高考数学一轮复习第七章第一节数列的概念与简单表示法学案

这是一份高考数学一轮复习第七章第一节数列的概念与简单表示法学案，共19页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
考试要求：1.了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、公式法)．
2．了解数列是一种特殊函数．
自查自测
知识点一 数列的概念
判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列．( √ )
(2)数列的项与项数是同一个概念.( × )
(3){an}与an是一样的，都表示数列．( × )
(4)数列3，5，7，9，…的通项公式可以表示为an＝2n－1.( × )
核心回扣
1.数列：按照确定的顺序排列的一列数．
2．数列的项：数列中的每一个数．
3．通项公式：第n项an与它的序号n之间的对应关系．
注意点：
有序性是数列的主要性质，数列{an}的第n项为an，其中n为正整数．
知识点二 数列的函数性质与表示方法
1．已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是( )
A．21B．33
C．152D．153
C 解析：由数列的通项公式得a1＝21，a2＝33，a12＝153.令9＋12n＝152，得n＝14312不是正整数，故152不是数列{an}中的项．
2．(教材改编题)已知在数列{an}中，a1＝12，an+1 ＝1+an1－an，则a2 025＝( )
A．－2B．12
C．－13D．3
B 解析：因为a1＝12，
所以a2＝1+a11－a1＝3，a3＝1+a21－a2＝－2, a4＝1+a31－a3＝－13，a5＝1+a41－a4＝12，…，
所以数列{an}是周期数列且周期T＝4.
因为2 025＝4×506＋1，所以a 2 025＝a1＝12.
核心回扣
1.定义域：正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})．
2．解析式：数列的通项公式．
3．值域：数列的各项构成的集合．
4．表示方法：(1)列表法： 列表格表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系；(2)图象法： 横坐标为正整数的离散点(n，an)；(3)通项公式：an ＝f (n)，n∈N*；(4)递推公式：使用初始值a1和an＋1＝f (an)，或a1，a2和an＋1＝f (an，an－1)等表示．
知识点三 数列{an}的通项an与前n项和Sn的关系
1．(教材改编题)已知数列{an}的前n项和为Sn, an＝nn+12，则S3＝________．
10 解析：数列{an}满足an＝ nn+12，可得a1＝1，a2＝3，a3＝6,
所以S3＝1＋3＋6＝10.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n+2－3，则an＝__________．
5，n＝1，2n+1 ，n≥2 解析：根据题意，数列{an}满足前n项和Sn＝2n+2－3，
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n+2－3)－(2n+1－3)＝2n+1；
当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n+1.
故an＝5，n＝1，2n+1 ，n≥2.
核心回扣
1.数列{an}的前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．an＝S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2，n∈N* .
注意点：
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1不能表示a1，因此需要验证当n＝1时是否满足统一的an与n的关系，若不满足，则通项公式是分段的．
知识点四 数列的分类
1．已知an＝n－1n+1，那么数列{an}是( )
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
B 解析：an＝1－2n+1，将数列{an}看作关于n的函数，n∈N*，易知数列{an}是递增数列．
2．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是( )
A．an＝1－n B．an＝14n
C．an＝2n2－5n＋1 D．an＝n+3，n≤2，2n－1 ，n>2
C 解析：对于A，B选项，对应的数列是递减数列；
对于C选项，因为an＋1－an＝4n－3>0，所以数列{an}是递增数列；
对于D选项，因为a2>a3，所以数列{an}不是递增数列．
核心回扣
【常用结论】
在数列{an}中，若an最大，则an≥an－1 ，an≥an+1(n≥2，n∈N*)；若an最小，则an≤an－1 ，an≤an+1(n≥2，n∈N*)．
应用 在数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是________．
30 解析：若an最大，则an≥an－1 ，an≥an+1 ，
即－n2+11n≥－n－12+11n－1，－n2+11n≥－n+12+11n+1， 解得5≤n≤6.
因为n∈N*，所以当n＝5或n＝6时，an取得最大值30.
由数列的前几项求通项公式
写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1)23，45，87，169；
(2)－12，23，－34，45；
(3)3，4，3，4；
(4)6，66，666，6 666.
解：(1)前4项都是分数，它们的分子依次为2，22，23，24，分母是正奇数，依次为2×1＋1，2×2＋1，2×3＋1，2×4＋1，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝2n2n+1.
(2)前4项按先负数，后正数，正、负相间排列，其绝对值的分子依次为1，2，3，4，分母比对应分子多1，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝－1n nn+1.
(3)前4项中第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝3，n＝2k－1，4，n＝2k (k∈N*)．
(4)前4项中，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，
依次可写为6＝23×(10－1)，66＝23×(102－1)，
666＝23×(103－1)，6 666＝23×(104－1)，
所以给定4项都满足的一个通项公式为an＝23×(10n－1)．
由数列前几项归纳数列通项公式的方法及策略
(1)常用方法
观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式．
(2)具体策略
①观察分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；
②化异为同，若已知项的形式不统一，则不便求通项公式，因此可以先将项通过变形统一形式后再观察求通项公式，如题(3)；
③对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n+1，n∈N*来处理．
利用an与Sn的关系求通项公式
【例1】(1)(2024·济南期末)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．
4，n＝1， 2×3n－1 ，n≥2 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n-1＋1)＝2×3n-1.
因为当n＝1时，2×31-1＝2≠a1，所以an＝4，n＝1，2×3n－1 ，n≥2.
