中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第15讲平行线与相交线(原卷版+解析)

这是一份中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第15讲平行线与相交线(原卷版+解析)，共67页。试卷主要包含了直线的基本事实，线段的中点性质，平行线间的距离等内容，欢迎下载使用。
(全国通用版)
第15讲平行线与相交线
核心考点1：两个基本事实
1、直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
2、两点确定一条直线，两点之间，线段最短．
3、线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．
核心考点2：垂线的性质
1、垂线的性质：
1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；
2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
2、点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．
核心考点3：角的相关概念
1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
2）角平分线
（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
3）度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°．
4）余角和补角
1） 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．
3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
5）方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．
核心考点4：对顶角
1、定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．
2、性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．
核心考点5：平行线
1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
2、平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行．（2）内错角相等，两直线平行．（3）同旁内角互补，两直线平行．
（4）平行于同一直线的两直线互相平行．（5）垂直于同一直线的两直线互相平行．
3、平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．
4、平行线间的距离
（1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
（2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．
平行线与相交线是学习平面几何知识的入门基础，重点是掌握好涉及到的基本概念和性质，判定定理，以及。对这些基础知识重点在于要理解，不能死记硬背，其主要题型有，求角，证明平行，证明垂直，利用平行线的性质求解其他相关问题，比如求长度，面积等等。
1——线段的基本概念
1．如图，线段的长为6，点C为线段上一动点（不与A，B重合），D为中点，E为中点，随着点C的运动，线段的长度为（ ）
A．不确定B．2.5C．3D．3.5
【答案】C
【分析】由D为中点，E为中点得到，，进一步即可得到的长度．
【详解】解：∵D为中点，E为中点，
∴，，
∴．
故选：C
【反思】此题考查了线段中点的相关计算，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．
2．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理是（ ）．
A．两点确定一条直线B．直线是向两个方向无限延伸的
C．两条直线相交，只有一个交点D．两点之间线段最短
【答案】D
【分析】此题为数学知识的应用，由题意道路取直以缩短路程，就用到两点间线段最短．
【详解】解∶ 从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，
这样做包含的数学道理是∶两点之间，线段最短．
故选∶ D．
【反思】此题主要考查了两点之间线段最短的性质，正确将数学定理应用于实际生活是解题关键．
2——角
3．如图，是的平分线，是的平分线，且，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义，得到，，即可得到答案．
【详解】解：是的平分线，
，
，
，
是的平分线，
，
故选A．
【反思】本题考查了角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
4．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若，则射线是的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据直线，线段的基本性质，两点间的距离，角平分线的定义依次进行判断即可得．
【详解】解：①两点确定一条直线，正确；
②两点之间，线段最短，正确；
③若，则射线是的平分线，不正确，射线也可能在的外部；
④连接两点之间的线段的长度叫做这两点间的距离，不正确；
综上，①②正确，正确的个数有2个，
故选：B．
【反思】本题考查了直线，线段的基本性质，两点间的距离，角平分线的定义，解题的关键是正确掌握各个概念．
5．如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论有（ ）
A．②③B．③C．①②④D．①②③④
【答案】A
【分析】根据垂直定义、角平分线的性质、直角三角形的性质求出等角的度数，即可对①②③④进行判断．
【详解】①∵，
∴，
∴，
又∵平分，
∴．故①错误；
②∵，
∴，
又，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
∴平分．故②正确；
③∵，，
∴，
由②知，，
∴．故③正确；
④由②可知，
，
故．故④错误；
综上所述，正确的有②③．
故选：A．
【反思】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，解答此题要注意将垂直、平行、角平分线的定义结合应用，弄清图中线段和角的关系，再进行解答．
3——垂直的基本概念
6．如图，直线经过点，若，则图中与的关系是（ ）
A．对顶角B．互为余角C．互为邻补角D．互为补角
【答案】B
【分析】根据得到，进而得到，根据互为余角的定义即可得解．
【详解】解：，
，
，
与的关系是互为余角．
故选B．
【反思】本题考查了垂直和互为余角的定义，熟练掌握互为余角的定义是解题的关键．
7．如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，再根据平行线的性质可知的度数．
【详解】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点在直线上，
∴
∵，
∴
故选：．
【反思】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
8．已知，则它的补角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据补角的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴的补角，
