高考数学一轮复习课时质量作业(二十八)含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量作业(二十八)含答案，共8页。试卷主要包含了下列说法，正确的为等内容，欢迎下载使用。

1．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ等于( )
A．2 B．－2
C．－12 D．12
C 解析：因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以存在实数k(k≠0)，使得ka＝b，
所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.
因为向量e1，e2是两个不共线的向量，
所以2k＝1，－k＝λ，解得λ＝－12.
2．(多选题)(2024·济宁模拟)已知A，B，C是三个不同的点，OA＝a－b，OB＝2a－3b，OC＝3a－5b，则下列结论正确的是( )
A．AC＝2ABB．AB＝BC
C．AC＝3BCD．A，B，C三点共线
ABD 解析：由题可得AB＝OB－OA＝a－2b，AC＝OC－OA＝2a－4b，BC＝OC－OB＝a－2b，所以AC＝2AB，故A正确；
AB＝BC，故B正确；
AC＝2BC，故C错误；
由AC＝2AB可得AC∥AB.又A为公共点，所以A，B，C三点共线，故D正确．
3．若向量OA＝3OB－2OC(O，A，B，C互不重合)，则ACBC＝( )
A．2B．23
C．32D．3
D 解析：由已知可得OA－OB＝2OB－OC，即BA＝2CB.
因为CA＝CB+BA，所以CA＝3CB，则ACBC＝3.
4．已知平面内一点P及△ABC，若PA+PB+PC＝AB，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC外部
C 解析：由PA+PB+PC＝AB，得PA+PB+PC＝PB－PA，即PC＝－2PA，故点P在线段AC上．
5．(2024·山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设xAB＝AM，yAC＝AN，则1x+1y的值为( )
A．3B．4
C．5D．6
A 解析：延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点．
因为G为△ABC的重心，
所以AG＝23AH＝23×12AB+AC＝13AB+AC＝131xAM+1yAN ＝13xAM+13yAN.
因为M，G，N三点共线，所以13x+13y＝1，即1x+1y＝3.
6．已知A，B，C三点共线，且AC＝3BC，若AB＝λCB，则λ＝________．
－2 解析：已知点A，B，C三点共线，且AC＝3BC，所以BC－BA＝3BC，
即－BA＝2BC，故AB＝－2CB，所以λ＝－2.
7．设向量a，b不平行，向量ta＋b与a＋3b平行，则实数t的值为________．
13 解析：因为向量ta＋b与a＋3b平行，所以存在实数k使得ta＋b＝k(a＋3b)．
因为向量a，b不平行，
所以t＝k，1＝3k，解得t＝k＝13.
8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM＝35AB+25AC，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
2∶5 解析： 因为AM＝35AB+25AC，所以AM－AB＝25AC－AB，即BM＝25BC.
所以点M在边BC上，且BM＝25BC.
故S△ABMS△ABC＝BMBC＝25，
所以△ABM与△ABC的面积之比为2∶5.
9．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA +nOB(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)若m＋n＝1，
则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋mOA－OB，
所以OP－OB＝mOA－OB，
即BP＝mBA，所以BP与BA共线．
又因为BP与BA有公共点B，
则A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得BP＝λBA，
所以OP－OB＝λOA－OB，
所以OP＝λOA＋(1－λ)OB①.
又OP＝mOA+nOB②，
所以由①②得λOA＋(1－λ)OB＝mOA+nOB.
因为OA，OB不共线，所以λ＝m， 1－λ＝n，所以m＋n＝1.
10．(多选题)(2024·石家庄模拟)下列说法，正确的为( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，若2OA+OB+3OC＝0，则S△AOC∶S△ABC＝1∶6
C．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向
D．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb
BC 解析：对于A，若a∥b，b∥c，则a∥c不成立，比如b＝0，a，c可以不共线，故错误；
对于B，若2OA+OB+3OC＝0，延长OA到A′，使得OA′＝2OA，延长OC到C′，使得OC′＝3OC，可得O为△BA′C′的重心．
设△AOC，△BOA，△BOC的面积分别为x，y，z，
则△A′OB的面积为2y，△C′OB的面积为3z，△A′OC′的面积为6x.
由三角形的重心的性质可得2y＝3z＝6x.
则S△AOC∶S△ABC＝x∶(x＋y＋z)＝1∶6，正确；
对于C，两个非零向量a，b，若|a－b|＝a+b，则a－b2＝(|a|＋|b|)2，|a|2＋|b|2－2|a|·|b|cs 〈a，b〉＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|，整理得cs 〈a，b〉＝－1，
所以a与b共线且反向，正确；
对于D，若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb，不正确，比如a≠0，b＝0，不存在实数λ.
