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沪科版（2024）八年级上册第15章 轴对称图形和等腰三角形15.4 角的平分线同步测试题
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这是一份沪科版（2024）八年级上册第15章 轴对称图形和等腰三角形15.4 角的平分线同步测试题，共36页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29032" 【题型1 作已知角的角平分线】 PAGEREF _Tc29032 \h 1
\l "_Tc18662" 【题型2 角平分线的性质的应用】 PAGEREF _Tc18662 \h 3
\l "_Tc27100" 【题型3 角平分线的性质与等积法】 PAGEREF _Tc27100 \h 4
\l "_Tc1888" 【题型4 角平分线的性质与全等】 PAGEREF _Tc1888 \h 6
\l "_Tc2449" 【题型5 角平分线的判定】 PAGEREF _Tc2449 \h 10
\l "_Tc7926" 【题型6 角平分线的性质与判定综合】 PAGEREF _Tc7926 \h 11
\l "_Tc17998" 【题型7 角平分线的实际应用】 PAGEREF _Tc17998 \h 13
【知识点1 角平分线的作法】
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
【题型1 作已知角的角平分线】
【例1】（2022秋•上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P落在∠AOB的平分线上． （本题有三个结果，三个点分别用字母C、D、E表示）
【变式1-1】（2022秋•瑶海区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．无法确定
【变式1-2】（2022•辽宁）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【变式1-3】（2022春•西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上．
（1）请你过点D作DE平行BC，交AB于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法）
（2）如果点E在∠C的平分线上，∠C＝44°，那么∠DEC＝ ．
【知识点2 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型2 角平分线的性质的应用】
【例2】（2022春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54°B．50°C．48°D．46°
【变式2-1】（2022秋•蓬江区校级期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为 ．
【变式2-2】（2022秋•武昌区期中）在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°．
（1）求证：点E到AC和BD的距离相等；
（2）连接ED，求∠CED的度数．
【变式2-3】（2022春•金堂县期末）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC＝ °．
【题型3 角平分线的性质与等积法】
【例3】（2022•增城区期末）△ABC中，AB＝BC＝CA，三内角平分线交于O，OP⊥AB于P，OM⊥BC于M，ON⊥CA于N，AH⊥BC于H．求证OP+OM+ON＝AH．
【变式3-1】（2022春•泰和县期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
【变式3-2】（2022春•香坊区期末）已知：点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PM＝PN．
（1）当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1），求证：BM＝CN；
（2）在（1）的条件下，AM+AN＝ AC；
（3）当点M在线段AB的延长线上时（如图2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四边形ANPM的面积．
【变式3-3】（2022秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
【题型4 角平分线的性质与全等】
【例4】（2022春•通道县期末）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．
【变式4-1】（2022秋•金平区校级月考）已知：如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．
（1）求证：BC＝CD．
（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论．
【变式4-2】（2022秋•文昌校级期中）在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝ 120° ；
②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．
【变式4-3】（2022秋•东区校级月考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）
（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【知识点3 角平分线的判定】
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【题型5 角平分线的判定】
【例5】（2022秋•滨湖区校级期中）已知：如图，在△ABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？
【变式5-1】（2022秋•浦北县校级月考）如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．
求证：点P在∠C的平分线上．
【变式5-2】（2022春•澧县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，其中正确的是 ．（填序号）
【变式5-3】（2022秋•北关区校级月考）如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．
求证：AD平分∠BAC．
【题型6 角平分线的性质与判定综合】
【例6】（2022秋•费县期末）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．
【变式6-1】．（2022秋•台安县期中）如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，
（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
【变式6-2】（2022秋•洛龙区校级月考）如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上．
【变式6-3】（2022秋•铁东区校级期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【题型7 角平分线的实际应用】
【例7】某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一亭子供人们休息，而且要使亭子中心到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处．
【变式7-1】（2022春•西乡县期末）已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）
【变式7-2】（2022春•东山县校级期末）如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．
（1）在图上标出仓库G的位置．
（2）求出仓库G到铁路的实际距离（比例尺为1：10 000，用尺规作图）．
【变式7-3】（2022秋•柘城县校级月考）如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．
专题15.4 角的平分线的性质【七大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29032" 【题型1 作已知角的角平分线】 PAGEREF _Tc29032 \h 1
\l "_Tc18662" 【题型2 角平分线的性质的应用】 PAGEREF _Tc18662 \h 5
\l "_Tc27100" 【题型3 角平分线的性质与等积法】 PAGEREF _Tc27100 \h 9
\l "_Tc1888" 【题型4 角平分线的性质与全等】 PAGEREF _Tc1888 \h 12
\l "_Tc2449" 【题型5 角平分线的判定】 PAGEREF _Tc2449 \h 18
