高考数学一轮复习第六章第五节空间向量及其运算学案

这是一份高考数学一轮复习第六章第五节空间向量及其运算学案，共20页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．
自查自测
知识点一 空间向量的有关概念、定理
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．( × )
(2)空间中所有的单位向量的模都相等．( √ )
(3)空间任意三个向量都可构成空间的一个基底．( × )
(4)空间向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )
(5)空间中任意两个非零向量都共面．( √ )
2．(教材改编题)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M.设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与C1M相等的向量是( )
A．－12a+12b＋cB．12a+12b＋c
C．－12a－12b－cD．－12a－12b＋c
C 解析：C1M＝C1C+CM＝C1C+12CB+CD＝A1A+12DA+12BA＝－12a－12b－c.
3．在空间四点O，A，B，C中，若{OA，OB，OC}是空间的一个基底，则O，A，B，C四点________.(填“共面”或“不共面”)
不共面 解析：若四点共面，则OA，OB，OC共面，构不成基底．
核心回扣
1．空间向量的有关概念
2．空间向量的有关定理及推论
自查自测
知识点二 两个非零空间向量的数量积
如图，若四面体ABCD的每条棱长都等于2，E，F分别为棱AB，AD的中点，则BC－EF＝______，EF与AC所成的角为________.
3 90˚ 解析：因为EF＝12BD，BD·BC＝2×2×cs 60˚＝2，
所以BC－EF2＝BC－12BD2＝BC2－BC·BD+14BD2＝4－2＋14×4＝3，
所以BC－EF＝3.
因为EF＝12BD＝12AD－AB，
所以AC·EF＝12AC·AD－AB＝12AC·AD－AC·AB＝0，
所以〈EF，AC〉＝90˚.
核心回扣
数量积及其性质
(1)a·b＝|a||b|cs〈a，b〉；
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
(3)|a|2＝a2，|a|＝a·a；
(4)cs〈a，b〉＝a·b|a||b|．
注意点：
(1)a·b＝b·c⇏a＝c；
(2)(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．
自查自测
知识点三 空间向量运算的坐标表示
1．(多选题)已知空间向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，则下列结论正确的是( )
A．(2a＋b)∥aB．5|a|＝3b
C．a⊥(5a＋6b)D．a与b夹角的余弦值为36
BC 解析：因为2a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而－1－2≠2－1≠71，故A不正确；因为a＝6，b＝52，所以5|a|＝3b，故B正确；因为a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝5×(4＋1＋1)＋6×(－6－4＋5)＝0，故C正确；又因为a·b＝－5，所以cs 〈a，b〉＝－56×52＝－36，故D不正确．
2．如图，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，E为PB的中点，cs 〈DP，AE〉＝33.若以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________.
(1，1，1) 解析：由已知得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)．
设P(0，0，a)(a＞0)，则E1，1，a2，
所以DP＝(0，0，a)，AE＝－1，1，a2，DP＝a，AE＝－12+12+a22＝8+a22.
因为cs 〈DP，AE〉＝33，所以0×－1+0×1+a×a2a×8+a22＝33，
解得a＝2(负值舍去)，所以E(1，1，1)．
核心回扣
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
【常用结论】
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA＝xOB+yOC(其中x＋y＝1)，O为平面中的任意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP＝xOA+yOB+zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．若x＝y＝z＝13，则点P为△ABC的重心．
应用 在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是( )
A．OM＝2OA－OB－OC
B．OM＝15OA+13OB+12OC
C．MA+2MB+MC＝0
D．OM+OA+OB+OC＝0
C 解析：根据共面向量定理，对于OM＝xOA+yOB+zOC，若A，B，C，M共面，则x＋y＋z＝1，由此可得A，B，D不正确．
选项C可化为MA＝－2MB－MC，所以M，A，B，C四点共面．
空间向量的线性运算
1．在空间四边形ABCD中，AB＝(－3，5，2)，CD＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为( )
A．(2，3，3)B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2，1)D．(－5，2，－1)
B 解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，
所以EF＝OF－OE，OF＝12OA+OD，OE＝12OB+OC.
