中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第11讲不等式(组)的解法及应用(原卷版+解析)

这是一份中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第11讲不等式(组)的解法及应用(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了不等式，一元一次不等式组及其解法等内容，欢迎下载使用。
(全国通用版)
第11讲不等式（组）的解法及应用
核心考点1：不等式的概念、性质
1、不等式：一般地，用符号“”(或“≥”)、“≠”连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2.不等式的基本性质
注意：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
核心考点2：不等式的解集及表示方法
1.不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．
2.不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
核心考点3：一元一次不等式及其解法
1.一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
2.解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
3、一元一次不等式组及其解法
一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组．
一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
核心考点4：不等式（组）解决实际问题
1.列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：
审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．
列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．
不等式(组)是中考必考内容之一,主要题型有对不等式性质的考查,一般以选择题形式考查;其二是考查不等式(组)的解法,这是考试的重点内容;其三是对不等式或不等式组应用能力的考查,后二者均在解答题中进行.不等式中有一项特别易错的地方就是在不等式两边同时除以或乘以一个负数时,不等号的方向要改变,这一点一定要切记!
1——考查不等式的概念与性质
1．下面给出了6个式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据不等式的定义来判断即可．
【详解】∵用、、、、等不等号表示不相等关系的式子是不等式．
∴①；②；⑤；⑥，是不等式，
∴不等式有个．
故选：C．
【反思】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是会识别常见的不等号：、、、、．
2．若 则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质，逐一判断即可解答．
反思A、 ，∴ 故A不符合题意；
B、∵ ,∴ 故B不符合题意；
C、∵,∴ ,∴ ，故C符合题意；
D、∵,∴∴ ,故D不符合题意；
故选：C．
【反思】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3．有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由数轴可知，且，再根据有理数的加减法则、不等式的基本性质逐一判断即可．
由数轴可知：且，
∴，，，，
故A正确，
故选：A．
【反思】本题主要考查数轴及有理数的加减法则及不等式的基本性质，熟练掌握有理数的加减法则、不等式的基本性质是关键．
4．已知，则下列结论不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质依次判断即可．
反思A、由，可得，成立，故本选项不合题意；
B、由，可得，成立，故本选项不合题意；
C、由，可得，成立，故本选项不合题意；
D、由，可得，选项错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【反思】题目主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
5．若，则下列式子中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
反思A、若，则，故本选项正确，不符合题意；
B、若，则，故本选项错误，符合题意；
C、若，则，故本选项正确，不符合题意；
D、若，则，故本选项正确，不符合题意；
故选：B
【反思】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2——考查不等式的解集和整数解
6．不等式的解集为________．
【分析】移项合并、化系数为1即可求出不等式的解集．
反思，
移项合并得：，
化系数为1得：，
故答案为：．
【反思】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
7．不等式的非负整数解共有______个．
【分析】不等式去分母，合并后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．
反思，
，
，
解得：，
则不等式的非负整数解为0，1，2，3，4，5，共6个．
故答案为：6．
【反思】本题考查求一元一次不等式的非负整数解，求出不等式的解集是解题的关键．
8．已知不等式的解集为，则a的取值范围是______．
【分析】根据不等式的解集为，得到不等号发生了改变，进而得到，进行求解即可．
反思∵不等式的解集为，，
∴，
∴；
故答案为：．
【反思】本题考查根据不等式的解的情况，求参数的取值范围．熟练掌握不等式两边同除一个负数时，不等号发生改变，是解题的关键．
9．已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是______．
【分析】将两个二元一次方程相加，得到的值，根据，求出的取值范围即可．
反思，
得：，即：；
∵，
∴，解得：；
故答案为：．
【反思】本题考查根据二元一次方程组的解得情况，求参数的取值范围．熟练掌握加减法解二元一次方程组，是解题的关键．
10．若关于x和y的二元一次方程组，满足，那么整数m的最大值是______．
【分析】先将两个方程相加，再整理，即可得到，即可得到，即可得到m的取值范围，即可求最大值．
反思
得：
即：
整数m的最大值为1
故答案为：1．