\l "_Tc7926" 【题型6 角平分线的性质与判定综合】 PAGEREF _Tc7926 \h 21
\l "_Tc17998" 【题型7 角平分线的实际应用】 PAGEREF _Tc17998 \h 24
【知识点1 角平分线的作法】
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
【题型1 作已知角的角平分线】
【例1】（2022秋•上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P落在∠AOB的平分线上． （本题有三个结果，答对一个得1分；若其中一个标错，本题得0分，三个点分别用字母C、D、E表示）
【分析】作出∠AOB的平分线，找出角平分线与正方形的顶点的三个交点即可．
【解答】解：如图所示，
①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OB、OA于点D、E；
②分别以D、E为圆心，以大于12DE为半径画圆，两圆相交于点F；
③连接OF，交各小正方形的顶点分别为P1、P2、P3，则此三点即为所求．
本题答案不唯一．有三种结果如图中的P1，P2，P3所示．
【变式1-1】（2022秋•瑶海区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．无法确定
【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD解决问题；
【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选：A．
【变式1-2】（2022•辽宁）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】利用基本作图得到BP平分∠ABN，则可计算出∠PBN＝70°，再利用OG平分∠MON得到∠BOP＝25°，然后根据三角形外角性质计算∠OPB的度数．
【解答】解：由作法得BP平分∠ABN，
∴∠PBN=12∠ABN=12×140°＝70°，
∵OG平分∠MON，
∴∠BOP=12∠MON=12×50°＝25°，
∵∠PBN＝∠POB+∠OPB，
∴∠OPB＝70°﹣25°＝45°．
故选：B．
【变式1-3】（2022春•西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上．
（1）请你过点D作DE平行BC，交AB于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法）
（2）如果点E在∠C的平分线上，∠C＝44°，那么∠DEC＝ 22° ．
【分析】（1）作∠ADE＝∠C即可；
（2）由平行线的性质和角平分线定义证出∠DEC＝∠DCE，得出DC＝DE，由等腰三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示：
作∠ADE＝∠C交AB于E，DE即为所求；
（2）如图2所示：
∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵EC平分∠ACB，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DC＝DE，
∴△DEC是等腰三角形，
∴∠DEC＝∠C＝22°；
故答案为：22°．
【知识点2 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型2 角平分线的性质的应用】
【例2】（2022春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54°B．50°C．48°D．46°
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB．
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，
∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE=12∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB=12×92°＝46°，
故选：D．
【变式2-1】（2022秋•蓬江区校级期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为 9 ．
【分析】先确定出CD＝9，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．
【解答】解：如图，
∵CD：BD＝3：4．
设CD＝3x，则BD＝4x，
∴BC＝CD+BD＝7x，
∵BC＝21，
∴7x＝21，
∴x＝3，
∴CD＝9，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝9，
∴点D到AB边的距离是9，
故答案为：9．
【变式2-2】（2022秋•武昌区期中）在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°．
（1）求证：点E到AC和BD的距离相等；
（2）连接ED，求∠CED的度数．
【分析】（1）延长CB至点M，根据角平分线的性质即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）延长CB至点M．
∵∠ABM＝180°﹣110°＝70°，∠ABM＝∠ABD，
∴点E到CM和BD得距离相等，
又∵CE平分平分∠ACB，
∴E点到AC和BC的距离相等，
∴点E到AC和BD的距离相等；
（2）连接ED．
∵点E到AC和BD的距离相等，
∴∠EDB＝∠EDA设∠EDB＝∠EDA＝α，∠ACE＝∠BCE＝β，
又∵在△BDC中，2α＝2β+40°，
∴α﹣β＝20°，
在△EDC中，α＝β+∠DEC
则∠CED＝α﹣β＝20°．
【变式2-3】（2022春•金堂县期末）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC＝ 30 °．
【分析】过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，根据角平分线的性质得到DF＝DM，根据邻补角的定义得到∠DAM＝60°，根据角平分线的定义得到∠BAE＝60°，推出DE平分∠AEB，根据等腰三角形的性质得到∠AEB＝90°，得到∠DEF＝45°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF＝DM，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAM＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝60°，
∴∠DAM＝∠BAE，
∴DM＝DN，
∵DF⊥BC，
∴DE平分∠AEB，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEF＝45°，
∵∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠DCF＝15°，
∴∠EDC＝30°，
故答案为：30．
【题型3 角平分线的性质与等积法】
【例3】（2022•增城区期末）△ABC中，AB＝BC＝CA，三内角平分线交于O，OP⊥AB于P，OM⊥BC于M，ON⊥CA于N，AH⊥BC于H．求证OP+OM+ON＝AH．
【分析】由已知可得S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC．根据三角形的面积公式和三边相等求证即可．
【解答】解：∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC，
∴12AH•BC=12OP•AB+12BC•OM+12AC•ON，
又∵AB＝BC＝CA，
∴OP+OM+ON＝AH．
【变式3-1】（2022春•泰和县期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
【分析】根据角平分线性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝28，AB＝BC＝8，
∴12×8×DE+12×8×DF＝28，
∴8DE＝28．
∴DE＝3.5．
【变式3-2】（2022春•香坊区期末）已知：点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PM＝PN．
（1）当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1），求证：BM＝CN；
（2）在（1）的条件下，AM+AN＝ 2 AC；
（3）当点M在线段AB的延长线上时（如图2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四边形ANPM的面积．
【分析】（1）由点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，根据角平分线的性质，可得PB＝PC，又由PM＝PN，利用HL，即可判定Rt△PBM≌Rt△PCN，则可证得结论；
