高考数学一轮复习第五章第一节平面向量的概念与线性运算学案

这是一份高考数学一轮复习第五章第一节平面向量的概念与线性运算学案，共18页。
2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
自查自测
知识点一 向量的有关概念
判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关．( √ )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )
(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × )
(4)任意向量与零向量都共线．( √ )
核心回扣
1．向量：既有大小又有方向，向量的大小称为向量的长度(或模)．
2．零向量：长度为0的向量，记作0．
3．单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
自查自测
知识点二 平面向量的线性运算
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( × )
(2)任意两个向量的差向量不可能与这两个向量共线．( × )
(3)|a|＋|b|＞|a＋b|.( × )
(4)若λa＝0，则a＝0.( × )
2．(教材改编题)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝______．(用a，b表示)
b－a －a－b 解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.
3．(教材改编题)点C在线段AB上，且ACCB＝52，则AC＝52AB，BC＝27AB.
核心回扣
1．线性运算法则
2．运算律
a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb．
自查自测
知识点三 平面向量共线定理
已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．
－13 解析：由题意知，存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ＝－k，1＝3k，解得k＝13，λ＝－13.
核心回扣
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【常用结论】
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝12OA+OB.
(2)若G是△ABC的重心，D是BC边的中点，则
①GA+GB+GC＝0；
②AG＝13AB+AC；
③GD＝12GB+GC＝16AB+AC.
(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则AB+DC＝2EF.
(4)OA＝λOB+μOC(λ，μ为实数)，点A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(5)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)．
应用1 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA+OB+OC+OD等于( )
A．OMB．2OM
C．3OMD．4OM
D 解析：如图．
在△OAC中，M为AC的中点，所以OA+OC＝2OM；
在△OBD中，M为BD的中点，所以OB+OD＝2OM.
所以OA+OB+OC+OD＝4OM.
应用2 在△ABC中，点D满足BD＝2DC，E为AD上一点，且BE＝mBA+nBC，m＋λn＝1，则λ＝________．
32 解析：因为BD＝2DC，所以BC＝32BD，则BE＝mBA+nBC＝mBA+32nBD.
因为A，E，D三点共线，所以m＋32n＝1，所以λ＝32.
平面向量的有关概念
1．(多选题)下列说法中正确的是( )
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关
D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|
CD 解析：对于A，当单位向量方向不同时并不相等，A错误；
对于B，0的相反向量为0，B错误；
对于C，|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关，C正确；
对于D，相反向量是长度相等，方向相反的向量，D正确．
2．(2024·福州模拟)如图，在正三角形ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和FC相等的是( )
A．EFB．FB
C．DFD．ED
D 解析：因为EF，FB，DF与FC方向不同，所以EF，FB，DF与FC均不相等．
因为ED与FC方向相同，长度相等，所以ED＝FC.
3．设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，使aa＝bb成立的充分条件是( )
A．a＝－bB．a∥b
C．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|
C 解析：因为向量aa的方向与向量a相同，向量bb的方向与向量b相同，且aa＝bb，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D．
当a＝2b时，aa＝2b2b＝bb，故“a＝2b”是“aa＝bb”成立的充分条件．
向量有关概念的注意点
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．
(4)非零向量a与aa的关系：aa是与a同方向的单位向量．
平面向量的线性运算
【例1】(1)(2024·济宁模拟)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设BA＝a，BC＝b，则BE＝( )
A．12a+14bB．13a+56b
C．23a+23bD．12a+34b
D 解析：(方法一)如图所示，取BC的中点F，连接AF.
因为BC＝2AD，所以AD＝CF.又AD∥CF，所以四边形ADCF为平行四边形，则AF∥CD，所以CD＝FA.因为DE＝EC，所以CE＝12CD ＝12FA，
所以BE＝BC+CE＝BC+12FA＝BC+12BA－BF
＝BC+12BA－12BC ＝12BA +34BC＝12a+34b．
(方法二)如图，连接BD.
因为DE＝EC，所以BE＝12BD+BC＝12BA+AD+BC＝12BA+12BC+BC＝12BA+34BC ＝12a +34b．
(2)如图所示，在△ABC中，点D是线段AC上靠近点A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE＝( )
A．－13BA－16BCB．－16BA－13BC
C．－56BA－13BCD．－56AB+12BC
B 解析：DE＝DA+AE＝－13AC－12BA＝－13BC +13BA－12BA＝－16BA－13BC.
平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量以及三角形的中位线、平行四边形的性质等，把未知向量用已知向量表示出来求解．
1．如图，向量a－b等于( )
A．－e1＋3e2 B．－4e1－2e2
C．e1－3e2 D．－2e1－4e2
A 解析：a－b等于向量b的终点指向向量a的终点的向量，如图所示．
分解后易知a－b＝－e1＋3e2.
2．(2022·新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝( )
A．3m－2nB．－2m＋3n
C．3m＋2nD．2m＋3n
B 解析：如图．
因为CD＝CA+AD＝CA+12DB＝CA+12CB－CD＝CA+12CB－12CD，
所以12CB＝32CD－CA，即CB＝3CD－2CA＝3n－2m.
平面向量线性运算的综合应用
考向1 根据平面向量的线性运算求参数问题
【例2】(2024·大连模拟)在△ABC中，AD＝2DB，AE＝2EC，P为线段DE上的动点，若AP＝λAB+μAC，λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1B．23
C．32D．2
B 解析：如图所示．
由题意知，AE＝23AC，AD＝23AB.
设DP＝xDE，
所以AP＝AD+DP＝AD+xDE＝AD＋xAE－AD＝xAE＋(1－x)AD＝23xAC+23(1－x)AB，
所以μ＝23x，λ＝23(1－x)，所以λ＋μ＝23(1－x)＋23x＝23.
利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的先准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
考向2 共线向量定理
【例3】(1)已知O为△ABC内一点，且2AO＝OB+OC，AD＝tAC.若B，O，D三点共线，则t的值为________．
13 解析：设线段BC的中点为M，则OB+OC＝2OM.
因为2AO＝OB+OC，所以AO＝OM，
则AO＝12AM＝14AB+AC＝14AB+1tAD＝14AB+14tAD.
由B，O，D三点共线，得14+14t＝1，解得t＝13.
(2)设两个非零向量a与b不共线．
①若AB＝a+b，BC＝2a+8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
②试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
①证明：因为AB＝a+b，BC＝2a+8b，CD＝3(a－b)，
所以BD＝BC+CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，所以AB与BD共线．
又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．
②解：若ka＋b和a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
所以k＝λ，1＝kλ，解得k＝±1.
[变式] 若将(2)中①的条件改为“AB＝(m－1)a＋b，BD＝2na－b(m>0，n>0)”，若A，B，D三点共线，求2m+1n的最小值．
解：因为AB＝(m－1)a＋b，BD＝2na－b(m>0，n>0)，A，B，D三点共线，
所以存在实数λ，使得(m－1)a＋b＝λ(2na－b)，所以m－1＝2nλ，1＝－λ，所以m＋2n＝1，
所以2m+1n＝2m+1n(m＋2n)＝4nm+mn+4≥24＋4＝8，
当且仅当4nm＝mn，即m＝12，n＝14时，等号成立，所以2m+1n的最小值为8.
利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB，AC共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)OA＝λOB+μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
1．已知a，b是两个不共线的向量，MN＝a－2b，PN＝2a+kb，PQ＝3a－b.若M，N，Q三点共线，则k等于( )
A．－1B．1
C．32D．2
B 解析：由题意知，NQ＝PQ－PN＝a－(k＋1)b.
因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，使得MN＝λNQ，
即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b.
因为向量a，b不共线，所以1－λ＝0，2－λk+1＝0，解得λ＝1，k＝1.
2．如图，在△ABC中，AN＝12AC，P是BN的中点．若AP＝mAB+14AC，则实数m的值是________．
12 解析：因为AN＝12AC，所以AP＝mAB+14AC ＝mAB+12AN.
因为P是BN的中点，所以点B，P，N三点共线，所以m＋12＝1，解得m＝12.
3．设a，b是不共线的两个非零向量．
(1)若OA＝2a－b，OB＝3a+b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
(1)证明：因为AB＝OB－OA＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
BC＝OC－OB＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB，
所以AB与BC共线，且有公共点B，所以A，B，C三点共线．
(2)解：因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
所以(8－λk)a＝(2λ－k)b.
因为a与b不共线，所以8－λk＝0，2λ－k＝0，整理得8＝2λ2，解得λ＝±2.
所以k＝2λ＝±4，即实数k的值为4或－4.
课时质量评价(二十八)
1．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ等于( )
A．2 B．－2
C．－12 D．12
C 解析：因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以存在实数k(k≠0)，使得ka＝b，
所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.
因为向量e1，e2是两个不共线的向量，
所以2k＝1，－k＝λ，解得λ＝－12.
2．(多选题)(2024·济宁模拟)已知A，B，C是三个不同的点，OA＝a－b，OB＝2a－3b，OC＝3a－5b，则下列结论正确的是( )
A．AC＝2ABB．AB＝BC
C．AC＝3BCD．A，B，C三点共线
ABD 解析：由题可得AB＝OB－OA＝a－2b，AC＝OC－OA＝2a－4b，BC＝OC－OB＝a－2b，所以AC＝2AB，故A正确；
AB＝BC，故B正确；
AC＝2BC，故C错误；
由AC＝2AB可得AC∥AB.又A为公共点，所以A，B，C三点共线，故D正确．
3．若向量OA＝3OB－2OC(O，A，B，C互不重合)，则ACBC＝( )
A．2B．23
C．32D．3
D 解析：由已知可得OA－OB＝2OB－OC，即BA＝2CB.
因为CA＝CB+BA，所以CA＝3CB，则ACBC＝3.
4．已知平面内一点P及△ABC，若PA+PB+PC＝AB，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC外部
C 解析：由PA+PB+PC＝AB，得PA+PB+PC＝PB－PA，即PC＝－2PA，故点P在线段AC上．
5．(2024·山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设xAB＝AM，yAC＝AN，则1x+1y的值为( )
A．3B．4
C．5D．6
A 解析：延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点．
因为G为△ABC的重心，
所以AG＝23AH＝23×12AB+AC＝13AB+AC＝131xAM+1yAN ＝13xAM+13yAN.
因为M，G，N三点共线，所以13x+13y＝1，即1x+1y＝3.
6．已知A，B，C三点共线，且AC＝3BC，若AB＝λCB，则λ＝________．
－2 解析：已知点A，B，C三点共线，且AC＝3BC，所以BC－BA＝3BC，
即－BA＝2BC，故AB＝－2CB，所以λ＝－2.
7．设向量a，b不平行，向量ta＋b与a＋3b平行，则实数t的值为________．
13 解析：因为向量ta＋b与a＋3b平行，所以存在实数k使得ta＋b＝k(a＋3b)．
因为向量a，b不平行，
所以t＝k，1＝3k，解得t＝k＝13.
8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM＝35AB+25AC，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
2∶5 解析： 因为AM＝35AB+25AC，所以AM－AB＝25AC－AB，即BM＝25BC.
所以点M在边BC上，且BM＝25BC.
故S△ABMS△ABC＝BMBC＝25，
所以△ABM与△ABC的面积之比为2∶5.
9．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA +nOB(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)若m＋n＝1，
则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋mOA－OB，
所以OP－OB＝mOA－OB，
即BP＝mBA，所以BP与BA共线．
又因为BP与BA有公共点B，
则A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得BP＝λBA，
所以OP－OB＝λOA－OB，
所以OP＝λOA＋(1－λ)OB①.
又OP＝mOA+nOB②，
所以由①②得λOA＋(1－λ)OB＝mOA+nOB.
因为OA，OB不共线，所以λ＝m， 1－λ＝n，所以m＋n＝1.
10．(多选题)(2024·石家庄模拟)下列说法，正确的为( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，若2OA+OB+3OC＝0，则S△AOC∶S△ABC＝1∶6
C．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向
D．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb
BC 解析：对于A，若a∥b，b∥c，则a∥c不成立，比如b＝0，a，c可以不共线，故错误；
对于B，若2OA+OB+3OC＝0，延长OA到A′，使得OA′＝2OA，延长OC到C′，使得OC′＝3OC，可得O为△BA′C′的重心．
设△AOC，△BOA，△BOC的面积分别为x，y，z，
则△A′OB的面积为2y，△C′OB的面积为3z，△A′OC′的面积为6x.
由三角形的重心的性质可得2y＝3z＝6x.
则S△AOC∶S△ABC＝x∶(x＋y＋z)＝1∶6，正确；
对于C，两个非零向量a，b，若|a－b|＝a+b，则a－b2＝(|a|＋|b|)2，|a|2＋|b|2－2|a|·|b|cs 〈a，b〉＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|，整理得cs 〈a，b〉＝－1，
所以a与b共线且反向，正确；
对于D，若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb，不正确，比如a≠0，b＝0，不存在实数λ.
11．(数学与生活)图1是世界最高桥——贵州北盘江大桥，图2是根据图1作的简易侧视图(为便于计算，侧视图与实物有区别)．在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上．已知AB＝8 m，BO＝16 m，PO＝12 m，PB⊥PC.根据物理学知识得12PA+PB＋12PC+PD＝2PO，则CD＝( )

A．28 mB．20 m
C．31 mD．22 m
D 解析：因为PB⊥PC，又PO⊥BC，所以PO2＝BO·OC.
因为BO＝16 m，PO＝12 m，所以OC＝9 m.
设线段AB的中点为M，线段CD的中点为N.
因为12PA+PB＋12PC+PD＝2PO，所以PM+PN＝2PO，所以O为线段MN的中点．
因为AB＝8 m，所以MO＝20 m，即ON＝20 m，所以CD＝22 m．
12．(多选题)(数学与文化)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设在△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列结论正确的有( )
A．GH＝2OG
B．GA+GB+GC＝0
C．设BC边的中点为D，则有AH＝3OD
D．OA＝OB＝OC
AB 解析： 由题意作图，如图所示．
对于A，根据欧拉线定理知，O，G，H三点共线，且GH＝2OG，所以GH＝2OG，故A正确．
对于B，取BC的中点D，由题意得GB+GC＝2GD ＝－GA，所以GA+GB+GC＝0，故B正确．
对于C，由题意知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，
所以△AGH∽△DGO，所以AH＝2OD.
因为OD⊥BC，AH⊥BC，所以AH∥OD.
所以AH＝2OD，故C错误．
对于D，向量OA，OB，OC的模相等，方向不同，故D错误．
13．(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若BM＝13BC，则AM＝13AC+23AB
B．若AM＝2AC－3AB，则点M，B，C三点共线
C．若点M是△ABC的重心，则MA+MB+MC＝0
D．若AM＝xAB+yAC且x＋y＝13，则△MBC的面积是△ABC面积的23
ACD 解析：对于A，AM＝AB+BM＝AB+13BC＝AB+13AC－AB＝13AC+23AB，A正确；
对于B，假设点M，B，C三点共线，则MB＝λBC，即AB－AM＝λAC－AB，整理得AM＝－λAC＋(1＋λ)·AB，当λ＝－2时，AM＝2AC－AB，与条件中的AM＝2AC －3AB不一致，所以点M，B，C三点不共线，B错误；
对于C，如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，则点M在AH上，且MA＝2MH，所以－2MH＝MA.又MB+MC＝2MH，所以MA+MB+MC＝0，C正确；
对于D，由于AM＝xAB+yAC，而x＋y＝13，所以3AM＝3xAB+3yAC，其中3x＋3y＝1.不妨设AQ＝3AM，则点Q在直线BC上．由于△MBC与△ABC同底，而高之比等于MQ与AQ的比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的23，D正确．
14．如图，在▱ABCD中，BM＝23BC，AN＝14AB ，AB＝a，AD＝b.
(1)试用向量a，b来表示DN，AM；
(2)AM交DN于点O，若AO＝λOM，求λ的值．
解：(1)因为DN＝AN－AD，AN＝14AB，
所以DN＝14AB－AD＝14a－b.
因为AM＝AB+BM，BM＝23BC，
所以AM＝AB+23BC＝a+23b．
(2)因为D，O，N三点共线，
所以存在实数k，使得DO＝kDN＝14ka－kb，所以AO＝AD+DO＝b+14ka－kb＝14ka＋(1－k)b①.
因为A，O，M三点共线，所以存在实数m，使得AO＝mAM＝ma+23mb②.
由①②得14k＝m，1－k＝23m，解得m＝314.
所以AO＝314AM，AO＝311OM，即λ＝311.
15．经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m＞0，n＞0，求m＋n的最小值．
解：设OA＝a，OB＝b.
由题意知OG＝23×12OA+OB＝13(a＋b)，
PQ＝OQ－OP＝nb－ma，
PG＝OG－OP＝13－ma+13b．
由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，
使得PQ＝λPG，即nb－ma＝λ13－ma+13λb，
则有－m＝λ13－m，n＝13λ， 消去λ得1n+1m＝3.
于是m＋n＝131m+1n(m＋n)＝132+nm+mn≥13×(2＋2)＝43.
当且仅当m＝n＝23时，m＋n取得最小值为43.类型
法则
加法
减法
数乘
大小：|λa|＝|λ||a|；
方向：λ>(