【反思】本题考查了解二元一次方程组和解不等式，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
3——考查不等式组的解法
11．解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
反思由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为．
【反思】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．解不等式组：
【分析】先分别求出两个不等式的解集，然后根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
反思
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【反思】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
4——考查不等式组的应用
13．某希望小学收到捐赠的一批图书，要分给同学，让他们带回家方便阅读，读完后再交换给其他同学阅读．如果每名同学分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学就分不到3本，捐赠的这批书有多少本？共有多少名同学？
【分析】设共有x名同学，根据题意列出不等式组求解即可．
反思设共有x名同学，
由题意可得，，
解得，
∵x为整数，
∴，
∴．
答：捐赠的这批书有26本，共有6名同学．
【反思】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确分析题目中的不等关系．
14．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
(1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
(2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
（2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）．
∵，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，即购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球．
【反思】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
——凡是老师强调的易错处一定要想尽一切办法避免！
在学习过程中出现各种各样的错误是再所难免的，你要想考高分，一定要注意老师强调的易错处，这是经验之谈，凡是老师反复强调的易错处一定要想尽一切办法避免，只有这样，你才能考高分，别人都错的你不错，才有可能超越别人，突出自己！
秘籍九：凡是老师强调的易错处一定要想尽一切办法避免！
一、选择题
1．下列判断不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．若，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果，那么下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，该数轴表示的不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．一个不等式的解集如图所示，则这个不等式可以是（ ）
A．B．C．D．
6．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
8．关于x的不等式组的解集是（ ）
A．B．C．D．
9．若关于x的不等式组共有2个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．不等式组的所有整数解的和为9，则整数的值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
12．不等式组的解集是____________．
13．若关于x的不等式组的最大整数解为3，则符合条件的所有整数a的和为________．
14．已知关于x的不等式的正整数解是1，2，3，4．则a的取值范围是________．
15．若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是______．
16．若不等式组的解集为，则__________．
三、解答题
17．解不等式组．
18．解不等式组：，并写出它的正整数解．
19．年第届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，用元购进、两种世界杯吉祥物共个，且用于购买种吉祥物与购买吉祥物的费用相同，且种吉祥物的单价是种吉祥物的倍．
(1)求、两种吉祥物的单价各是多少元？
(2)世界杯开始后，商场的吉祥物很快就卖完了，于是计划用不超过元的资金再次购进、两种吉祥物共个，已知、两种吉祥物的进价不变．求种吉祥物最多能购进多少个？
20．临近期末某班需要购买一些奖品，经过市场考察得知，购买10个钢笔礼盒和1个水杯需要242元，购买1个钢笔礼盒和10个水杯需要341元．
(1)你能求出每个钢笔礼盒、每个水杯各多少元？（用二元一次方程组解）
(2)根据班级情况，需购进钢笔礼盒和水杯共30个，现要求钢笔礼盒的个数不大于购进水杯的2倍，总费用不超过800元，请你通过计算求出有几种购买方案？哪种方案费用最低？
一、选择题
1．若，则下列式子中错误的是（ ）
A． B．C． D．
2．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知两个不等式的解集在数轴上如右图表示，那么这个解集为（ ）
A． B． C．D．
5．要使有意义，x必须满足（ ）
A．B．C．x为任何实数D．x为非负数
6．不等式的最大整数解是（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．关于x的不等式组的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．已知点在第二象限，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
9．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．八年级某班部分学生去植树，若每人平均植树4棵，还剩9棵，若每人平均植树5棵，则最后一名学生有但棵数不足2棵．若设同学人数x人，则下列列式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．若是不等式的解，不是不等式的解，则的取值范围是____；