（2）由角平分线的性质易证得AB＝AC，又由AM+AN＝AM+CN+AC＝AM+BM+AC＝AB+AC，即可证得结论；
（3）由AC：PC＝2：1，PC＝4，即可求得AC的长，又由S四边形ANPM＝S△APN+S△APB+S△PBM＝S△APN+S△APB+S△PCN＝S△APC+S△APB，即可求得四边形ANPM的面积．
【解答】解：（1）∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB＝PC，∠PBM＝∠PCN＝90°，
在Rt△PBM和Rt△PCN中，
PM=PNPB=PC，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），
∴BM＝CN；
（2）∵∠APB＝90°﹣∠PAB，∠APC＝90°﹣∠PAC，
∴∠APC＝∠APB，
∵PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB＝PC，
∴AM+AN＝AM+CN+AC＝AM+BM+AC＝AB+AC＝2AC；
故答案为：2；
（3）∵AC：PC＝2：1，PC＝4，
∴AC＝8，
∴AB＝AC＝8，PB＝PC＝4，
∴S四边形ANPM＝S△APN+S△APB+S△PBM＝S△APN+S△APB+S△PCN＝S△APC+S△APB=12AC•PC+12AB•PB=12×8×4+12×8×4＝32．
【变式3-3】（2022秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ 1：1 ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ 9 ．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）
过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（12×BD×AE）：（12×CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（12×AB×DE）：（12×AC×DF）＝m：n；
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
【题型4 角平分线的性质与全等】
【例4】（2022春•通道县期末）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．
【分析】连接BD，CD，由角平分线的性质可得DM＝DN，线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，所以Rt△BMD≌Rt△CND（HL），则BM＝CN．
【解答】解：BM＝CN．
理由：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BMD与Rt△CND中
∵BD=CDDM=DN
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴BM＝CN．
【变式4-1】（2022秋•金平区校级月考）已知：如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．
（1）求证：BC＝CD．
（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论．
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC＝CD；
（2）过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，根据等角的补角相等求出∠D＝∠CBF，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD＝CF，然后利用“角角边”证明△BCF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】（1）证明：∵∠D＝∠B＝90°，
∴CD⊥AD，CB⊥AB，
∵AC平分∠BAD，
∴BC＝CD；
（2）解：一定相等．
证明：如图，过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，
∴∠CBF与∠ABC互补．
∵∠B和∠D都是直角，互为补角，
∴∠D＝∠CBF，
又∵AC是∠BAD的平分线，
∴CE＝CF，
在Rt△BCF与Rt△DCE中，∠D=∠CBF∠DEC=∠CFBCE=CF，
∴Rt△BCF≌Rt△DCE（AAS），
∴BC＝CD．
【变式4-2】（2022秋•文昌校级期中）在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝ 120° ；
②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）①根据角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再利用三角形内角和定理列式计算即可得解；
（2）过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得FG＝FH＝FM，再求出∠EFH＝∠DFG，然后利用“角边角”证明△EFH和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】解：（1）①∵∠B＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC=12∠BAC=12×30°＝15°，∠FCA=12∠ACB=12×90°＝45°，
∴∠AFC＝180°﹣15°﹣45°＝120°；
故答案为：120°．
②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=12（∠BAC+∠ACB）=12（180°﹣∠B），
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°−12（180°﹣∠B）＝90°+12∠B，
∵∠B＝60°，
∴∠AFC＝90°+12×60°＝120°；
（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG＝FH＝FM，
∵∠EFH+∠DFH＝120°，
∠DFG+∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，
∴∠EFH＝∠DFG，
在△EFH和△DFG中，∠EHF=∠DGF=90°∠EFH=∠DFGFG=FH，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF＝DF．
【变式4-3】（2022秋•东区校级月考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）
（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】图①根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，过点P作PA⊥OM于A，作PB⊥ON于B，△POA和△POB即为关于直线OP对称的全等三角形；
（1）猜想FE＝FD；
（2）过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG＝FH＝FK，根据四边形的内角和定理求出∠GFH＝120°，再根据三角形的内角和定理求出∠AFC＝120°，根据对顶角相等求出∠EFD＝120°，然后求出∠EFG＝∠DFH，再利用“角角边”证明△EFG和△DFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FE＝FD．
【解答】解：图①如图所示；
（1）FE＝FD；
（2）如图，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG＝FH＝FK，
在四边形BGFH中，∠GFH＝360°﹣60°﹣90°×2＝120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B＝60°，
∴∠FAC+∠FCA=12（180°﹣60°）＝60°，
在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠EFD＝∠AFC＝120°，
∴∠EFG＝∠DFH，
在△EFG和△DFH中，
∠EFG=∠DFHFG=FH∠EGF=∠DHF=90°，
∴△EFG≌△DFH（ASA），
∴FE＝FD．
【知识点3 角平分线的判定】
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【题型5 角平分线的判定】
【例5】（2022秋•滨湖区校级期中）已知：如图，在△ABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？
【分析】过点O作OF⊥AD于F，作OG⊥BC于G，作OH⊥AE于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得OF＝OG＝OH，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．