故选：D．
【反思】本题考查了余角和补角，熟练掌握补角的定义是解题的关键．
9．如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据同角的余角相等，得到，根据平角的定义，得到，，进而得到，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴图中与互补的角有，共3个；
故选C．
【反思】本题考查补角的判断．正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握同角的余角相等，互补的两角之和为，是解题的关键．
10．如图，D为内一点，平分，，，若，．则的长为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，，即可推出的长度．
【详解】延长与交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又 平分，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【反思】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
11．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据余角与补角的性质进行一一判断可得答案．
【详解】解∶A．根据角的和差关系可得，故该选项不符合题意；
B．根据同角的余角相等可得，故该选项不符合题意；
C．根据等角的补角相等可得，故该选项不符合题意；
D．由图可得不一定与相等，故该选项符合题意．
故选：D．
【反思】本题主要考查角度的计算及余角、补角的性质，其中等角的余角相等，等角的补角相等．
4——平行线的性质
12．如图，直线，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【反思】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的有关性质．
13．如图所示，直线，射线分别交直线于点B和点C，于点D，如果，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角形的内角和定理，由，可得，由平行线的性质定理可得．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【反思】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质定理，掌握平行线的性质是关键．
14．如图，将一副直角三角板放置，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图，得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【反思】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．如图，直线，等边的顶点在直线上，，则的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】B
【分析】过B作，根据等边三角形的性质和平行线的性质求解即可．
【详解】解：过B作，则，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【反思】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，正确添加辅助线，利用平行线的性质求解是解答的关键．
16．如图，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对顶角相等得到，推出，再根据平行线的性质求出结果即可．
【详解】解：如图，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【反思】此题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；要灵活应用．
17．如图，在平面内，，点，分别在直线， 上，为等腰直角三角形，为直角，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用平行线的性质作出平行线，进而得出的度数．
【详解】解：如图所示：过点作，
则，
故，．
故选：C．
【反思】此题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
——学习几何要做到三个统一：文字语言、图形语言、符号语言能统一起来！
有不少同学在学习几何知识时感觉很吃力，其主要原因是没有做好三个统一，就是每学习一个新的几何概念或者定理时，一定要做到三个统一，即要把文字语言、图形语言、符号语言能统一起来。具体做法非常简单，先读文字语言叙述，读到很熟练，再去画出相应的图形，最后根据图形去写出对应的符号语言，这样就能很好地理解这个内容了。
秘籍十三：学习几何要做到三个统一：文字语言、图形语言、符号语言能统一起来！
一、选择题
1．如图，是线段的中点，点在上，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．在直线上取A，B，C三点，使得，如果O是线段的中点，那么线段的长为（ ）
A．B．C．或D．以上结论都不对
3．下列说法正确的是（ ）
A．两点之间的距离就是连接两点的线段B．经过两点有且只有一条直线
C．如果，那么点P是线段的中点D．两点之间直线最短
4．如图，A、B、O在一条直线上，，，平分，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，点O在直线上，，若，平分．则（ ）．
A．B．C．D．
6．如图，是直线上的一点，是一条射线，平分，在内，且，．下列四个结论：①；②射线平分；③图中与互余的角有2个．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．①②
7．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点A，B，C均在正方形格点上，则下列结论错误的是 （ ）
A．B．
C．D．点A到直线的距离是2
8．如图，直线，直线与，分别相交于，两点，交于点，，的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图所示，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，平分，且，点为上任意一点，于，，交于，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，，，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．已知：如图，相交于点．若，则下列结论中不正确的是（）
A．B．C． 为中点D．
14．如图，在平行四边形中，，于，于，，相交于，与的延长线相交于点，下面给出四个结论：①；②；③；④△≌△，其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
15．如图，，，垂足分别为B、E，，，则下列结论正确的（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
16．已知，则的补角_____．
17．如图，已知直线，相交于点，如果，平分，那么________度．
18．如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为______．
19．如图，已知，平分，平分，则_________°．
20．如图，直线，，则___________．
21．如图，把一个长方形纸条沿折叠，若，则________度.
