中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第6讲分式的概念、性质、运算(原卷版+解析)

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(全国通用版)
第6讲分式的概念、性质、运算
核心考点1：分式的概念及有意义的条件
分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注】①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0．
核心考点2：分式的基本性质
1．分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
即：或，其中A，B，C均为整式．
2．约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．
3．最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
4．通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
【注】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
5．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
核心考点3：分式的运算
1．分式的加减法
（1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
（3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
（4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
（5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
分式在中考数学试卷中主要的题型如下：基础题会以选择或填空题形式给出，比如对分式概念（分式有意义的条件），分式性质的考查，而对分式混合运算的考查主要放在解答题中的计算部分，一般会有一个计算题，5分左右，值得所有同学重视。
——分式的判断
1．下列各式：，，，，，其中分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据分式的定义进行判断即可．分式有，，共2个，故选：B．
【反思】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键，式子（A，B是整式）中，分母B中含有字母，则为分式．
——分式有意义条件
2．如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
【分析】分式有意义，则分式的分母不为0，可得关于x的不等式，解不等式即得答案．
解：要使分式有意义，则，
解得，
故选B．
【反思】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零，
——分式值为0的条件
3．若分式的值为，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【分析】根据分式的值为零的条件得出且，即可求解．
解：∵分式的值为，
∴且，
解得：，
故选：B．
【反思】本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是理解分式的值为零的条件：分母不为零，分子为零．
——分式求值
4．已知，则代数式的值等于（ ）
A．3B．C．D．5
【分析】由已知可知，然后整体代入求解即可．
【详解】解：由可得，
∴
；
故选C．
【反思】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键．
——分式的基本性质
5．下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式的基本性质及分式的加法法则进行即可．
【详解】∵，
∴A成立，符合题意；
∵，
∴B不成立，不符合题意；
∵，
∴C不成立，不符合题意；
∵，
∴D不成立，不符合题意；
故选A．
【反思】本题考查了分式的基本性质，分式的加法，熟练掌握性质和运算法则是解题的关键．
——最简分式概念
6．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】最简分式是指分子、分母中不含有公因式，不能再约分的式子．
解：A. ，不是最简分式，故A项错误，不符合题意；
B. ，不是最简分式，故B项错误，不符合题意；
C. 不能化简，是最简分式，故C项正确，符合题意；
D. ，不是最简分式，故D项错误，不符合题意；
故选：C．
【反思】本题主要考查了最简分式，熟练掌握最简分式是指分子、分母中不含有公因式，不能再约分的式子是解题的关键．
——分式的约分
7．约分：______；______；分式，，的最简公分母是______．
【分析】找出公分母，分别求解即可．
解：，
，
分式，，的最简公分母是，
故答案为：①，②，③．
【反思】本题考查了分式的化简，最简公分母的求法，熟练掌握分式的基本性质，最简公分母的求法是解题的关键．
——分式的通分
8．把，通分，则=________， =__________.
【分析】找出，的最简公分母，再利用分式的性质将，的分母均化为．
解：，，
故答案为：，．
【反思】本题考查分式通分，关键是熟练掌握分式的基本性质．
——整体代入法求分式的值
9．已知2a﹣2b=ab，则的值等于________．
【分析】所求式子通分后，将已知等式变形后代入计算即可求出值，本题利用了整体代入思想．
∵==，
∴====；
故答案为：.
