初中第12章 一次函数12.1 函数课时训练

这是一份初中第12章 一次函数12.1 函数课时训练，共35页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25425" 【题型1 常量与变量的确定】 PAGEREF _Tc25425 \h 1
\l "_Tc2191" 【题型2 函数的概念】 PAGEREF _Tc2191 \h 2
\l "_Tc32069" 【题型3 用描点法画函数的图像】 PAGEREF _Tc32069 \h 3
\l "_Tc24131" 【题型4 自变量取值范围的确定】 PAGEREF _Tc24131 \h 6
\l "_Tc30875" 【题型5 函数的解析式的确定】 PAGEREF _Tc30875 \h 6
\l "_Tc16777" 【题型7 函数图像的识别】 PAGEREF _Tc16777 \h 8
\l "_Tc28428" 【题型8 从函数的图像获取信息】 PAGEREF _Tc28428 \h 10
\l "_Tc7436" 【题型9 动点问题的函数图象】 PAGEREF _Tc7436 \h 12
【知识点1 函数的概念】
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．
【知识点2 求函数的值】
(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【题型1 常量与变量的确定】
【例1】（2022春•娄星区期末）下列说法不正确的是（ ）
A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a
B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量
C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量
D．如果a＝b，那么a，b都是常量
【变式1-1】（2022春•鄠邑区期末）大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自变量是 ，因变量是 ．
【变式1-2】（2022春•砚山县校级期中）某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表：
上表反映了 个变量之间的关系，其中，自变量是 ；因变量是 ．
【变式1-3】（2022•莘县校级月考）某电信公司提供了一种移动通讯服务的收费标准，如下表：
则每月话费y（元）与每月通话时间x（分）之间有关系式y=40(0≤x≤150)0.6x−50(x＞150)，在这个关系式中，
14．变量x，y之间的对应关系如下表所示：
请你判断y是x的函数吗？x是y的函数吗？说说你的理由．
【题型2 函数的概念】
【例2】（2022春•莆田期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】（2022春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（ ）
A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长
B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号
C．y：圆的面积，x：这个圆的直径
D．y：一个正数的平方根，x：这个正数
【变式2-2】（2022•长安区期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：（其中k，b为常量）
其中y一定是x的函数的是 ．（填写所有正确的序号）
【变式2-3】（2022春•汉阴县期末）变量x，y有如下关系：①x+y＝10，②|y|＝x，③y＝|x﹣3|，④y2＝8x．其中y是x的函数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【知识点3 函数的图象】
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
【题型3 用描点法画函数的图像】
【例3】（2022春•镇平县月考）某班数学兴趣小组对函数y=1x−1+x+12的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）函数y=1x−1+x+12的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
则表格中的m＝ ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各组对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象，试写出该函数的一条性质．
【变式3-1】（2022春•广饶县期末）某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时……各造纸多少吨？
（1）把下表填写完整，在①②③处填写相应数值．
（2）根据表中的数据，在图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来．
（3）根据图象判断，5小时造纸多少吨？
【变式3-2】（2022春•梁平区期末）小奥根据学习函数的经验，对函数y=x2+2x的图象进行了探究．下面是小奥的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=x2+2x的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值，则m的值为 ，n的值为 ；
（3）描点、连线