【解答】解：点O在∠A的平分线上．
理由如下：如图，过点O作OF⊥AD于F，作OG⊥BC于G，作OH⊥AE于H，
∵O是∠B、∠C外角的平分线的交点，
∴OF＝OG，OG＝OH，
∴OF＝OG＝OH，
∴点O在∠A的平分线上．
【变式5-1】（2022秋•浦北县校级月考）如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．
求证：点P在∠C的平分线上．
【分析】首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ＝PN即可．
【解答】证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，
∵P在∠BAC的平分线AD上，
∴PM＝PQ，P在∠ABC的平分线BE上，
∴PM＝PN，
∴PQ＝PN，
∴点P在∠C的平分线．
【变式5-2】（2022春•澧县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，其中正确的是 ①②③④ ．（填序号）
【分析】根据角平分线的判定定理判断即可．
【解答】解：∵点P到AE、AD的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；
∵点P到AE、BC的距离相等，
∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；
∵点P到AD、BC的距离相等，
∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；
∴点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，④正确，
故答案为：①②③④．
【变式5-3】（2022秋•北关区校级月考）如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．
求证：AD平分∠BAC．
【分析】首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到12BF•DM=12DN•CE，由于CE＝BF，可得结论DM＝DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．
【解答】证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
△DBF的面积为：12BF•DM，
△DCE的面积为：12DN•CE，
∵△DCE和△DBF的面积相等，
∴12BF•DM=12DN•CE，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
又∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
【题型6 角平分线的性质与判定综合】
【例6】（2022秋•费县期末）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．
【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC＝EF，从而求出EF＝BE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．
【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，
∴EC＝EF，
∵EB＝EC，
∴EF＝BE，
又∵∠B＝90°，
∴EB⊥AB，
∵EF⊥AD，
∴AE是∠DAB平分线．
【变式6-1】．（2022秋•台安县期中）如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，
（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
【分析】（1）过P作PF⊥BE于F，由于BP平分∠ABC，PH⊥BA，PF⊥BE，则根据角平分线的性质即可得到PH＝PF＝5cm；
（2）连接AP，如图，根据角平分线的性质得PF＝PD，则PD＝PH，于是根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上得到AP平分∠HAD．
【解答】（1）解：过P作PF⊥BE于F，如图，
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，
∴PH＝PF＝5cm，
∴点P到直线BC的距离为5cm；
（2）证明：连接AP，如图，
∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，
∴PF＝PD，
∴PD＝PH，
∴AP平分∠HAD．
【变式6-2】（2022秋•洛龙区校级月考）如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上．
【分析】作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PE⊥AB于E，根据角平分线性质得出PM＝PN，PN＝PE，推出PM＝PE，根据角平分线性质推出即可．
【解答】证明：作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PE⊥AB于E，
∵PB、PC分别是△ABC的外角平分线，
∴PM＝PN，PN＝PE，
∴PM＝PE，
∵PM⊥AC，PE⊥AB，
∴点P在∠A的平分线上．
【变式6-3】（2022秋•铁东区校级期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠FAE，根据补角的定义计算，得到答案；
（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，等量代换得到EG＝EH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出EG，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴12×AD×EG+12×CD×EH＝15，即12×4×EG+12×8×EG＝15，
解得，EG＝EH=52，
∴EF＝EH=52，
∴△ABE的面积=12×AB×EF=12×7×52=354．
【题型7 角平分线的实际应用】
【例7】某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一亭子供人们休息，而且要使亭子中心到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处．
【分析】由已知条件，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知在三角的平分线的交点上．
【解答】解：如下图所示．
分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P，点P即为所求．
故可供选择的地方有1处，
故答案为：1．
【变式7-1】（2022春•西乡县期末）已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）
【分析】使这个点到三边的距离相等，且在空地内部，则应该做两个内角的角平分线的交点即可．
【解答】解：
点P就是所求．
【变式7-2】（2022春•东山县校级期末）如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．
（1）在图上标出仓库G的位置．
（2）求出仓库G到铁路的实际距离（比例尺为1：10 000，用尺规作图）．
【分析】（1）利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在∠NOQ的平分线上；
（2）利用图上距离与实际距离的比值进行计算即可．
【解答】解：
（1）∵其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，
∴利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在∠NOQ的平分线上，再用刻度尺量出5cm即可得出G点．
（2）仓库到铁路的图上距离为5cm，
则实际距离为5×10 000＝50 000cm＝500m．
答：仓库到铁路的实际距离为500m．
【变式7-3】（2022秋•柘城县校级月考）如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．
【分析】要使公园到三条公路的距离相等，则公园所处位置应在三条公路围成的三角形的内角和外角平分线的交点．
【解答】解：
如图，设三条公路围成的三角形为△ABC，内角和外角平分线的交点为O，O1，O2，O3，作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，
∵AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，
∴OD＝OF，OD＝OE，
∴OD＝OE＝OF，
即点O到三角形各边的距离相等；
同理可证点O1，O2，O3分别到三角形各边的距离相等．
∵公园是在三条公路围成的一块平地上，
∴只有点O符合题意.