【反思】此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
——分式的化简求值
10．先化简后再求值：，其中
【分析】先算出括号里面的式子，再根据分式的除法法则算出最简分式，最后将的值代入最简分式计算即可．
解：
将代入中可得
原式
【反思】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的加减乘除运算法则是解题的关键．
——灵活运用整体思想，可以简化计算
数学思想方法是数学的灵魂。初中数学中常用的数学思想方法有很多，整体思想就是其中一种非常重要的思想方法，解题过程中灵活运用整体思想可以很有效地简化计算，提高我们的解题效率，尤其是在计算代数式（整式、分式）的值过程中，要注意！
秘籍六：灵活运用整体思想，可以简化计算！
一、选择题
1．下列代数式中，属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．分式有意义时x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则代数式的值是（ ）
A．3B．2C．D．
5．分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
6．下列是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
7．下列利用分式的基本性质变形错误的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若，则A、B的值为（ ）．
A．A=3，B=﹣2B．A=2，B=3C．A=3，B=2D．A=﹣2，B=3
9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
10．若分式有意义，则x的取值范围是___________．
11．当______时，分式的值等于0．
12．化简___；已知3，则分式的值为___．
13．，，的最简公分母是___________________．
14．化简：___．
15．（1）；__________（2）；__________（3）；__________
16．化简：______．
17．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程的两个根记为，则___________．
18．已知实数、、满足，则代数式：的值为__．
19．阅读下面的材料，并解答问题：
分式的最大值是多少？
解：，
因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4
根据上述方法，试求分式的最大值是______．
三、解答题
20．先化简，再求代数式的值，其中．
一、选择题
1．在，，，，中分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零B．当x为任意实数时，的值总为正数
C．无论x为何值，不可能得整数值D．当时，有意义
3．如果把分式中的和都变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．变为原来的4倍B．变为原来的2倍C．变为原来的D．不变
4．下列代数式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列各式中最简分式是（ ）
A．B．C．D．
6．，则？等于（ ）
A．B．C．D．
7．把，，通分的过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是B．
C．D．
8．已知，，，则的值为（ ）
A．-1B．C．2D．
9．已知是方程的根，那么代数式的值是（ ）
A．B．C．或D．或
10．已知函数，其中表示时对应的函数值，如，，则+…+…+的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
12．如果分式的值等于0，那么的值为__________．
13．已知，则___________．
14．给出下列分式：
（1），（2），（3），（4），（5） 其中最简分式有__．（填序号）
15．已知，则分式的值为______
16．已知，是一元二次方程的两个根，则______．
17．已知实数，满足，则__________．
三、解答题
18．先化简，再求值：，其中，取一个合适的整数代入求值．
19．已知： ， ．
(1)当时，判断与0的关系，并说明理由；
(2)设．若x是整数，求y的整数值．
20．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”．
(1)下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）；
(2)分式是否为“和谐分式”，请说明理由；
(3)当整数取多少时，的值为整数？
中考数学一轮复习资料五合一
《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》
(全国通用版)
第6讲分式的概念、性质、运算
题组特训详解
一、选择题
1．下列代数式中，属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
A．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；
D．分母中含字母，是分式，故本选项符合题意；
故选：D．
【反思】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子（A、B是整式）中，分母B中含有字母，则叫分式．
2．分式有意义时x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
∵分式有意义，∴，∴x的取值范围为．故选：D．
【反思】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母值不为0是解题的关键．
3．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．B．C．D．
∵分式的值为0，∴，∴，故B正确．故选：B．