在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象．
【变式3-3】（2022•襄州区模拟）数学活动：
问题情境：有这样一个问题：探究函数y=1x+1的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数y=1x+1的图象与性质进行了探究．
问题解决：下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=1x+1的自变量x的取值范围是 ；
（2）表是y与x的几组对应值．
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．
（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）．
【题型4 自变量取值范围的确定】
【例4】（2022春•扶沟县期末）函数y=1x+3中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3B．x≥﹣3C．x＜﹣3D．x≠﹣3
【变式4-1】（2022春•昌平区期末）函数y=2xx−1中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x＞1C．x≠1D．x≠0
【变式4-2】（2022•渠县一模）函数y=xx自变量的取值范围是 x＞0 ．
【变式4-3】（2022•杭州模拟）已知p（x，y）在函数y=−1x2−−x的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【题型5 函数的解析式的确定】
【例5】（2022•金牛区校级期中）一根长度为30cm的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的弹性限度内，所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加2cm，完成下列问题：
①当挂物体重3kg时，弹簧总长度为 cm；
②在正常的弹性限度内，如果用x表示所挂物体质量（单位kg），那么弹簧的总长度是多少厘米？
③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为40cm，那么它挂的物体质量是多少千克？
【变式5-1】（2022春•文山州期末）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？
（2）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？
（3）已知洗衣机的排水速度为每分钟18升，求排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系式．
【变式5-2】（2022•莘县校级月考）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市自来水公司对每户用水量进行了分段计费，每户每月用水量在规定立方米及以下的部分和超出部分标准不同．下表反映的是小亮家1﹣4月份用水量与应交水费情况：
小亮家12月份用水xm3（12月份用水量超过规定用水量），应交水费y元，则y关于x的函数关系式是 ．
【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则因变量y与自变量x的函数关系式为y＝ ．
【题型6 求自变量的值或函数值】
【例6】（2022春•南岸区期末）地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式y＝35x+20来表示，也可用表格表示，其中表格的部分数据如下表所示，则其中的m，n分别是（ ）
A．m＝7，n＝70B．m＝6，n＝70C．m＝7，n＝90D．m＝6，n＝90
【变式6-1】（2022春•双阳区月考）已知函数y=2x−1x+2中，当x＝a时的函数值为1，试求a的值为 ．
【变式6-2】（2022春•微山县期末）已知函数y=2x+1(x≥0)4x(x＜0)，当x＝﹣2时，函数值y为 ．
【变式6-3】（2022•江汉区校级月考）设f（x）表示关于x的函数，若f（m+n）＝f（m）+f（n）+mn9，且f （6）＝3，那么f （5）＝ ．
【题型7 函数图像的识别】
【例7】（2022春•芝罘区期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-1】（2022•雅安）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-2】（2022•广陵区一模）如图，物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块完全浸没在水中，然后缓慢匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-3】（2022春•章丘区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、G分别是边CD和BC的中点，点F为
正方形中心，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【题型8 从函数的图像获取信息】
【例8】（2022春•呼和浩特期末）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列说法正确的是（ ）
A．张强从家到体育场的速度是 503km/ℎ
B．体育场离文具店4千米
C．张强在文具店逗留了15分
D．张强从文具店回家的平均速度是 370千米/分
