高考数学一轮复习课时质量作业(四十四)含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量作业(四十四)含答案，共6页。试卷主要包含了已知数列{an}等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则1an的前100项和为( )
A．100101 B．99100
C．101100 D．200101
D 解析：因为an＋1＝a1＋an＋n，a1＝1，
所以an＋1－an＝1＋n.
所以an－an－1＝n(n≥2)．
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝nn+12(n≥2)．
当n＝1时，上式也成立，所以an＝nn+12，
所以1an＝2nn+1＝21n－1n+1.
所以1an的前100项和为2(1－12＋12－13+⋯+1100－1101＝21－1101＝200101.
2．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，则数列1an+3 an+4的前n项和Sn＝( )
A．n+1n+2 B．nn+1
C．nn+2 D．2nn+1
B 解析：设等差数列{an}的公差为d，
由a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，得a5＝2，d＝1，所以an＝a5＋(n－5)d＝n－3，
则an＋3＝n，an＋4＝n＋1，
所以1an+3 an+4＝1nn+1＝1n－1n+1，
所以Sn＝11－12+12－13+…+1n－1n+1＝1－1n+1＝nn+1.
3．(2024·泰安模拟)已知数列{an}满足a1+12 a2+122 a3+…+12n－1 an＝2n，则a1＋2a2＋22a3＋…＋22 021a2 022＝( )
A．2×(22 022－1) B．23(22 022＋1)
C．23(24 044－1) D．23(24 044＋1)
C 解析：因为a1+12 a2+122 a3+…+12n－1 an＝2n，
所以当n≥2时，a1＋12 a2+122 a3+…12n－2an－1＝2(n－1)，
两式相减得12n－1an＝2，所以an＝2n(n≥2)．
又a1＝2也适合该式，故an＝2n.
所以a1＋2a2＋22a3＋…＋22 021a2 022＝242 022 －14－1＝23 24 044 －1．
4．数列{an}满足an＝1+2+3+…+nn，则数列1anan+1的前n项和为( )
A．nn+2 B．2nn+2
C．nn+1 D．2nn+1
B 解析：由题意得an＝1+2+3+…+nn＝12(n＋1)，故1anan+1＝4n+1n+2＝41n+1－1n+2，
所以数列1anan+1的前n项和为412－13+13－14+…+1n+1－1n+2＝412－1n+2＝2nn+2.
5．(多选题)已知数列{an}：12，13+23，14+24+34，…，110+210+…+910，….若bn＝1anan+1，设数列{bn}的前n项和为Sn，则( )
A．an＝n2 B．an＝n
C．Sn＝4nn+1 D．Sn＝5nn+1
AC 解析：由题意得an＝1n+1+2n+1+…+nn+1＝1+2+3+…+nn+1＝n2，
所以bn＝1n2·n+12＝4nn+1＝41n－1n+1.
所以数列{bn}的前n项和Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝41－12+12－13+13－14+…+1n－1n+1
＝41－1n+1＝4nn+1 .
6．已知数列{an}满足an＋1＝nn+1an，a1＝1，则数列{anan＋1}的前10项和为________.
1011 解析：因为an＋1＝nn+1an，a1＝1，所以(n＋1)an＋1＝nan，
所以数列{nan}是每项均为1的常数列，即nan＝1.
所以an＝1n，anan+1 ＝1nn+1＝1n－1n+1，
所以数列{anan＋1}的前10项和为11－12+12－13+…+110－111＝1－111＝1011.
7．已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3·…·an＝2bn(n∈N*)．若数列{an}为等比数列，且a1＝2，a4＝16，则数列{bn}的通项公式bn＝________，数列1bn的前n项和Sn＝______.
nn+12 2nn+1 解析：因为数列{an}为等比数列，且a1＝2，a4＝16，
所以公比q＝3a4a1 ＝3162＝2，所以an＝2n，
所以a1a2a3·…·an＝21×22×23×…×2n＝21+2+3+…＋n＝2nn+12.
因为a1a2a3·…·an＝2bn，所以bn＝nn+12，
所以1bn＝2nn+1＝21n－1n+1，
所以数列1bn的前n项和
Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝211－12+12－13+13－14+…+1n－1n+1＝21－1n+1＝2nn+1.
