中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第16讲三角形中的角和重要线段(原卷版+解析)

这是一份中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第16讲三角形中的角和重要线段(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了如下图所示，能利用图中作法等内容，欢迎下载使用。
(全国通用版)
第16讲三角形中的角和重要线段
核心考点1：三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：
①直角三角形的两个锐角互余；
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
核心考点2：三角形的三边关系
三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
注意：三角形三边关系定理及推论的作用：
判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③解决线段的最值问题．
核心考点3：三角形中的重要线段
三角形的角平分线：
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形的中线：
在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
注意：三角形的中线一个重要特性：平分三角形的面积。
三角形的高线：
从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．
有关三角形的角和重要线段的题型基本上不会涉及大题，一般都是小题，重要的题型有利用三角形的内角和定理和外角推论计算一些角度问题或者推导角度之间的关系等；其次利用三角形中重要线段计算或推导线段关系等。
1——考查三角形内角和定理
1．如下图所示，能利用图中作法：过点A作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补B．两直线平行，内错角相等
C．内错角相等，两直线平行D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【分析】根据题意得，，则，，根据平角的性质得，即可得．
【详解】解：根据题意得，，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
【反思】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解决本题的关键．
2．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：①．由，则，．由，得，故符合题意．
②．由，则，．由，得，故符合题意．
③．由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意．
④．由，得，．由，得，，那么．由，得，故符合题意，
共有：①②④符合条件，
故选：C．
【反思】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
2——考查三角形的外角
3．已知△ABC中，，则图中的度数为（ ）
A．180°B．220°C．230°D．240°
【答案】C
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解．
【详解】解：．
故选：C．
【反思】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件．
4．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在上，其中，，，，则的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】A
【分析】利用三角板的度数可得，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
故选：A．
【反思】本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质，求出的度数是解本题的关键．
5．如图，是△ABC中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，即可求出结果．
【详解】解：是中的平分线，是的外角的平分线，
又，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【反思】题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为．
6．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（ ）
A．65°B．75°C．85°D．95°
【答案】B
【分析】根据三角板中角度的特点求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
故选B．
【反思】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键．
7．如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：由图可知：，
∵，
∴．
故选：B．
【反思】本题考查了三角形外角的性质．解题的关键是掌握三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
3——利用三角形的三边关系判断三线段能否组成三角形
8．下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．2，5，7B．9，3，5C．4，5，6D．4，5，10
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
【详解】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．
A、 ，不能构成三角形，此项不符题意；
B、，不能构成三角形，此项不符题意；
C、 ，能构成三角形，此项符合题意；
D、，不能构成三角形，此项不符题意；
故选：C．
【反思】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
9．若方程的两个根分别是等腰三角形的底边和腰长，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．10或8B．10或12C．10D．8
【答案】C
【分析】先利用因式分解法求出方程的两根，再分腰长为2，底边长为4时，腰长为4，底边长为2时，两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得或，
当腰长为2，底边长为4时，则三角形三边为2，2，4，不能组成三角形，不符合题意；
当腰长为4，底边长为2时，则三角形三边为4，4，2，能组成三角形，符合题意，
∴三角形的周长为，
故选C．
【反思】本题主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
10．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系，三角形全等得判定，逐项分析判断即可．
【详解】解：A、，即三角形两边之和小于第三边，不符合三角形的三边关系，故不符合题意；
B、当，时，以点为圆心，为半径，可画出2个三角形，△ABC1与△ABC2，如下图所示：
故不能唯一画出三角形，故不符合题意；
C、满足两角夹一边，形状固定，可以画出唯一三角形，符合题意；
D、根据，可知△ABC是直角三角形，已知斜边，但是由于两个锐角度数不确定，故刻画出多个满足条件的三角形，故不符合题意；
故选：C．
【反思】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的三边关系，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
4——利用三边关系求第三边的范围
11．如图，四边形中，与不平行，，分别是、的中点，，，则的长可能是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【分析】连接，取的中点，连接、，根据三角形中位线定理分别求出、，根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：连接，取的中点，连接、，