【反思】本题主要考查分式的值为0的条件，解题的关键是熟练掌握“分式的值为0，则分子等于0，分母不为0”．
4．已知，则代数式的值是（ ）
A．3B．2C．D．
由得，则，故选：D．
【反思】本题考查了分式的化简求值，根据所求式子，正确变形已知等式是解题关键．
5．分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
，故选C．
【反思】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是解题的关键．
6．下列是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
A、，该选项不符合题意．
B、是最简分式．该选项符合题意．
C、，该选项不符合题意．
D、，该选项不符合题意．
故选：B．
【反思】本题考查了最简分式，分式的分子与分母，除1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式
7．下列利用分式的基本性质变形错误的是（ ）
A．B．
C．D．
A、，故本选项正确，不符合题意；B、，故本选项正确，不符合题意；
C、当时，，故本选项错误，符合题意；D、，故本选项正确，不符合题意；
故选：C
【反思】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
8．若，则A、B的值为（ ）．
A．A=3，B=﹣2B．A=2，B=3C．A=3，B=2D．A=﹣2，B=3
．
∵，
∴，
∴，
得：，
∴．
将代入①中，解得：，
∴方程组的解为：．
故选B．
【反思】本题考查分式的基本性质，方程组的解法。
9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
∴，∴，∴；故选A．
【反思】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值．熟练掌握交点坐标同时满足反比例函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关键．
二、填空题
10．若分式有意义，则x的取值范围是___________．
由题意得：，解得：，故答案为：．
【反思】此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
11．当______时，分式的值等于0．
∵分式的值等于0，∴，∴，故答案为：．
【反思】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键．
12．化简___；已知3，则分式的值为___．
①；
②∵3，
∴3，
即，则，
．
故答案为；
【反思】本题考查了分式的化简求值，解题关键是学会因式分解及约分．
13．，，的最简公分母是___________________．
，，的分母分别是xy、5x3、6xyz，故最简公分母是
故答案为．
【反思】本题考查了最简公分母的求法．
14．化简：___．
原式．
【反思】本题考查了分式的化简，解题的关键是熟练掌握异分母分式减法的运算法则．
15．（1）；__________
（2）；__________
（3）；__________
（1），故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）
故答案为：．
【反思】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式基本性质进行分式变形，确定分子分母同时乘除的整式．
16．化简：______．
原式

，
故答案为：．
【反思】本题考查分式的加减乘除混合运算，正确计算是解题的关键．
17．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程的两个根记为，则___________．
由根与系数的关系得，，
∴
，
则，
则
．
故答案为：．
【反思】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．
18．已知实数、、满足，则代数式：的值为__．
∵，
∴，，
∴原式，
故答案为：．
【反思】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则．
19．阅读下面的材料，并解答问题：分式的最大值是多少？
解：，
因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4
根据上述方法，试求分式的最大值是______．
，
因为，所以的最小值是2，所以的最大值是3，所以的最大值是5，即的最大值是5．
故答案为5．
【反思】本题主要考查了分式的混合运算、分式的基本性质等知识点，根据分式的运算法则对分式进行变形是解题的关键．
三、解答题
20．先化简，再求代数式的值，其中．
解：
，
∵
∴．
【反思】本题考查分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值、分母有理化，熟记平方差公式和完全平方公式，熟练掌握分式的运算法则和运算顺序是解答的关键．
过关检测详细解析
一．选择题
1．在，，，，中分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
，，分母中含字母，是分式；，分母中不含字母，不是分式；故选B．
【反思】本题主要考查的是分式的定义．
2．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零B．当x为任意实数时，的值总为正数
C．无论x为何值，不可能得整数值D．当时，有意义
A、当时，无意义，故本选项不合题意；
B、当x为任意实数时，的值总为正数，故本选项符合题意；
C、当或2时，能得整数值，故本选项不合题意；
D、当时，有意义，故本选项不合题意；
故选：B．
【反思】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
3．如果把分式中的和都变为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．变为原来的4倍B．变为原来的2倍C．变为原来的D．不变