22．如图，已知，，，，平分，则______．
23．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知∠1=50°，则_______．
24．如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边经过顶点A，若，则的度数为____________度．
25．如图，已知，则_____．
三、解答题
26．如图，直线被直线所截，已知，，请填写的理由．
解：因为∠1=∠3（___________），∠1＋∠2=180°（___________）
所以∠2＋∠3=180°（___________）
得（___________）
因为（___________）
所以（___________）
27．推理填空：
如图，在中，点、点分别是边、上的点，点、点是边上的点，连接、和，是的角平分线，，若，，求的度数．
解：∵（______），
∴______（______），
∵，
∴（______），
∴（______），
∴（______），
∵，∴
∵DG是的平分线，
∴______（______），
∴．
28．如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：．
证明：∵（已知），且（______），
∴______（______），
∴（______），
∴______（______），
又∵（已知），
∴______（______），
∴．
一、选择题
1．如图，平分，点是射线上一点，于点，点是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．点是直线外一点，点、是直线上两点，，，则点到直线的距离有可能为（ ）
A．2.9B．3.1C．4D．5
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．同角的余角相等B．相等的角是对顶角
C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．内错角相等
4．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法正确的有（ ）
A．相等的角是对顶角
B．直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离
C．两条不相交的直线叫做平行线
D．在同一平面内，若直线，，则直线
6．如图，，，，则的大小是( )
A．B．C．D．
7．如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C在直尺的一边上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，梯子的各条横档互相平行，，则的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
10．如图，直线a，b被直线c所截，，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
11．如图，把一个含角的直角三角板放在一个直尺上，直角边，，斜边与直尺的两边分别交于点，，和.已知是等边三角形，，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，直线，一块含有角的直角三角尺的顶点E位于直线上，平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
13．如图，直线，点A在直线上以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，连接、．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
14．如图，，C点在EF上，，BC平分，且．则关于结论①；②，下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确
15．如图，下列推理过程及括号中所注明的推理依据正确的是（ ）
A．∵，∴（内错角相等，两直线平行）
B．∵，∴（两直线平行，内错角相等）
C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵，∴（两直线平行，同位角相等）
二、填空题
16．如图，直线，平分，，，则_______°．
17．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，交于点O，则的值为_____．
18．如图，已知 ，，， 分别为垂足，且 ，试说明 ．
解 ，( )，
( )
( )
____ ( )
( )
____ ( )．
( )
( )
19．如图，，，，，，则与之间的距离为_______cm．
20．如图，，于C，交于B，已知，则的度数是 _____．
三、解答题
21．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．
已知：如图，，，分别平分，，且．
求证：．
证明：∵，分别平分，（ ① ），
∴，（ ② ）．
∵（ ③ ），
∴（ ④ ）．
∴（ ⑤ ）．
∵（ ⑥ ），
∴（ ⑦ ）．
∴（ ⑧ ）．
∴，（ ⑨ ）．
∴（ ⑩ ）．
22．如图，已知，平分，，，求证：．
证明：∵（已知）
∴ ① （ ② ）
∵
∴
∵平分（已知）
∴ ③ （角平分线的定义）
∵（已知）
∴ ④ （两直线平行内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（ ⑤ ）
23．完成下列推理过程：
已知：如图，，
求证：
证明：（已知）
又（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
又（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
24．补全下列推理过程：
如图，已知，，试说明：．
解：因为（__________）
所以__________（__________）
因为（已知），
所以____________________（__________）
所以____________________（__________）
所以__________（__________）．
因为（__________），
所以（__________）．
25．完成下面的证明：已知，如图，，平分，平分
求证：
证明：（已知）

又（已知）
（已知）

又平分（已知）

又平分（已知）


即．
中考数学一轮复习资料五合一
《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》
(全国通用版)
第15讲平行线与相交线
题组特训详解
选择题
1．如图，是线段的中点，点在上，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据线段中点和线段的长度关系进行计算，算出和的长，即可解答．
【详解】解：∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查线段的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质和线段的计算方法．
2．在直线上取A，B，C三点，使得，如果O是线段的中点，那么线段的长为（ ）
A．B．C．或D．以上结论都不对
【答案】C
【分析】分两种情况，即B在之间，C在之间，先求出的长度，再根据线段中点的定义求出的长度即可．
【详解】①如图，
∵，
∴，
∵O是线段的中点，
∴
②如图，
∵，
∴，
∵O是线段的中点，
∴
故选C．
【点睛】此题主要考查线段中点的定义和线段的和差，熟练掌握线段中点定义是解题关键．
3．下列说法正确的是（ ）
A．两点之间的距离就是连接两点的线段B．经过两点有且只有一条直线
C．如果，那么点P是线段的中点D．两点之间直线最短
【答案】B
【分析】根据直线和线段的性质，中点的定义分别判断即可得出答案．
【详解】解：A．两点之间的距离就是连接两点的线段的长度，故说法不正确，不符合题意；
B．经过两点有且只有一条直线，故说法正确，符合题意；
C．如果点P在线段外，那么点P不是线段的中点，故说法不正确，不符合题意；
D．两点之间，线段最短．故说法不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中点的定义，直线的性质及线段的性质，掌握相关概念和性质是解题的关键．
4．如图，A、B、O在一条直线上，，，平分，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据邻补角的定义得出的度数，再根据角平分线求出的度数，最后根据垂直的定义求出的度数即可得出答案．
【详解】
平分，
，
故选B．
【点睛】本题考查了邻补角的定义、垂线的定义以及角的平分线的计算，根据图得出角的关系是解题的关键．
5．如图，点O在直线上，，若，平分．则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出和，再结合角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查基础几何图形中角度的计算以及角平分线的定义，准确表示出角之间的关系，理解角平分线的定义是解题关键．
6．如图，是直线上的一点，是一条射线，平分，在内，且，．下列四个结论：①；②射线平分；③图中与互余的角有2个．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．①②
【答案】B
【分析】①根据平分， ，，以及平角是，求出，即可得出结论；②求出，即可得出结论；③根据，即可得出结论．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵ ，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，故①错误；
∵，，
∴，则，
∴射线平分，故②正确；
∵，
∴，
∴图中与互余的角有2个，故③正确；
综上，正确的是②③；
故选B．
【点睛】本题考查几何图形中角的计算．余角的定义，理清角之间的和差关系，是解题的关键．
7．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点A，B，C均在正方形格点上，则下列结论错误的是 （ ）
A．B．
C．D．点A到直线的距离是2
【答案】C
【分析】利用勾股定理即可判断A；利用勾股定理的逆定理即可判断B；利用割补法求出的面积进而求出点A到直线的距离即可判断C、D．
【详解】解：由题意得，，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∵，
∴点A到直线的距离是，
∴四个选项中，只有C选项结论错误，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，点到直线的距离，灵活运用所学知识是解题的关键．
8．如图，直线，直线与，分别相交于，两点，交于点，，的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据垂直的定义得出，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
9．如图所示，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到．
【详解】解；由题意得，，
∴，
∵，，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知两直线平行，同位角相等，三角形内角和为是解题的关键．
10．如图，，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据三角形外角的性质求出，再根据平行线的性质即可得到．
【详解】解：如图
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键．
11．如图，平分，且，点为上任意一点，于，，交于，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点作于点，根据角平分线的定义可得到，再根据平行线的性质和角平分线的性质得到的长度，进而利用特殊角的三角函数值即可得到的长度．
【详解】解：过点作于点，
∵平分，且，
∴，，
∵于，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
故选．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线的定义，解直角三角形，平行线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
12．如图，，，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先过点C作，过点D作，由，即可得，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案．
【详解】解：过点C作，过点D作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
由①②得：．
即
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解题的关键．
13．已知：如图，相交于点．若，则下列结论中不正确的是（）
A．B．C． 为中点D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：∵
∴，，，即A正确，不符合题意；
∴，为中点，即B、C正确，不符合题意；
根据已知，无法得到，D错误，符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
14．如图，在平行四边形中，，于，于，，相交于，与的延长线相交于点，下面给出四个结论：①；②；③；④△≌△，其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】①由等腰直角三角形的性质可求；
②由余角的性质和平行四边形的性质可求；
③证，可得，结合平行四边形的性质可得答案；
④在和中，只有三个角相等，没有边相等，则在和不全等．
【详解】解：，
，
，故①正确；
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，故②正确；
，
，
在和中，
，
，
，
，
，故③正确；
在和中，只有三个角相等，没有边相等，
与不全等，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解题的关键．
15．如图，，，垂足分别为B、E，，，则下列结论正确的（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意证明，进而得出．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故D正确；
∴，故A错误；
∵，
∴，故B错误；
∵，
∴，故C错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解本题的关键．
二、填空题
16．已知，则的补角_____．
【答案】
【分析】根据补角的定义：互为补角的两个角相加等于；，即可．
【详解】解：∵，
∴的补角为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查补角的定义和角的运算，解题的关键是掌握补角的定义：互为补角的两个角相加等于；．
17．如图，已知直线，相交于点，如果，平分，那么________度．
【答案】40
【分析】根据对顶角相等求出，再利用角平分线定义求出答案即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：40．
【点睛】此题考查了对顶角相等，角平分线定义，熟记对顶角相等的性质是解题的关键．
18．如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为______．
【答案】/度
【分析】根据题意得出，设，根据角平分线的定义，对顶角相等，得出，根据平角的定义列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵，
∴,
∵，
∴
设，
∵平分，
则
∴
即
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
19．如图，已知，平分，平分，则_________°．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义得出，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵平分，平分
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，掌握角平分线的定义是解题的关键．
20．如图，直线，，则___________．
【答案】/150度
【分析】过点作，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：如图：
过点作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行的性质，理解并掌握构造平行线，平行线的性质是解题的关键．
21．如图，把一个长方形纸条沿折叠，若，则________度.