是的中点，是的中点，
，
同理，，
在中，，即，
的长可能是4，
故选：A．
【反思】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键．
12．如图，在中，，将平移5个单位长度得到，点P，Q分别是，的中点，的值不可以是( )
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】取的中点M，连接，，根据平移的性质和三角形中位线的性质得出，，然后利用三角形三边关系得出的取值范围，然后作出判断即可．
【详解】解：如图，取的中点M，连接，，如图所示：
∵将平移5个单位长度得到，
∴，
∵点M是的中点，点Q是的中点，
，
，
即，
即，
∴的取值范是，
∵，，，，
∴的值不可能是7，故D正确．
故选：D．
【反思】本题主要考查平移的性质和三角形三边关系，三角形的中位线的性质，掌握三角形三边关系是解题的关键．
5——考查三角形中的三条重要线段
13．如图，在中，是钝角，下列图中作边上的高线，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形的高的定义判断即可．
【详解】解：在△ABC中，是钝角，边上的高线就是过点A作边的垂线得到的线段，如图，
故选：D．
【反思】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．掌握定义是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，是边上的高，平分交边于E，，，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据计算即可得解．
【详解】解：平分，
，
是边上的高，
，
．
故选：B．
【反思】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
15．如图，AD是的角平分线，E是AB的中点，的面积为21，，，则的面积为（ ）
A．B．5C．6D．
【答案】C
【分析】作于F，于点M，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作于F，于点M
是的角平分线于F，，
，
即：得
， E是AB的中点，
故选：C．
【反思】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
16．如图，在中，，平分，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】证，得，，，则，当时，，即可得出结论．
【详解】解：平分，
，
在和中，
，
，
，，，
，
当时，，
故选项、、不符合题意，选项符合题意，
故选：C．
【反思】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线定义等知识，证明是解题的关键．
17．如图，在中，，，，两点分别在边，上，平分，．图中的等腰三角形共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】已知条件，根据三角形内角和等于，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵BD平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴、、、、都是等腰三角形，共5个，
故选：C．
【反思】此题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．
18．如图，在中，，，以为圆心任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，若，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的作法可知平分，再根据角所对的直角边是斜边的一半即可求得．
【详解】解：根据题意可知是的角平分线
∴，
∵在△ABC中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选
【反思】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，角所对的直角边是斜边一半，熟记直角三角形的性质是解题的关键．
——学习几何要做到三个统一：文字语言、图形语言、符号语言能统一起来！
有不少同学在学习几何知识时感觉很吃力，其主要原因是没有做好三个统一，就是每学习一个新的几何概念或者定理时，一定要做到三个统一，即要把文字语言、图形语言、符号语言能统一起来。具体做法非常简单，先读文字语言叙述，读到很熟练，再去画出相应的图形，最后根据图形去写出对应的符号语言，这样就能很好地理解这个内容了。
秘籍十三：学习几何要做到三个统一：文字语言、图形语言、符号语言能统一起来！
一、选择题
1．已知三角形的两边长分别为5 cm、7 cm，则此三角形第三边的长可以是（ ）
A．B．C．D．
2．袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ）
A．B．C．D．
3．三角形的三边分别为5，a，7，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．平面内，将长分别为1，1，5，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1B．2C．4D．8
5．已知：中，是中线，点在上，且，．则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点且的面积是，则阴影部分面积等于（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，以为圆心任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，若，则的长是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在中，平分，平分，连接，若，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
10．把一副三角板的两个直角三角形如图叠放在一起，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为（ ）
A．70B．74C．76D．80
12．如图，中，与的角平分线相交于点I．，则为（ ）
A．B．C．D．
13．如图，在中，D是延长线上一点，，，则（ ）
A．40°B．60°C．80°D．120°
14．如图，和是的两个外角，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
15．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
16．如果，，，的周长为偶数，则的长为______．
17．在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为18和21两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______．
18．在中，，，则的长的取值范围是______．
19．已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则__________．
20．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是___________．
21．如图，是的中线，G是上的一点，且，连接，若的面积为6，则图中阴影部分的面积是__________．
22．如图，是的中线，，和的周长的差是______．
一、选择题
1．将下列长度的木棒首尾依次相接，不能构成三角形的是（ ）
A．5，6，10B．3，4，5C．11，6，5D．5，5，5
2．袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ）
A．B．C．D．
3．某校九年级1班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离是和，那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A．B．C．D．
4．三角形三边长为，和，且是偶数，则这个三角形的周长为（ ）
A．B．C．或D．或
5．下列四个图形中，线段是的高的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图所示，的边上的高是（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
7．如图，，分别是的高和角平分线，且，，则的度数为
A．B．C．D．
8．如图，在中，点、分别是、的中点．若的面积是，则的面积是 )
A．4B．6C．8D．10
9．在中，为边上的中线，若，，则的周长比的周长多（ ）
A．B．C．D．
10．图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
11．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在( )
A．三条中线的交点B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点D．三个角的角平分线的交点
12．如图，在中，是的角平分线，，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
13．如图，在中，平分，平分，MN经过点O，与AB、AC相交于点M、N，且．若，，，那么的周长是（ ）
A．12B．16C．18D．30
14．如图，在中，，的平分线交于点D，点E，F分别是上的动点，则AE+EF的最小值为（ ）
A．4B．4.8C．5D．6
二、填空题
15．已知等腰三角形的一边长等于，一边长等于，它的周长为______．
16．平行四边形的两条对角线长分别为3和5，则其中一条长为整数的边可以是___________．
17．如图，在矩形中，，，点A在x轴正半轴上，点D在y轴的正半轴上运动时，点D也随之运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为______．
18．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是______．
19．在中，，，则边上的中线的取值范围是_____．
20．如图，在中，点D在边上，，，则______度．
21．如图，，平分，点A、B、C分别是射线上的动点（A、B、C不与点O重合）连接交射线于点D、设，若当________时，使得中有两个相等的角．
22．如图，已知为等边三角形，，将边绕点顺时针旋转（）得到线段，连接，与交于点，的平分线交于点，点为上一点，且．则___________°
23．如图，等腰中，，，，作的平分线交于点，，，，求的长为_________________．
24．如图，直线、分别垂直平分线段、，交于点．若，则______°．
25．在中，，，分别以和为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于和两点，作直线分别交和于点和点，则的度数为____度．
中考数学一轮复习资料五合一
《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》
(全国通用版)
第16讲三角形中的角和重要线段
题组特训详解
选择题
1．已知三角形的两边长分别为5 cm、7 cm，则此三角形第三边的长可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再选出答案即可．
【详解】解：设第三边的长度为，由题意得：
，
即：，
∴此三角形第三边的长可以是，
故选：B．
【反思】此题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
2．袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系确定第三边取值范围即可求解．
【详解】设三角形第三边长为，即，
∴，
∴选项B，C，D，不符合题意，A符合题意．
故选：A．
【反思】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形三边关系建立不等式是解题的关键．
3．三角形的三边分别为5，a，7，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【详解】解：∵在三角形中任意两边之和大于第三边，
∴，
∵任意两边之差小于第三边，
∴，
∴，
故选：D．
【反思】本题考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．平面内，将长分别为1，1，5，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】设这个凸五边形为，连接，并设，先在和中，根据三角形的三边关系定理可得，，从而可得，，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，设这个凸五边形为，连接，并设，
在中，，即，
在中，，即，
∴，，
在中，，
∴，
观察四个选项可知，只有选项C符合，故C正确．
故选：C．
【反思】本题主要考查了三角形的三边关系，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．
5．已知：中，是中线，点在上，且，．则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知得出，则，进而证明，得出，即可求解．
【详解】解：∵中，是中线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
，
故选：B．
【反思】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形中线的性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
6．如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点且的面积是，则阴影部分面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】因为点F是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，D、E分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答．
【详解】解：如图，点F是的中点，
∴的底是，的底是，即，而高相等，
∴，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∴，且的面积是，
∴，
即阴影部分的面积为．
故选：C．
【反思】本题主要考查了三角形面积的等积变换，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
7．如图，在中，，，以为圆心任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，若，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的作法可知平分，再根据角所对的直角边是斜边的一半即可求得．
【详解】解：根据题意可知是的角平分线
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选
【反思】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，角所对的直角边是斜边一半，熟记直角三角形的性质是解题的关键．
8．如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，，可直接证明，即可判断A；由角平分线的定义得出，再结合三角形外角的性质即可得出，从而可证，即可判断B；由，，可直接证明，即可判断C；没有条件证明，即可判断D．
【详解】∵，，
∴，故A正确，不符合题意；
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，，
∴， 故C正确，不符合题意；
在和中只有，不能证明，故D错误，符合题意．
故选D．
【反思】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键．
9．如图，在中，平分，平分，连接，若，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过P作，先根据角平分线的性质得出，即可利用“”分别证明，，即得出，．再根据，，即可求出，从而可求出，进而可得出．
【详解】解：如图，过P作，
∵平分，平分，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【反思】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形全等的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．
