2024-2025学年云南省昆明八中高一（上）月考数学试卷（一）（含解析）

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这是一份2024-2025学年云南省昆明八中高一（上）月考数学试卷（一）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−6,−4,3,6}，B={x|3−xA. {3,6}B. {−4,3}C. {−6}D. {6}
2.已知a，b∈R，则“a>b”是“ a(−b)>0”的( )
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
3.设集合M={x|x=2n+1,n∈Z}，N={x|x=3n+1,n∈Z}，P={x|x=6n+1,n∈Z}，则( )
A. M⊂PB. N⊂PC. P=M∩ND. M∩N=⌀
4.对于实数a，b，c，下列错误的命题是( )
A. 若a>b，则a>a+b2>bB. 若a>b>0，则a> ab>b
C. 若a>b>0，c>0，则ba>b+ca+cD. a2+b2≥2ab
5.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx−c<0的解集为{x|30的解集为( )
A. {x|x<15或x>13}B. {x|x<−13或x>−15}
C. {x|156.由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是( )
A. 采用第一种方案划算B. 采用第二种方案划算
C. 两种方案一样D. 采用哪种方案无法确定
7.在R上定义运算：abcd=ad−bc，若不等式x−1a−2a+1x≥1对任意实数x恒成立，则a最大为( )
A. 32B. −32C. 12D. −12
8.设0(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则( )．
A. −1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，为真命题的是( )
A. ∀x∈Q，|x|∉ZB. ∃x∈Z，使x同时被3和4整除
C. ∀x∈R，|x|>0D. ∃x∈N，2x2−3x+1=0
10.已知正数a，b满足a+2b+3=2ab，则( )
A. ab的最小值为3B. a+2b的最小值为6
C. 1b+2a的最小值为43D. a+b的最小值为32+2 2
11.设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a，b∈S(a与b可以相等，也可以不相等)，都有a+b∈S且a−b∈S，则称S是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是( )
A. 存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集
B. 集合{x|x=3k,k∈Z}是“和谐集”
C. 若S1，S2都是“和谐集”，则S1∩S2≠⌀
D. 对任意两个不同的“和谐集”S1，S2，总有S1∪S2=R
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“∀x>0，2x2+x>0”的否定为______．
13.设a，b∈R，集合{a2,0,−1}={a,b,0}，则a+b的值是______．
14.设a>0，b>0，记M为1a,b,a+3b三个数中最大的数，则M的最小值______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设全集为R，集合A={x|3≤x<6}，B={x|2(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；
(2)已知C={x|a16.(本小题15分)
(1)已知x>1，求y=4x+1x−1的最小值；
(2)若a，b均为正实数，且满足a+2b=1，求4a+1+1b的最小值．
17.(本小题15分)
已知函数y=2x2−(a+2)x+a，a∈R．
(1)解关于x的不等式y<0；
(2)若方程2x2−(a+2)x+a=x+1有两个正实数根x1，x2，求x2x1+x1x2的最小值．
18.(本小题17分)
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米，设AN的长度为x．
(Ⅰ)用x表示AM的长．
(Ⅱ)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围．
(Ⅲ)当AN的长度x是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．
19.(本小题17分)
设函数y=ax2+x−b(a∈R,b∈R)．
(1)若b=1，且集合{x|y=0}中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；