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
－63 解析：根据Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1，两式相减得an＋1＝2an＋1－2an，
即an＋1＝2an.当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，
所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以S6＝－1－261－2＝－63.
[变式] 本例(1)中，其他条件不变，若Sn＝3n－1，则an＝________．
2×3n-1 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n-1－1)＝2×3n-1，
当n＝1时，a1＝S1＝31－1＝2，符合上式，所以an＝2×3n-1.
1．已知Sn求an的一般步骤
(1)当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值；
(2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式；
(3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an；
(4)写出an的完整表达式．
2．已知Sn与an的关系问题的求解思路
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．(一般步骤：仿写相减)
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
1．已知在正项数列{an}中，a1+a2+…+an＝nn+12，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n2
C．an＝n2 D．an＝n22
B 解析：因为a1+a2+…+an＝nn+12，
所以a1+a2+…+an－1＝nn－12(n≥2)．
两式相减得an＝nn+12－nn－12＝n(n≥2)，
所以an＝n2(n≥2)．
又当n＝1时，a1＝1×22＝1，a1＝1，适合上式，
所以an＝n2，n∈N*.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an＋1，a1＝1，则数列{an}的通项公式an＝________．
1，n＝1， 12·32n－2 ，n≥2 解析：因为Sn＝2an＋1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an，
两式相减并化简得an＋1＝32an(n≥2)．
当n＝1时，a2＝12 a1＝12，不适合上式，
所以an＝1，n＝1， 12·32n－2 ，n≥2
由数列的递推关系求通项公式
考向1 累加法
【例2】设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则 1a1+1a2+1a3+…+1a2 023＝( )
A．1B．2
C．3D．4
A 解析：由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2)．
又a1＝1，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝nn+12(n≥2)．
当n＝1时，a1＝1满足上式，所以an＝nn+12(n∈N*)，则1an＝2nn+1＝21n－1n+1，
所以1a1+1a2＋…＋1a2 023＝2×1－12+12－13+…+12 023－12 024＝2×1－12 024＝2 0231 012.
所以1a1+1a2+1a3+…+1a2 023＝2 0231 012＝1.
已知a1，对形如an－an－1＝f (n)(n≥2)的递推公式可以用累加求和的方法求通项公式，进而解决相关的问题．
考向2 累乘法
【例3】已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a3＝________，an＝________．
3 n 解析：由an＝n(an＋1－an)，可得an+1an＝n+1n，
则an＝anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·a2a1·a1＝nn－1×n－1n－2×n－2n－3×…×21×1＝n(n≥2)，所以a3＝3.
又因为a1＝1满足an＝n，所以an＝n.
已知a1，对形如anan-1＝f (n)(n≥2)的递推公式可以用累乘求积的方法求通项公式，进而解决相关的问题．
考向3 构造法
【例4】已知数列{an}，且a1＝2，an＋1＝2an－1，n∈N*.求{an}的通项公式．
解：因为an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2an－2＝2(an－1)，
其中a1－1＝2－1＝1，故数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列，
故an－1＝2n－1，所以an＝2n－1＋1.
递推公式形如an＋1＝pan＋q(p≠0，1)，可构造an＋1－q1－p＝pan－q1－p，即an－q1－p为等比数列，进而求出通项an.
考向4 取倒数法
【例5】在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
解：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，
整理得当n≥2时，1an－1an-1＝3，
所以数列1an是以1为首项，3为公差的等差数列．
故1an＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝13n－2.
递推公式形如an＋1＝AanBan+C求通项的方法
(1)若A＝C，则通过倒数构造1an成等差数列，从而求得an；
(2)若A≠C，可通过倒数构造1an+x成等比数列，从而求得an.
1．已知在数列{an}中，a1＝1，an+1an＝2n+1n，则an＝________．
n·2n－1 解析：当n≥2时，an＝anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·a3a2·a2a1·a1＝2nn－1·2n－1n－2·2n－2n－3·…·2×32×2×21×1＝2n－1·n.又当n＝1时，a1＝1也适合上式，所以an＝n·2n－1.
2．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，则an＝________．
(n－1)2 解析：因为当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，且a1＝0适合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝(n－1)2.
3．在数列{an}中，a1＝78，an＋1＝12an＋13，n∈N*，则该数列的通项公式an＝________．
524·2n-1+23 解析：因为在数列{an}中，an＋1＝12an＋13，即an＋1－23＝12an－23，故数列an－23 是首项为a1－23＝524，公比为12的等比数列，则an－23＝524×12n-1，解得an＝524×12n-1＋23＝524·2n-1+23，且a1＝78适合上式，所以an＝524·2n-1+23.
数列与函数
考向1 数列的单调性、项的最值
【例6】(1)(2024·威海调研)已知数列{an}的通项公式为an＝3n－23n+1(n∈N*)，则下列说法正确的是( )
A．这个数列的第10项为2731
B．98101是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间14，1内
D．数列{an}是递减数列
C 解析：令n＝10，得a10＝2831，故选项A不正确；
令3n－23n+1＝98101，得9n＝300，此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项，故选项B不正确；
因为an＝3n－23n+1＝3n+1－33n+1＝1－33n+1(n∈N*)，所以数列{an}是递增数列，
所以14≤ana1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)，
所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)由题意知an＝1＋1a+2n－1＝1+12n－2－a2.
因为对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f (x)＝1＋12x－2－a2的单调性，得5