福建省作2023_2024学年高一数学上学期12月联考试题含解析

这是一份福建省作2023_2024学年高一数学上学期12月联考试题含解析，共19页。试卷主要包含了 若角与角的终边相同，则， 设集合，则的取值范围为， 是函数且在是减函数的， 设函数，则， 对于实数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若角与角的终边相同，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用终边相同的角的特征即可得解.
【详解】因为角与角的终边相同，
所以，则.
故选：B.
2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域的求法以及二次根式、分式有意义的条件列出不等式组即可求解.
【详解】若函数的定义域为，则函数有意义当且仅当，解得，即函数的定义域为.
故选：A.
3. 若函数的图象在上连续不断，且满足，则下列说法正确的是（）
A. 在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点
B. 在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点
C. 在区间上一定有零点，在区间上可能有零点
D. 在区间上可能有零点，在区间上一定有零点
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据存在定理即可得结果.
【详解】因为，所以在区间上可能有零点，
因为，，所以在区间上一定有零点，
故选：D.
4. 设集合，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意解对数函数不等式得到集合，由即可得解.
【详解】由题意，，则，
若，则.
故选：C.
5. 已知幂函数的图象过点，设，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数过点求出解析式，由解析式可得函数单调性，再比较大小得解.
【详解】因为幂函数的图象过点，
所以，解得，
即，故函数在上为增函数，
因为，，，
所以.
故选：D
6. 如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（）
A. 9B. 10C. 24D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果.
【详解】设，由，得，即，
所以
故选：C.
7. 是函数且在是减函数的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】令，，图象的对称轴为直线，判断在上单调递减，若要满足且在单调递减，则单调递增，进而得到不等式组，求出的范围，利用逻辑推理判断选项.
【详解】令，，
则图象的对称轴为直线，
所以在上单调递减，
若要满足且在单调递减，
则单调递增，
则，解得,
故，
则是函数且在单调递减的必要不充分条件.
故选：B
8. 设函数(，且)，则（ ）
A. 若，则一定有零点
B. 若，则无零点
C. 若，且，则一定有零点
D. 若，则有两个零点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据选项条件，逐一画图判断，能画出反例的即可排除.
【详解】对于A，如图，此时，当，，此时无零点；
对于B，，如图时，，如图在，，此时有零点；
对于C，反例图如选项A，此时无零点；
对于D，设，，又因为，所以无解，有两解，
故选：D.
【点睛】本题考查函数图像的应用，考查二次函数的性质，考查学生运用图像画反例的能力，是一道难度较大的题目.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 若角的终边经过点，则下列结论正确的是（）
A. 是第二象限角B. 是钝角
C. D. 点在第二象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案.
【详解】由点在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是钝角，A正确，B错误；
，C正确；
由，，则点在第二象限，D正确.
故选：ACD.
10. 对于实数，下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由特值法可判断BD，由不等式的性质判断A，由作差法判断C，从而得解.
【详解】对于A，因为，所以，则，则，故A正确；
对于B，取，则，故B错误；
对于C，若，则，即，故C正确；
对于D，因为，当时，，故D错误．
故选：AC．
11. 已知函数，则下列结论正确的是（）
A. 为奇函数
B. 值域为
C. 若，且，则
D. 当时，恒有成立
【答案】AC
【解析】
【分析】应用奇偶性定义判断A；在上，令研究其单调性和值域，再判断的区间单调性和值域判断B；利用解析式推出，根据已知得到，再应用基本不等式判断C；特殊值法，将代入判断D.
【详解】由解析式知：函数定义域为，且，
所以为奇函数，A对；
当时，令，当且仅当时等号成立，
由对勾函数性质知：在上递减，在上递增，且值域为，
而在上递增，故在上递减，在上递增，且，
由奇函数的对称性知：在上递增，在上递减，且，
所以值域为，B错；
由，若且，
所以，故，当且仅当时等号成立，
而时，故等号不成立，所以，C对；
由，即时，D错；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：对于C选项，根据解析式推导出，进而得到为关键.
12. 已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（）
A.
B. 函数在上单调递增
C.
D. 满足不等式的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用赋值法求得，从而得以判断；对于B，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于C，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于D，先求得，再将不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可判断.
【详解】对于A，因为，
令，得，所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，
任取，且，则，
因为，所以，即，所以，
所以在上是增函数，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，因为，，
所以，
又因为，所以，
由得即，
因为在上增函数，所以，解得，
所以不等式解集为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则________
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的定义可求出的值，然后由诱导公式可得得到答案.
【详解】点在角的终边上，则.
由三角函数的定义可得：
又
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题.
14. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】易知不等式成立，当时，根据一元二次不等式恒成立即可判断.
【详解】因为命题“”是假命题，所以在R上恒成立，
当时，不等式化为，恒成立；
当时，由不等式恒成立，
得，解得：，
因此实数m的取值范围为．
故答案：.