12．已知不等式，两边同时除以“”得___________．
13．若不等式的解集是，则a的取值范围是________．
14．不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________．
15．解不等式组的解集为______．
16．关于x的不等式组整数解有2个，则a的取值范围是________．
17．若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________．
18．抛物线（其中为常数，且），若当时，对应的函数值恰好有3个整数值，则的取值范围是__________．
三、解答题
19．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
(1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
(2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
20．抗击新型冠状肺炎疫情期间，84消毒液和酒精都是重要的防护物资，某药房根据实际需要采购了一批84消毒液和酒精，84消毒液和酒精的进价和售价如下：
(1)该药房购进84消毒液10瓶和酒精5瓶需要170元；购进84消毒液6瓶和酒精10瓶需要200元，直接写出m，n的值．
(2)该药房决定购进84消毒液和酒精共100瓶，要求84消毒液不多于60瓶且投入资金又不多于1168元，设购买84消毒液x瓶，求有几种购买方案．
(3)在（2）的条件下，药房在获得的利润取得最大值时，决定售出的84消毒液每瓶捐出2a元，酒精每瓶捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
理论依据
式子表示
性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
若，则
性质2
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
若，，则或
性质3
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
若，，则或
不等式组
（其中）
数轴表示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解
大大、小小取不了
84消毒液
酒精
进价（元/瓶）
m
n
售价（元/瓶）
16
18
中考数学一轮复习资料五合一
《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》
(全国通用版)
第11讲不等式(组)的解法及应用
题组特训详解
选择题
1．下列判断不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可解答
【详解】解：A、在不等式的两边同时加2，不等式仍成立，即，正确，不符合题意；
B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，正确，不符合题意；
C、在不等式的两边同时除以2，不等式仍成立，即，正确，不符合题意；
D.当时，，原判断错误，故本选项符合题意
故选：D.
【反思】本题考查的是不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．若，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】A项，由可得，故本项不符合题意；
B项，由可得，故本项不符合题意；
C项，由可得，故本项不符合题意；
D项，由可得，故本项不符合题意；
故选：D．
【反思】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解答本题的关键．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若，那么；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若，且，那么或；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若，且，那么或．
3．如果，那么下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、如果，那么，故本选项正确，不符合题意；
B、如果，那么，故本选项正确，不符合题意；
C、如果，那么，故本选项正确，不符合题意；
D、如果，那么，故本选项错误，符合题意；
故选：D
【反思】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．如图所示，该数轴表示的不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【详解】解：该数轴表示的不等式组的解集为，
故选：B．
【反思】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．
5．一个不等式的解集如图所示，则这个不等式可以是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出每个不等式的解，再进行判断即可．
【详解】解：A.不等式的解集为：，故A不符合题意；
B.不等式的解集为：，故B符合题意；
C.不等式的解集为：，故C不符合题意；
D.不等式的解集为：，故D不符合题意．
故选：B．
【反思】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画）是解题关键．
6．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先解出不等式②的解集，再将不等式①②的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：．
解不等式②得：
将不等式组的解集表示在数轴上：
故选：D
【反思】本题考查解不等式组、在数轴上表示不等式的解集，是重要考点，难度较易，掌握解不等式的基本步骤是解题关键．
7．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求得每个一元一次不等式的解集，再求得它们的公共部分即可得到一元一次不等式组的解集，进而将解集在数轴上表示出来，注意：大于、小于的时候画空心圈，大于等于、小于等于的时候画实心点．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
故不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
．
故选：B．