【变式8-1】（2022•开州区模拟）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．下列从图象中得到的信息错误的是（ ）
A．4点时气温达最低
B．14点到24点之间气温持续下降
C．0点到14点之间气温持续上升
D．14点时气温达最高是8℃
【变式8-2】（2022•石家庄二模）如图（1）是两圆柱形联通容器（联通外体积忽略不计）．向甲容器匀速注水，甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）之间的函数关系如图（2）所示，根据提供的图象信息，若甲的底面半径为1cm，则乙容器底面半径为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm
【变式8-3】（2022•綦江区期末）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．爷爷比小强先出发20分钟
B．小强爬山的速度是爷爷的2倍
C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况
D．山的高度是480米
【题型9 动点问题的函数图象】
【例9】（2022春•洪江市期末）如图1，矩形ABCD中，动点E从点C出发，速度为2cm/s，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点E运动的时间为xs，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．48cm2B．24cm2C．21cm2D．12cm2
【变式9-1】（2022•武威模拟）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（ ）
A．16B．20C．36D．45
【变式9-2】（2022春•海淀区校级期中）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-3】（2022•大同模拟）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D方向运动至点D处停止．设点P运动的路程为x，△APD的面积为S，如果S关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点P应运动到（ ）
A．点C处B．点D处C．点A处D．点B处数量（千克）
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
…
售价（元）
1.5
3
4.5
6
7.5
9
10.5
…
项目
月基本服务费
月免费通话时间
超出后每分收费
标准
40元
150分
0.6元
X
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
10
5
2
1
2
5
10
①
气温x
1
2
0
1
日期y
1
2
3
4
②
③
y＝kx+b
④
y＝|x|
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
12
y
…
−54
−56
−12
−12
−54
x
32
2
3
4
5
…
y
134
52
52
m
134
…
造纸时间/时
1
2
3
4
……
造纸吨数/吨
1.5
①
②
③
……
x
…
﹣5
m
﹣3
﹣2
﹣1
−12
12
1
2
3
4
5
…
y
…
−2910
−52
−136
﹣2
−52
−174
174
52
2
n
52
2910
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣m
m
1
2
3
4
…
y
…
34
23
12
0
﹣1
3
2
32
43
54
…
月份
1
2
3
4
用水量（m3）
6
8
10
12
费用（元）
9
12
18
24
x/℃
1
2
4
m
9
10
y/km
55
n
160
230
335
370
专题12.1 函数基础知识【九大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25425" 【题型1 常量与变量的确定】 PAGEREF _Tc25425 \h 1
\l "_Tc2191" 【题型2 函数的概念】 PAGEREF _Tc2191 \h 3
\l "_Tc32069" 【题型3 用描点法画函数的图像】 PAGEREF _Tc32069 \h 5
\l "_Tc24131" 【题型4 自变量取值范围的确定】 PAGEREF _Tc24131 \h 11
\l "_Tc30875" 【题型5 函数的解析式的确定】 PAGEREF _Tc30875 \h 12
\l "_Tc16777" 【题型7 函数图像的识别】 PAGEREF _Tc16777 \h 16
\l "_Tc28428" 【题型8 从函数的图像获取信息】 PAGEREF _Tc28428 \h 18
\l "_Tc7436" 【题型9 动点问题的函数图象】 PAGEREF _Tc7436 \h 21
【知识点1 函数的概念】
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．
【知识点2 求函数的值】
(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【题型1 常量与变量的确定】
【例1】（2022春•娄星区期末）下列说法不正确的是（ ）
A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a
B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量