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29032" 【题型1 作已知角的角平分线】 PAGEREF _Tc29032 \h 1
\l "_Tc18662" 【题型2 角平分线的性质的应用】 PAGEREF _Tc18662 \h 3
\l "_Tc27100" 【题型3 角平分线的性质与等积法】 PAGEREF _Tc27100 \h 4
\l "_Tc1888" 【题型4 角平分线的性质与全等】 PAGEREF _Tc1888 \h 6
\l "_Tc2449" 【题型5 角平分线的判定】 PAGEREF _Tc2449 \h 10
\l "_Tc7926" 【题型6 角平分线的性质与判定综合】 PAGEREF _Tc7926 \h 11
\l "_Tc17998" 【题型7 角平分线的实际应用】 PAGEREF _Tc17998 \h 13
【知识点1 角平分线的作法】
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
【题型1 作已知角的角平分线】
【例1】（2022秋•上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P落在∠AOB的平分线上． （本题有三个结果，三个点分别用字母C、D、E表示）
【变式1-1】（2022秋•瑶海区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．无法确定
【变式1-2】（2022•辽宁）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【变式1-3】（2022春•西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上．
（1）请你过点D作DE平行BC，交AB于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法）
（2）如果点E在∠C的平分线上，∠C＝44°，那么∠DEC＝ ．
【知识点2 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型2 角平分线的性质的应用】
【例2】（2022春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54°B．50°C．48°D．46°
【变式2-1】（2022秋•蓬江区校级期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为 ．
【变式2-2】（2022秋•武昌区期中）在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°．
（1）求证：点E到AC和BD的距离相等；
（2）连接ED，求∠CED的度数．
【变式2-3】（2022春•金堂县期末）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC＝ °．
【题型3 角平分线的性质与等积法】
【例3】（2022•增城区期末）△ABC中，AB＝BC＝CA，三内角平分线交于O，OP⊥AB于P，OM⊥BC于M，ON⊥CA于N，AH⊥BC于H．求证OP+OM+ON＝AH．
【变式3-1】（2022春•泰和县期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
【变式3-2】（2022春•香坊区期末）已知：点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PM＝PN．
（1）当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1），求证：BM＝CN；
（2）在（1）的条件下，AM+AN＝ AC；
（3）当点M在线段AB的延长线上时（如图2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四边形ANPM的面积．
【变式3-3】（2022秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
【题型4 角平分线的性质与全等】
【例4】（2022春•通道县期末）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．
【变式4-1】（2022秋•金平区校级月考）已知：如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．
（1）求证：BC＝CD．
（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论．
【变式4-2】（2022秋•文昌校级期中）在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝ 120° ；
②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．
【变式4-3】（2022秋•东区校级月考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）
（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【知识点3 角平分线的判定】
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【题型5 角平分线的判定】
【例5】（2022秋•滨湖区校级期中）已知：如图，在△ABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？
【变式5-1】（2022秋•浦北县校级月考）如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．
求证：点P在∠C的平分线上．
【变式5-2】（2022春•澧县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，其中正确的是 ．（填序号）
【变式5-3】（2022秋•北关区校级月考）如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．
求证：AD平分∠BAC．
【题型6 角平分线的性质与判定综合】
【例6】（2022秋•费县期末）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．
【变式6-1】．（2022秋•台安县期中）如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，
（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
【变式6-2】（2022秋•洛龙区校级月考）如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上．
【变式6-3】（2022秋•铁东区校级期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【题型7 角平分线的实际应用】
【例7】某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一亭子供人们休息，而且要使亭子中心到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处．
【变式7-1】（2022春•西乡县期末）已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）
【变式7-2】（2022春•东山县校级期末）如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．
（1）在图上标出仓库G的位置．
（2）求出仓库G到铁路的实际距离（比例尺为1：10 000，用尺规作图）．
【变式7-3】（2022秋•柘城县校级月考）如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．
专题15.4 角的平分线的性质【七大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29032" 【题型1 作已知角的角平分线】 PAGEREF _Tc29032 \h 1
\l "_Tc18662" 【题型2 角平分线的性质的应用】 PAGEREF _Tc18662 \h 5
\l "_Tc27100" 【题型3 角平分线的性质与等积法】 PAGEREF _Tc27100 \h 9
\l "_Tc1888" 【题型4 角平分线的性质与全等】 PAGEREF _Tc1888 \h 12
\l "_Tc2449" 【题型5 角平分线的判定】 PAGEREF _Tc2449 \h 18
\l "_Tc7926" 【题型6 角平分线的性质与判定综合】 PAGEREF _Tc7926 \h 21
\l "_Tc17998" 【题型7 角平分线的实际应用】 PAGEREF _Tc17998 \h 24
【知识点1 角平分线的作法】