(2)解关于x的不等式y<(a−1)x2+(b+2)x−2b；
(3)当a>0，b>1时，记不等式y>0的解集为P，集合Q={x|−2−t答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为A={−6,−4,3,6},B={x|3−x32}，
所以A∩B={3,6}．
故选：A．
利用不等式的解法化简集合B，再根据交集的定义求解即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：当0>a>b时， a(−b)>0显然不成立，即充分性不成立；
当 a(−b)>0时可得a>0，b<0，此时a>b一定成立，即必要性成立．
故选：D．
由已知结合不等式性质检验充分及必要性即可判断．
本题主要考查了充分必要性的判断，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为6n+1=2(3n)+1=3(2n)+1，所以P⊂M且P⊂N，
所以P=M∩N．
故选：C．
由6n+1=2(3n)+1=3(2n)+1，可得结论．
本题考查了子集和交集的定义，集合的描述法的定义，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A，因为a>b，则a−a+b2=a−b2>0,a+b2−b=a−b2>0，
所以a>a+b2>b，故A正确；
对于B，因为a>b>0，则a2−ab=a(a−b)>0，ab−b2=(a−b)b>0，
所以a> ab>b，故B正确；
对于C，取a=2，b=1，c=1，则ba=12，b+ca+c=23，12<23，即ba对于D，因为(a−b)2≥0⇒a2−2ab+b2≥0，所以a2+b2≥2ab，故D正确．
故选：C．
对于AB，通过作差法即可判断；对于C，通过特殊值法即可判断；对于D，由(a−b)2≥0⇒a2−2ab+b2≥0即可判断．
本题主要考查了不等式性质及基本不等式在不等式大小比较值的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为关于x的一元二次不等式ax2+bx−c<0的解集为{x|3所以a>0且方程ax2+bx−c=0的解为3，5，
所以−ba=8,−ca=15，所以b=−8a，c=−15a，
则不等式cx2+bx−a>0，即为不等式−15ax2−8ax−a>0，
则15x2+8x+1<0，解得−13所以不等式cx2+bx−a>0的解集为{x|−13故选：D．
由题意可得a>0且方程ax2+bx−c=0的解为3，5，利用韦达定理将b，c用a表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解．
本题主要考查二次函数，二次方程，二次不等式的性质应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：不妨设两次购买猪肉的价格分别为a，b，a>0，b>0，
第一种方案，均价为3a+3b6=a+b2，
第二种方案，均价为10050a+50b=2aba+b，
其中a+b2≥ ab，当且仅当a=b时，等号成立，
2aba+b≤2ab2 ab= ab，当且仅当a=b时，等号成立，
故2aba+b≤a+b2，当且仅当a=b时，等号成立，
所以采用第二种方案划算．
故选：B．
设两次购买猪肉的价格分别为a，b，a>0，b>0，表达出两种方案购买的均价，结合基本不等式比较出大小，得到答案．
本题主要考查了不等式及基本不等式在实际问题中的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：原不等式等价于x(x−1)−(a−2)(a+1)≥1，
即x2−x−1≥(a+1)(a−2)对任意x恒成立．
x2−x−1=(x−12)2−54≥−54，
所以−54≥a2−a−2，解得−12≤a≤32．
故选：A．
根据运算的定义可得x−1a−2a+1x≥1等价于x2−x−1≥(a+1)(a−2)，利用二次函数的性质可求左式的最小值，从而可得关于a的不等式，求出其解后可得实数a的最大值．
本题主要考查一元二次不等式，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根．属于中档题．
将不等式变形为[(a+1)x−b]⋅[(a−1)x+b]<0的解集中的整数恰有3个，再由01，不等式的解集为 −ba−1【解答】
解：关于x 的不等式(x−b)2>(ax)2即(a2−1)x2+2bx−b2<0，∵0[(a+1)x−b]⋅[(a−1)x+b]<0的解集中的整数恰有3个，∴a>1，
∴不等式的解集为 −ba−1∴−3≤−ba−1<−2，∴2∵b<1+a，∴2a−2<1+a，∴a<3，
综上，1故选：C．
9.【答案】BD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对A：当x=1时，|x|=1∈Z，故A错误；
对B：当x=12时，x可同时被3和4整除，B正确；
对C：当x=0时，|x|=0，故C错误；