C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量
D．如果a＝b，那么a，b都是常量
【分析】根据自变量与常量、因变量的定义解答．
【解答】解：A、正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a，正确；
B、圆的面积公式S＝πr2中的π是常量，正确；
C、在一个关系式中，字母表示的量可能不是变量，正确；
D、如果a＝b，那么a，b都是变量，故错误．
故选：D．
【变式1-1】（2022春•鄠邑区期末）大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自变量是 冰层的厚度 ，因变量是 冰层所承受的压力 ．
【分析】根据常量与变量，即可解答．
【解答】解：大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自变量是冰层的厚度，因变量是冰层所承受的压力；
故答案为：冰层的厚度，冰层所承受的压力．
【变式1-2】（2022春•砚山县校级期中）某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表：
上表反映了 两 个变量之间的关系，其中，自变量是 香蕉数量 ；因变量是 售价 ．
【分析】首先根据表格，可得上表反映了两个变量（香蕉数量和售价）之间的关系；然后根据自变量、因变量的含义，判断出自变量、因变量各是哪个即可．
【解答】解：∵香蕉的售价随着香蕉数量的变化而变化，
∴上表反映了两个变量之间的关系，其中，自变量是香蕉数量；因变量是售价．
故答案为：两、香蕉数量、售价．
【变式1-3】（2022•莘县校级月考）某电信公司提供了一种移动通讯服务的收费标准，如下表：
则每月话费y（元）与每月通话时间x（分）之间有关系式y=40(0≤x≤150)0.6x−50(x＞150)，在这个关系式中，常量是什么？变量是什么？
【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．
【解答】解：在0≤x≤150中，y，40是常量，x是变量；在x＞150时，0.6，﹣50是常量，x，y是变量．
【变式1-4】变量x，y之间的对应关系如下表所示：
请你判断y是x的函数吗？x是y的函数吗？说说你的理由．
【分析】直接利用函数的定义判断得出即可．
【解答】解：由图表中数据可得出：x每取一个值y有唯一值与其对应，故y是x的函数；
当y取一个值2，x有两个值﹣1，1与其对应用，故x不是y的函数．
【题型2 函数的概念】
【例2】（2022春•莆田期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论．
【解答】解：当x取一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．
选项C中的曲线，当x取一个值时，y的值可能有2个，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．
故C中曲线不能表示y是x的函数，
故选：C．
【变式2-1】（2022春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（ ）
A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长
B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号
C．y：圆的面积，x：这个圆的直径
D．y：一个正数的平方根，x：这个正数
【分析】根据题意对各选项分析列出表达式，然后根据函数的定义分别判断即可得解．
【解答】解：A、y＝（14x）2=116x2，y是x的函数，故A选项错误；
B、每一个学生对应一个身高，y是x的函数，故B选项错误；
C、y＝π（12x）2=14πx2，y是x的函数，故C选项错误；
D、y＝±x，每一个x的值对应两个y值，y不是x的函数，故D选项正确．
故选：D．
【变式2-2】（2022•长安区期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：（其中k，b为常量）
其中y一定是x的函数的是 ④ ．（填写所有正确的序号）
【分析】根据函数的定义判断即可．
【解答】解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数，
①②③不符合定义，④符合定义，
故答案为④．
【变式2-3】（2022春•汉阴县期末）变量x，y有如下关系：①x+y＝10，②|y|＝x，③y＝|x﹣3|，④y2＝8x．其中y是x的函数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应的关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：y是x函数的是：①x+y＝10；③y＝|x﹣3|；
②当x＝1时，在|y|＝x中，y＝±1，则y不是x的函数；
④当x＝1时，在y2＝8x中，y＝±8，则y不是x的函数；
故选：B．
【知识点3 函数的图象】
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
【题型3 用描点法画函数的图像】
【例3】（2022春•镇平县月考）某班数学兴趣小组对函数y=1x−1+x+12的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）函数y=1x−1+x+12的自变量x的取值范围是 x≠1 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
