高考数学一轮复习第四章第五节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用学案

这是一份高考数学一轮复习第四章第五节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用学案，共19页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
2．能借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
3．会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
自查自测
知识点一 简谐运动的有关概念
函数y＝2sin 2x+π4的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，1π，π4B．2，12π，π4
C．2，1π，π8D．2，12π，－π8
A 解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin 2x+π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4.
核心回扣
已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
自查自测
知识点二 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的方法
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)函数f (x)＝sin 2x的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)＝sin 2x－π6的图象．( × )
(2)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得函数解析式为y＝sin 12x.( × )
(3)把y＝cs x的图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍，所得函数解析式为y＝2cs x．( √ )
2．(教材改编题)将函数y＝3sin 2x+π4的图象向左平移π3个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝____________.
3sin 2x+11π12 解析：g(x)＝f x+π3＝3sin 2x+π3+π4＝3sin 2x+11π12.
核心回扣
1．两种方法
2．两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是φω个单位长度．
注意点：
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
【常用结论】
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定．
3．用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表：
应用1 用“五点法”画函数y＝sin 2x+π4的图象时，下列不是关键点的是( )
A．－π8，0B．π8，1
C．3π8，0D．0，22
D 解析：“五点法”作图的五个点是一个周期内的5个特殊位置，即最值点和函数与x轴的交点，因此0，22不满足题意．
应用2 把函数y＝sin x的图象先向左平移π4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的函数图象对应的解析式为__________________.
y＝sin x+π4＋3 解析：把函数y＝sin x的图象先向左平移π4个单位长度得到函数y＝sin x+π4的图象，再向上平移3个单位长度得到的函数图象对应的解析式为y＝sin x+π4＋3.
应用3 函数f (x)＝sin 2x+π3的图象的对称轴为________.
x＝kπ2+π12(k∈Z) 解析：由2x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2+π12(k∈Z)．
由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
1．(2024·日照模拟)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋bA>0，ω>0，φ0)的解析式的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M+m2.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝2πT.
(3)求φ.把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间内还是在下降区间内)或把图象的最高点(最低点)代入．
函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象变换
【例1】(1)(2024·成都模拟)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sin x－π4的图象，则f (x)等于( )
A．sin x2－7π12B．sin x2+π12
C．sin 2x－7π12D．sin 2x+π12
B 解析：由已知的函数y＝sin x－π4进行逆向变换，即将y＝sin x－π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f (x)的图象，所以y＝sin x－π4的图象向左平移 π3个单位长度 y＝sin x+π12的图象纵坐标不变 横坐标伸长到原来的2倍 y＝f (x)＝sin x2+π12的图象．
(2)(2023·全国甲卷)已知f (x)为函数y＝cs 2x+π6的图象向左平移π6个单位长度所得函数图象对应的解析式，则函数y＝f (x)的图象与直线y＝12x－12的交点个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
C 解析：因为y＝cs 2x+π6的图象向左平移π6个单位长度所得函数图象对应的解析式为y＝cs 2x+π6+π6＝cs 2x+π2＝－sin 2x，所以f (x)＝－sin 2x.
而直线y＝12x－12显然过0，－12与(1，0)两点．
作出函数f (x)与直线y＝12x－12的部分图象大致如下：
当x＝－3π4时，f －3π4＝－sin －3π2＝－1，y＝12×－3π4－12＝－3π+480，φ>0)的图象的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
1．已知函数f (x)＝sin 2x+π6，若将f (x)的图象向右平移π6个单位长度后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则( )
A．g(x)＝sin 4x－π6B．g(x)＝sin 4x
C．g(x)＝sin xD．g(x)＝sin x－π6
D 解析：将函数f (x)＝sin 2x+π6的图象向右平移π6个单位长度，可得函数y＝sin 2x－π6+π6＝sin 2x－π6的图象；再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)＝sin x－π6的图象．
2．(2024·南昌模拟)要得到y＝cs 3x－π4的图象，只需将y＝sin 3x的图象( )
A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π12个单位长度
C．向左平移π12个单位长度D．向左平移5π12个单位长度
C 解析：因为y＝cs 3x－π4＝sin 3x－π4+π2＝sin 3x+π4＝sin 3x+π12，所以要得到y＝cs 3x－π4的图象，只需将y＝sin 3x的图象向左平移π12个单位长度．
3．把函数f (x)＝2cs 2x－π4的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)＝2sin 2x－π3的图象，则m的最小值是( )
A．7π24B．17π24
C．5π24D．19π24
B 解析：把函数f (x)＝2cs 2x－π4的图象向左平移m(m>0)个单位长度，
得到函数y＝2cs 2x+m－π4＝2cs 2x+2m－π4的图象．
g(x)＝2sin 2x－π3＝2cs π2－2x－π3＝2cs 5π6－2x＝2cs 2x－5π6，
令2m－π4＝－5π6＋2kπ，k∈Z，得m＝－7π24＋kπ，k∈Z.
因为m>0，所以当k＝1时，m取得最小值，此时m＝π－7π24＝17π24.