15. 音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，其音量的大小可由公式（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度）计算得到，设的声音的声波强度为的声音的声波强度为，则是的__________倍.
【答案】
【解析】
【分析】由题意根据指数、对数互换运算即可求解.
详解】由题意，所以.
故答案为：.
16. 设函数，若关于的函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】画出图象，换元后分析可知方程的一根在区间上，另一根在区间上，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】作出函数的图象如图，
令，函数恰好有四个零点．
则方程化为，
设的两根为，
因为，所以两根均大于0，且方程的一根在区间内，另一根在区间内．
令
所以，解得：，
综上：实数的取值范围为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17. （1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）结合指对数的运算性质化简即可；
（2）结合两次平方关系即可求得.
【详解】（1）原式.
（2），
，
即，
，
，，
.
18. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.
已知__________.
（1）求的值；
（2）当为第三象限角时，求的值.
【答案】（1）选①②③，答案均为
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①，利用诱导公式得到，化弦为切，代入求值即可；若选②和③，利用诱导公式和同角三角函数关系得到，化弦为切，代入求值即可；
（2）根据，利用同角三角函数关系求出，利用诱导公式化简，代入求值.
【小问1详解】
若选①，则，
所以；
若选②，则，
即，则，
所以；
若选③，则，即，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，即，
由，则，解得，
为第三象限角，
，
.
19. 已知函数在上的最大值为3，最小值为-1.
（1）求的解析式；
（2）若，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的最大值、最小值求出函数的解析式；
（2）分离参数，根据存在性转化为求出函数的最小值，利用对勾函数单调性得解.
【小问1详解】
依题意得，
，
，
，
，
，即，
.
【小问2详解】
，使得，
令，
由对勾函数的单调性知，在上单调递增，
，
当时，，
的取值范围为.
20. 已知函数.
（1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
（2）已知时，函数的最小值为，求实数的值.
【答案】（1）
（2）或5.
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质结合的解析式可求的解析式；
（2）首先化简得，再利用换元法结合二次函数的性质求a的值即可.
【小问1详解】
当时，，
当时，为上的奇函数
综上所述，函数的解析式为；
【小问2详解】
，
设，则，函数化为.
①当，即时，函数在上是增函数
的最小值为，解得（不合题意，舍去）
②当，即时，函数在上是减函数
的最小值为，解得
③当，即时，函数在上有最小值
的最小值为
解得或（不合题意，舍去）
综上所述，实数的值为或5.
21. “双11”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；
优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．
例如，一次购买商品的价格为150元，则实际支付额=140元，其中[x]表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为810元，则实际支付额1340=705元．
（1）小芳计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
（2）已知某商品是小芳常用必需品，其价格为30元/件，小芳趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？
【答案】（1）一次支付好，理由见解析
（2）15件或16件，25元/件
【解析】
【分析】(1)分别按两次支付及一次支付求出支付额，进行比较即可求解；
(2) 设购买x（x∈N*）件，平均价格为y元/件，当1≤x≤14时，及当15≤x≤19时，求出最低平均价格即可求解.
【小问1详解】
解：（1）分两次支付：支付额为
元，
一次支付：支付额为元
因为745＜790，所以一次支付好．
【小问2详解】
（2）设购买x（x∈N*）件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，最多购买19件，
当1≤x≤14时，不能享受每满400元再减40元的优惠，
当1≤x≤14时，，n∈N*，
当x＝2n时，，n∈N*．
当x＝2n+1时，，n∈N*．
所以当1≤x≤14时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．
当15≤x≤19时，能享受每满400元再减40元的优惠，
，
当x＝2n时，，当n＝8，x＝16时，ymin＝25，
当x＝2n+1时，，y随着n的增大而增大，
所以当n＝7，x＝15时，ymin＝25．
综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．
22. 已知函数，函数的图像与的图像关于对称.
（1）求的值；
（2）若函数在上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数m，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）或
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由题意，将代入可得答案.
（2）由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，设,作出其函数图像，数形结合可得答案.
（3）设记，则函数在上单调递增，根据题意若存在实数m满足条件，则a，b是方程的两个不等正根，由二次方程的根的分布的条件可得答案.
【小问1详解】
由题意，，所以
【小问2详解】
由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，
设，作出函数在上的图像（如下图）
，，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点，
所以实数k的取值范围是或
【小问3详解】
记，
其中，在定义域上单调递增，则函数在上单调递增，
若存在实数m，使得的值域为，
则，即a，b是方程的两个不等正根，
即a，b是的两个不等正根，
所以解得，所以实数m的取值范围是.
【点睛】思路点睛：函数的零点问题可转化为两个熟悉函数的图象的交点问题来处理，而二次方程的零点问题，可结合判别式的正负、特殊点处的函数值的正负、对称轴的位置等来处理.