高考数学一轮复习第三章第二节第1课时导数与函数的单调性学案

这是一份高考数学一轮复习第三章第二节第1课时导数与函数的单调性学案，共16页。
3．会用导数求函数的极大值、极小值．
4．会求闭区间上函数的最大值、最小值．
第1课时 导数与函数的单调性
自查自测
知识点 函数的单调性与导数
1．(教材改编题)函数f (x)＝cs x－x在(0，π)上的单调性是( D )
A．先增后减B．先减后增
C．单调递增D．单调递减
2.已知导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是( )
D 解析：由题图可知，当x＜0时，f ′(x)＜0，当x＞0时，f ′(x)＞0，所以函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．故选D．
3．函数f (x)＝2x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(－2，2)B．(0，2)
C．－12，12D．0，12
D 解析：函数f (x)的定义域是(0，＋∞)，f ′(x)＝4x－1x＝4x2－1x.令f ′(x)＜0，解得0＜x＜12，故f (x)的单调递减区间为0，12.故选D．
4．已知f (x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值是________.
3 解析：f ′(x)＝3x2－a，令3x2－a≥0，得a≤3x2.因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.
核心回扣
1．函数的单调性与导数的关系
设函数f (x)在(a，b)内可导，f ′(x)是f (x)的导函数，则
2．(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．
(3)函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(或递减)，可得f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f ′(x)>0(或f ′(x)0(或f ′(x)0；命题乙：函数f (x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A 解析：由题易知，甲可推出乙，但乙不能推出甲．例如，函数f (x)＝x3在(－1，1)内是单调递增的，但f ′(x)＝3x2≥0(－10，则当x∈(－∞，0)∪(a3，+∞)时，f ′(x)>0；当x∈0，a3时，f ′(x)0时，f ′(x)＝x+ax－ax，
①当x∈(0，a)时，f ′(x)0，f (x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，函数f (x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．
解决含参函数的单调性问题的注意点
(1)研究含参函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
1．(2024·大连模拟)已知函数f (x)＝ex－12 x2，讨论函数f (x)的单调性．
解：依题意，函数f (x)＝ex－12x2的定义域为R，f ′(x)＝ex－x.
令m(x)＝ex－x，则m′(x)＝ex－1.
令m′(x)＝0，解得x＝0.
当x0，故m(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以m(x)≥m(0)＝1＞0，即f ′(x)>0.
故函数f (x)在R上单调递增．
2．已知函数f (x)＝ax2－ln x－x(a≠0)，讨论函数f (x)的单调性．
解：函数f (x)＝ax2－ln x－x(a≠0)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2ax－1x－1＝2ax2－x－1x.
设g(x)＝2ax2－x－1.
当a0，于是f ′(x)>0，即函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增，又由对称性可知，f (x)在(－∞，1)上单调递减，所以不等式f (2x＋1)f －π3D．f －π3>f π5>f (1)
A 解析：因为f (x)＝x sin x，x∈R，且f (－x)＝(－x)·sin (－x)＝x sin x＝f (x)，所以函数f (x)是偶函数，所以f －π3＝f π3.当x∈0，π2时，f ′(x)＝sin x＋x cs x>0，所以函数f (x)在0，π2上单调递增，所以f π5f π5.
(2)已知a＝ln 33，b＝e-1，c＝3ln28，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>c>aB．a>c>b
C．a>b>cD．b>a>c
D 解析：依题意，得a＝ln 33＝ln 33，b＝e-1＝ln ee，c＝3ln 28＝ln 88.令f (x)＝ln xx(x＞0)，则f ′(x)＝1－ln xx2，易知函数f (x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以f (x)max＝f (e)＝1e＝b，且f (3)＞f (8)，即a＞c，所以b＞a＞c.
利用导数比较大小的方法
(1)若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，根据单调性比较大小．
(2)若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小．
考向3 利用函数的单调性求参数的取值范围
【例4】(2024·烟台模拟)已知函数f (x)＝ln x，g(x)＝12ax2＋2x，a≠0.
(1)若函数h(x)＝f (x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f (x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
解：(1)因为h(x)＝ln x－12ax2－2x(x＞0)，所以h′(x)＝1x－ax－2.
因为h(x)存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，1x－ax－21x2－2x有解．
设H(x)＝1x2－2x，所以只要a>H(x)min即可，而H(x)＝1x－12－1，1x∈(0，＋∞)，
所以H(x)min ＝－1，此时x＝1，所以a>－1.
又a≠0，所以－1c>bB．a>b>c
C．b>a>cD．c>b>a
A 解析：因为f (x)的定义域为R，f ′(x)＝cs x－sin x－2＝2cs x+π4－21，0b.
2．已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，且f ′(x)x的解集为( )
A．(－∞，1)B．(0，1)
C．(1，＋∞)D．(e，＋∞)
A 解析：由题意知函数f (x)的定义域为R，f ′(x)0＝F(1)，所以xx的解集为(－∞，1)．
3．(2024·菏泽模拟)已知函数g(x)＝－13x3＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递减，设实数a的取值范围为M.
(1)求M；
(2)若函数y＝lg 2－mx在区间M上单调递增，求实数m的取值范围．
解：(1)因为g(x)＝－13x3＋x2－ax，所以g′(x)＝－x2＋2x－a.
因为函数g(x)＝－13x3＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递减，
所以g′(x)＝－x2＋2x－a≤0对任意x∈(0，＋∞)成立，
所以a≥－x2＋2x＝－(x－1)2＋1对任意x∈(0，＋∞)成立．
又－(x－1)2＋1≤1，所以a≥1.
所以实数a的取值范围为M＝[1，＋∞)．
(2)因为函数y＝lg 2－mx在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以函数y＝2－mx在[1，＋∞)上单调递增， 且当x≥1时，2－mx>0恒成立．
由函数的性质可得m>0，2－m>0，解得0