对D：当x=1时，2x2−3x+1=0，故D正确．
故选：BD．
根据题意，对A、C：举出反例即可得；对B、D：举出符合要求的例子即可得．
本题考查命题真假的判断，注意全称量词命题和特称量词命题的定义，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：因为2ab=a+2b+3≥2 2ab+3，令t= 2ab，则t2≥2t+3，解得t= 2ab≥3，即ab≥92，
则a+2b≥2 2ab≥6，当且仅当a=2b=3时等号成立，故A错误，B正确；
由已知可得，1b+2a+3ab=2，由ab≥92可得0<3ab≤23，2−3ab≥2−23=43，
所以1b+2a≥43，当且仅当a=2b=3时等号成立，故C正确；
由a+2b+3=2ab，可得b=a+32(a−1)，
则a+b=a+a+32(a−1)=a+a−1+42(a−1)=12+2a−1+a=1+1=32+2a−1+a−1≥32+2 2，
当且仅当a−1=2a−1，即a= 2+1时等号成立，故D正确．
故选：BCD．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于A，根据题意，S={0}是“和谐集”，又是有限集，故A为真命题；
对于B，设x1=3k1，x2=3k2，k1，k2∈Z，
则x1+x2=3(k1+k2)∈S，x1−x2=3(k1−k2)∈S，
所以集合{x|x=3k,k∈Z}是“和谐集”，
故B为真命题；
对于C，根据已知条件，a，b可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，
所以S1∩S2≠⌀，故C为真命题；
对于D，取S1={x|x=2k,k∈Z|,S2={x|x=3k,k∈Z}都是“和谐集”，但5不属于S1，也不属于S2，
所以S1∪S2不是实数集，故D为假命题．
故选：ABC．
由题意可知，0一定是“和谐集”中的元素，由此可判断AC，再结合“和谐集”的定义可判断BD．
本题主要考查了集合中的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于中档题．
12.【答案】∃x>0，2x2+x≤0
【解析】解：全称量词命题：“∀x>0，2x2+x>0”的否定为存在量词命题：“∃x>0，2x2+x≤0”．
故答案为：∃x>0，2x2+x≤0．
利用全称量词命题的否定是存在量词命题，将全称量词改为存在量词，结论进行否定即可．
本题考查了全称量词命题的否定应用问题，是基础题．
13.【答案】0
【解析】解：由集合元素互异性知：a≠0，
又{a2,0,−1}={a,b,0}，则有a2=ab=−1或a2=ba=−1，
解得a=1b=−1或a=−1b=1，
故a+b=0．
故答案为：0．
根据集合相等的含义，分类讨论元素对应关系，即可得出结论．
本题考查集合相等的含义，考查分类讨论思想，属基础题．
14.【答案】2
【解析】解：由a>0，b>0，
①当1a≥b时，M=max{1a,b,a+3b}=max{1a,a+3b}，
而a+3b+1a≥4a+1a≥2 4a⋅1a=4，可得1a,a+3b至少有一个不小于2，
则M的最小值为2；
②当1aM=max{1a,b,a+3b}=max{b,a+3b}，
而b+a+3b>b+4b≥2 b⋅4b=4，可得b,a+3b至少有一个不小于2，
M的最小值不小于2．
综上，M的最小值为2．
故答案为：2．
分类讨论1a,b的大小关系，转化为利用均值不等式求两个正数和的最小值，可分析最大值不小于和的一半，即可得出结论．
本题主要考查不等式比较大小，属于基础题．
15.【答案】解：(1)∵A={x|3≤x<6}，B={x|2∴A∩B={x|3≤x<6}，
∵CRB={x|x≤2或x≥9}，
∴(CRB)∪A={x|x≤2或3≤x<6或x≥9}；
(2)∵C∪B=B，∴C⊆B，
∵B≠φ，
∴a≥2a+1≤9，
解得：2≤a≤8．
【解析】(1)根据交集的定义求出A∩B，求出B的补集，从而求出其和A的并集即可；
(2)得到C⊆B，得到关于a的不等式组，解出即可．
本题考查了交集、并集、补集的运算，是一道基础题．
16.【答案】解：(1)因为x>1，所以x−1>0，
所以y=4(x−1)+1x−1+4≥2 4(x−1)×1x−1+4=4+4=8，
当且仅当4(x−1)=1x−1，即x=32时等号成立，
所以y=4x+1x−1的最小值为8．
(2)因为a，b均为正实数，a+2b=1，
所以a+1>0，b>0，(a+1)+2b=2，
则4a+1+1b=4a+1+22b=12(4a+1+22b)[(a+1)+2b]
=12(6+8ba+1+a+1b)≥12(6+2 8ba+1⋅a+1b)=3+2 2，
当且仅当8ba+1=a+1b，即a=3−2 2,b= 2−1时等号成立，
所以4a+1+1b的最小值为3+2 2．
【解析】(1)先将函数解析式变形，再利用基本不等式求出最值；
(2)结合1的妙用，利用基本不等式求出最值．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
