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沪科版八年级数学上册举一反三系列专题12.4一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】练习(原卷版+解析)
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这是一份沪科版八年级数学上册举一反三系列专题12.4一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】练习(原卷版+解析)，共33页。
专题12.4 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc11269" 【题型1 一次函数与一元一次方程的解】 PAGEREF _Toc11269 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21110" 【题型2 两个一次函数与一元一次方程】 PAGEREF _Toc21110 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc29331" 【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 PAGEREF _Toc29331 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc2082" 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Toc2082 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc5429" 【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】 PAGEREF _Toc5429 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc13930" 【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】 PAGEREF _Toc13930 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc9328" 【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】 PAGEREF _Toc9328 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc9371" 【题型8 绝对值函数与不等式】 PAGEREF _Toc9371 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc18385" 【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】 PAGEREF _Toc18385 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc11196" 【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 PAGEREF _Toc11196 \h 9【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.【题型1 一次函数与一元一次方程的解】【例1】（2022秋•白塔区校级月考）直线y＝3x﹣m﹣4经过点A（m，0），则关于x的方程3x﹣m﹣4＝0的解是 ．【变式1-1】（2022春•安阳县期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为 ．【变式1-2】（2022春•雷州市校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝4的解是（ ）A．x＝3 B．x＝4 C．x＝0 D．x＝b【变式1-3】（2022秋•招远市期末）已知关于x的一次函数y＝3x+n的图象如图，则关于x的一次方程3x+n＝0的解是（ ）A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C． D．【题型2 两个一次函数与一元一次方程】【例2】（2022秋•双流区期末）已知一次函数y＝5x+m的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点（﹣2，4）（k，m是常数），则关于x的方程5x＝kx﹣m的解是 ．【变式2-1】（2022秋•龙岗区期末）如图，函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣1的图象交于点P，则关于x的方程kx﹣1＝2x+b的解是 ．【变式2-2】（2022秋•苏州期末）已知一次函数y＝kx+1与的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx+b＝0的解．【变式2-3】（2022秋•包河区期末）已知直线y＝x+b和y＝ax+2交于点P（3，﹣1），则关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为 ．【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】【例3】（2022春•江都区校级月考）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为 ．【变式3-1】（2022•姜堰区一模）若一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0）的图象过点（2，0），则关于x的方程a（x+1）+b＝0的解是 ．【变式3-2】（2022秋•庐阳区校级期中）若关于x的一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，0），则方程k（x+2）+b＝0的解为 ．【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）将直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解为x＝3，则k＝ ，m＝ ．【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】【例4】（2022春•夏津县期末）如图，根据函数图象回答问题：方程组y=kx+3y=ax+b的解为 ．【变式4-1】（2022•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组y−k1x=b1y−k2x=b2的解是 ．【变式4-2】（2022秋•西乡县期末）已知二元一次方程组x−y=−5x+2y=−2的解为x=−4y=1，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y=−12x﹣1的交点坐标为（ ）A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1）【变式4-3】（2022•德城区二模）若以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=−12x+b﹣1上，则常数b的值为（ ）A．12 B．1 C．﹣1 D．2【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】【例5】（2022秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组y=kx+by=(3k−1)x+2（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；（3）当k，b为何值时，方程组无解．【变式5-1】（2022秋•苏州期末）若二元一次方程组3x+y=−12x+my=−8有唯一的一组解，那么应满足的条件是（ ）A．m=23 B．m≠23 C．m=−23 D．m≠−23【变式5-2】（2022春•覃塘区期中）如果关于x，y的方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a，b，c的值应满足的条件是（ ）A．a≠b B．b≠c C．a≠c D．a≠c且c≠1【变式5-3】（2022春•高明区期末）k为何值时，方程组kx−y=−133y=1−6x有唯一一组解；无解；无穷多解？【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】【例6】（2022•海淀区校级自主招生）已知一次函数y＝kx+b中x取不同值时，y对应的值列表如下：则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为（ ）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．无法确定【变式6-1】（2022春•龙岗区期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，2），B（1，0），则关于x的不等式kx+b＜2解集为 ．【变式6-2】（2022春•湖南期中）已知关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是x＜1，则直线y＝ax+1与x轴的交点是（ ）A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（1，0）【变式6-3】（2022春•高明区校级期末）如图，直线y＝kx+b与直线y=−12x+52交于点A（m，2），则关于x的不等式kx+b≤−12x+52的解集是（ ）A．x≤2 B．x≥1 C．x≤1 D．x≥2【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】【例7】（2022•钟山县校级模拟）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（ ）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【变式7-1】（2022•烟台）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为 ．【变式7-2】（2022春•楚雄州期末）已知关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，4）、B（0，3）．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）若关于x的一次函数y＝mx+n（m＜0）的图象也经过点A，则关于x的不等式mx+n≥kx+b的解集为 ．【变式7-3】（2022春•潮安区期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）求△ADC的面积．【题型8 绝对值函数与不等式】【例8】（2022秋•临海市校级月考）小敏学习了一次函数后，尝试着用相同的方法研究函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|和y＝|x﹣2|+1的图象；（2）猜想函数y＝﹣|x+1|和y＝﹣|x+1|﹣3的图象关系；（3）尝试归纳函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质；（4）当﹣2≤x≤5时，求y＝﹣2|x﹣3|+4的函数值范围．【变式8-1】（2022秋•玄武区期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝|x|的图象和性质，并解决问题．（1）完成下列步骤，画出函数y＝|x|的图象；①列表、填空；②描点；③连线．（2）观察图象，当x 时，y随x的增大而增大；（3）根据图象，不等式|x|＜12x+32的解集为 ．【变式8-2】（2022春•确山县期末）画出函数y＝|x|﹣2的图象，利用图象回答下列问题：（1）写出函数图象上最低点的坐标，并求出函数y的最小值；（2）利用图象直接写出不等式|x|﹣2＞0的解集；（3）若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与y＝|x|﹣2的图象有两个交点A（m，1），B（12，−32），直接写出关于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解．【变式8-3】（2022春•重庆期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝|2x+4|+x+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）如表是部分x，y的对应值：根据表中的数据可以求得m＝ ，n＝ ；（2）请在给出的平面直角坐标系中，描出以如表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点画出该函数的图象；（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质 ；（4）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣4，﹣2）和点（1，5），结合你所画的函数图象，直接写出不等式kx+b＜|2x+4|+x+m的解集．