则表格中的m＝ 176 ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各组对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象，试写出该函数的一条性质．
【分析】（1）分式中分母不为零，计算即可．
（2）将x＝4代入函数解析式即可得出m的值．
（3）将所描出的点用平滑的曲线连接得出图像，再观察图像写出函数的一条性质．
【解答】（1）∵x﹣1≠0，可得x≠1，
故答案为：x≠1；
（2）将x＝4代入1x−1+x+12得，
m=13+52=176；
故答案为：176．
（3）画出该函数图象如图所示：
通过观察图象可得：
函数图象关于点（1，1）中心对称（答案不唯一）．
【变式3-1】（2022春•广饶县期末）某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时……各造纸多少吨？
（1）把下表填写完整，在①②③处填写相应数值．
（2）根据表中的数据，在图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来．
（3）根据图象判断，5小时造纸多少吨？
【分析】（1）根据每小时造纸1.5吨解答即可；
（2）根据（1）的数据解答即可；
（3）根据图象解答即可．
【解答】解：（1）造纸时间为2小时，则造纸吨数为1.5×2＝3（吨）；
造纸时间为3小时，则造纸吨数为1.5×3＝4.5（吨）；
造纸时间为4小时，则造纸吨数为1.5×4＝6（吨）；
故答案为：3；4.5；6；
（2）如图所示：
（3）由图象可知，5小时造纸为7.5吨．
【变式3-2】（2022春•梁平区期末）小奥根据学习函数的经验，对函数y=x2+2x的图象进行了探究．下面是小奥的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=x2+2x的自变量x的取值范围是 x≠0 ；
（2）下表是y与x的几组对应值，则m的值为 ﹣4 ，n的值为 136 ；
（3）描点、连线
在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象．
【分析】（ 1 ）根据图象，可以写出x的取值范围；
（2）将y=−52代入函数解析式中，求出x的值，再根据表格即可得到m的值，将x＝3代入函数解析式，求出y的值，即可得到n的值，本题得以解决；
（3 ）建立平面直角坐标系，并在坐标系中描点，用平滑的曲线连接起来，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，函数y=x2+2x的自变量x的取值范围是x≠0．
故答案为：x≠0；
（2）当y=−52时，代入函数解析式中，可得−52=x2+2x，
解得x＝﹣4或x＝﹣1，
由表格可得m＝﹣4；
当x＝3时，y=32+23=136．
故答案为：﹣4，136；
（3）函数图象如下：
【变式3-3】（2022•襄州区模拟）数学活动：
问题情境：有这样一个问题：探究函数y=1x+1的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数y=1x+1的图象与性质进行了探究．
问题解决：下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=1x+1的自变量x的取值范围是 x≠0 ；
（2）表是y与x的几组对应值．
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．
（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）．
【分析】（1）根据分式中分母不能为0求出自变量x的取值范围即可，
（2）根据图表可知当y＝3时x＝m，把y＝3代入解析式即可求得，
（3）用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可，
（4）答案不唯一，可参考以下的角度：
①该函数没有最大值或 该函数没有最小值；
②该函数在值不等于1；
③增减性．
【解答】解：（1）根据题意得：x≠0，
即函数y=1x+1的自变量x的取值范围x≠0，
故答案为：x≠0；
（2）令1m+1=3，解得m=12，
∴m=12．
（3）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：
（4）观察函数图象，发现该函数没有最大值，也没有最小值，图象不经过原点，
即该函数的两条性质：没有最大值，也没有最小值；图象不经过原点．
【题型4 自变量取值范围的确定】
【例4】（2022春•扶沟县期末）函数y=1x+3中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3B．x≥﹣3C．x＜﹣3D．x≠﹣3
【分析】根据算术平方根定义得出被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+3＞0，
解得：x＞﹣3，
故选：A．
【变式4-1】（2022春•昌平区期末）函数y=2xx−1中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x＞1C．x≠1D．x≠0
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故选：C．
【变式4-2】（2022•渠县一模）函数y=xx自变量的取值范围是 x＞0 ．
【分析】根据分式有意义的条件和算术平方根定义列出不等式组，求解即可．
【解答】解：∵x≥0且x≠0，
∴x＞0，
故答案为x＞0．
【变式4-3】（2022•杭州模拟）已知p（x，y）在函数y=−1x2−−x的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由函数的解析式可得x≠0且﹣x≥0，从而得出x的取值范围，再求得点P横、纵坐标的符号即可判断．
【解答】解：∵p（x，y）在函数y=−1x2−−x的图象上，
∴x≠0且﹣x≥0，
解得x＜0，
则y＜0，
∴点P在第三象限，
故选：C．
【题型5 函数的解析式的确定】
【例5】（2022•金牛区校级期中）一根长度为30cm的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的弹性限度内，所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加2cm，完成下列问题：
①当挂物体重3kg时，弹簧总长度为 36 cm；
②在正常的弹性限度内，如果用x表示所挂物体质量（单位kg），那么弹簧的总长度是多少厘米？
③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为40cm，那么它挂的物体质量是多少千克？
【分析】（1）根据弹簧的长度加弹簧挂重物伸长的长度，可得答案；
（2）根据弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度，可得函数解析式；
（3）根据函数值，可得相应自变量的值．
【解答】解：①30+2×3＝36；
故答案为：36；
②弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度，
设弹簧的总长度为y，则y＝2x+30，
③当y＝40时，2x+30＝40，
解得x＝5，
答：所挂重物的质量是5千克．
【变式5-1】（2022春•文山州期末）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？
（2）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？
（3）已知洗衣机的排水速度为每分钟18升，求排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系式．
【分析】（1）根据函数自变量与因变量的定义解决此题．
（2）根据题意解决此题．
（3）根据题意，列出函数关系式．
【解答】解：（1）自变量是时间x，因变量是洗衣机中的水量y．
（2）由图可知，洗衣机进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量为40升．
（3）由题意得，y＝40﹣18x（0≤x＜15）．
【变式5-2】（2022•莘县校级月考）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市自来水公司对每户用水量进行了分段计费，每户每月用水量在规定立方米及以下的部分和超出部分标准不同．下表反映的是小亮家1﹣4月份用水量与应交水费情况：
小亮家12月份用水xm3（12月份用水量超过规定用水量），应交水费y元，则y关于x的函数关系式是 y＝3x﹣12（x＞8） ．
【分析】根据表格判断出1，2月份未超过用水量，3，4月份超过用水量，可求关系式．
【解答】解：由题得1﹣2月用水量增加2m3，水费增加3元，2﹣3月，3﹣4月水量增加2m3，水费增加6元，
∴1﹣2月用水量没有没有超过规定用水量8m3，用水量没超过规定用水量时，每立方米水费32元，用水量超过规定用水量时，用水量每超过1m3，水费增加3元，
用水量超过规定用水量时，y与x的关系为y=32×8+3（x﹣8）＝3x﹣12（x＞8），
故答案为：y＝3x﹣12（x＞8）．
【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则因变量y与自变量x的函数关系式为y＝ y=1+π2x ．
【分析】利用图示数据列出等式即可得出结论．
【解答】解：由题意得：
圆柱的上下底面圆的半径为14x，
圆柱的侧面展开图的长为：y−12x，
∵圆柱的侧面展开图的长＝底面圆的周长，
∴y−12x＝2π×14x，
∴y=1+π2x，
故答案为：y=1+π2x．
【题型6 求自变量的值或函数值】
【例6】（2022春•南岸区期末）地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式y＝35x+20来表示，也可用表格表示，其中表格的部分数据如下表所示，则其中的m，n分别是（ ）
A．m＝7，n＝70B．m＝6，n＝70C．m＝7，n＝90D．m＝6，n＝90
【分析】根据函数关系式代入计算即可．
【解答】解：把x＝2，y＝n代入y＝35x+20得，
n＝35×2+20＝90，
把x＝m，y＝230代入y＝35x+20得，
35m+20＝230，
解得m＝6，
故选：D．
【变式6-1】（2022春•双阳区月考）已知函数y=2x−1x+2中，当x＝a时的函数值为1，试求a的值为 3 ．
【分析】根据函数值与自变量的关系是一一对应的，代入函数值，可得自变量的值．
【解答】解：因为函数y=2x−1x+2中，当x＝a时的函数值为1，
可得：2a−1a+2=1，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【变式6-2】（2022春•微山县期末）已知函数y=2x+1(x≥0)4x(x＜0)，当x＝﹣2时，函数值y为 ﹣8 ．
【分析】先判断出x＝﹣2时，所符合的关系式，然后将x＝﹣2代入对应的函数关系式即可．
【解答】解：∵x＝﹣2＜0，
∴y＝4x＝﹣2×4＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【变式6-3】（2022•江汉区校级月考）设f（x）表示关于x的函数，若f（m+n）＝f（m）+f（n）+mn9，且f （6）＝3，那么f （5）＝ 209 ．
【分析】有已知求出f（2）和f（3）的值，把f（5）化为f（2+3）代入即可．
【解答】解：∵若f（m+n）＝f（m）+f（n）+mn9，f （6）＝3，
∴f （6）＝f（2+4）＝f（2）+f（2+2）+89
＝f（2）+f（2）+f（2）+49+89=3，
∴f（2）=59，
f （6）＝f（3+3）＝2f（3）+99=3，
∴f（3）＝1，
∴f （5）＝f（2+3）＝f（2）+f（3）+2×39
=59+1+69
=209，
故答案为209．
【知识点3 函数的图象】
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
【题型7 函数图像的识别】
【例7】（2022春•芝罘区期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据用一注水管向小玻璃杯内注水，即可分段求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象．
【解答】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向鱼缸内流，这时水位高度不变，
当鱼缸水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．
故选：D．
【变式7-1】（2022•雅安）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
A．B．
C．D．
【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速，加速、匀速的变化情况，进行选择．
【解答】解：公共汽车经历加速、匀速、减速到站，加速、匀速的过程，
故选：B．
【变式7-2】（2022•广陵区一模）如图，物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块完全浸没在水中，然后缓慢匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：由题意可知，
铁块露出水面以前，F拉+F浮＝G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，
当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，
当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，
故选：D．
【变式7-3】（2022春•章丘区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、G分别是边CD和BC的中点，点F为
正方形中心，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
【解答】解：由点P的运动可知，当点P在GF、ED边上时△ABP的面积不变，则对应图象为平行于t轴的线段，则B、C错误；
点P在AD、EF、GB上运动时，△ABP的面积分别处于增、减变化过程，故D排除．
故选：A．
【题型8 从函数的图像获取信息】
【例8】（2022春•呼和浩特期末）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列说法正确的是（ ）
A．张强从家到体育场的速度是 503km/ℎ
B．体育场离文具店4千米
C．张强在文具店逗留了15分
D．张强从文具店回家的平均速度是 370千米/分
【分析】利用图象信息解决问题即可．
【解答】解：观察图象可知：
A．张强从家到体育场的速度是千米/时，故A不符合题意；
B．体育场离文具店2.5﹣1.5＝1千米，故B不符合题意；
C．张强在文具店逗留了65﹣45＝20分钟，故C不符合题意；
D．张强从文具店回家的平均速度=1.535=370千米/分，故D符合题意；
故选：D．
【变式8-1】（2022•开州区模拟）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．下列从图象中得到的信息错误的是（ ）
A．4点时气温达最低
B．14点到24点之间气温持续下降
C．0点到14点之间气温持续上升
D．14点时气温达最高是8℃
【分析】应用函数图象中的信息进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．由图象可得，4点时气温达最低为﹣3℃，所以A选项从图象中得到的信息正确，故A选项不符合题意；
B．由图象可得，14点到24点气温持续下降，所以B选项从图象中得到的信息正确，故B选项不符合题意；
C．由图象可得，0点到4点气温持续下降，4点到14点气温持续上升，0点到14点气温先下降再上升，所以C选项从图象中得到的信息不正确，故C选项符合题意；
D．由图象可知，14点时气温最高是8℃，所以D选项从图象中得到的信息正确，故D选项不符合题意．
故选：C．
【变式8-2】（2022•石家庄二模）如图（1）是两圆柱形联通容器（联通外体积忽略不计）．向甲容器匀速注水，甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）之间的函数关系如图（2）所示，根据提供的图象信息，若甲的底面半径为1cm，则乙容器底面半径为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm
【分析】由注满相同高度的水乙容器所需的时间为甲容器的4倍，结合甲容器的底面半径即可求出乙容器的底面半径，此题得解．
【解答】解：观察函数图象可知：乙容器底面积为甲容器底面积的4倍，
∴乙容器底面半径为2cm．
故选：D．