【反思】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．关于x的不等式组的解集是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别求解不等式即可得到不等式组的解集．
【详解】解：由，
得：，
由，
得：，
则不等式组的解集为：，
故选：B．
【反思】本题考查了解一元一次不等式组；解题的关键是正确求解不等式．
9．若关于x的不等式组共有2个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先解不等式，得，结合不等式组的整数解的情况，得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解不等式，得，
∵关于x的不等式组共有2个整数解，
∴这两个整数解为，
∴，
解得，
故选：B．
【反思】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，得出关于m的不等式组．
10．不等式组的所有整数解的和为9，则整数的值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先解不等式组，求出其解集（用a表示），再根据不等式组的所有整数解的和为9，得到不等式整数解，从而得出关于a的不等式组，再求解即可．
【详解】解：解等式组得
，
∴，
∵不等式组的所有整数解的和为9，
∴x的整数解为2,3,4，
∴
∵a为整数，
∴，
∴整数的值有1个，
故选：A．
【反思】本题考查解不等式组，不等式组的整数解情况求参问题，熟练掌握解不等式组，确定不等式组解集的方法是解题的关键．根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解题的难点．
11．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．B．C．D．
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：由得：，
由得：，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴，解得，
故选：B．
【反思】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
二、填空题
12．不等式组的解集是____________．
【分析】先分别求出各不等式的解集，有分母先去分母，然后移项、合并同类项，再求出其公共解集即可．
【详解】，
由得，；
由得，，；
原不等式解集为．
故答案为：．
【反思】本题考查的是解一元一次不等式组解集，正确掌握解一元一次不等式的步骤和确定公共解集是解题的关键．
13．若关于x的不等式组的最大整数解为3，则符合条件的所有整数a的和为________．
【分析】先求出不等式组的解集为，然后再确定，从而求出整数a可以取，0，即可求解．
【详解】解：由得，
由得，
∴不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组的最大整数解为3，
∴，
解得，
∴整数a可以取，0，
∴a的所有整数解的和为，
故答案为：．
【反思】本题考查求不等式组中字母的值，解题的关键是能够确定字母的取值范围．
14．已知关于x的不等式的正整数解是1，2，3，4．则a的取值范围是________．
【分析】首先解不等式，再根据不等式的正整数解，可得，据此即可求解．
【详解】解：解不等式，得，
∵不等式的正整数解是1，2，3，4，
，
解得．
故答案为：．
【反思】本题考查了根据不等式的解集求参数，熟练掌握和运用根据不等式的解集求参数的方法是解决本题的关键．
15．若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是______．
【分析】分别求出两个不等式的解集，可得不等式组的解集为，再由不等式组有且仅有一个整数解，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且仅有一个整数解，
∴．
故答案为：
【反思】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．
16．若不等式组的解集为，则__________．
【分析】先解不等式组可得，再结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解：
由②得，
∴不等式组的解集为：，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：2．
【反思】本题考查的是根据不等式组的解集求解参数的值，理解题意，掌握解一元一次不等式组的方法是解本题的关键．
三、解答题
17．解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为．
【反思】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．解不等式组：，并写出它的正整数解．
【分析】分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再确定它的正整数解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
则它的正整数解为1．
【反思】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握不等式组确定解集的方法．
19．年第届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，用元购进、两种世界杯吉祥物共个，且用于购买种吉祥物与购买吉祥物的费用相同，且种吉祥物的单价是种吉祥物的倍．
(1)求、两种吉祥物的单价各是多少元？
(2)世界杯开始后，商场的吉祥物很快就卖完了，于是计划用不超过元的资金再次购进、两种吉祥物共个，已知、两种吉祥物的进价不变．求种吉祥物最多能购进多少个？
【分析】（1）设种吉祥物的单价是元，则种吉祥物的单价是元，列出分式方程即可求解；
（2）设种吉祥物最多能购进个，则此时种吉祥物能购进个，且为整数，根据题意列出不等式，解不等式即可作答．
【详解】（1）设种吉祥物的单价是元，则种吉祥物的单价是元，
根据题意，有：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
（元），
答：种吉祥物的单价是元，种吉祥物的单价是元；
（2）设种吉祥物最多能购进个，则此时种吉祥物能购进个，且为整数，
根据题意，有：，
解得：，
即：种吉祥物最多能购进个．
【反思】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式的应用，明确题意，列出相应的分式方程和不等式是解答本题的关键．
