中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第13讲反比例函数(原卷版+解析)

这是一份中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第13讲反比例函数(原卷版+解析)，共88页。试卷主要包含了图象，性质等内容，欢迎下载使用。
(全国通用版)
第13讲反比例函数
核心考点1：反比例函数的概念
反比例函数：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．
核心考点2：反比例函数的图象和性质
1.图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2.性质：
注意：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．
当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k0）的图像上，过点A分别作x轴和y轴的平行线与反比例函数（是非零常数，x>0）的图像交于点B和点C，连接OB，OC．若四边形OBAC的面积为4，则（ ）
A．4B． C．2D．
【答案】A
【分析】延长、分别交坐标轴于点E、F，根据反比例函数k的几何意义直接求解即可得到答案；
【详解】解：延长、分别交坐标轴于点E、F，由题意可得，
，，
∵四边形OBAC的面积为4，
∴，
故选A．
【反思】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义及作辅助线．
3——考查反比例函数与一次函数综合
9．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先确定长的最大时点P的位置，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，设，则，，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
【详解】解：连接，
由对称性得：，
∵Q是的中点，
∴，
∵长的最大值为，
∴长的最大值为，
如图，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，过B作轴于D，
∵，
∴，
∵B在直线上，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得（舍）或，
∴，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴；
故选：C．
【反思】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用中位线的性质和圆的性质确定出点P的位置．
10．如图，正比例函数（a为常数，且）和反比例函数（k为常数，且）的图像相交于和B两点，则不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征得到B点坐标为，然后根据函数图像位置及交点坐标即可得出结论．
【详解】解：正比例函数（a为常数，且）和反比例函数（k为常数，且）的图像相交于和B点．
A、B两点关于原点对称，
，
反比例函数图像位于一次函数的上方，
不等式的解集为或，
故选C．
【反思】本题考查了一次函数和反比例函数相结合的综合应用，掌握数形结合的思想，确定B点坐标是解答本题的关键．
11．如图，点A，B是反比例函数上两点，点B位于点A右侧，若点A的坐标为，点B的横坐标为，过点A作轴，过点B作轴，交于点C，连接，过B作x轴的平行线，与交于点D，连接交于点E．
(1)求k的值，求点B的坐标，求直线的表达式；
(2)求点D的坐标，根据坐标判断四边形的形状，并说明理由；
(3)猜想与的关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)，，
(2)，矩形，理由见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）把点坐标代入即可求出值，把点的横坐标代入反比例函数解析式即可得出点的坐标，根据点和点坐标确定出点坐标即可求出直线表达式；
（2）先根据点确定点的横坐标，再代入直线表达式即可得出点坐标，根据矩形的判定进行证明四边形为矩形，即可；
（3）根据矩形性质和三角形外角和定理得出，再根据勾股定理求出和的长，根据等边对等角得出，最后即可得出平行线性质得出．
【详解】（1）把点为代入，并解得，
∴，
∵点的横坐标为，
∴纵坐标，
∴点为，
∴点为，
设直线表达式为，
把点代入并解得，
∴直线表达式为；
（2）∵轴，
∴的纵坐标与的纵坐标相等为，
∴代入直线：得横坐标，
∴点为，
四边形为矩形，理由如下：
∵轴，轴，∴，
∵点为，点为，∴轴，
∵轴，∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形；
（3），理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴．
【反思】本题考查了反比例函数的几何综合，熟练掌握反比例函数的性质，一次函数b表达式的求法，矩形的判定与性质，平行线的性质等知识点是解题的关键．
12．如图，点和点是反比例函数图像上的两点，一次函数的图像经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足．
(1)求；
(2)已知点在线段上，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一次函数解析式求得点的坐标，得到的长度，结合点的坐标和三角形面积求出的面积，进而求出的面积，由反比例函数系数的几何意义求得的值；
（2）利用待定系数法确定直线函数关系式，求出点的坐标，根据正切的定义列出求出的关系，解方程组得到答案．
【详解】（1）解：由一次函数得，点的坐标为，
∵点的坐标是，
∴，
∵，
∴，
∵点是反比例函数图像上的点，
∴，即，
∴．
（2）解：如图所示，
由（1）知，反比例函数解析式是，把点的坐标为代入得，
∴，解得，，
∴点的坐标为，将其代入，得到，解得，，
∴直线的解析式是：，
令，则，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，，设，则，
∵，
∴，即，
∴，整理得，，
解方程组，得或，
∵点在第一象限，
∴．
【反思】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、解直角三角形的应用，要灵活掌握待定系数法确定函数关系式，函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式．
13．如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于A，B两点，垂直x轴于点C，O为坐标原点，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点B的坐标，并直接写出的解集；
(3)点D在y轴上，满足的面积和的面积相等，求点D的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）设，则，可得，把点代入一次函数解析式即可求出的值，进而表示出点的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）将一次函数和反比例函数联立求出点B的坐标，根据图像求出一次函数不在反比例函数上方时自变量的取值范围即可；
（3）根据题意点D在y轴上，满足的面积和的面积相等，将直线向左平移4个单位，可得到直线，再找到关于点的对称点为，即可得到答案．
【详解】（1）设，则，
∴，，
∵直线的解析式为，
∴，解得，
∴
把代入反比例函数得：，
∴反比例函数解析式为．
（2）由，解得或，
∴
由图可知的解集为：或．
（3）由（1）、（2）得：，，，
∵直线的解析式为，
令，得，
∴直线与轴的交点的横坐标为5，与轴的交点的纵坐标为5，
∵的面积和的面积相等，
∴
∵点的横坐标为1，
∴将直线向左平移4个单位，得到直线，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
∵点关于点的对称点为，
由题意得点也满足的面积和的面积相等，
∴点的坐标为或.