【变式8-3】（2022•綦江区期末）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．爷爷比小强先出发20分钟
B．小强爬山的速度是爷爷的2倍
C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况
D．山的高度是480米
【分析】根据函数图象中的数据，可以得山的高度是720米；l1表示的是小强爬山的情况，l2表示的是爷爷爬山的情况；根据题意和函数图象中的数据，可以求出小强爬山的速度为12米/分，爷爷爬山的速度为6米/分；根据爷爷爬山的速度，结合图象可知爷爷比小强先出发：240÷6＝40（分钟）．
【解答】解：由题意得：
山的高度是720米，故选项D不合题意；
l1表示的是小强爬山的情况，l2表示的是爷爷爬山的情况，故选项C不合题意；
小强爬山的速度为：720÷60＝12（米/分），爷爷爬山的速度为：（720﹣240）÷80＝6（米/分），所以小强爬山的速度是爷爷的2倍，故选项B符合题意；
爷比小强先出发：240÷6＝40（分钟），故选项A不合题意．
故选：B．
【题型9 动点问题的函数图象】
【例9】（2022春•洪江市期末）如图1，矩形ABCD中，动点E从点C出发，速度为2cm/s，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点E运动的时间为xs，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．48cm2B．24cm2C．21cm2D．12cm2
【分析】通过图2知，CD段，对应的函数是一次函数，此时CD＝6，而在DA段，△BCE的面积不变，故DA＝8，即可求解．
【解答】解：由图象知，
CD＝2×3＝6，DA＝2×（7﹣3）＝8，
∴四边形ABCD的面积＝6×8＝48．
故选：A．
【变式9-1】（2022•武威模拟）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（ ）
A．16B．20C．36D．45
【分析】根据图2可得：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，进而可求得矩形PQMN的面积．
【解答】解：由图2可知：
当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，
当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，
所以矩形PQMN的面积为4×5＝20．
故选：B．
【变式9-2】（2022春•海淀区校级期中）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先观察图象得到y与x的函数图象分四个部分，则可对有3边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，y随x的变化先增大后减小，则可对A进行判断，从而得到正确选项．
【解答】解：y与x的函数图象分四个部分，而D选项中的封闭图形有3条线段，其图象要分三个部分，所以D选项不正确；
A选项中的封闭图形为圆，y随x的变化先增大后减小，所以A选项不正确；
B，C选项为四边形，M点在四边上运动对应四段图象，且存在三个时间段，PM的长度相等，故C选项不正确．
故选：B．
【变式9-3】（2022•大同模拟）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D方向运动至点D处停止．设点P运动的路程为x，△APD的面积为S，如果S关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点P应运动到（ ）
A．点C处B．点D处C．点A处D．点B处
【分析】根据点P的移动规律，点P的运动路程为0﹣4，4﹣7，9﹣11，所在线段为AB，BC，CD，那么当x＝7时，点P应运动到高不变的结束，即点C处．
【解答】解：当P在BA上运动时，△DAP的面积不断增大；
当P在CB运动时，DA一定，高为BA不变，此时面积不变；
当P在CD上运动时，面积不断减小．
∴当x＝7时，点R应运动到高不变的结束，即点C处．
故选：A．数量（千克）
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
…
售价（元）
1.5
3
4.5
6
7.5
9
10.5
…
项目
月基本服务费
月免费通话时间
超出后每分收费
标准
40元
150分
0.6元
X
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
10
5
2
1
2
5
10
①
气温x
1
2
0
1
日期y
1
2
3
4
②
③
y＝kx+b
④
y＝|x|
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
12
y
…
−54
−56
−12
−12
−54
x
32
2
3
4
5
…
y
134
52
52
m
134
…
造纸时间/时
1
2
3
4
……
造纸吨数/吨
1.5
① 3
② 4.5
③ 6
……
x
…
﹣5
m
﹣3
﹣2
﹣1
−12
12
1
2
3
4
5
…
y
…
−2910
−52
−136
﹣2
−52
−174
174
52
2
n
52
2910
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣m
m
1
2
3
4
…
y
…
34
23
12
0
﹣1
3
2
32
43
54
…
月份
1
2
3
4
用水量（m3）
6
8
10
12
费用（元）
9
12
18
24
x/℃
1
2
4
m
9
10
y/km
55
n
160
230
335
370