,
则,
.
当且仅当,即时等号成立.
即当左右两侧墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为28800元.
(2)由题意可得,对任意的恒成立.
即,从而恒成立,
令,,
故.所以.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,考查不等式的恒成立问题的求解,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21. 已知函数.
(1)解关于x的不等式
(2)若在区间(-∞,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;
(2).
【解析】
【分析】(1)分,,,,讨论即得;
(2)由题可得对于任意的,有恒成立,然后分类讨论求函数最值即得.
【小问1详解】
当时,,不等式的解集为;
当时,由可得;
方程的根为,2,
当时,,不等式的解集为};
当时
当时,即,不等式的解集为;
当时,即,不等式的解集为或};
当时,即,不等式的解集为或.
【小问2详解】
由,得,
所以对于任意的,有恒成立
设函数,对称轴为,
①当,即,时取得最小值,
,
解得,
所以.
②当,即,函数g(x)在单调递减,
所以时取得最小值,,解得,
所以.
综上有①,②得.
22. 已知函数的定义域为D,若恰好存在n个不同的实数,,…,,使得(其中,2,…,n,),则称函数为级J函数”.
(1)若函数,试判断函数是否为“n级J函数”.如果是,求出n的值;如果不是,请说明理由.
(2)函数是定义在R上的“4级J函数”,求实数m的取值范围.
【答案】22. 是;
23.
【解析】
【分析】(1)利用“级函数”的定义可求解;
(2)将问题转化为恰有4个解,令,,进而转化为方程在上有两个不等实根,利用二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
令,则,解得
所以函数是“2级函数”,即;
【小问2详解】
由,得,即,
因为函数为R上的“级函数”,所以该方程恰有4个解,
令,,则,但当时,;
所以方程在上有两个不等实根,
令,则,
解得.
∴ 实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解
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