8．已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn，S6S3＝9，bn＝anan－1an+1 –1，且b1＝23.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，显然q≠1，由S6S3＝9，得S6S3－1＝S6－S3S3＝8，
即a4+a5+a6a1+a2+a3＝q3＝8，解得q＝2.
又b1＝a1a1－1a2－1＝a1a1－12a1－1＝23，
整理得"4" "a" _"1" ^"2" －9a1＋2＝0，解得a1＝2或a1＝14.
由bn＝anan－1an+1 –1，得an≠1，当a1＝14时，a3＝14×22＝1，不合题意，舍去，
故a1＝2，所以an＝2×2n-1＝2n，所以{an}的通项公式为an＝2n.
(2)由(1)可得bn＝anan－1an+1 –1＝2n2n－12n+1 –1＝12n－1－12n+1 –1，
所以Tn＝1－13+13－17+17－115+…+12n－1－12n+1 –1＝1－12n+1 –1＝2n+1 –22n+1 –1.
9．等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则∑nk＝11Sk＝________.
2nn+1 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
依题意有a1+2d＝3，4a1+6d＝10，解得a1＝1，d＝1.
所以Sn＝n＋nn－12＝nn+12，1Sn＝2nn+1＝21n－1n+1，
因此∑nk＝11Sk＝21－12+12－13+…+1n－1n+1 ＝2nn+1.
10．已知数列{an}满足1an＝1an+1－1，且a1＝1，则an＝________，数列{bn}满足bn＝2nan，则数列{bn}的前n项和Sn＝________.
1n (n－1)×2n+1＋2 解析：由1an＝1an+1－1，得1an+1－1an＝1，又1a1＝1，
所以1an是公差、首项都为1的等差数列，
则等差数列1an的通项公式为1an＝n，则an＝1n，bn＝2nan＝n×2n，
所以Sn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n，
2Sn＝1×22＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1，
相减得Sn＝－(2＋22＋…＋2n)＋n×2n+1＝－21－2n1－2＋n×2n+1＝(n－1)×2n+1＋2.
11．已知在数列{an}中，a1＝3，且{an－1}是公比为3的等比数列，则使a1－1a1a2+a2－1a2a3+…+an－1anan+1＝80489的正整数n的值为____.
4 解析：由题意，知{an－1}是首项为a1－1＝2，公比为3的等比数列，
所以an－1＝2×3n-1，
所以an＝2×3n-1＋1.
所以an－1anan+1＝2×3n－12×3n－1 +12×3n+1＝1212×3n－1 +1－12×3n+1，
所以a1－1a1a2+a2－1a2a3+…+an－1anan+1＝1213－17+17－119+…+12×3n－1 +1－12×3n+1
＝1213－12×3n+1＝16－14×3n+2＝80489，
解得n＝4.
12．等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝2Sn，n为奇数，bn，n为偶数，设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n.
解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
由b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，a1＝3，b1＝1，
得q+6+d＝10， 3+4d－2q＝3+2d，解得d＝2，q＝2.
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n-1.
(2)由a1＝3，an＝2n＋1，得Sn＝n(n＋2)，
则当n为奇数时，cn＝2Sn＝1n－1n+2，
当n为偶数时，由(1)可知cn＝2n-1.
所以T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)
＝1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＋2＋23＋…＋22n－1
＝1－12n+1+21－4n1－4＝2n2n+1+234n－1．
13.2024·衡水模拟已知数列an的前n项和为Sn，满足a1＝1，Sn＝12n+tnt为常数．
1求an的通项公式；
2若bn＝an·14an+1，求数列bn的前n项和Tn.
解：1令n＝1，S1＝a1＝12＋t＝1，可得t＝12，
所以Sn＝12n+12n.
当n≥2时，Sn－1＝12(n－1)+12(n－1)，
可得an＝Sn－Sn－1＝12[n2－(n－1)2]＋12＝n，
所以an＝n(n≥2)．
又因为a1＝1满足上式，
所以an＝n.
(2)因为bn＝an·14an+1 ＝n·14n+1，
所以Tn＝1×142+2×143+3×144+…+n×14n+1，
两边同乘14，得14 Tn＝1×143+2×144+3×145＋…＋(n－1)×14n+1 +n×14n+2，
两式相减，得34 Tn＝142+143+144+145+…+14n+1 －n×14n+2，
即34 Tn＝116 1－14n1－14－n×14n+2，所以Tn＝19 –19+n12×14n.