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
【题型1 作已知角的角平分线】
【例1】（2022秋•上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P落在∠AOB的平分线上． （本题有三个结果，答对一个得1分；若其中一个标错，本题得0分，三个点分别用字母C、D、E表示）
【分析】作出∠AOB的平分线，找出角平分线与正方形的顶点的三个交点即可．
【解答】解：如图所示，
①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OB、OA于点D、E；
②分别以D、E为圆心，以大于12DE为半径画圆，两圆相交于点F；
③连接OF，交各小正方形的顶点分别为P1、P2、P3，则此三点即为所求．
本题答案不唯一．有三种结果如图中的P1，P2，P3所示．
【变式1-1】（2022秋•瑶海区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．无法确定
【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD解决问题；
【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选：A．
【变式1-2】（2022•辽宁）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】利用基本作图得到BP平分∠ABN，则可计算出∠PBN＝70°，再利用OG平分∠MON得到∠BOP＝25°，然后根据三角形外角性质计算∠OPB的度数．
【解答】解：由作法得BP平分∠ABN，
∴∠PBN=12∠ABN=12×140°＝70°，
∵OG平分∠MON，
∴∠BOP=12∠MON=12×50°＝25°，
∵∠PBN＝∠POB+∠OPB，
∴∠OPB＝70°﹣25°＝45°．
故选：B．
【变式1-3】（2022春•西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上．
（1）请你过点D作DE平行BC，交AB于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法）
（2）如果点E在∠C的平分线上，∠C＝44°，那么∠DEC＝ 22° ．
【分析】（1）作∠ADE＝∠C即可；
（2）由平行线的性质和角平分线定义证出∠DEC＝∠DCE，得出DC＝DE，由等腰三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示：
作∠ADE＝∠C交AB于E，DE即为所求；
（2）如图2所示：
∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵EC平分∠ACB，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DC＝DE，
∴△DEC是等腰三角形，
∴∠DEC＝∠C＝22°；
故答案为：22°．
【知识点2 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型2 角平分线的性质的应用】
【例2】（2022春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54°B．50°C．48°D．46°
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB．
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，
∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE=12∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB=12×92°＝46°，
故选：D．
【变式2-1】（2022秋•蓬江区校级期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为 9 ．
【分析】先确定出CD＝9，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．
【解答】解：如图，
∵CD：BD＝3：4．
设CD＝3x，则BD＝4x，
∴BC＝CD+BD＝7x，
∵BC＝21，
∴7x＝21，
∴x＝3，
∴CD＝9，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝9，
∴点D到AB边的距离是9，
故答案为：9．
【变式2-2】（2022秋•武昌区期中）在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°．
（1）求证：点E到AC和BD的距离相等；
（2）连接ED，求∠CED的度数．
【分析】（1）延长CB至点M，根据角平分线的性质即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）延长CB至点M．
∵∠ABM＝180°﹣110°＝70°，∠ABM＝∠ABD，
∴点E到CM和BD得距离相等，
又∵CE平分平分∠ACB，
∴E点到AC和BC的距离相等，
∴点E到AC和BD的距离相等；
（2）连接ED．
∵点E到AC和BD的距离相等，
∴∠EDB＝∠EDA设∠EDB＝∠EDA＝α，∠ACE＝∠BCE＝β，
又∵在△BDC中，2α＝2β+40°，
∴α﹣β＝20°，
在△EDC中，α＝β+∠DEC
则∠CED＝α﹣β＝20°．
【变式2-3】（2022春•金堂县期末）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC＝ 30 °．
【分析】过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，根据角平分线的性质得到DF＝DM，根据邻补角的定义得到∠DAM＝60°，根据角平分线的定义得到∠BAE＝60°，推出DE平分∠AEB，根据等腰三角形的性质得到∠AEB＝90°，得到∠DEF＝45°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF＝DM，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAM＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝60°，
∴∠DAM＝∠BAE，
∴DM＝DN，
∵DF⊥BC，
∴DE平分∠AEB，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEF＝45°，
∵∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠DCF＝15°，
∴∠EDC＝30°，
故答案为：30．
【题型3 角平分线的性质与等积法】
【例3】（2022•增城区期末）△ABC中，AB＝BC＝CA，三内角平分线交于O，OP⊥AB于P，OM⊥BC于M，ON⊥CA于N，AH⊥BC于H．求证OP+OM+ON＝AH．
【分析】由已知可得S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC．根据三角形的面积公式和三边相等求证即可．
【解答】解：∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC，
∴12AH•BC=12OP•AB+12BC•OM+12AC•ON，
又∵AB＝BC＝CA，
∴OP+OM+ON＝AH．
【变式3-1】（2022春•泰和县期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
【分析】根据角平分线性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝28，AB＝BC＝8，
∴12×8×DE+12×8×DF＝28，
∴8DE＝28．
∴DE＝3.5．
【变式3-2】（2022春•香坊区期末）已知：点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PM＝PN．
（1）当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1），求证：BM＝CN；
（2）在（1）的条件下，AM+AN＝ 2 AC；
（3）当点M在线段AB的延长线上时（如图2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四边形ANPM的面积．
【分析】（1）由点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，根据角平分线的性质，可得PB＝PC，又由PM＝PN，利用HL，即可判定Rt△PBM≌Rt△PCN，则可证得结论；
（2）由角平分线的性质易证得AB＝AC，又由AM+AN＝AM+CN+AC＝AM+BM+AC＝AB+AC，即可证得结论；
（3）由AC：PC＝2：1，PC＝4，即可求得AC的长，又由S四边形ANPM＝S△APN+S△APB+S△PBM＝S△APN+S△APB+S△PCN＝S△APC+S△APB，即可求得四边形ANPM的面积．