【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】【例9】（2022秋•青田县月考）如图，可以得出不等式组ax+b＜0cx+d＞0的解集是（ ）A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．﹣1＜x＜4 D．x＞4【变式9-1】（2022春•南康区期末）如图，直线y＝﹣x+m与直线y=12x+3交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式组−x+m＞12x+312x+3＞0的解集为 ．【变式9-2】（2022•富阳区二模）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，3），B（−52，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜﹣3x的解集为 ．【变式9-3】（2022•青羊区校级自主招生）如图，直线y1＝ax+2与y2＝bx+4交于点N（1，a+2），将直线y1＝ax+2向下平移后得到y3＝ax﹣5，则能使得y3＜y2＜y1的x的所有整数值分别为（ ）A．1，2，3 B．2，3 C．2，3，4 D．3，4，5【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】【例10】（2022•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）A．2x+y≥53x+4y≥9y≥0 B．2x+y≤53x+4y≤9y≥0 C．2x+y≥53x+4y≥9x≥0 D．2x+y≤53x+4y≥9x≥0【变式10-1】（2022秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（ ）A．x﹣y≤﹣5 B．x+y≥﹣5 C．x+y≤5 D．x﹣y≤5【变式10-2】（2012春•南岸区期末）如图，用不等式表示阴影区域为（ ）A．x+y≤0，且x﹣y≥0 B．x+y≥0，且x﹣y≥0 C．x+y≥0，且x﹣y≤0 D．x+y≤0，且x﹣y≤0【变式10-3】（2022春•广水市期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程x﹣y＝0的一个解x=1y=1可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫作方程x﹣y＝0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程x﹣y＝0的图象称为直线x﹣y＝0．直线x﹣y＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x0，y0）的坐标满足不等式x﹣y≤0，那么点M（x0，y0）就在直线x﹣y＝0的上方区域内．特别地，x＝k（k常数）表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，y＝m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线．请根据以上材料，探索完成以下问题：（1）已知点A（2，1）、B（83，32）、C（136，54）、D（4，92），其中在直线3x﹣2y＝4上的点有 （只填字母）；请再写出直线3x﹣2y＝4上一个点的坐标 ；（2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤40≤y≤3则所有的点P组成的图形的面积是 ；（3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤10≤y≤2x−y≥0，请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形（涂上阴影），并求出上述图形的面积． x…﹣m2﹣112…y…﹣20n2+1…x…﹣3﹣2﹣10123…y…31123…x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…0n﹣2﹣3﹣4﹣1258…专题12.4 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc11269" 【题型1 一次函数与一元一次方程的解】 PAGEREF _Toc11269 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21110" 【题型2 两个一次函数与一元一次方程】 PAGEREF _Toc21110 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc29331" 【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 PAGEREF _Toc29331 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2082" 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Toc2082 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc5429" 【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】 PAGEREF _Toc5429 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13930" 【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】 PAGEREF _Toc13930 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc9328" 【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】 PAGEREF _Toc9328 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc9371" 【题型8 绝对值函数与不等式】 PAGEREF _Toc9371 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc18385" 【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】 PAGEREF _Toc18385 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc11196" 【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 PAGEREF _Toc11196 \h 21【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.【题型1 一次函数与一元一次方程的解】【例1】（2022秋•白塔区校级月考）直线y＝3x﹣m﹣4经过点A（m，0），则关于x的方程3x﹣m﹣4＝0的解是 x＝2 ．【分析】根据函数与方程的关系进行解答即可．【解答】解：把x＝m，y＝0代入y＝3x﹣m﹣4中，可得：m＝2，所以关于x的方程3x﹣m﹣4＝0的解是x＝2，故答案为：x＝2【变式1-1】（2022春•安阳县期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为 x＝﹣2 ．【分析】根据图象得出一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标，即可得出方程的解．【解答】解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0），∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2，故答案为：x＝﹣2．【变式1-2】（2022春•雷州市校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝4的解是（ ）A．x＝3 B．x＝4 C．x＝0 D．x＝b【分析】可利用函数图象可直接得到答案．【解答】解：由图象知，一次函数的图象过点（3，4），所以有3k+b＝4，所以x＝3是方程kx+b＝4的解，故选：A．【变式1-3】（2022秋•招远市期末）已知关于x的一次函数y＝3x+n的图象如图，则关于x的一次方程3x+n＝0的解是（ ）A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C． D．【分析】根据函数的图象得出一次函数y＝3x+n与y轴的交点坐标是（0，2），把坐标代入函数解析式，求出n，再求出方程的解即可．【解答】解：从图象可知：一次函数y＝3x+n与y轴的交点坐标是（0，2），代入函数解析式得：2＝0+n，解得：n＝2，即y＝3x+2，当y＝0时，3x+2＝0，解得：x＝﹣，即关于x的一次方程3x+n＝0的解是x＝﹣，故选：D．【题型2 两个一次函数与一元一次方程】【例2】（2022秋•双流区期末）已知一次函数y＝5x+m的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点（﹣2，4）（k，m是常数），则关于x的方程5x＝kx﹣m的解是 x＝﹣2 ．【分析】由题意可知当x＝﹣2时，一次函数y＝5x+m与正比例函数y＝kx的函数值相同，从而可得到方程的解．【解答】解：一次函数y＝5x+m图象与正比例函数y＝kx图象交于点（﹣2，4），当x＝﹣2时，5x+m＝kx，即5x＝kx﹣m，方程5x＝kx﹣m的解是x＝﹣2，故答案为：x＝﹣2．【变式2-1】（2022秋•龙岗区期末）如图，函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣1的图象交于点P，则关于x的方程kx﹣1＝2x+b的解是 x＝1 ．【分析】方程kx﹣1＝2x+b的解，就是两个函数图象的交点的横坐标，观察图象即可解决问题；【解答】解：方程kx﹣1＝2x+b的解，就是两个函数图象的交点的横坐标，观察图象可知方程的解为x＝1，故答案为x＝1【变式2-2】（2022秋•苏州期末）已知一次函数y＝kx+1与的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx+b＝0的解．【分析】首先将（2，5）点代入一次函数解析式求出k，b的值，进而解方程得出答案．【解答】解：∵一次函数y＝kx+1与的图象相交于点（2，5），∴5＝2k+1，5＝﹣×2+b，解得：k＝2，b＝6，则kx+b＝0为：2x+6＝0，解得：x＝﹣3．【变式2-3】（2022秋•包河区期末）已知直线y＝x+b和y＝ax+2交于点P（3，﹣1），则关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为 x＝3 ．【分析】利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解决问题．【解答】解：由（a﹣1）x＝b﹣2知，x+b＝ax+2．∵直线y＝x+b和ax+2交于点P（3，﹣1），∴当x＝3时，x+b＝ax+2＝﹣1，即关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为x＝3．故答案为：x＝3．【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】【例3】（2022春•江都区校级月考）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为 x＝3 ．【分析】由y＝k（x﹣5）+b与y＝kx+b可得直线y＝kx+b向右平移5个单位得到直线y＝k（x﹣5）+b，从而可得直线y＝k（x﹣5）+b与x轴交点坐标，进而求解．【解答】解：直线y＝k（x﹣5）+b是由直线y＝kx+b向右平移5个单位所得，∵y＝kx+b与x轴交点为（﹣2，0），∴直线y＝k（x﹣5）+b与x轴交点坐标为（3，0），∴k（x﹣5）+b＝0的解为x＝3，故答案为：x＝3．【变式3-1】（2022•姜堰区一模）若一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0）的图象过点（2，0），则关于x的方程a（x+1）+b＝0的解是 x＝1 ．【分析】首先根据函数解析式可得一次函数y＝ax+b的图象向左平移1个单位可得y＝a（x+1）+b的图象，进而可得一次函数y＝a（x+1）+b的图象与x轴交于点（1，0），然后可得答案．【解答】解：一次函数y＝ax+b的图象向左平移1个单位可得y＝a（x+1）+b的图象，∵一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0）的图象过点（2，0），∴一次函数y＝a（x+1）+b的图象与x轴交于点（1，0），∴关于x的方程a（x+1）+b＝0的解是：x＝1，故答案为：x＝1．【变式3-2】（2022秋•庐阳区校级期中）若关于x的一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，0），则方程k（x+2）+b＝0的解为 ﹣3 ．【分析】把点A（﹣1，0）代入y＝kx+b，求得b＝k，所以方程变为k（x+2）+k＝0，即可求得方程的解．【解答】解：∵关于x的一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，0），∴﹣k+b＝0，∴b＝k，∴方程k（x+2）+b＝0化为方程k（x+2）+k＝0，∴k（x+3）＝0，∴x＝﹣3．故答案为﹣3．