将原分式中的和分别用，代替，得：新分式=，
故新分式的值变与原分式相等，故选D．
【反思】本题考查了分式基本性质，解题的关键是掌握：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变．
4．下列代数式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
，A选项错误；，B选项正确；，C选项错误；
，D选项错误；故选：B．
【反思】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．
5．下列各式中最简分式是（ ）
A．B．C．D．
A、原式＝，不是最简分式；B、是最简分式；
C、原式，不是最简分式；D、原式，不是最简分式；
故选：B．
【反思】本题所要考查的知识点是最简分式的概念．判断一个分式是否是最简分式，关键是看它的分子与分母之间是否存在公因式．
6．，则？等于（ ）
A．B．C．D．
，？等于，故选：B．
【反思】本题考查了运用完全平方公式和平方差公式对分式进行化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
7．把，，通分的过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是B．
C．D．
A、最简公分母为，正确，该选项不符合题意；
B、，通分正确，该选项不符合题意；
C、，通分正确，该选项不符合题意；
D、通分不正确，分子应为，该选项符合题意；
故选：D．
【反思】本题考查根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．解题的关键是通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等．
8．已知，，，则的值为（ ）
A．-1B．C．2D．
由可得：，
则
，
，
故原式．
故选：D．
【反思】本题主要考查的是求分式的值，对算式进行通分简化是解题的关键，体现了转化思想，化繁为简．
9．已知是方程的根，那么代数式的值是（ ）
A．B．C．或D．或
由题意知，，解得
当时，原式
∴原式或．
故选D．
【反思】本题考查了分式的化简求值以及解一元二次方程，熟练掌握法则是解题的关键
10．已知函数，其中表示时对应的函数值，如，，则+…+…+的值为（ ）
A．B．C．D．
∵，则有：
，
，
则原式
，
故选：C．
【反思】本题主要考查了函数值的计算，计算的关键是理解已知条件中的关系式，对每个式子进行化简．
二、填空题
11．已知式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
式子在实数范围内有意义，
则，
解得；
故答案为：．
【反思】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是明确分式有意义的条件是分母不为零，列不等式求解．
12．如果分式的值等于0，那么的值为__________．
由题意得：且，
∴且，
∴m的值为：，
故答案为：．
【反思】本题考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
13．已知，则___________．
由题意可知，即，
则有，
故答案为：．
【反思】本题考查代数式求值，熟练掌握分式的运算以及结合整体思想进行分析是解题的关键．
14．给出下列分式：
（1），（2），（3），（4），（5） 其中最简分式有__．（填序号）
（1），不是最简分式；
（2）是最简分式；
（3）不是最简分式；
（4）不是最简分式；
（5）不是最简分式；
最简分式有（2）．
故答案为（2）．
【反思】本题考查分式的约分，因式分解，最简分式，掌握分式的约分，因式分解，最简分式概念是解题关键．
15．已知，则分式的值为______
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【反思】本题考查了代数式求值，熟练掌握通分、约分等运算法则，根据题意得出是解本题的关键．
16．已知，是一元二次方程的两个根，则______．
，是一元二次方程的两个根，
根据根与系数的关系可知：，，
．
故答案为：．
【反思】本题考查了一元二次方程根与系数关系的运用以及分式的通分，熟练运用根与系数的关系是解题的关键．
17．已知实数，满足，则__________．
∵
∴
∴
整理，得
∴a=-b或a=b
当a=-b时，；
当a=b时，
综上：原式=0或
故答案为：0或．
【反思】此题考查的是分式的基本性质和因式分解，掌握分式的基本性质、利用平方差公式因式分解和两个因式相乘等于0，则必有一个因式为0是解决此题的关键．
三、解答题
18．先化简，再求值：，其中，取一个合适的整数代入求值．
解：
，
∵，，且，是整数，
∴当时，原式.
【反思】本题考查了分式的化简求值，熟练每一步的化简方法是解题关键，容易忽略分式有意义的条件．
19．已知： ， ．
(1)当时，判断与0的关系，并说明理由；
(2)设．若x是整数，求y的整数值．
解：，理由如下：
，
∵，
∴，．
∴；
（2）解：
，
∵x，y是整数，
∴是2的因数．
∴，．对应的y值为：
∴或或或．
∴y的整数值为：4，0，3，1．
【反思】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．
20．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”．
(1)下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）；
(2)分式是否为“和谐分式”，请说明理由；
(3)当整数取多少时，的值为整数？
（1）解：∵①，是“和谐分式”；
②不能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，所以不是“和谐分式”；
③，是“和谐分式”，
故答案为①③；
（2）解：是“和谐分式”，理由如下，
∵，
∴是和谐分式；
（3）解：
当，，0，1时，的值为整数．
由于当，0，1时，原分式没有意义，
所以当时，该分式的值为整数．
【反思】本题考查分式化简，新定义的理解及分式有意义条件，解题的关键是读懂新定义．