20．临近期末某班需要购买一些奖品，经过市场考察得知，购买10个钢笔礼盒和1个水杯需要242元，购买1个钢笔礼盒和10个水杯需要341元．
(1)你能求出每个钢笔礼盒、每个水杯各多少元？（用二元一次方程组解）
(2)根据班级情况，需购进钢笔礼盒和水杯共30个，现要求钢笔礼盒的个数不大于购进水杯的2倍，总费用不超过800元，请你通过计算求出有几种购买方案？哪种方案费用最低？
【分析】（1）每个钢笔礼盒x元、每个水杯y元，根据10个钢笔礼盒价格+1个水杯的价格元，1个钢笔礼盒价格+10个水杯的价格元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进钢笔礼盒a个，则购买水杯个，根据钢笔礼盒的个数不大于购进水杯的2倍，总费用不超过800元，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：每个钢笔礼盒x元、每个水杯y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每个钢笔礼盒21元、每个水杯32元；
（2）解：设购进钢笔礼盒a个，则购买水杯个，根据题意得：
，
解得：，
∴，16，17，18，19，20，
购进钢笔礼盒15个，则购买水杯15个，所需要的费用为：（元）；
购进钢笔礼盒16个，则购买水杯14个，所需要的费用为：（元）；
购进钢笔礼盒17个，则购买水杯13个，所需要的费用为：（元）；
购进钢笔礼盒18个，则购买水杯12个，所需要的费用为：（元）；
购进钢笔礼盒19个，则购买水杯11个，所需要的费用为：（元）；
购进钢笔礼盒20个，则购买水杯10个，所需要的费用为：（元）；
∴共有6种购买方案；购买钢笔礼盒20个，则购买水杯10个费用最低．
【反思】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程组和不等式组．
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一．选择题
1．若，则下列式子中错误的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，即可一一判定．
【详解】A、根据不等式的性质1，可得，故该选项正确，不符合题意；
B、根据不等式的性质2，可得，故该选项正确，不符合题意；
C、根据不等式的性质1，可得，故该选项正确，不符合题意；
D、根据不等式的性质3，可得，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
【反思】本题考查了不等式的性质，熟练掌握和运用不等式的性质是解决本题的关键．
2．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A、则，故该选项不成立，不符合题意；
B、，则，故该选项成立，符合题意；
C、，不能判断，故该选项不成立，不符合题意；
D、，当时，；当时，；故该选项不成立，不符合题意；
故选：B．
【反思】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
3．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性质求解即可．
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，
故选：A．
【反思】本题考查不等式的基本性质、不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质的运用，注意符号的变化是解答的关键．
4．已知两个不等式的解集在数轴上如右图表示，那么这个解集为（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】取两个不等式的解集的公共部分即可．
【详解】解：由题意得，不等式组的解集为：．
故选：B．
【反思】本题考查在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解题的关键．
5．要使有意义，x必须满足（ ）
A．B．C．x为任何实数D．x为非负数
【答案】A
【分析】由被开方数为非负数可得，再解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
故选A
【反思】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解本题的关键．
6．不等式的最大整数解是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】先根据一元一次不等式的解法求出解集，然后问题可求解．
【详解】解：解不等式得：，
∴该不等式的最大整数解是3；
故选B．
【反思】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
7．关于x的不等式组的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求解不等式即可得到不等式组的解集．
【详解】解：由，
得：，
由，
得：，
则不等式组的解集为：，
故选：B．
【反思】本题考查了解一元一次不等式组；解题的关键是正确求解不等式．
8．已知点在第二象限，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点的坐标满足第二象限的条件是横坐标小于0，纵坐标大于0可得到一个关于x的不等式组，求解即可．
【详解】解：因为点在第二象限，所以，，解得．
故选：D．
【反思】此题考查点的坐标以及解一元一次不等式组，解题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
9．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将两不等式相加，变形得到，根据列出关于k的不等式组，解之可得．
【详解】解：将两个不等式相加可得，
则，
∵，
∴，
解得，
故选：A．
【反思】本题考查了一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法，正确利用含k的式子表示出的值是关键．
10．八年级某班部分学生去植树，若每人平均植树4棵，还剩9棵，若每人平均植树5棵，则最后一名学生有但棵数不足2棵．若设同学人数x人，则下列列式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设同学人数x人，则树有棵，根据题意列出一元一次不等式组即可．
【详解】解：设同学人数x人，则树有棵，由题意得：
，
故选：C．
【反思】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确分析题目中的不等关系．
二、填空题
11．若是不等式的解，不是不等式的解，则的取值范围是____；
【答案】
【分析】把代入不等式，解出的值，把代入不等式，解出的值，即可求解．
【详解】解：∵是不等式的解，
∴，
不是不等式的解，
∴，
∴的取值范围是，
故答案为：．
【反思】本题主要考查根据不等式的解集求参数的值，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
12．已知不等式，两边同时除以“”得___________．
【答案】
【分析】利用不等式的性质解答即可．
【详解】解：不等式，两边同时除以“”得：
．
故答案为：．
【反思】本题主要考查了不等式的性质．解不等式依据不等式的性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．
13．若不等式的解集是，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据不等式的性质可知：，进行求解即可．
【详解】解：∵不等式的解集是，
∴，
∴；
故答案为：．
【反思】本题考查不等式的性质．熟练掌握不等式的两边同除一个负数，不等号的方向发生改变，是解题的关键．
14．不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________．
【答案】##
【分析】根据不等式的解集为，得出，，进而即可求解．
【详解】解：，
得，
不等式的解集为，
，
，
，，
的解集为：．
故答案为：．
【反思】本题考查了解一元一次不等式，根据一元一次不等式的解集求参数，掌握不等式的性质是解题的关键．
15．解不等式组的解集为______．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是．
故答案为：．
【反思】此题考查了一元一次不等式组的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
16．关于x的不等式组整数解有2个，则a的取值范围是________．
【答案】##
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组只有两个整数解进行求解即可．
【详解】解：
解①得，
解②得．
∵不等式组有2个整数解，则整数解是0，1．
∴．
故答案是：．
【反思】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确求出两个不等式的解集是解题的关键．
17．若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________．
【答案】
【分析】②①得：，然后将其代入，再来解关于k的不等式即可的解．
【详解】解：，
②①得：，
∵方程组的解满足不等式，
∴，
解得：．
故答案为：．
【反思】本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
18．抛物线（其中为常数，且），若当时，对应的函数值恰好有3个整数值，则的取值范围是__________．
【答案】或
【分析】先求出抛物线的对称轴，分和，两种情况进行分析，求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为：；
①当时， 在对称轴的右侧，随的增大而减小，
∴当时，取得最大值：，
当时，取得最小值：，
∴，
∵恰好有3个整数值，为，
∴，解得：；
②当时， 在对称轴的右侧，随的增大而增大，
∴当时，取得最小值：，
当时，取得最大值：，
∴，
∵恰好有3个整数值，为，
∴，解得：；
综上：的取值范围是：或．
故答案为：；．
【反思】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．注意分类讨论．
三、解答题
19．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
(1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
(2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
【答案】(1)50元，80元
(2)3种，方案1
【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
（2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）．
∵，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，即购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球．
【反思】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
20．抗击新型冠状肺炎疫情期间，84消毒液和酒精都是重要的防护物资，某药房根据实际需要采购了一批84消毒液和酒精，84消毒液和酒精的进价和售价如下：
(1)该药房购进84消毒液10瓶和酒精5瓶需要170元；购进84消毒液6瓶和酒精10瓶需要200元，直接写出m，n的值．
(2)该药房决定购进84消毒液和酒精共100瓶，要求84消毒液不多于60瓶且投入资金又不多于1168元，设购买84消毒液x瓶，求有几种购买方案．
(3)在（2）的条件下，药房在获得的利润取得最大值时，决定售出的84消毒液每瓶捐出2a元，酒精每瓶捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
【答案】(1)
(2)有3种购买方案
(3)a的最大值为1.8
【分析】（1）根据购进84消毒液10瓶和酒精5瓶需要170元；购进84消毒液6瓶和酒精10瓶需要200元列出方程组，解关于m、n的方程组即可；
（2）设购买84消毒液x瓶，则购进酒精瓶，根据84消毒液不多于60瓶且投入资金又不多于1168元，列出不等式组，解不等式组即可得出答案；
（3）先求出当时获利最大，然后根据捐款后的利润率不低于20%列出关于a的不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
解得：；
（2）解：设购买84消毒液x瓶，则购进酒精瓶，根据题意得：
，
解得：，
∵x取正整数，
∴，，，
∴有3种购买方案；
（3）解：设药房获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵中，
∴随x的增大而增大，
∴当时获利最大，
（瓶），
根据题意得：，
解得：，
∴a的最大值为1.8．
【反思】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系式和不等关系式，列出方程或不等式．
84消毒液
酒精
进价（元/瓶）
m
n
售价（元/瓶）
16
18