【答案】
【分析】利用平行线的性质得到，由折叠的性质可知，，由即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了折叠的性质和平行线性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
22．如图，已知，，，，平分，则______．
【答案】/度
【分析】由，可证，得到，再由，得到，推出，再由角平分线的先找到得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿折叠，已知∠1=50°，则_______．
【答案】100°
【分析】先根据图形折叠的性质求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，
∴，
．
故答案为100°．
【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
24．如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边经过顶点A，若，则的度数为____________度．
【答案】
【分析】先根据平行线的性质得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为；．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
25．如图，已知，则_____．
【答案】70°/70度
【分析】根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理可计算出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
三、解答题
26．如图，直线被直线所截，已知，，请填写的理由．
解：因为∠1=∠3（___________），∠1＋∠2=180°（___________）
所以∠2＋∠3=180°（___________）
得（___________）
因为（___________）
所以（___________）
【答案】对顶角相等；已知；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；已知；平行于同一条直线的两直线平行
【分析】先根据对顶角相等结合已知条件得到，即可证明，再由平行同一条直线的两直线平行即可证明．
【详解】解：解：因为（对顶角相等），（已知），
所以（等量代换），
得（同旁内角互补，两直线平行），
因为（已知）
所以（平行于同一条直线的两直线平行）；
故答案为：对顶角相等；已知；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；已知；平行于同一条直线的两直线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
27．推理填空：
如图，在中，点、点分别是边、上的点，点、点是边上的点，连接、和，是的角平分线，，若，，求的度数．
解：∵（______），
∴______（______），
∵，
∴（______），
∴（______），
∴（______），
∵，∴
∵DG是的平分线，
∴______（______），
∴．
【答案】①已知，②，③两直线平行，内错角相等，④等量代换，⑤同旁内角互补，两直线平行，
⑥两直线平行，同位角相等，⑦，⑧角平分线定义
【分析】根据平行线的性质与判定完成证明过程即可求解．
【详解】解：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴（等量代换），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵，∴
∵是的平分线，
∴（角平分线定义），
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
28．如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：．
证明：∵（已知），且（______），
∴______（______），
∴（______），
∴______（______），
又∵（已知），
∴______（______），
∴．
【答案】对顶角相等；∠2，等量代换；同位相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补；，两直线平行，内错角相等
【分析】先证明可得，再根据可得，从而可得结论．
【详解】解：（已知），且（对顶角相等），
（等量代换），
，（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
又（已知），
（两直线平行，内错角相等），
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定定理和性质定理是解题的关键．
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一．选择题
1．如图，平分，点是射线上一点，于点，点是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据垂线段最短可得时，最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而可知的最小值，即可判断．
【详解】解：当时，的值最小，
∵平分，，
∴，
∵，
∴的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
2．点是直线外一点，点、是直线上两点，，，则点到直线的距离有可能为（ ）
A．2.9B．3.1C．4D．5
【答案】A
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据此定义即可求解.
【详解】因为直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，且垂线段最短，
所以点到直线的距离小于3，所以点到直线的距离可能是2.9，
故选A.
【点睛】本题考查了点到直线的距离，理解此含义是解决本题的关键.
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．同角的余角相等B．相等的角是对顶角
C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．内错角相等
【答案】A
【分析】根据真命题的定义，结合平行线的判定与性质，对顶角和余角的性质等知识进行判断即可．
【详解】解：A、同角的余角相等，故该命题是真命题，符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意；
C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故原命题是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定与性质，对顶角和余角的性质等知识，难度不大．
4．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据垂直定义求出，进而求出的度数，再利用对顶角相等得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了垂直的定义，对顶角相等，熟记对顶角相等的性质是解题的关键．
5．下列说法正确的有（ ）
A．相等的角是对顶角
B．直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离
C．两条不相交的直线叫做平行线
D．在同一平面内，若直线，，则直线
【答案】D
【分析】根据平行线的定义与性质、平行公理、对顶角的概念以及点到直线的距离的概念、向量的基本性质进行判断即可．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，对顶角是在两直线相交的前提条件下形成的，原说法错误，不符合题意；
B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，原说法错误，不符合题意；
C、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，原说法错误，不符合题意；
D、在同一平面内，若直线，，则直线，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相交线与平行线的一些基本概念，对顶角及向量的基本性质，正确理解定义是解题的关键．
6．如图，，，，则的大小是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得出，根据垂直的定义得出，进而即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角度的计算，掌握平行线的性质是解题的关键．
7．如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得到，则．
【详解】解：如图所示，由题意得，，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
8．如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C在直尺的一边上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出，再根据两直线平行，同位角相等可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵直尺的两边互相平行，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差，熟记性质是解题的关键．
9．如图，梯子的各条横档互相平行，，则的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质求出，再根据平角的定义求解即可．
【详解】解：∵梯子的各条横档互相平行，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
10．如图，直线a，b被直线c所截，，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质得出，根据的度数求出的度数，根据平角的定义即可得到结论．
【详解】解：∵∥，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
11．如图，把一个含角的直角三角板放在一个直尺上，直角边，，斜边与直尺的两边分别交于点，，和.已知是等边三角形，，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据是等边三角形和,可推出，过点作,从而求得；
【详解】解：是等边三角形，，
,
又，
，
，
过点作，，则，
，
故选择：D
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直接三角形，熟练掌握有关的性质和判定是解题的关键．
12．如图，直线，一块含有角的直角三角尺的顶点E位于直线上，平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，可以得出内错角相等，，由平分，角平分线的性质得，，故可以得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，解本题要熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质．
13．如图，直线，点A在直线上以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，连接、．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．
14．如图，，C点在EF上，，BC平分，且．则关于结论①；②，下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确
【答案】A
【分析】由平行线的性质得出，，证出，，由角平分线定义得出，得出，进而得出，即可证明；根据，，可以推出．
【详解】解：∵，
∴，，
∵
∴，
∴，，
∵BC平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
故选A．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
15．如图，下列推理过程及括号中所注明的推理依据正确的是（ ）
A．∵，∴（内错角相等，两直线平行）
B．∵，∴（两直线平行，内错角相等）
C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵，∴（两直线平行，同位角相等）
【答案】B
【分析】根据平行线的性质及平行线的判定定理解答．
【详解】解：A．∵，∴（内错角相等，两直线平行），故选项错误，不符合题意；
B．∵，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），故选项正确，符合题意；
C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补），故选项错误，不符合题意；
D．∵，∴（同位角相等，两直线平行），故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质定理及平行线的判定定理，熟记定理是解题的关键．
二、填空题
16．如图，直线，平分，，，则_______°．
【答案】100
【分析】过点作，可得，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：过点作，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：100．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
17．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，交于点O，则的值为_____．
【答案】/
【分析】连接，利用正方形的性质证明、，这样把求的余弦值转化为求的余弦值，在Rt中，利用勾股定理和直角三角形的边角关系求解；
【详解】解：如图，连接，
根据勾股定理，得，，
都是正方形的对角线，
，
，
同理，
，
，
在Rt中，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．如图，已知 ，，， 分别为垂足，且 ，试说明 ．
解 ，( )，
( )
( )
____ ( )
( )
____ ( )．
( )
( )
【答案】 已知 垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 已知 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
【分析】熟悉平行线的性质和判定，能正确运用语言叙述理由即可．
【详解】解：∵，（已知），
∴（垂直定义）
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）；
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：已知；垂直定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；已知；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，解决问题要熟悉平行线的性质和判定，能正确运用语言叙述理由，还要注意平行线的性质和判定的综合运用．
19．如图，，，，，，则与之间的距离为_______cm．
【答案】
【分析】由，，可得，从而得出与之间的距离为的长．
【详解】解：∵，，
∴，
∴与之间的距离为线段的长度．
∵，
∴与之间的距离为．
【点睛】本题考查了平行线间的距离的含义，是基础知识比较简单．需要我们对基础知识有较好的掌握．
20．如图，，于C，交于B，已知，则的度数是 _____．
【答案】/60度
【分析】根据垂直的定义可得，求得，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
三、解答题
21．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．
已知：如图，，，分别平分，，且．
求证：．
证明：∵，分别平分，（ ① ），
∴，（ ② ）．
∵（ ③ ），
∴（ ④ ）．
∴（ ⑤ ）．
∵（ ⑥ ），
∴（ ⑦ ）．
∴（ ⑧ ）．
∴，（ ⑨ ）．
∴（ ⑩ ）．
【答案】①已知；②角平分线的定义；③已知；④等式的性质；⑤等量代换；⑥已知；⑦等量代换；⑧内错角相等，两直线平行；⑨两直线平行，同旁内角互补；⑩等角的补角相等
【分析】先根据角平分线的定义可得，，再根据等量代换可得，，然后根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，，最后根据等角的补角相等即可得．
【详解】证明：∵，分别平分，（已知），
∴，（角平分线的定义）．
∵（已知），
∴（等式的性质）．
∴（等量代换）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴，（两直线平行，同旁内角互补）．
∴（等角的补角相等）．
故答案为：①已知；②角平分线的定义；③已知；④等式的性质；⑤等量代换；⑥已知；⑦等量代换；⑧内错角相等，两直线平行；⑨两直线平行，同旁内角互补；⑩等角的补角相等．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、补角的性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
22．如图，已知，平分，，，求证：．
证明：∵（已知）
∴ ① （ ② ）
∵
∴
∵平分（已知）
∴ ③ （角平分线的定义）
∵（已知）
∴ ④ （两直线平行内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（ ⑤ ）
【答案】①；②两直线平行，同旁内角互补；③；④；⑤同位角相等，两直线平行
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据等量代换，得出，再根据同位角相等，两直线平行，即可得出结论．
【详解】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，
∴，
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
∵（已知），
∴（两直线平行内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：①；②两直线平行，同旁内角互补；③；④；⑤同位角相等，两直线平行
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解本题的关键在理清角之间的关系．
23．完成下列推理过程：
已知：如图，，
求证：
证明：（已知）
又（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
又（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
【答案】见解析
【分析】根据邻补角的定义，同角的补角相等，平行线的判定和性质，进行作答即可．
【详解】证明：
又（邻补角定义）
（同角的补角相等）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定方法，证明两条直线平行，是解题的关键．
24．补全下列推理过程：
如图，已知，，试说明：．
解：因为（__________）
所以__________（__________）
因为（已知），
所以____________________（__________）
所以____________________（__________）
所以__________（__________）．
因为（__________），
所以（__________）．
【答案】已知；；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换
【分析】先根据平行线的性质得到，等量代换得到，即可证明得到，再由，即可证明．
【详解】解：因为（已知）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（已知），
所以（等量代换）
所以（同位角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，同位角相等）．
因为（对顶角相等），
所以（等量代换）．
故答案为：已知；；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
25．完成下面的证明：已知，如图，，平分，平分
求证：
证明：（已知）

又（已知）
（已知）

又平分（已知）

又平分（已知）


即．
【答案】两直线平行、内错角相等，，两直线平行、同旁内角互补，，，，等量代换．
【分析】此题首先由平行线的性质得出，，，再由平分，平分得出，然后通过等量代换证出．
【详解】解：（已知）
（两直线平行、内错角相等）
又（已知）
（已知）
（两直线平行、同旁内角互补）
又平分，平分
，
，
，
（等量代换），
即．
故答案分别为：两直线平行、内错角相等，，两直线平行、同旁内角互补，，，，等量代换．
【点睛】此题考查的知识点是平行的性质，关键是运用好平行线的性质及角平分线的性质．