【反思】本题是反比例函数与一次函数综合题目，考查了待定系数法求解析式、三角形面积以及求函数交点坐标，能够数形结合是解题的关键．
4——考查反比例函数的实际应用
14．教室里的饮水机通接电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温)与开机后用时)成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时接通电源，水温)与时间)的关系如图所示：
(1)分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式并注明自变量的取值范围；
(2)怡萱同学想喝高于的水，请问她最多需要等待 ？
【答案】(1)y，与的函数关系式每分钟重复出现一次
(2)
【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得的值；根据函数图象和题意可以求得关于的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；
（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题．
【详解】（1）解：观察图象，可知：当时，水温，
当时，设关于的函数关系式为：，
，
解得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，设，
100，得，
即当时，关于的函数关系式为y，
当时，x，
与的函数关系式为：y，与的函数关系式每分钟重复出现一次；
（2）将代入，得，
将代入y，得，
，12，
∴怡萱同学想喝高于的水，她最多需要等待，
故答案为：．
【反思】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
15．为了做好校园疫情防控工作，学校每周要对办公室和教室进行药物喷洒消毒，消毒药物在每间教室内空气中的浓度y（单位：）与时间x（单位：）的函数关系如图所示．在进行药物喷洒时y与x的函数关系式为，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．
(1)n的值为__________；
(2)当时，y与x的反比例函数关系式为__________；
(3)当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害．当教室药物喷洒完成后，学生能否进入教室？请通过计算说明．
【答案】(1)10
(2)
(3)能，说明见解析
【分析】(1)把代入，解方程即可求解；
(2)把代入，即可求解；
(3)当时，，据此即可判定．
【详解】（1）解：把代入，
得，
故答案为：10；
（2）解：设反比例函数的解析式为，
把代入，
得，
解得，
故反比例函数的解析式为，
故答案为：；
（3）解：能进教室，
当时，，
即教室空气中的药物浓度不高于，所以能进教室．
【反思】本题考查了从函数图象获取相关信息，求反比例函数的解析式，从函数图象获取相关信息是解决本题的关键．
——从多个方面学习一个知识，站在不同角度观察一个东西！
学习文化知识时，我们要学会从多个方面学习一个知识，站在不同角度观察一个东西，这样我们才会更深刻地理解所学的知识，例如我们学习反比例函数时，我们要深入理解K，就要从两个方面去理解它，一个是数的方面，一个是从形的方面，作为数，K决定了双曲线的位置和距离原点和坐标轴的远近，作为形，它的绝对值代表着一个矩形的面积！
秘籍十一：从多个方面学习一个知识，站在不同角度观察一个东西！
一、选择题
1．已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．函数下列结论不正确为（ ）
A．图象必过B．随增大而增大
C．图象过二、四象限D．当时，
3．如图，直线与双曲线交于A，B两点，若，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．在反比例函数（k为常数）的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数的图象上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知点A、B分别在反比例函数，的图像上，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为x轴上的一点，将绕点O按顺时针旋转60°至，反比例函数的图象经过点B，过A作交反比例函数图象于点C，若的面积为，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
9．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
10．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．半圆面积S与半径R之间的关系
二、填空题
11．反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则m的取值范围是________．
12．如果反比例函数的图像经过点，那么函数的图像在第_____象限．
13．点、在反比例函数的图象上，则与的大小关系是________(填“>”、“0
k”、“