【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）将直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解为x＝3，则k＝ 2 ，m＝ ﹣6 ．【分析】利用直线平移的规律得到m＝﹣6，然后把x＝3代入kx﹣6＝0可求出k的值．【解答】解：∵直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线解析式为y＝kx﹣2﹣4，即y＝kx﹣6，∴m＝﹣6，∵程kx+m＝0的解为x＝3，∴3k﹣6＝0，解得k＝2．故答案为2，﹣6．【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】【例4】（2022春•夏津县期末）如图，根据函数图象回答问题：方程组y=kx+3y=ax+b的解为 x=−1y=2 ．【分析】首先观察函数的图象y＝kx+3经过点（﹣3，0），然后求得k值确定函数的解析式，最后求得两图象的交点求方程组的解即可；【解答】解：根据图象知：y＝kx+3经过点（﹣3，0），所以﹣3k+3＝0，解得：k＝1，所以解析式为y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝2，所以两个函数图象均经过（﹣1，2）所以方程组y=kx+3y=ax+b的解为x=−1y=2，故答案为：x=−1y=2．【变式4-1】（2022•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组y−k1x=b1y−k2x=b2的解是 x=2y=1 ．【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），∴关于x，y的方程组y−k1x=b1y−k2x=b2的解是x=2y=1．故答案为x=2y=1．【变式4-2】（2022秋•西乡县期末）已知二元一次方程组x−y=−5x+2y=−2的解为x=−4y=1，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y=−12x﹣1的交点坐标为（ ）A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1）【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可．【解答】解：∵二元一次方程组x−y=−5x+2y=−2的解为x=−4y=1，∴直线l1：y＝x+5与直线l2：y=−12x﹣1的交点坐标为（﹣4，1）．故选：D．【变式4-3】（2022•德城区二模）若以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=−12x+b﹣1上，则常数b的值为（ ）A．12 B．1 C．﹣1 D．2【分析】直线解析式乘以2后和方程联立解答即可．【解答】解：因为以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=−12x+b﹣1上，直线解析式乘以2得2y＝﹣x+2b﹣2，变形为：x+2y﹣2b+2＝0，所以b﹣2b+2＝0，解得：b＝2，故选：D．【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】【例5】（2022秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组y=kx+by=(3k−1)x+2（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；（3）当k，b为何值时，方程组无解．【分析】（1）利用两直线的位置关系得到当k≠3k﹣1时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2只有一个交点，于是可得到k的取值范围；（2）利用两直线的位置关系得到当k＝3k﹣1，b＝2时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2重合，于是可得到k、b的值；（3）利用两直线的位置关系得到当k＝3k﹣1，b≠2时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2没有一个交点，于是可得到k的值和b的取值范围．【解答】解：（1）当k≠3k﹣1时，即k≠12，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2只有一个交点，所以当k≠12，b为任意数时，方程组有唯一一组解；（2）当k＝3k﹣1，b＝2时，即k=12，b＝2，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2重合，所以k=12，b＝2时，方程组有无数组解；（3）当k＝3k﹣1，b≠2时，即k=12，b≠2，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2没有交点，所以k=12，b≠2时，方程组无解．【变式5-1】（2022秋•苏州期末）若二元一次方程组3x+y=−12x+my=−8有唯一的一组解，那么应满足的条件是（ ）A．m=23 B．m≠23 C．m=−23 D．m≠−23【分析】由已知可以把方程组x的系数转化为它们的最小公倍数，分析转化后的方程组得到满足的条件．【解答】解：原方程组化为：6x+2y=−26x+3my=−24，∵﹣2≠﹣24，∴要使方程组有唯一的一组解，则3m≠2，所以m≠23．故选：B．【变式5-2】（2022春•覃塘区期中）如果关于x，y的方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a，b，c的值应满足的条件是（ ）A．a≠b B．b≠c C．a≠c D．a≠c且c≠1【分析】此题的解法在于将两式的y用x来代替然后列出y关于x的方程，因为有唯一解，根据方程可得出a，b，c的值的条件．【解答】解：方程组x+y=1ax+by=c变形得y=1−xy=cb−abx，∴1﹣x=cb−abx，∴（a﹣b）x＝c﹣b，∴x=c−ba−b，要使方程有唯一解，则a≠b，故选：A．【变式5-3】（2022春•高明区期末）k为何值时，方程组kx−y=−133y=1−6x有唯一一组解；无解；无穷多解？【分析】先将方程组整理成二元一次方程组的一般形式，再根据二元一次方程组的解的三种情况进行分析，从而得出结果．【解答】解：原方程组可化为kx−y=−136x+3y=1，①当k6≠−13，即k≠﹣2时，原方程组有唯一一组解；②当k6=−13≠−131，即k无论取什么值，都不能使原方程组无解；③当k6=−13=−131，即k＝﹣2时，原方程组有无穷多解．【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】【例6】（2022•海淀区校级自主招生）已知一次函数y＝kx+b中x取不同值时，y对应的值列表如下：则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为（ ）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．无法确定【分析】首先根据函数的值确定一次函数的增减性，然后根据函数经过点（1，0），即可进行判断．【解答】解：∵﹣m2﹣1＜2，﹣2＜n2+1，∴函数y＝kx+b中y随x的增大而增大，又∵函数经过点（1，0），∴kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为：x＞1．故选：A．【变式6-1】（2022春•龙岗区期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，2），B（1，0），则关于x的不等式kx+b＜2解集为 x＞﹣3 ．【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值小于2的自变量x的取值范围．【解答】解：由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2，故答案为：x＞﹣3．【变式6-2】（2022春•湖南期中）已知关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是x＜1，则直线y＝ax+1与x轴的交点是（ ）A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（1，0）【分析】由于关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是x＜1，得到a小于0，表示出不等式的解集，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入确定出直线y＝ax+1解析式，即可求出与x轴的交点坐标．【解答】解：∵关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是：x＜1，∴a＜0，解得：x＜−1a，∴−1a=1，即a＝﹣1，即直线解析式为y＝﹣x+1，令y＝0，解得：x＝1，则直线y＝﹣x+1与x轴的交点是（1，0）．故选：D．【变式6-3】（2022春•高明区校级期末）如图，直线y＝kx+b与直线y=−12x+52交于点A（m，2），则关于x的不等式kx+b≤−12x+52的解集是（ ）A．x≤2 B．x≥1 C．x≤1 D．x≥2【分析】关于x的不等式kx+b≤−12x+52的解集，直线y＝kx+b的图象在y=−12x+52的图象的下边的部分，对应的自变量x的取值范围．【解答】解：把A（m，2）代入y=−12x+52，得2=−12m+52．解得m＝1．则A（1，2）．根据图象可得关于x的不等式kx+b≤−12x+52的解集是x≤1．故选：C．【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】【例7】（2022•钟山县校级模拟）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（ ）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【分析】观察函数图象得到，当x＜﹣1时，直线y＝k2x都在直线y＝k1x+b，的上方，于是可得到不等式k2x＞k1x+b的解集．【解答】解：当x＜﹣1时，k2x＞k1x+b，所以不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1．故选：D．【变式7-1】（2022•烟台）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为 x≤1 ．【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≤1时x+2≤ax+c，即可求解；【解答】解：点P（m，3）代入y＝x+2，∴m＝1，∴P（1，3），结合图象可知x+2≤ax+c的解集为x≤1；故答案为x≤1；【变式7-2】（2022春•楚雄州期末）已知关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，4）、B（0，3）．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）若关于x的一次函数y＝mx+n（m＜0）的图象也经过点A，则关于x的不等式mx+n≥kx+b的解集为 x≤2 ．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（2）根据图形，找出点A及其左边的部分的x的取值范围即可．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（2，4）、B（0，3），∴2k+b=4b=3，解方程组得k=12b=3，∴直线AB的解析式为y=12x+3；（2）∵直线y＝mx+n（m＜0）与直线AB相交于点A（2，4），∴不等式mx+n≥kx+b的解集是x≤2．故答案为：x≤2．【变式7-3】（2022春•潮安区期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）求△ADC的面积．【分析】（1）根据点A的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式，联立直线AB、CD的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点C的坐标；（2）根据直线AB、CD的上下位置关系结合点C的坐标，即可得出不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△ADC的面积．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+5经过点A（5，0），∴5k+5＝0，解得：k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5．联立直线AB、CD的解析式成方程组，y=−x+5y=2x−4，解得：x=3y=2，∴点C的坐标为（3，2）．（2）观察函数图象可知：当x＞3时，直线y＝2x﹣4在直线y＝﹣x+5的上方，∴不等式2x﹣4＞kx+5的解集为x＞3．（3）当y＝2x﹣4＝0时，x＝2，∴点D的坐标为（2，0），∴S△ACD=12（xA﹣xD）•yC=12×（5﹣2）×2＝3．【题型8 绝对值函数与不等式】【例8】（2022秋•临海市校级月考）小敏学习了一次函数后，尝试着用相同的方法研究函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|和y＝|x﹣2|+1的图象；（2）猜想函数y＝﹣|x+1|和y＝﹣|x+1|﹣3的图象关系；（3）尝试归纳函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质；（4）当﹣2≤x≤5时，求y＝﹣2|x﹣3|+4的函数值范围．