三角函数模型及其应用
【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(单位：米)是时间t(单位：时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f (t)，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f (t)的图象可近似地看成函数y＝A cs ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
解：(1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝π6.又t＝0时，y＝1.5，所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅A＝12，所以函数解析式为y＝12cs π6t＋1(0≤t≤24)．
(2)因为当y＞1时，才对冲浪爱好者开放，所以y＝12cs π6t＋1＞1，cs π6t＞0，则2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2(k∈Z)，即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在8：00到20：00之间只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9＜t＜15.
[变式] 若将本例(2)中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？
解：由y＝12cs π6t＋1＞1.25，得cs π6t＞12，则2kπ－π3＜π6t＜2kπ＋π3，k∈Z，
即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z.
又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24，
所以在8：00到20：00之间只有4个小时可供冲浪爱好者进行活动，即10＜t＜14.
利用三角函数模型解决实际问题的步骤
(1)寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；
(2)寻找数据，建立函数解析式并解题；(3)将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答．
解题思路如下：
如图所示，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t s后与地面的距离为h m.
(1)求函数h＝f (t)的关系式；
(2)当1≤t≤8时，求h的取值范围．
解：(1)如图所示，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立平面直角坐标系．过点A作y轴的垂线段，垂足为B，连接O1A.
设点A的坐标为(x，y)，则h＝y＋0.5.
设∠OO1A＝θ，则cs θ＝2－y2，所以y＝－2cs θ＋2.
又θ＝2π12t，即θ＝π6t，所以y＝－2cs π6t＋2，故h＝f (t)＝－2cs π6t＋2.5.
(2)当1≤t≤8时，则π6≤π6t≤4π3，所以－1≤cs π6t≤32，所以2.5－3≤h≤4.5，
即当1≤t≤8时，h的取值范围是[2.5－3，4.5].
三角函数图象与性质的综合问题
【例3】(1)(多选题)(2024·济南模拟)若将函数f (x)＝cs 2x+π12的图象向左平移π8个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．g(x)的最小正周期为π
B．g(x)在区间0，π2上单调递减
C．x＝－π6是函数g(x)的图象的一条对称轴
D．g(x)的图象关于点－5π12，0对称
ACD 解析：将函数f (x)＝cs 2x+π12的图象向左平移π8个单位长度，得到函数g(x)＝cs 2x+π8+π12＝cs 2x+π3的图象．
对于A，g(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，故A正确；
对于B，由0≤x≤π2，得π3≤2x＋π3≤4π3，当π≤2x＋π3≤4π3，即π3≤x≤π2时，g(x)单调递增，故B不正确；
对于C，g－π6＝cs 2×－π6+π3＝cs 0＝1，所以x＝－π6是函数g(x)的图象的一条对称轴，故C正确；
对于D，g－5π12＝cs 2×－5π12+π3＝cs－π2＝cs π2＝0，所以g(x)的图象关于点－5π12，0对称，D正确．
(2)已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在π2，π上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________.
(－2，－1) 解析：方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋3sin2x＝cs 2x＋3sin 2x＝2sin 2x+π6.
设2x＋π6＝t，x∈π2，π，则t∈7π6，13π6，
题目条件可转化为m2＝sin t，t∈7π6，13π6有两个不同的实数根，
所以y＝m2和y＝sin t，t∈7π6，13π6的图象有两个不同的交点，如图所示．
由图象观察知，m2的取值范围为－1，－12，故m的取值范围是(－2，－1)．
1．研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
2．方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(多选题)(2024·邯郸模拟)已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2＝的图象过点(0，1)，最小正周期为π2，则( )
A．函数f (x)在π6，5π6上单调递减
B．函数f (x)的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数
C．函数f (x)在(0，π)上有且仅有4个零点
D．函数f (x)在区间π4，5π12上有最小值无最大值
BCD 解析：依题意，f (0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝12，而|φ|＜π2，则φ＝π6.又最小正周期为π2，得ω＝4，则f (x)＝2sin 4x+π6.
对于A，由x∈π6，5π6，得4x＋π6∈5π6，7π2，则f (x)在π6，5π6上不单调，故A不正确；
对于B，f (x)的图象向右平移π6个单位长度后得函数f (x)＝2sin 4x－π6+JP2π6＝2sin 4x－π2＝－2cs 4x的图象，是偶函数，故B正确；
对于C，当0＜x＜π时，π6＜4x＋π6＜4π＋π6，则当4x＋π6＝π，2π，3π，4π时，有x＝5π24，11π24，17π24，23π24，可得f (x)在(0，π)上有且仅有4个零点，故C正确；
对于D，当π4＜x＜5π12时，7π6＜4x＋π6＜11π6，当4x＋π6＝3π2时，f (x)取得最小值－2，无最大值，故D正确．
课时质量评价(二十五)
1．为了得到函数y＝3sin 12x+π5的图象，只需把y＝3cs x2图象上的所有点( )
A．向右平移3π5个单位长度
B．向右平移2π5个单位长度
C．向左平移2π5个单位长度
D．向左平移3π5个单位长度
A 解析：为了得到函数y＝3sin 12x+π5＝3cs 12x+π5－π2＝3cs 12x－3π10＝3cs 12x－3π5的图象，只需把y＝3cs x2图象上的所有点向右平移3π5个单位长度即可．
2．(2024·烟台模拟)函数f (x)＝sin 2x－π3的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ0