2023-2024学年北京市丰台区某中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

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这是一份2023-2024学年北京市丰台区某中学高一（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−11}，则A∪B=( )
A. x|−1 −1D. x|x>1
2.计算：sin20°sin80°+cs20°sin170°=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
3.若a=lg32,b=lg0.53,c=20.8，则a，b，c的大小关系为( )
A. b4.已知x∈R，则“x>0”是“x>1”的( )
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x3−3x2，则f(−1)=( )
A. −2B. 2C. −4D. 4
6.设f(x)=ex−x−2，则函数f(x)的零点所在区间是( )
A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)
7.已知a>0，b>0，a+b=1，则ba+4b的最小值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 9
8.某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质 3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知 3H的质量M(kg)随时间t(年)的指数衰减规律是：M=M0⋅2−0.008t(其中M0为 3H的初始质量).则当 3H的质量衰减为最初的316时，所经过的时间约为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)( )
A. 300年B. 255年C. 175年D. 125年
9.已知角α终边上一点的坐标为(−2,3)，则sin(α+π2)=( )
A. −213 13B. 213 13C. −313 13D. 313 13
10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，若∀x1、x2∈[0,+∞)且x1≠x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2>2(x1+x2)恒成立，且f(2)=8，则满足f(m2+m)≤2(m2+m)2的实数m的取值范围为( )
A. [−2,1]B. [0,1]C. [0,2]D. [−2,2]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.命题“对任意x∈R，都有x3≥0”的否定为______．
12.函数f(x)=1 3−x+ln(x−1)的定义域为______．
13.已知幂函数y=f(x)的图像经过点(8,2)，则f(−27)= ______．
14.已知函数f(x)= 3sin(ωx+π3)+m(ω>0)，且该函数图像的对称轴与对称中心的最小距离为π6，则可得ω= ______；若当x∈[0,π6]时，f(x)的最大值为− 3，则该函数的解析式为______．
15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确序号有______．
①f(x+π6)为奇函数；
②函数f(x)的图象关于点(−π12,0)对称；
③f(x)在[π12,π4]上单调递增；
④若函数y=f(λx)(λ>0)在[0,π]上没有零点，则λ∈(0,512)．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
设集合A={x|−1(1)当a=4时，求A∩B，A∪B．
(2)若B⊆A，求a的取值范围．
17.(本小题12分)
已知不等式ax2+(a−b)x+1−a<0的解集为{x|−12(1)求实数a，b的值；
(2)若m>0，n>0，且am+bn=1，求2n+1m的最小值．
18.(本小题12分)
如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且∠AOB=π2，记∠MOA=α，∠MOB=β．
(1)若α=π3，求点A的坐标；
(2)若点A的坐标为(45,m)，求sinα−sinβ的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x．
(1)求出当x>0时，f(x)的解析式；
(2)如图，请补出函数f(x)的完整图象，根据图象直接写出函数f(x)的单调递减区间；
(3)结合函数图象，求当x∈[−3,1]时，函数f(x)的值域．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(2x+π6)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间和最小正周期．
(2)若当x∈[0,π2]时，关于x的不等式f(x)≥m_____，求实数m的取值范围.请选择①和②中的一个条件，补全问题(2)，并求解.其中，①有解；②恒成立．
注：若选择两个条件解答，则按照第一个解答计分．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且对任意的正实数x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)>0，f(4)=1，
(1)求证：f(1)=0；
(2)求f(116)；
(3)解不等式f(x)+f(x−3)≤1．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.B
5.B
6.C
7.C
8.A
9.A
10.A
11.∃x∈R，x3<0
12.(1,3)
13.−3
14.3 y= 3sin(3x+π3)−2 3
15.②④
16.解：(1)当a=4时，B={x|5≤x≤11}，A∩B={x|−1A∪B={x|−1(2)因为B⊆A，
当B=⌀时，a+1>3a−1，解得a<1，
当B≠⌀时，a+1≤3a−1a+1>−13a−1<6，解得1≤a<73，
综上，a的取值范围是{a|a<73}.
17.解：(1)因为ax2+(a−b)x+1−a<0的解集为{x|−12所以x1=−12和x2=1为方程ax2+(a−b)x+1−a=0的两个实根，二次项系数a不为0，
根据韦达定理，则有x1+x2=−a−ba=12x1x2=1−aa=−12，解得a=2b=3．
当a=2，b=3时，ax2+(a−b)x+1−a=2x2−x−1<0的解集为{x|−12综上，a=2，b=3．
(2)由(1)可知，am+bn=2m+3n=1，
因为m>0，n>0，
所以2n+1m=(2n+1m)(2m+3n)=4mn+3nm+8≥2 4mn⋅3nm+8=4 3+8，
当且仅当4mn=3nm，即m= 3−14,n=3− 36时取等号，
所以2n+1m的最小值为4 3+8．
18.解：(1)若α=π3，
则csα=x=12，sinα=y= 32，
所以点A(12, 32)，
(2)若点A的坐标为(45,m)，
因为(45)2+m2=1，点A在第一象限，
所以m=35，
即A(45,35)，
则sinα=35，
因为∠AOB=π2，
所以β=π2+α，
所以csα=sinβ=45，
所以sinα−sinβ=−15．
19.解：(1)依题意，设x>0，则−x<0，
于是f(−x)=(−x)2−2x=x2−2x，
因为f(x)为R上的奇函数，因此f(x)=−f(−x)=−x2+2x，
所以当x>0时，f(x)的解析式f(x)=−x2+2x．
(2)由已知及(1)得函数f(x)的图象如下：

观察图象，得函数f(x)的单调递减区间为：(−∞,−1]，[1,+∞)．
(3)当x∈[−3,1]时，由(1)，(2)知，函数f(x)在[−3,−1]上单调递减，在[−1,1]上单调递增，
当x=−1时，f(x)有最小值f(−1)=(−1)2+2×(−1)=−1，
当x=−3时，f(x)有最大值f(−3)=(−3)2+2×(−3)=3，
而当x=1时，有f(1)=1，
所以，当x∈[−3,1]时，函数f(x)的值域为[−1,3]．
20.解：(1)因为f(x)=2sin(2x+π6)，所以函数f(x)的最小正周期T=π．
因为函数y=sinx的单调递增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z，
所以−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z．
(2)若选择①：由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max．
因为x∈[0,π2]，所以π6≤2x+π6≤7π6，故当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)取得最大值，且最大值为f(π6)=2，所以m≤2，即m∈(−∞,2]；
若选择②：由题意可知，不等式f(x)≥m恒成立，即m≤f(x)min．
因为x∈[0,π2]，所以π6≤2x+π6≤7π6.故当2x+π6=7π6，即x=π2时，f(x)取得最小值，且最小值为f(π2)=−1，
所以m≤−1，即m∈(−∞,−1]．
21.解：(1)证明：令x=4，y=1，则f(4)=f(4×1)=f(4)+f(1)．
∴f(1)=0．
(2)f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2，f(1)=f(116×16)=f(116)+f(16)=0，
故f(116)=−2．
(3)设x1，x2>0且x1>x2，于是f(x1x2)>0，
∴f(x1)=f(x1x2×x2)=f(x1x2)+f(x2)>f(x2).
∴f(x)为x∈(0,+∞)上的增函数．
又∵f(x)+f(x−3)=f[x(x−3)]≤1=f(4)，
∴x>0x−3>0x(x−3)≤4⇒3∴原不等式的解集为{x|3