【分析】（1）根据函数图象的作图步骤画出图象；（2）根据图象得出两个函数的图象关系即可；（3）根据图象得出几条信息即可；（4）根据据一次函数图象的增减性写出若﹣2≤x≤5，函数值范围．【解答】解：（1）图象如图（2）y＝﹣|x+1|﹣3的图象可以由y＝﹣|x+1|的图象向下平移3个单位得到；（3）①y＝a|x﹣b|+c的图象是一条折线；②该图象关于x＝b对称；③当a＞0时，当x＜b时，y随x的增大而减少；当x＞b时，y随x的增大而增大；④当a＜0时，当x＜b时，y随x的增大而增大；当x＞b时，y随x的增大而减少；⑤y＝a|x﹣b|+c可以由y＝a|x﹣b|平移得到，⑥当a＞0时，x＝b时，y的值最小，最小为c；当a＜0时，x＝b时，y的值最大，最大为c；（4）根据图象知，y随x的增大而减小，所以当﹣2≤x≤5时，函数值范围是﹣6≤y≤4．【变式8-1】（2022秋•玄武区期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝|x|的图象和性质，并解决问题．（1）完成下列步骤，画出函数y＝|x|的图象；①列表、填空；②描点；③连线．（2）观察图象，当x ＞0 时，y随x的增大而增大；（3）根据图象，不等式|x|＜12x+32的解集为 ﹣1＜x＜3 ．【分析】（1）根据函数值填表即可；（2）根据图象得出函数性质即可；（3）根据图象得出不等式的解集即可．【解答】解：（1）①填表正确②③画函数图象如图所示：（2）由图象可得：x＞0时，y随x的增大而增大； （3）由图象可得：不等式|x|＜12x+32的解集为﹣1＜x＜3；故答案为：＞0；﹣1＜x＜3【变式8-2】（2022春•确山县期末）画出函数y＝|x|﹣2的图象，利用图象回答下列问题：（1）写出函数图象上最低点的坐标，并求出函数y的最小值；（2）利用图象直接写出不等式|x|﹣2＞0的解集；（3）若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与y＝|x|﹣2的图象有两个交点A（m，1），B（12，−32），直接写出关于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解．【分析】当x＞0，画出函数y＝x﹣2的图象；当x＜0，画出函数y＝﹣x﹣2的图象，从而得到函数y＝|x|﹣2的图象；（1）根据所画图象易得最低点的坐标和函数y的最小值；（2）利用函数图象，写出图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可；（3）先利用y＝|x|﹣2确定A点坐标，然后根据两直线的交点问题可确定关于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解．【解答】解：函数y＝|x|﹣2的图象如图，（1）最低点坐标是（0，﹣2），函数y的最小值是﹣2；（2）x＞2或x＜﹣2；（3）当y＝1时，|x|﹣2＝1，解得x＝﹣3或x＝3（舍去），所以交点A的坐标为（﹣3，1），而交点B的坐标为（12，−32），所以关于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解为x＝﹣3或x=12．【变式8-3】（2022春•重庆期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝|2x+4|+x+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）如表是部分x，y的对应值：根据表中的数据可以求得m＝ ﹣2 ，n＝ ﹣1 ；（2）请在给出的平面直角坐标系中，描出以如表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点画出该函数的图象；（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质 ①x＜﹣2时，y随x的增大而减小；②x≥﹣2时，y随x的增大而增大；性质不唯一，合理即可． ；（4）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣4，﹣2）和点（1，5），结合你所画的函数图象，直接写出不等式kx+b＜|2x+4|+x+m的解集．【分析】（1）代入一个已知点坐标求出m，得到解析式，再把x＝﹣5代入解析式，求出n；（2）先描点，再连线；（3）从增减性等方面入手分析；（4）两个函数图象的交点为（﹣4，﹣2）和（1，5），可以写出不等式的解集．【解答】解：（1）把x＝0代入解析式，得：4+m＝2，得：m＝﹣2，∴y＝|2x+4|+x﹣2，∴x＝﹣5时，y＝﹣1，∴n＝﹣1．故答案为；﹣2，﹣1．（2）图象如右图所示．（3）①x＜﹣2时，y随x的增大而减小；②x≥﹣2时，y随x的增大而增大；性质不唯一，合理即可．故答案为：①x＜﹣2时，y随x的增大而减小；②x≥﹣2时，y随x的增大而增大；性质不唯一，合理即可．∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣4，﹣2）和点（1，5），∴函数y＝kx+b（k≠0）与函数y＝|2x+4|+x+m的图象交点为（﹣4，﹣2）和（1，5），∴不等式kx+b＜|2x+4|+x+m的解集为：x＜﹣4或x＞1．【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】【例9】（2022秋•青田县月考）如图，可以得出不等式组ax+b＜0cx+d＞0的解集是（ ）A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．﹣1＜x＜4 D．x＞4【分析】根据直线y＝ax+b交x轴于点（4，0），直线y＝cx+d交x轴于点（﹣1，0），再结合图象即可得出两不等式的解集，进而得出答案．【解答】解：∵直线y＝ax+b交x轴于点（4，0），∴ax+b＜0的解集为：x＞4，∵直线y＝cx+d交x轴于点（﹣1，0），∴cx+d＞0的解集为：x＞﹣1，∴不等式组ax+b＜0cx+d＞0的解集是：x＞4．故选：D．【变式9-1】（2022春•南康区期末）如图，直线y＝﹣x+m与直线y=12x+3交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式组−x+m＞12x+312x+3＞0的解集为 ﹣6＜x＜﹣2 ．【分析】利用图象法即可解决问题．【解答】解：∵直线y＝﹣x+m与直线y=12x+3交点的横坐标为﹣2，∴关于x的不等式﹣x+m＞12x+3的解集为x＜﹣2，∴y=12x+3＝0时，x＝﹣6，∴关于x的不等式组−x+m＞12x+312x+3＞0的解集为﹣6＜x＜﹣2．故答案为：﹣6＜x＜﹣2．【变式9-2】（2022•富阳区二模）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，3），B（−52，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜﹣3x的解集为 −52＜x＜﹣1 ．【分析】当x＝﹣1时，y＝﹣3x＝3，可知直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x交于点A，根据图象即可确定不等式组得取值范围．【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣3x＝3，∴直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x交于点A（﹣1，3），根据图象可知，不等式组0＜kx+b＜﹣3x的解集为−52＜x＜﹣1，故答案为：−52＜x＜﹣1．【变式9-3】（2022•青羊区校级自主招生）如图，直线y1＝ax+2与y2＝bx+4交于点N（1，a+2），将直线y1＝ax+2向下平移后得到y3＝ax﹣5，则能使得y3＜y2＜y1的x的所有整数值分别为（ ）A．1，2，3 B．2，3 C．2，3，4 D．3，4，5【分析】先把N（1，a+2）代入y2＝bx+4得b＝a﹣2，再解不等式ax﹣5＜bx+4得x＜92，接着利用函数图象得到当x＞1时，y2＜y1，从而得到x的范围为1＜x＜92，然后写出此范围内的整数即可．【解答】解：把N（1，a+2）代入y2＝bx+4得b+4＝a+2，b＝a﹣2，解不等式ax﹣5＜bx+4，即ax﹣5＜（a﹣2）x+4得x＜92，因为当x＞1时，y2＜y1，所以满足y3＜y2＜y1的x的范围为1＜x＜92，所以能使得y3＜y2＜y1的x的所有整数值分别为2、3、4．故选：C．【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】【例10】（2022•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）A．2x+y≥53x+4y≥9y≥0 B．2x+y≤53x+4y≤9y≥0 C．2x+y≥53x+4y≥9x≥0 D．2x+y≤53x+4y≥9x≥0【分析】根据图形即可判断阴影部分是由x＝0，y＝﹣2x+5，y=−34x+94三条直线围起来的区域，再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可得出答案．【解答】解：∵x≥0表示直线x＝0右侧的部分，2x+y≤5表示直线y＝﹣2x+5左下方的部分，3x+4y≥9表示直线y=−34x+94右上方的部分，故根据图形可知：满足阴影部分的不等式组为：2x+y≤53x+4y≥9x≥0．故选：D．【变式10-1】（2022秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（ ）A．x﹣y≤﹣5 B．x+y≥﹣5 C．x+y≤5 D．x﹣y≤5【分析】阴影部分的边缘可以看作是一条直线，可设其解析式并用待定系数法求之得y＝﹣x+5，即x+y＝5．因为阴影部分在直线的下方，即可理解为阴影部分中任意一点（x，y）满足x+y≤5．【解答】解：如图：点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0）则设直线AB的解析式为：y＝kx+b∴b=55k+b=0，解之得：b=5k=−1∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+5则：x+y＝5，即：直线上任意一点的横坐标x与纵坐标y的和等于5而阴影部分中任意一点（x，y）的横坐标与纵坐标的和都小于5，∴x+y≤5故选：C．【变式10-2】（2012春•南岸区期末）如图，用不等式表示阴影区域为（ ）A．x+y≤0，且x﹣y≥0 B．x+y≥0，且x﹣y≥0 C．x+y≥0，且x﹣y≤0 D．x+y≤0，且x﹣y≤0【分析】根据图形即可判断阴影部分是由y＝﹣x，y＝x围起来的区域，再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可得出答案．【解答】解：∵阴影区域表示的点都在y＝x下方，∴y≤x，即x﹣y≥0；阴影区域表示的点都在y＝﹣x下方，∴y≤﹣x，即x+y≤0．故选：A．【变式10-3】（2022春•广水市期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程x﹣y＝0的一个解x=1y=1可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫作方程x﹣y＝0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程x﹣y＝0的图象称为直线x﹣y＝0．直线x﹣y＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x0，y0）的坐标满足不等式x﹣y≤0，那么点M（x0，y0）就在直线x﹣y＝0的上方区域内．特别地，x＝k（k常数）表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，y＝m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线．请根据以上材料，探索完成以下问题：（1）已知点A（2，1）、B（83，32）、C（136，54）、D（4，92），其中在直线3x﹣2y＝4上的点有 A，C （只填字母）；请再写出直线3x﹣2y＝4上一个点的坐标 （0，﹣2） ；（2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤40≤y≤3则所有的点P组成的图形的面积是 12 ；（3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤10≤y≤2x−y≥0，请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形（涂上阴影），并求出上述图形的面积．【分析】（1）将四点的坐标分别代入3x﹣2y＝4中，如果等式左右两边相等，那么点在直线上，否则点不在直线上；（2）首先画出图形，再根据矩形的面积公式计算即可；（3）首先画出图形，再根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）将点A（2，1）、B（83，32）、C（136，54）、D（4，92），分别代入3x﹣2y＝4中，适合方程的有A，C，当x＝0时，﹣2y＝4，∴y＝﹣2，∴（0，﹣2）在直线3x﹣2y＝4上，故答案为：A，C；（0，﹣2）；（2）如图，面积为：4×3＝12；故答案为：12；（3）如图，面积为：12×1×1=12． x…﹣m2﹣112…y…﹣20n2+1…x…﹣3﹣2﹣10123…y…31123…x…﹣3﹣2﹣10123…y…3210123…x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…0n﹣2﹣3﹣4﹣1258…
