高考数学一轮复习课时质量作业(六十六)含答案

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1．(2024·聊城模拟)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )
A．至少取到1个白球
B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数
D．取到的球的个数
C 解析：选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.
2．设离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值E(X)＝3，则a－b＝( )
A．110B．0
C．－110D．15
A 解析：由题意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1.又X的均值E(X)＝3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.联立10a+4b＝1， 30a+10b＝3，解得a＝110，b＝0，所以a－b＝110.
3．(2024·枣庄模拟)口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)＝( )
A．29B．49
C．227D．83
A 解析：由题意得X的可能取值为2，3，X＝2包含的事件为取出的两个球为1，2，
所以P(X＝2)＝1C32＝13，
X＝3包含的事件为取出的两个球为1，3或2，3，
所以P(X＝3)＝2C32＝23，E(X)＝2×13+3×23＝83，D(X)＝22×13+32×23 –832＝29.故选A．
4．(多选题)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝13，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝1)＝E(X)
B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4
D．D(X)＝49
AB 解析：因为随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝13，所以P(X＝1)＝23，
E(X)＝0×13+1×23＝23，D(X)＝0－232×13 +1－232×23 ＝29.
对于A，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；
对于B，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×23＋2＝4，故B正确；
对于C，D(3X＋2)＝32D(X)＝9×29＝2，故C错误；
对于D，D(X)＝29，故D错误．故选AB．
5．设随机变量X满足P(X＝i)＝k2i(i＝1，2，3)，则k＝________；P(X≥2)＝________.
87 37 解析：由已知得随机变量X的分布列为
所以k2+k4+k8＝1，解得k＝87.
所以随机变量X的分布列为
所以P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝27+17＝37.
6．某射击运动员共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是23，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差D(X)＝________.
3881 解析：由题意知X＝1，2，3，
P(X＝1)＝23，P(X＝2)＝13×23＝29，P(X＝3)＝13×13×23+13×13×13＝19，
所以X的分布列为
所以E(X)＝1×23+2×29+3×19＝139，
(方法一)所以D(X)＝1－1392×23 +2－1392×29 +3－1392×19 ＝3881.
(方法二)E(X2)＝1×23+4×29+9×19＝239，所以D(X)＝239－1392＝3881.
7．“摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则如下：第一次在装有2个红球、2个白球的A袋中随机取出2个球，第二次在装有1个红球、1个白球、1个黑球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表：
(1)设一次摸奖所获得的积分为X，求X的分布列和期望；
(2)记甲在这次游戏中获得0积分为事件M，甲在B袋中摸到黑球为事件N，判断事件M，N是否相互独立，并说明理由．
解：(1)X的可能取值有100，60，0，
P(X＝100)＝C22C42×13+C22C42×13＝19，
P(X＝60)＝C21C21C42×13＝29，
P(X＝0)＝1－P(X＝100)－P(X＝60)＝23，
所以X的分布列为
所以E(X)＝100×19+60×29+0×23＝2209.
(2)由(1)可知P(M)＝23，
又P(N)＝13，P(MN)＝2×C22C42×13＝19，
则P(MN)≠P(M)P(N)，所以事件M，N不相互独立．
8．某投资公司在2024年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
解：若投资“项目一”，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150，
则X1的分布列为
所以E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200，
D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000.
若投资“项目二”，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300，0，
则X2的分布列为
所以E(X2)＝500×35＋(－300)×13+0×115＝200，
D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000，
所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)D(Y)，所以投资A项目的风险比B项目高，故D正确．故选ACD．
11．(多选题)随机变量ξ的分布列如表所示，其中xy≠0，下列说法正确的是( )
A．x＋y＝1
B．E(ξ)＝5y3
C．D(ξ)有最大值
D．D(ξ)随y的增大而减小
ABC 解析：由题意可知x＋y3+2y3＝1，即x＋y＝1，故A正确．
E(ξ)＝0×x＋1×y3+2×2y3＝5y3，故B正确．
D(ξ)＝x0－5y32+y3 1－5y32+2y3 2－5y32
＝(1－y)0－5y32+y3 1－5y32+2y3 2－5y32＝－259y2＋3y.
因为xy≠0，x＋y＝1，易得0