【解答】解：（1）∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB＝PC，∠PBM＝∠PCN＝90°，
在Rt△PBM和Rt△PCN中，
PM=PNPB=PC，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），
∴BM＝CN；
（2）∵∠APB＝90°﹣∠PAB，∠APC＝90°﹣∠PAC，
∴∠APC＝∠APB，
∵PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB＝PC，
∴AM+AN＝AM+CN+AC＝AM+BM+AC＝AB+AC＝2AC；
故答案为：2；
（3）∵AC：PC＝2：1，PC＝4，
∴AC＝8，
∴AB＝AC＝8，PB＝PC＝4，
∴S四边形ANPM＝S△APN+S△APB+S△PBM＝S△APN+S△APB+S△PCN＝S△APC+S△APB=12AC•PC+12AB•PB=12×8×4+12×8×4＝32．
【变式3-3】（2022秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ 1：1 ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ 9 ．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）
过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（12×BD×AE）：（12×CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（12×AB×DE）：（12×AC×DF）＝m：n；
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
【题型4 角平分线的性质与全等】
【例4】（2022春•通道县期末）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．
【分析】连接BD，CD，由角平分线的性质可得DM＝DN，线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，所以Rt△BMD≌Rt△CND（HL），则BM＝CN．
【解答】解：BM＝CN．
理由：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BMD与Rt△CND中
∵BD=CDDM=DN
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴BM＝CN．
【变式4-1】（2022秋•金平区校级月考）已知：如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．
（1）求证：BC＝CD．
（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论．
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC＝CD；
（2）过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，根据等角的补角相等求出∠D＝∠CBF，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD＝CF，然后利用“角角边”证明△BCF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】（1）证明：∵∠D＝∠B＝90°，
∴CD⊥AD，CB⊥AB，
∵AC平分∠BAD，
∴BC＝CD；
（2）解：一定相等．
证明：如图，过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，
∴∠CBF与∠ABC互补．
∵∠B和∠D都是直角，互为补角，
∴∠D＝∠CBF，
又∵AC是∠BAD的平分线，
∴CE＝CF，
在Rt△BCF与Rt△DCE中，∠D=∠CBF∠DEC=∠CFBCE=CF，
∴Rt△BCF≌Rt△DCE（AAS），
∴BC＝CD．
【变式4-2】（2022秋•文昌校级期中）在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝ 120° ；
②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）①根据角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再利用三角形内角和定理列式计算即可得解；
（2）过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得FG＝FH＝FM，再求出∠EFH＝∠DFG，然后利用“角边角”证明△EFH和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】解：（1）①∵∠B＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC=12∠BAC=12×30°＝15°，∠FCA=12∠ACB=12×90°＝45°，
∴∠AFC＝180°﹣15°﹣45°＝120°；
故答案为：120°．
②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=12（∠BAC+∠ACB）=12（180°﹣∠B），
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°−12（180°﹣∠B）＝90°+12∠B，
∵∠B＝60°，
∴∠AFC＝90°+12×60°＝120°；
（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG＝FH＝FM，
∵∠EFH+∠DFH＝120°，
∠DFG+∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，
∴∠EFH＝∠DFG，
在△EFH和△DFG中，∠EHF=∠DGF=90°∠EFH=∠DFGFG=FH，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF＝DF．
【变式4-3】（2022秋•东区校级月考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）
（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】图①根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，过点P作PA⊥OM于A，作PB⊥ON于B，△POA和△POB即为关于直线OP对称的全等三角形；
（1）猜想FE＝FD；
（2）过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG＝FH＝FK，根据四边形的内角和定理求出∠GFH＝120°，再根据三角形的内角和定理求出∠AFC＝120°，根据对顶角相等求出∠EFD＝120°，然后求出∠EFG＝∠DFH，再利用“角角边”证明△EFG和△DFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FE＝FD．
【解答】解：图①如图所示；
（1）FE＝FD；
（2）如图，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG＝FH＝FK，
在四边形BGFH中，∠GFH＝360°﹣60°﹣90°×2＝120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B＝60°，
∴∠FAC+∠FCA=12（180°﹣60°）＝60°，
在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠EFD＝∠AFC＝120°，
∴∠EFG＝∠DFH，
在△EFG和△DFH中，
∠EFG=∠DFHFG=FH∠EGF=∠DHF=90°，
∴△EFG≌△DFH（ASA），
∴FE＝FD．
【知识点3 角平分线的判定】
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【题型5 角平分线的判定】
【例5】（2022秋•滨湖区校级期中）已知：如图，在△ABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？
【分析】过点O作OF⊥AD于F，作OG⊥BC于G，作OH⊥AE于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得OF＝OG＝OH，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．
【解答】解：点O在∠A的平分线上．
理由如下：如图，过点O作OF⊥AD于F，作OG⊥BC于G，作OH⊥AE于H，
∵O是∠B、∠C外角的平分线的交点，