专题12.4 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc11269" 【题型1 一次函数与一元一次方程的解】 PAGEREF _Toc11269 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21110" 【题型2 两个一次函数与一元一次方程】 PAGEREF _Toc21110 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc29331" 【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 PAGEREF _Toc29331 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc2082" 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Toc2082 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc5429" 【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】 PAGEREF _Toc5429 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc13930" 【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】 PAGEREF _Toc13930 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc9328" 【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】 PAGEREF _Toc9328 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc9371" 【题型8 绝对值函数与不等式】 PAGEREF _Toc9371 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc18385" 【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】 PAGEREF _Toc18385 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc11196" 【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 PAGEREF _Toc11196 \h 9【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.【题型1 一次函数与一元一次方程的解】【例1】（2022秋•白塔区校级月考）直线y＝3x﹣m﹣4经过点A（m，0），则关于x的方程3x﹣m﹣4＝0的解是 ．【变式1-1】（2022春•安阳县期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为 ．【变式1-2】（2022春•雷州市校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝4的解是（ ）A．x＝3 B．x＝4 C．x＝0 D．x＝b【变式1-3】（2022秋•招远市期末）已知关于x的一次函数y＝3x+n的图象如图，则关于x的一次方程3x+n＝0的解是（ ）A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C． D．【题型2 两个一次函数与一元一次方程】【例2】（2022秋•双流区期末）已知一次函数y＝5x+m的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点（﹣2，4）（k，m是常数），则关于x的方程5x＝kx﹣m的解是 ．【变式2-1】（2022秋•龙岗区期末）如图，函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣1的图象交于点P，则关于x的方程kx﹣1＝2x+b的解是 ．【变式2-2】（2022秋•苏州期末）已知一次函数y＝kx+1与的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx+b＝0的解．【变式2-3】（2022秋•包河区期末）已知直线y＝x+b和y＝ax+2交于点P（3，﹣1），则关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为 ．【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】【例3】（2022春•江都区校级月考）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为 ．【变式3-1】（2022•姜堰区一模）若一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0）的图象过点（2，0），则关于x的方程a（x+1）+b＝0的解是 ．【变式3-2】（2022秋•庐阳区校级期中）若关于x的一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，0），则方程k（x+2）+b＝0的解为 ．【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）将直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解为x＝3，则k＝ ，m＝ ．【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】【例4】（2022春•夏津县期末）如图，根据函数图象回答问题：方程组y=kx+3y=ax+b的解为 ．【变式4-1】（2022•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组y−k1x=b1y−k2x=b2的解是 ．【变式4-2】（2022秋•西乡县期末）已知二元一次方程组x−y=−5x+2y=−2的解为x=−4y=1，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y=−12x﹣1的交点坐标为（ ）A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1）【变式4-3】（2022•德城区二模）若以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=−12x+b﹣1上，则常数b的值为（ ）A．12 B．1 C．﹣1 D．2【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】【例5】（2022秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组y=kx+by=(3k−1)x+2（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；（3）当k，b为何值时，方程组无解．【变式5-1】（2022秋•苏州期末）若二元一次方程组3x+y=−12x+my=−8有唯一的一组解，那么应满足的条件是（ ）A．m=23 B．m≠23 C．m=−23 D．m≠−23【变式5-2】（2022春•覃塘区期中）如果关于x，y的方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a，b，c的值应满足的条件是（ ）A．a≠b B．b≠c C．a≠c D．a≠c且c≠1【变式5-3】（2022春•高明区期末）k为何值时，方程组kx−y=−133y=1−6x有唯一一组解；无解；无穷多解？【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】【例6】（2022•海淀区校级自主招生）已知一次函数y＝kx+b中x取不同值时，y对应的值列表如下：则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为（ ）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．无法确定【变式6-1】（2022春•龙岗区期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，2），B（1，0），则关于x的不等式kx+b＜2解集为 ．【变式6-2】（2022春•湖南期中）已知关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是x＜1，则直线y＝ax+1与x轴的交点是（ ）A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（1，0）【变式6-3】（2022春•高明区校级期末）如图，直线y＝kx+b与直线y=−12x+52交于点A（m，2），则关于x的不等式kx+b≤−12x+52的解集是（ ）A．x≤2 B．x≥1 C．x≤1 D．x≥2【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】【例7】（2022•钟山县校级模拟）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（ ）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【变式7-1】（2022•烟台）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为 ．【变式7-2】（2022春•楚雄州期末）已知关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，4）、B（0，3）．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）若关于x的一次函数y＝mx+n（m＜0）的图象也经过点A，则关于x的不等式mx+n≥kx+b的解集为 ．【变式7-3】（2022春•潮安区期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）求△ADC的面积．【题型8 绝对值函数与不等式】【例8】（2022秋•临海市校级月考）小敏学习了一次函数后，尝试着用相同的方法研究函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|和y＝|x﹣2|+1的图象；（2）猜想函数y＝﹣|x+1|和y＝﹣|x+1|﹣3的图象关系；（3）尝试归纳函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质；（4）当﹣2≤x≤5时，求y＝﹣2|x﹣3|+4的函数值范围．【变式8-1】（2022秋•玄武区期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝|x|的图象和性质，并解决问题．（1）完成下列步骤，画出函数y＝|x|的图象；①列表、填空；②描点；③连线．（2）观察图象，当x 时，y随x的增大而增大；（3）根据图象，不等式|x|＜12x+32的解集为 ．【变式8-2】（2022春•确山县期末）画出函数y＝|x|﹣2的图象，利用图象回答下列问题：（1）写出函数图象上最低点的坐标，并求出函数y的最小值；（2）利用图象直接写出不等式|x|﹣2＞0的解集；（3）若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与y＝|x|﹣2的图象有两个交点A（m，1），B（12，−32），直接写出关于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解．【变式8-3】（2022春•重庆期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝|2x+4|+x+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）如表是部分x，y的对应值：根据表中的数据可以求得m＝ ，n＝ ；（2）请在给出的平面直角坐标系中，描出以如表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点画出该函数的图象；（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质 ；（4）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣4，﹣2）和点（1，5），结合你所画的函数图象，直接写出不等式kx+b＜|2x+4|+x+m的解集．【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】【例9】（2022秋•青田县月考）如图，可以得出不等式组ax+b＜0cx+d＞0的解集是（ ）A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．﹣1＜x＜4 D．x＞4【变式9-1】（2022春•南康区期末）如图，直线y＝﹣x+m与直线y=12x+3交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式组−x+m＞12x+312x+3＞0的解集为 ．【变式9-2】（2022•富阳区二模）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，3），B（−52，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜﹣3x的解集为 ．【变式9-3】（2022•青羊区校级自主招生）如图，直线y1＝ax+2与y2＝bx+4交于点N（1，a+2），将直线y1＝ax+2向下平移后得到y3＝ax﹣5，则能使得y3＜y2＜y1的x的所有整数值分别为（ ）A．1，2，3 B．2，3 C．2，3，4 D．3，4，5【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】【例10】（2022•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）A．2x+y≥53x+4y≥9y≥0 B．2x+y≤53x+4y≤9y≥0 C．2x+y≥53x+4y≥9x≥0 D．2x+y≤53x+4y≥9x≥0【变式10-1】（2022秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（ ）A．x﹣y≤﹣5 B．x+y≥﹣5 C．x+y≤5 D．x﹣y≤5【变式10-2】（2012春•南岸区期末）如图，用不等式表示阴影区域为（ ）A．x+y≤0，且x﹣y≥0 B．x+y≥0，且x﹣y≥0 C．x+y≥0，且x﹣y≤0 D．x+y≤0，且x﹣y≤0【变式10-3】（2022春•广水市期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程x﹣y＝0的一个解x=1y=1可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫作方程x﹣y＝0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程x﹣y＝0的图象称为直线x﹣y＝0．直线x﹣y＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x0，y0）的坐标满足不等式x﹣y≤0，那么点M（x0，y0）就在直线x﹣y＝0的上方区域内．特别地，x＝k（k常数）表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，y＝m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线．请根据以上材料，探索完成以下问题：（1）已知点A（2，1）、B（83，32）、C（136，54）、D（4，92），其中在直线3x﹣2y＝4上的点有 （只填字母）；请再写出直线3x﹣2y＝4上一个点的坐标 ；（2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤40≤y≤3则所有的点P组成的图形的面积是 ；（3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤10≤y≤2x−y≥0，请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形（涂上阴影），并求出上述图形的面积． x…﹣m2﹣112…y…﹣20n2+1…x…﹣3﹣2﹣10123…y…31123…x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…0n﹣2﹣3﹣4﹣1258…专题12.4 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc11269" 【题型1 一次函数与一元一次方程的解】 PAGEREF _Toc11269 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21110" 【题型2 两个一次函数与一元一次方程】 PAGEREF _Toc21110 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc29331" 【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 PAGEREF _Toc29331 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2082" 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Toc2082 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc5429" 【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】 PAGEREF _Toc5429 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13930" 【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】 PAGEREF _Toc13930 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc9328" 【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】 PAGEREF _Toc9328 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc9371" 【题型8 绝对值函数与不等式】 PAGEREF _Toc9371 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc18385" 【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】 PAGEREF _Toc18385 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc11196" 【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 PAGEREF _Toc11196 \h 21【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.【题型1 一次函数与一元一次方程的解】【例1】（2022秋•白塔区校级月考）直线y＝3x﹣m﹣4经过点A（m，0），则关于x的方程3x﹣m﹣4＝0的解是 x＝2 ．【分析】根据函数与方程的关系进行解答即可．【解答】解：把x＝m，y＝0代入y＝3x﹣m﹣4中，可得：m＝2，所以关于x的方程3x﹣m﹣4＝0的解是x＝2，故答案为：x＝2【变式1-1】（2022春•安阳县期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为 x＝﹣2 ．【分析】根据图象得出一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标，即可得出方程的解．【解答】解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0），∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2，故答案为：x＝﹣2．【变式1-2】（2022春•雷州市校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝4的解是（ ）A．x＝3 B．x＝4 C．x＝0 D．x＝b【分析】可利用函数图象可直接得到答案．【解答】解：由图象知，一次函数的图象过点（3，4），所以有3k+b＝4，所以x＝3是方程kx+b＝4的解，故选：A．【变式1-3】（2022秋•招远市期末）已知关于x的一次函数y＝3x+n的图象如图，则关于x的一次方程3x+n＝0的解是（ ）A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C． D．【分析】根据函数的图象得出一次函数y＝3x+n与y轴的交点坐标是（0，2），把坐标代入函数解析式，求出n，再求出方程的解即可．【解答】解：从图象可知：一次函数y＝3x+n与y轴的交点坐标是（0，2），代入函数解析式得：2＝0+n，解得：n＝2，即y＝3x+2，当y＝0时，3x+2＝0，解得：x＝﹣，即关于x的一次方程3x+n＝0的解是x＝﹣，故选：D．【题型2 两个一次函数与一元一次方程】【例2】（2022秋•双流区期末）已知一次函数y＝5x+m的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点（﹣2，4）（k，m是常数），则关于x的方程5x＝kx﹣m的解是 x＝﹣2 ．【分析】由题意可知当x＝﹣2时，一次函数y＝5x+m与正比例函数y＝kx的函数值相同，从而可得到方程的解．【解答】解：一次函数y＝5x+m图象与正比例函数y＝kx图象交于点（﹣2，4），当x＝﹣2时，5x+m＝kx，即5x＝kx﹣m，方程5x＝kx﹣m的解是x＝﹣2，故答案为：x＝﹣2．【变式2-1】（2022秋•龙岗区期末）如图，函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣1的图象交于点P，则关于x的方程kx﹣1＝2x+b的解是 x＝1 ．【分析】方程kx﹣1＝2x+b的解，就是两个函数图象的交点的横坐标，观察图象即可解决问题；【解答】解：方程kx﹣1＝2x+b的解，就是两个函数图象的交点的横坐标，观察图象可知方程的解为x＝1，故答案为x＝1【变式2-2】（2022秋•苏州期末）已知一次函数y＝kx+1与的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx+b＝0的解．【分析】首先将（2，5）点代入一次函数解析式求出k，b的值，进而解方程得出答案．【解答】解：∵一次函数y＝kx+1与的图象相交于点（2，5），∴5＝2k+1，5＝﹣×2+b，解得：k＝2，b＝6，则kx+b＝0为：2x+6＝0，解得：x＝﹣3．【变式2-3】（2022秋•包河区期末）已知直线y＝x+b和y＝ax+2交于点P（3，﹣1），则关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为 x＝3 ．【分析】利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解决问题．【解答】解：由（a﹣1）x＝b﹣2知，x+b＝ax+2．∵直线y＝x+b和ax+2交于点P（3，﹣1），∴当x＝3时，x+b＝ax+2＝﹣1，即关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为x＝3．故答案为：x＝3．【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】【例3】（2022春•江都区校级月考）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为 x＝3 ．【分析】由y＝k（x﹣5）+b与y＝kx+b可得直线y＝kx+b向右平移5个单位得到直线y＝k（x﹣5）+b，从而可得直线y＝k（x﹣5）+b与x轴交点坐标，进而求解．【解答】解：直线y＝k（x﹣5）+b是由直线y＝kx+b向右平移5个单位所得，∵y＝kx+b与x轴交点为（﹣2，0），∴直线y＝k（x﹣5）+b与x轴交点坐标为（3，0），∴k（x﹣5）+b＝0的解为x＝3，故答案为：x＝3．【变式3-1】（2022•姜堰区一模）若一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0）的图象过点（2，0），则关于x的方程a（x+1）+b＝0的解是 x＝1 ．【分析】首先根据函数解析式可得一次函数y＝ax+b的图象向左平移1个单位可得y＝a（x+1）+b的图象，进而可得一次函数y＝a（x+1）+b的图象与x轴交于点（1，0），然后可得答案．【解答】解：一次函数y＝ax+b的图象向左平移1个单位可得y＝a（x+1）+b的图象，∵一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0）的图象过点（2，0），∴一次函数y＝a（x+1）+b的图象与x轴交于点（1，0），∴关于x的方程a（x+1）+b＝0的解是：x＝1，故答案为：x＝1．【变式3-2】（2022秋•庐阳区校级期中）若关于x的一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，0），则方程k（x+2）+b＝0的解为 ﹣3 ．【分析】把点A（﹣1，0）代入y＝kx+b，求得b＝k，所以方程变为k（x+2）+k＝0，即可求得方程的解．【解答】解：∵关于x的一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，0），∴﹣k+b＝0，∴b＝k，∴方程k（x+2）+b＝0化为方程k（x+2）+k＝0，∴k（x+3）＝0，∴x＝﹣3．故答案为﹣3．【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）将直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解为x＝3，则k＝ 2 ，m＝ ﹣6 ．【分析】利用直线平移的规律得到m＝﹣6，然后把x＝3代入kx﹣6＝0可求出k的值．【解答】解：∵直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线解析式为y＝kx﹣2﹣4，即y＝kx﹣6，∴m＝﹣6，∵程kx+m＝0的解为x＝3，∴3k﹣6＝0，解得k＝2．故答案为2，﹣6．【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】【例4】（2022春•夏津县期末）如图，根据函数图象回答问题：方程组y=kx+3y=ax+b的解为 x=−1y=2 ．【分析】首先观察函数的图象y＝kx+3经过点（﹣3，0），然后求得k值确定函数的解析式，最后求得两图象的交点求方程组的解即可；【解答】解：根据图象知：y＝kx+3经过点（﹣3，0），所以﹣3k+3＝0，解得：k＝1，所以解析式为y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝2，所以两个函数图象均经过（﹣1，2）所以方程组y=kx+3y=ax+b的解为x=−1y=2，故答案为：x=−1y=2．【变式4-1】（2022•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组y−k1x=b1y−k2x=b2的解是 x=2y=1 ．【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），∴关于x，y的方程组y−k1x=b1y−k2x=b2的解是x=2y=1．故答案为x=2y=1．【变式4-2】（2022秋•西乡县期末）已知二元一次方程组x−y=−5x+2y=−2的解为x=−4y=1，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y=−12x﹣1的交点坐标为（ ）A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1）【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可．【解答】解：∵二元一次方程组x−y=−5x+2y=−2的解为x=−4y=1，∴直线l1：y＝x+5与直线l2：y=−12x﹣1的交点坐标为（﹣4，1）．故选：D．【变式4-3】（2022•德城区二模）若以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=−12x+b﹣1上，则常数b的值为（ ）A．12 B．1 C．﹣1 D．2【分析】直线解析式乘以2后和方程联立解答即可．【解答】解：因为以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=−12x+b﹣1上，直线解析式乘以2得2y＝﹣x+2b﹣2，变形为：x+2y﹣2b+2＝0，所以b﹣2b+2＝0，解得：b＝2，故选：D．【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】【例5】（2022秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组y=kx+by=(3k−1)x+2（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；（3）当k，b为何值时，方程组无解．【分析】（1）利用两直线的位置关系得到当k≠3k﹣1时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2只有一个交点，于是可得到k的取值范围；（2）利用两直线的位置关系得到当k＝3k﹣1，b＝2时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2重合，于是可得到k、b的值；（3）利用两直线的位置关系得到当k＝3k﹣1，b≠2时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2没有一个交点，于是可得到k的值和b的取值范围．【解答】解：（1）当k≠3k﹣1时，即k≠12，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2只有一个交点，所以当k≠12，b为任意数时，方程组有唯一一组解；（2）当k＝3k﹣1，b＝2时，即k=12，b＝2，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2重合，所以k=12，b＝2时，方程组有无数组解；（3）当k＝3k﹣1，b≠2时，即k=12，b≠2，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2没有交点，所以k=12，b≠2时，方程组无解．【变式5-1】（2022秋•苏州期末）若二元一次方程组3x+y=−12x+my=−8有唯一的一组解，那么应满足的条件是（ ）A．m=23 B．m≠23 C．m=−23 D．m≠−23【分析】由已知可以把方程组x的系数转化为它们的最小公倍数，分析转化后的方程组得到满足的条件．【解答】解：原方程组化为：6x+2y=−26x+3my=−24，∵﹣2≠﹣24，∴要使方程组有唯一的一组解，则3m≠2，所以m≠23．故选：B．【变式5-2】（2022春•覃塘区期中）如果关于x，y的方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a，b，c的值应满足的条件是（ ）A．a≠b B．b≠c C．a≠c D．a≠c且c≠1【分析】此题的解法在于将两式的y用x来代替然后列出y关于x的方程，因为有唯一解，根据方程可得出a，b，c的值的条件．【解答】解：方程组x+y=1ax+by=c变形得y=1−xy=cb−abx，∴1﹣x=cb−abx，∴（a﹣b）x＝c﹣b，∴x=c−ba−b，要使方程有唯一解，则a≠b，故选：A．【变式5-3】（2022春•高明区期末）k为何值时，方程组kx−y=−133y=1−6x有唯一一组解；无解；无穷多解？【分析】先将方程组整理成二元一次方程组的一般形式，再根据二元一次方程组的解的三种情况进行分析，从而得出结果．【解答】解：原方程组可化为kx−y=−136x+3y=1，①当k6≠−13，即k≠﹣2时，原方程组有唯一一组解；②当k6=−13≠−131，即k无论取什么值，都不能使原方程组无解；③当k6=−13=−131，即k＝﹣2时，原方程组有无穷多解．【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】【例6】（2022•海淀区校级自主招生）已知一次函数y＝kx+b中x取不同值时，y对应的值列表如下：则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为（ ）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．无法确定【分析】首先根据函数的值确定一次函数的增减性，然后根据函数经过点（1，0），即可进行判断．【解答】解：∵﹣m2﹣1＜2，﹣2＜n2+1，∴函数y＝kx+b中y随x的增大而增大，又∵函数经过点（1，0），∴kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为：x＞1．故选：A．【变式6-1】（2022春•龙岗区期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，2），B（1，0），则关于x的不等式kx+b＜2解集为 x＞﹣3 ．【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值小于2的自变量x的取值范围．【解答】解：由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2，故答案为：x＞﹣3．【变式6-2】（2022春•湖南期中）已知关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是x＜1，则直线y＝ax+1与x轴的交点是（ ）A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（1，0）【分析】由于关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是x＜1，得到a小于0，表示出不等式的解集，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入确定出直线y＝ax+1解析式，即可求出与x轴的交点坐标．【解答】解：∵关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是：x＜1，∴a＜0，解得：x＜−1a，∴−1a=1，即a＝﹣1，即直线解析式为y＝﹣x+1，令y＝0，解得：x＝1，则直线y＝﹣x+1与x轴的交点是（1，0）．故选：D．【变式6-3】（2022春•高明区校级期末）如图，直线y＝kx+b与直线y=−12x+52交于点A（m，2），则关于x的不等式kx+b≤−12x+52的解集是（ ）A．x≤2 B．x≥1 C．x≤1 D．x≥2【分析】关于x的不等式kx+b≤−12x+52的解集，直线y＝kx+b的图象在y=−12x+52的图象的下边的部分，对应的自变量x的取值范围．【解答】解：把A（m，2）代入y=−12x+52，得2=−12m+52．解得m＝1．则A（1，2）．根据图象可得关于x的不等式kx+b≤−12x+52的解集是x≤1．故选：C．【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】【例7】（2022•钟山县校级模拟）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（ ）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【分析】观察函数图象得到，当x＜﹣1时，直线y＝k2x都在直线y＝k1x+b，的上方，于是可得到不等式k2x＞k1x+b的解集．【解答】解：当x＜﹣1时，k2x＞k1x+b，所以不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1．故选：D．【变式7-1】（2022•烟台）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为 x≤1 ．【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≤1时x+2≤ax+c，即可求解；【解答】解：点P（m，3）代入y＝x+2，∴m＝1，∴P（1，3），结合图象可知x+2≤ax+c的解集为x≤1；故答案为x≤1；【变式7-2】（2022春•楚雄州期末）已知关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，4）、B（0，3）．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）若关于x的一次函数y＝mx+n（m＜0）的图象也经过点A，则关于x的不等式mx+n≥kx+b的解集为 x≤2 ．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（2）根据图形，找出点A及其左边的部分的x的取值范围即可．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（2，4）、B（0，3），∴2k+b=4b=3，解方程组得k=12b=3，∴直线AB的解析式为y=12x+3；（2）∵直线y＝mx+n（m＜0）与直线AB相交于点A（2，4），∴不等式mx+n≥kx+b的解集是x≤2．故答案为：x≤2．【变式7-3】（2022春•潮安区期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）求△ADC的面积．【分析】（1）根据点A的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式，联立直线AB、CD的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点C的坐标；（2）根据直线AB、CD的上下位置关系结合点C的坐标，即可得出不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△ADC的面积．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+5经过点A（5，0），∴5k+5＝0，解得：k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5．联立直线AB、CD的解析式成方程组，y=−x+5y=2x−4，解得：x=3y=2，∴点C的坐标为（3，2）．（2）观察函数图象可知：当x＞3时，直线y＝2x﹣4在直线y＝﹣x+5的上方，∴不等式2x﹣4＞kx+5的解集为x＞3．（3）当y＝2x﹣4＝0时，x＝2，∴点D的坐标为（2，0），∴S△ACD=12（xA﹣xD）•yC=12×（5﹣2）×2＝3．【题型8 绝对值函数与不等式】【例8】（2022秋•临海市校级月考）小敏学习了一次函数后，尝试着用相同的方法研究函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|和y＝|x﹣2|+1的图象；（2）猜想函数y＝﹣|x+1|和y＝﹣|x+1|﹣3的图象关系；（3）尝试归纳函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质；（4）当﹣2≤x≤5时，求y＝﹣2|x﹣3|+4的函数值范围．【分析】（1）根据函数图象的作图步骤画出图象；（2）根据图象得出两个函数的图象关系即可；（3）根据图象得出几条信息即可；（4）根据据一次函数图象的增减性写出若﹣2≤x≤5，函数值范围．【解答】解：（1）图象如图（2）y＝﹣|x+1|﹣3的图象可以由y＝﹣|x+1|的图象向下平移3个单位得到；（3）①y＝a|x﹣b|+c的图象是一条折线；②该图象关于x＝b对称；③当a＞0时，当x＜b时，y随x的增大而减少；当x＞b时，y随x的增大而增大；④当a＜0时，当x＜b时，y随x的增大而增大；当x＞b时，y随x的增大而减少；⑤y＝a|x﹣b|+c可以由y＝a|x﹣b|平移得到，⑥当a＞0时，x＝b时，y的值最小，最小为c；当a＜0时，x＝b时，y的值最大，最大为c；（4）根据图象知，y随x的增大而减小，所以当﹣2≤x≤5时，函数值范围是﹣6≤y≤4．【变式8-1】（2022秋•玄武区期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝|x|的图象和性质，并解决问题．（1）完成下列步骤，画出函数y＝|x|的图象；①列表、填空；②描点；③连线．（2）观察图象，当x ＞0 时，y随x的增大而增大；（3）根据图象，不等式|x|＜12x+32的解集为 ﹣1＜x＜3 ．【分析】（1）根据函数值填表即可；（2）根据图象得出函数性质即可；（3）根据图象得出不等式的解集即可．【解答】解：（1）①填表正确②③画函数图象如图所示：（2）由图象可得：x＞0时，y随x的增大而增大； （3）由图象可得：不等式|x|＜12x+32的解集为﹣1＜x＜3；故答案为：＞0；﹣1＜x＜3【变式8-2】（2022春•确山县期末）画出函数y＝|x|﹣2的图象，利用图象回答下列问题：（1）写出函数图象上最低点的坐标，并求出函数y的最小值；（2）利用图象直接写出不等式|x|﹣2＞0的解集；（3）若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与y＝|x|﹣2的图象有两个交点A（m，1），B（12，−32），直接写出关于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解．【分析】当x＞0，画出函数y＝x﹣2的图象；当x＜0，画出函数y＝﹣x﹣2的图象，从而得到函数y＝|x|﹣2的图象；（1）根据所画图象易得最低点的坐标和函数y的最小值；（2）利用函数图象，写出图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可；（3）先利用y＝|x|﹣2确定A点坐标，然后根据两直线的交点问题可确定关于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解．【解答】解：函数y＝|x|﹣2的图象如图，（1）最低点坐标是（0，﹣2），函数y的最小值是﹣2；（2）x＞2或x＜﹣2；（3）当y＝1时，|x|﹣2＝1，解得x＝﹣3或x＝3（舍去），所以交点A的坐标为（﹣3，1），而交点B的坐标为（12，−32），所以关于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解为x＝﹣3或x=12．【变式8-3】（2022春•重庆期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝|2x+4|+x+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）如表是部分x，y的对应值：根据表中的数据可以求得m＝ ﹣2 ，n＝ ﹣1 ；（2）请在给出的平面直角坐标系中，描出以如表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点画出该函数的图象；（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质 ①x＜﹣2时，y随x的增大而减小；②x≥﹣2时，y随x的增大而增大；性质不唯一，合理即可． ；（4）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣4，﹣2）和点（1，5），结合你所画的函数图象，直接写出不等式kx+b＜|2x+4|+x+m的解集．【分析】（1）代入一个已知点坐标求出m，得到解析式，再把x＝﹣5代入解析式，求出n；（2）先描点，再连线；（3）从增减性等方面入手分析；（4）两个函数图象的交点为（﹣4，﹣2）和（1，5），可以写出不等式的解集．【解答】解：（1）把x＝0代入解析式，得：4+m＝2，得：m＝﹣2，∴y＝|2x+4|+x﹣2，∴x＝﹣5时，y＝﹣1，∴n＝﹣1．故答案为；﹣2，﹣1．（2）图象如右图所示．（3）①x＜﹣2时，y随x的增大而减小；②x≥﹣2时，y随x的增大而增大；性质不唯一，合理即可．故答案为：①x＜﹣2时，y随x的增大而减小；②x≥﹣2时，y随x的增大而增大；性质不唯一，合理即可．∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣4，﹣2）和点（1，5），∴函数y＝kx+b（k≠0）与函数y＝|2x+4|+x+m的图象交点为（﹣4，﹣2）和（1，5），∴不等式kx+b＜|2x+4|+x+m的解集为：x＜﹣4或x＞1．【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】【例9】（2022秋•青田县月考）如图，可以得出不等式组ax+b＜0cx+d＞0的解集是（ ）A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．﹣1＜x＜4 D．x＞4【分析】根据直线y＝ax+b交x轴于点（4，0），直线y＝cx+d交x轴于点（﹣1，0），再结合图象即可得出两不等式的解集，进而得出答案．【解答】解：∵直线y＝ax+b交x轴于点（4，0），∴ax+b＜0的解集为：x＞4，∵直线y＝cx+d交x轴于点（﹣1，0），∴cx+d＞0的解集为：x＞﹣1，∴不等式组ax+b＜0cx+d＞0的解集是：x＞4．故选：D．【变式9-1】（2022春•南康区期末）如图，直线y＝﹣x+m与直线y=12x+3交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式组−x+m＞12x+312x+3＞0的解集为 ﹣6＜x＜﹣2 ．【分析】利用图象法即可解决问题．【解答】解：∵直线y＝﹣x+m与直线y=12x+3交点的横坐标为﹣2，∴关于x的不等式﹣x+m＞12x+3的解集为x＜﹣2，∴y=12x+3＝0时，x＝﹣6，∴关于x的不等式组−x+m＞12x+312x+3＞0的解集为﹣6＜x＜﹣2．故答案为：﹣6＜x＜﹣2．【变式9-2】（2022•富阳区二模）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，3），B（−52，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜﹣3x的解集为 −52＜x＜﹣1 ．【分析】当x＝﹣1时，y＝﹣3x＝3，可知直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x交于点A，根据图象即可确定不等式组得取值范围．【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣3x＝3，∴直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x交于点A（﹣1，3），根据图象可知，不等式组0＜kx+b＜﹣3x的解集为−52＜x＜﹣1，故答案为：−52＜x＜﹣1．【变式9-3】（2022•青羊区校级自主招生）如图，直线y1＝ax+2与y2＝bx+4交于点N（1，a+2），将直线y1＝ax+2向下平移后得到y3＝ax﹣5，则能使得y3＜y2＜y1的x的所有整数值分别为（ ）A．1，2，3 B．2，3 C．2，3，4 D．3，4，5【分析】先把N（1，a+2）代入y2＝bx+4得b＝a﹣2，再解不等式ax﹣5＜bx+4得x＜92，接着利用函数图象得到当x＞1时，y2＜y1，从而得到x的范围为1＜x＜92，然后写出此范围内的整数即可．【解答】解：把N（1，a+2）代入y2＝bx+4得b+4＝a+2，b＝a﹣2，解不等式ax﹣5＜bx+4，即ax﹣5＜（a﹣2）x+4得x＜92，因为当x＞1时，y2＜y1，所以满足y3＜y2＜y1的x的范围为1＜x＜92，所以能使得y3＜y2＜y1的x的所有整数值分别为2、3、4．故选：C．【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】【例10】（2022•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）A．2x+y≥53x+4y≥9y≥0 B．2x+y≤53x+4y≤9y≥0 C．2x+y≥53x+4y≥9x≥0 D．2x+y≤53x+4y≥9x≥0【分析】根据图形即可判断阴影部分是由x＝0，y＝﹣2x+5，y=−34x+94三条直线围起来的区域，再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可得出答案．【解答】解：∵x≥0表示直线x＝0右侧的部分，2x+y≤5表示直线y＝﹣2x+5左下方的部分，3x+4y≥9表示直线y=−34x+94右上方的部分，故根据图形可知：满足阴影部分的不等式组为：2x+y≤53x+4y≥9x≥0．故选：D．【变式10-1】（2022秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（ ）A．x﹣y≤﹣5 B．x+y≥﹣5 C．x+y≤5 D．x﹣y≤5【分析】阴影部分的边缘可以看作是一条直线，可设其解析式并用待定系数法求之得y＝﹣x+5，即x+y＝5．因为阴影部分在直线的下方，即可理解为阴影部分中任意一点（x，y）满足x+y≤5．【解答】解：如图：点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0）则设直线AB的解析式为：y＝kx+b∴b=55k+b=0，解之得：b=5k=−1∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+5则：x+y＝5，即：直线上任意一点的横坐标x与纵坐标y的和等于5而阴影部分中任意一点（x，y）的横坐标与纵坐标的和都小于5，∴x+y≤5故选：C．【变式10-2】（2012春•南岸区期末）如图，用不等式表示阴影区域为（ ）A．x+y≤0，且x﹣y≥0 B．x+y≥0，且x﹣y≥0 C．x+y≥0，且x﹣y≤0 D．x+y≤0，且x﹣y≤0【分析】根据图形即可判断阴影部分是由y＝﹣x，y＝x围起来的区域，再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可得出答案．【解答】解：∵阴影区域表示的点都在y＝x下方，∴y≤x，即x﹣y≥0；阴影区域表示的点都在y＝﹣x下方，∴y≤﹣x，即x+y≤0．故选：A．【变式10-3】（2022春•广水市期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程x﹣y＝0的一个解x=1y=1可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫作方程x﹣y＝0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程x﹣y＝0的图象称为直线x﹣y＝0．直线x﹣y＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x0，y0）的坐标满足不等式x﹣y≤0，那么点M（x0，y0）就在直线x﹣y＝0的上方区域内．特别地，x＝k（k常数）表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，y＝m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线．请根据以上材料，探索完成以下问题：（1）已知点A（2，1）、B（83，32）、C（136，54）、D（4，92），其中在直线3x﹣2y＝4上的点有 A，C （只填字母）；请再写出直线3x﹣2y＝4上一个点的坐标 （0，﹣2） ；（2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤40≤y≤3则所有的点P组成的图形的面积是 12 ；（3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤10≤y≤2x−y≥0，请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形（涂上阴影），并求出上述图形的面积．【分析】（1）将四点的坐标分别代入3x﹣2y＝4中，如果等式左右两边相等，那么点在直线上，否则点不在直线上；（2）首先画出图形，再根据矩形的面积公式计算即可；（3）首先画出图形，再根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）将点A（2，1）、B（83，32）、C（136，54）、D（4，92），分别代入3x﹣2y＝4中，适合方程的有A，C，当x＝0时，﹣2y＝4，∴y＝﹣2，∴（0，﹣2）在直线3x﹣2y＝4上，故答案为：A，C；（0，﹣2）；（2）如图，面积为：4×3＝12；故答案为：12；（3）如图，面积为：12×1×1=12． x…﹣m2﹣112…y…﹣20n2+1…x…﹣3﹣2﹣10123…y…31123…x…﹣3﹣2﹣10123…y…3210123…x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…0n﹣2﹣3﹣4﹣1258…
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