高考数学一轮复习第二章第九节函数模型及其应用学案

这是一份高考数学一轮复习第二章第九节函数模型及其应用学案，共11页。
2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．
自查自测
知识点 指数函数、对数函数、幂函数模型性质比较
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(3)不存在x0，使ax0 ＜x0n＜lgax0(a＞0，a≠1)．( × )
(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx+c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )
2．已知f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( B )
A．f (x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f (x)＞h(x)
C．g(x)＞h(x)＞f (x)D．f (x)＞h(x)＞g(x)
核心回扣
三种函数模型的性质
注意点：
“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；指数增长先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长先快后慢，其增长速度缓慢．
利用函数的图象刻画实际问题
1．(2024·泰安模拟)某工厂从2015年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的年产量y与时间t的函数图象可能是( )
B 解析：由题意可得图象的几何特征为从左向右看每个点的切线斜率应逐渐减小，然后斜率变为一个固定的值，符合此特征的只有选项B中的图象．故选B．
2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线BC-CD-DA向点A运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f (x)的图象是( )
D 解析：依题意，知当0≤x≤4时，f (x)＝2x；当41)符合要求．
根据题意可知ka2＝24，ka3＝36，解得k＝323，a＝32.
故该函数模型的解析式为y＝323·32x，1≤x≤12，x∈N*.
(2)当x＝0时，y＝323，即元旦放入凤眼莲的覆盖面积是323 m2，
由323·32x>10·323，得32x>10，
所以x＞lg3210＝lg10lg32＝1lg3−lg2≈5.68.
因为x∈N*，所以x≥6，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份是六月份．
8．(2024·惠州模拟)近期某市某企业为了激励销售人员的积极性，实现企业高质量发展，其根据员工的销售额发放奖金(奖金和销售额单位都为万元)，奖金发放方案同时具备两个条件：①奖金f (x)随销售额x(2≤x≤8)的增加而增加；②奖金不低于销售额的5%(即奖金f (x)大于等于x·5%)．经测算该企业决定采用函数模型f (x)＝x30－ax+b(a>0，b>0)作为奖金发放方案．
(1)若a＝b＝130，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由．
(2)若b＝13，要使奖金发放方案满足条件，求实数a的取值范围．
解：(1)不满足条件．理由如下：当a＝b＝130时，f (x)＝x30－130x+130，
因为y＝x30+130在[2，8]上单调递增，y＝－130x在[2，8]上单调递增，
则f (x)＝x30－130x+130在[2，8]上单调递增，所以条件①满足．
对于条件②，f (x)＝x30－130x+130≥5%·x，即x30－130x+130≥x20，
整理可得x2－2x＋2≤0，此不等式无解，不满足条件②.
故a＝b＝130不满足条件．
(2)当b＝13时，f (x)＝x30－ax+13，
因为a>0，所以f (x)在[2，8]上单调递增，奖金发放方案满足条件①.
由条件②，可知f (x)≥x20，即x60+ax≤13在[2，8]时恒成立，
所以a≤－x260+x3＝－x－102+10060在x∈[2，8]时恒成立．
因为函数y＝－x－102+10060在[2，8]上单调递增，
所以当x＝2时，y取得最小值35，即a≤35.
所以要使奖金发放方案满足条件，实数a的取值范围为0，35.性质
函数
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化各有不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有lgax＜xn＜ax.
月份
用气量
煤气费
1月
4 m3
4元
2月
25 m3
14元
3月
35 m3
19元
全月应纳税所得额
税率
不超过3 000元的部分
3%
超过3 000元至12 000元的部分
10%
超过12 000元至25 000元的部分
20%