17.【答案】解：(1)不等式y<0即为2x2−(a+2)x+a<0，∴(2x−a)(x−1)<0，
方程(2x−a)(x−1)=0的两根分别为1和a2，
当a<2，即a2<1时，解不等式可得a2当a=2，即a2=1时，不等式无解，
当a>2，即a2>1时，解不等式可得1综上可知：当a<2时，不等式的解集为{x|a2当a=2时，不等式的解集为⌀，
当a>2时，不等式的解集为{x|1(2)方程2x2−(a+2)x+a=x+1有两个正实数根x1，x2，
即方程2x2−(a+3)x+a−1=0有两个正实数根x1，x2
则Δ=(a+3)2−8(a−1)≥0a+32>0a−12>0，解得a>1，
所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=a2+2a+132(a−1)，
令t=a−1，则t>0，故x2x1+x1x2=t2+8t+2≥2+2 t2⋅8t=6，
当且仅当t2=8t即t=4，a=5时取得等号，
故x2x1+x1x2的最小值为6．
【解析】(1)比较方程的两根的大小，再根据一元二次不等式的解法即可求解；(2)根据已知条件，结合韦达定理，推得a>1，再结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查二次函数的性质与图象，涉及到基本不等式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由△CDN∽△MAN，
可得DNAN=ABAM，即x−2x=3|AM|，得|AM|=3xx−2(x>2)；
(Ⅱ)矩形AMPN的面积y=|AM|⋅|AN|=3x2x−2(x>2)，
令y>32，得3x2x−2>32，即3x2−32x+64>0，
可得(x−8)(3x−8)>0，解得x>8或x<83，
又x>2，可得28；
(Ⅱ)令x−2=t(t>0)，则x=t+2，
则y=3x2x−2=3(t+2)2t=3t2+12t+12t=3t+12t+12≥2 3t⋅12t+12=24，
当且仅当3t=12t，即t=2，x=4时，等号成立，
∴当x=4米时，矩形AMPN面积取最小值为24平方米．
【解析】(Ⅰ)由线线平行，可得Rt△NAM∽Rt△NDC，再由对应边成比例，可得AM；
(Ⅱ)可令写出矩形AMPN面积y的表达式，由y>32，求解一元二次不等式，结合x>2，可得x的范围；
(Ⅲ)令x−2=t(t>0)，则x=t+2，整理可得y关于t的函数，运用基本不等式可得函数的最小值，求得最值取得的条件，即可得到所求结论．
本题考查函数在实际问题中的应用，考查函数解析式的求法和不等式的解法，训练了利用换元法和基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题设y=ax2+x−1(a∈R)，又{x|y=0}有且只有一个元素，
所以ax2+x−1=0有且仅有一个根，
当a=0时，x−1=0，即x=1，则{x|y=0}={1}，满足题设；
当a≠0时，Δ=1+4a=0，即a=−14，则{x|y=0}={2}，满足题设；
所以a的取值集合为{−14,0}．
(2)由题设ax2+x−b<(a−1)x2+(b+2)x−2b，整理得x2−(b+1)x+b=(x−b)(x−1)<0，
当b<1时，解集为{x|b当b=1时，解集为⌀；
当b>1时，解集为{x|1(3)由t>0，恒有t−2>−t−2，
故Q≠⌀，y=f(x)=ax2+x−b>0且a>0，b>1，
故f(x)开口向上且f(0)=−b<0，
故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在y轴两侧，
因为P∩Q≠⌀，即f(x)>0在(−2−t,−2+t)上有解，且∀t∈(0,+∞)，
又区间(−2−t,−2+t)关于x=−2对称，且区间长度2t∈(0,+∞)，
综上，只需保证f(−2)=4a−2−b=0，则4a−b=2，且b=4a−2>1，即a>34，
所以1a−1b=12(2a−2b)=12(4a−ba−4a−bb)=52−12(ba+4ab)≤52− ba⋅4ab=12，
当且仅当b=2a，即a=1>34,b=2>1时等号成立，
故1a−1b的最大值为12．
【解析】(1)由题设ax2+x−1=0有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值；
(2)由题设x2−(b+1)x+b<0，应用分类讨论求一元二次不等式的解集；
(3)由题意f(x)=ax2+x−b>0在(−2−t,−2+t)上有解，且∀t∈(0,+∞)，而区间(−2−t,−2+t)关于x=−2对称，且区间长度为2t∈(0,+∞)，进而只需保证f(−2)=0得到参数a，b的数量关系，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意取值条件．
本题主要考查交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于中档题．

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