11．(数学与生活)图1是世界最高桥——贵州北盘江大桥，图2是根据图1作的简易侧视图(为便于计算，侧视图与实物有区别)．在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上．已知AB＝8 m，BO＝16 m，PO＝12 m，PB⊥PC.根据物理学知识得12PA+PB＋12PC+PD＝2PO，则CD＝( )

A．28 mB．20 m
C．31 mD．22 m
D 解析：因为PB⊥PC，又PO⊥BC，所以PO2＝BO·OC.
因为BO＝16 m，PO＝12 m，所以OC＝9 m.
设线段AB的中点为M，线段CD的中点为N.
因为12PA+PB＋12PC+PD＝2PO，所以PM+PN＝2PO，所以O为线段MN的中点．
因为AB＝8 m，所以MO＝20 m，即ON＝20 m，所以CD＝22 m．
12．(多选题)(数学与文化)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设在△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列结论正确的有( )
A．GH＝2OG
B．GA+GB+GC＝0
C．设BC边的中点为D，则有AH＝3OD
D．OA＝OB＝OC
AB 解析： 由题意作图，如图所示．
对于A，根据欧拉线定理知，O，G，H三点共线，且GH＝2OG，所以GH＝2OG，故A正确．
对于B，取BC的中点D，由题意得GB+GC＝2GD ＝－GA，所以GA+GB+GC＝0，故B正确．
对于C，由题意知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，
所以△AGH∽△DGO，所以AH＝2OD.
因为OD⊥BC，AH⊥BC，所以AH∥OD.
所以AH＝2OD，故C错误．
对于D，向量OA，OB，OC的模相等，方向不同，故D错误．
13．(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若BM＝13BC，则AM＝13AC+23AB
B．若AM＝2AC－3AB，则点M，B，C三点共线
C．若点M是△ABC的重心，则MA+MB+MC＝0
D．若AM＝xAB+yAC且x＋y＝13，则△MBC的面积是△ABC面积的23
ACD 解析：对于A，AM＝AB+BM＝AB+13BC＝AB+13AC－AB＝13AC+23AB，A正确；
对于B，假设点M，B，C三点共线，则MB＝λBC，即AB－AM＝λAC－AB，整理得AM＝－λAC＋(1＋λ)·AB，当λ＝－2时，AM＝2AC－AB，与条件中的AM＝2AC －3AB不一致，所以点M，B，C三点不共线，B错误；
对于C，如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，则点M在AH上，且MA＝2MH，所以－2MH＝MA.又MB+MC＝2MH，所以MA+MB+MC＝0，C正确；
对于D，由于AM＝xAB+yAC，而x＋y＝13，所以3AM＝3xAB+3yAC，其中3x＋3y＝1.不妨设AQ＝3AM，则点Q在直线BC上．由于△MBC与△ABC同底，而高之比等于MQ与AQ的比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的23，D正确．
14．如图，在▱ABCD中，BM＝23BC，AN＝14AB ，AB＝a，AD＝b.
(1)试用向量a，b来表示DN，AM；
(2)AM交DN于点O，若AO＝λOM，求λ的值．
解：(1)因为DN＝AN－AD，AN＝14AB，
所以DN＝14AB－AD＝14a－b.
因为AM＝AB+BM，BM＝23BC，
所以AM＝AB+23BC＝a+23b．
(2)因为D，O，N三点共线，
所以存在实数k，使得DO＝kDN＝14ka－kb，所以AO＝AD+DO＝b+14ka－kb＝14ka＋(1－k)b①.
因为A，O，M三点共线，所以存在实数m，使得AO＝mAM＝ma+23mb②.
由①②得14k＝m，1－k＝23m，解得m＝314.
所以AO＝314AM，AO＝311OM，即λ＝311.
15．经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m＞0，n＞0，求m＋n的最小值．
解：设OA＝a，OB＝b.
由题意知OG＝23×12OA+OB＝13(a＋b)，
PQ＝OQ－OP＝nb－ma，
PG＝OG－OP＝13－ma+13b．
由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，
使得PQ＝λPG，即nb－ma＝λ13－ma+13λb，
则有－m＝λ13－m，n＝13λ， 消去λ得1n+1m＝3.
于是m＋n＝131m+1n(m＋n)＝132+nm+mn≥13×(2＋2)＝43.
当且仅当m＝n＝23时，m＋n取得最小值为43.