所以EF＝12OA+OD－12OB+OC＝12BA+CD＝12×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心．若AF＝xAD+yAB +zAA1，则x－y＋z等于( )
A．12B．1
C．32D．2
B 解析：AF＝AD+DF＝AD+12DD1+DC＝AD+12AA1+AB＝AD+12AB+12 AA1，则x＝1，y＝12，z＝12，所以x－y＋z＝1.
3．(2024·滨州模拟)已知空间向量a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，则a－b＋2c＝________.
(－4，3，3) 解析：因为a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，所以a－b＋2c＝(1，2，3)－(3，－1，2)＋2(－1，0，1)＝(－4，3，3)．
空间向量线性运算的解题策略
(1)用已知向量来表示未知向量，结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)将已知向量与所求向量转化到三角形或平行四边形中，利用三角形法则、平行四边形法则、多边形法则把所求向量用已知向量表示出来．
(3)空间向量的坐标运算类似平面向量的坐标运算．
共线向量定理、共面向量定理及其应用
【例1】(1)空间向量a＝(2，2，－1)的一个单位向量的坐标是________.
23，23，－13答案不唯一 解析：a＝4+4+1＝3，
所以a的一个单位向量的坐标是aa＝13(2，2，－1)＝23，23，－13.
(2)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝13OA+OB+OC.
①判断MA，MB，MC三个向量是否共面；
②判断点M是否在平面ABC内．
解：①由题意知OA+OB+OC＝3OM，所以OA－OM＝OM－OB＋OM－OC，
即MA＝BM+CM＝－MB－MC，所以MA，MB，MC共面．
②因为OM＝13OA+OB+OC＝13OA+13OB+13OC，且13+13+13＝1，
所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
[变式] 本例(1)若改为：“与空间向量a＝(2，2，－1)共线的单位向量的坐标”，结果如何？
解：|a|＝4+4+1＝3，
所以与a共线的单位向量的坐标为±aa＝±13(2，2，－1)＝23，23，－13或－23，－23，13.
1．共线、共面向量定理的应用
(1)向量共线可以用来判断直线平行、三点共线．
(2)向量共面可以用来判断直线与平面平行、四点共面．
(3)根据向量共线和向量共面求参数取值．
2．证明四点P，M，A，B共面的方法
(1)MP＝xMA+yMB；
(2)对空间内任意一点O，OP＝OM+xMA +yMB；
(3)对空间内任意一点O，OP＝xOM+yOA +zOB(x＋y＋z＝1)；
(4)PM∥AB或PA∥MB或PB∥AM.
1．(2024·湛江模拟)已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝13，y＝1B．x＝12，y＝－4
C．x＝2，y＝－14D．x＝1，y＝－1
B 解析：a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．
由题意得1+2x2－x＝43＝4－y－2y－2(x≠2，y≠－1)，解得x＝12，y＝－4.
2．如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，AF＝13AD，AG＝2GA1，AC1与平面EFG交于点M，则AMAC1＝________.
213 解析：由题可设 AM＝λAC1(00，－25≠t3，
解得t>5215，且t≠－65.故实数t的取值范围为5215，+∞.
(2)已知A(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4)．
①求〈AB，BC〉；
②求AC在AB上的投影向量．
解：①因为A(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4)，
所以AB＝(0，3，3)，BC＝(2，－2，0)．
因为AB·BC＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，AB＝32，BC＝22，
所以cs 〈AB，BC〉＝AB·BCABBC＝－632×22＝－12，故〈AB，BC〉＝2π3.
②因为AC＝(2，1，3)，AB＝(0，3，3)，
所以AC·AB＝2×0＋1×3＋3×3＝12.
因为AB＝32，AC＝14，
所以cs 〈AC，AB〉＝AC·ABACAB＝1214×32＝277，
所以AC在AB上的投影向量为ACcs 〈AC，AB〉ABAB＝14×277×AB32＝23AB＝(0，2，2)．
[变式] 若将本例(1)中“锐角”改为“钝角”，求实数t的取值范围．
解：由题意得a·b