∴OF＝OG，OG＝OH，
∴OF＝OG＝OH，
∴点O在∠A的平分线上．
【变式5-1】（2022秋•浦北县校级月考）如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．
求证：点P在∠C的平分线上．
【分析】首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ＝PN即可．
【解答】证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，
∵P在∠BAC的平分线AD上，
∴PM＝PQ，P在∠ABC的平分线BE上，
∴PM＝PN，
∴PQ＝PN，
∴点P在∠C的平分线．
【变式5-2】（2022春•澧县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，其中正确的是 ①②③④ ．（填序号）
【分析】根据角平分线的判定定理判断即可．
【解答】解：∵点P到AE、AD的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；
∵点P到AE、BC的距离相等，
∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；
∵点P到AD、BC的距离相等，
∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；
∴点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，④正确，
故答案为：①②③④．
【变式5-3】（2022秋•北关区校级月考）如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．
求证：AD平分∠BAC．
【分析】首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到12BF•DM=12DN•CE，由于CE＝BF，可得结论DM＝DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．
【解答】证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
△DBF的面积为：12BF•DM，
△DCE的面积为：12DN•CE，
∵△DCE和△DBF的面积相等，
∴12BF•DM=12DN•CE，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
又∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
【题型6 角平分线的性质与判定综合】
【例6】（2022秋•费县期末）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．
【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC＝EF，从而求出EF＝BE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．
【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，
∴EC＝EF，
∵EB＝EC，
∴EF＝BE，
又∵∠B＝90°，
∴EB⊥AB，
∵EF⊥AD，
∴AE是∠DAB平分线．
【变式6-1】．（2022秋•台安县期中）如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，
（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
【分析】（1）过P作PF⊥BE于F，由于BP平分∠ABC，PH⊥BA，PF⊥BE，则根据角平分线的性质即可得到PH＝PF＝5cm；
（2）连接AP，如图，根据角平分线的性质得PF＝PD，则PD＝PH，于是根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上得到AP平分∠HAD．
【解答】（1）解：过P作PF⊥BE于F，如图，
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，
∴PH＝PF＝5cm，
∴点P到直线BC的距离为5cm；
（2）证明：连接AP，如图，
∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，
∴PF＝PD，
∴PD＝PH，
∴AP平分∠HAD．
【变式6-2】（2022秋•洛龙区校级月考）如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上．
【分析】作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PE⊥AB于E，根据角平分线性质得出PM＝PN，PN＝PE，推出PM＝PE，根据角平分线性质推出即可．
【解答】证明：作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PE⊥AB于E，
∵PB、PC分别是△ABC的外角平分线，
∴PM＝PN，PN＝PE，
∴PM＝PE，
∵PM⊥AC，PE⊥AB，
∴点P在∠A的平分线上．
【变式6-3】（2022秋•铁东区校级期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠FAE，根据补角的定义计算，得到答案；
（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，等量代换得到EG＝EH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出EG，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴12×AD×EG+12×CD×EH＝15，即12×4×EG+12×8×EG＝15，
解得，EG＝EH=52，
∴EF＝EH=52，
∴△ABE的面积=12×AB×EF=12×7×52=354．
【题型7 角平分线的实际应用】
【例7】某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一亭子供人们休息，而且要使亭子中心到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处．
【分析】由已知条件，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知在三角的平分线的交点上．
【解答】解：如下图所示．
分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P，点P即为所求．
故可供选择的地方有1处，
故答案为：1．
【变式7-1】（2022春•西乡县期末）已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）
【分析】使这个点到三边的距离相等，且在空地内部，则应该做两个内角的角平分线的交点即可．
【解答】解：
点P就是所求．
【变式7-2】（2022春•东山县校级期末）如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．
（1）在图上标出仓库G的位置．
（2）求出仓库G到铁路的实际距离（比例尺为1：10 000，用尺规作图）．
【分析】（1）利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在∠NOQ的平分线上；
（2）利用图上距离与实际距离的比值进行计算即可．
【解答】解：
（1）∵其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，
∴利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在∠NOQ的平分线上，再用刻度尺量出5cm即可得出G点．
（2）仓库到铁路的图上距离为5cm，
则实际距离为5×10 000＝50 000cm＝500m．
答：仓库到铁路的实际距离为500m．
【变式7-3】（2022秋•柘城县校级月考）如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．
【分析】要使公园到三条公路的距离相等，则公园所处位置应在三条公路围成的三角形的内角和外角平分线的交点．
【解答】解：
如图，设三条公路围成的三角形为△ABC，内角和外角平分线的交点为O，O1，O2，O3，作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，
∵AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，
∴OD＝OF，OD＝OE，
∴OD＝OE＝OF，
即点O到三角形各边的距离相等；
同理可证点O1，O2，O3分别到三角形各边的距离相等．
∵公园是在三条公路围成的一块平地上，
∴只有点O符合题意.
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