10．把一副三角板的两个直角三角形如图叠放在一起，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据三角板的特征得出及的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵图中是一副直角三角板，
∴，
∴．
故选：B．
．
【反思】本题考查了三角板的有关计算，以及三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
11．如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为（ ）
A．70B．74C．76D．80
【答案】D
【分析】先由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值．
【详解】解：过点C作，
，，
，
，
，
，
由题意可得为的角平分线，为的角平分线，
，，
，，
，
，
，
．
故选：D．
【反思】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
12．如图，中，与的角平分线相交于点I．，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，利用角平分线的性质得，再根据得，所以求解即可．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∵与的角平分线相交于点I，
∴，即，解之得：，
故选：C．
【反思】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，解一元一次方程，解题的关键是找出等量关系进行求解．
13．如图，在中，D是延长线上一点，，，则（ ）
A．40°B．60°C．80°D．120°
【答案】C
【分析】由，直接可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故选C．
【反思】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握“三角形的一个外角等于和其不相邻的两个内角之和”是解本题的关键．
14．如图，和是的两个外角，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据外角的定义和性质，以及三角形的内角和定理，计算即可．
【详解】解：和是的两个外角，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【反思】本题考查外角的性质．熟练掌握三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和，三角形的内角和是是解题的关键．
15．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：垂直平分，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【反思】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
16．如果，，，的周长为偶数，则的长为______．
【答案】
【分析】根据全等三角形的性质得到，根据三角形三边的关系得到，再由的周长为偶数即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵的周长为偶数，
∴为偶数，
∴的长为偶数，
∴，
故答案为：．
【反思】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．
17．在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为18和21两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______．
【答案】11或15
【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为，底边为，根据中点定义得到与相等都等于腰长的一半，边上的中线将这个三角形的周长分为和两部分，分别表示出两部分，然后分，或，两种情况分别列出方程组，分别求出方程组的解即可得到与的两对值，根据三角形的两边之和大于第三边判定能否构成三角形，即可得到满足题意的等腰三角形的底边长．
【详解】解：依题意可得：这一边上的中线为腰上的中线，画出图形如下：
设这个等腰三角形的腰长为，底边长为，
为的中点，
，
根据题意得：或，
解得：或．
又三边长12、12、15和14、14、11均可以构成三角形，
底边长为11或15．
故答案为：11或15．
【反思】此题考查了等腰三角形的性质，中点定义，以及三边构成三角形的条件．对于题中中线分三角形的周长为两部分，在没有指明两部分对应的长度时，应利用分类讨论的思想来求解，另外求出与后，不要忽略用三角形的两边之和大于第三边来判定能否构成三角形．
18．在中，，，则的长的取值范围是______．
【答案】##
【分析】直接利用三角形的三边关系写出答案即可．
【详解】解：在中，，，
，
即：，
故答案为：．
【反思】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的两边之和大于第三边，难度不大．
19．已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则__________．
【答案】8
【分析】绝对值与平方的取值均为非负数，它们和为零，可知，，可得a、b的值，根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而得到c的值．
【详解】解：，
，，
，
由三角形三边关系可得，
，
为偶数，
，
故答案为：8．
【反思】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定所求边长的取值范围．
20．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：由题意得解得．
故答案为：．
【反思】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
21．如图，是的中线，G是上的一点，且，连接，若的面积为6，则图中阴影部分的面积是__________．
【答案】2
【分析】根据是的中线，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解： ∵是的中线，的面积为6，
∴，
∵，
∴，
∴，
即图中阴影部分的面积是2．
故答案为：2
【反思】本题考查三角形的面积问题．其中根据三角形的中线的性质进行解答是解决本题的关键．
22．如图，是的中线，，和的周长的差是______．
【答案】3
【分析】根据三角形中线的定义得到，再分别求出两个三角形的周长，然后作差即可得到答案．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵的周长，的周长，
∴和的周长的差是，
故答案为：3．
【反思】本题考查了三角形中线的定义及三角形周长的计算．熟练掌握三角形中线的定义是解答本题的关键．
过关检测详细解析
一．选择题
1．将下列长度的木棒首尾依次相接，不能构成三角形的是（ ）
A．5，6，10B．3，4，5C．11，6，5D．5，5，5
【答案】C
【分析】根据构成三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、由于，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，能构成三角形，不符合题意；
B、由于，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，能构成三角形，不符合题意；
C、由于，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，不能构成三角形，符合题意；
D、由于三条相等边组成了等边三角形，确定该选项所给长度的木棒首尾依次相接，能构成三角形，不符合题意；
故选：C．
【反思】本题考查构成三角形三边条件，熟练掌握构成三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解决问题的关键．
2．袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系确定第三边取值范围即可求解．
【详解】设三角形第三边长为，即，
∴，
∴选项B，C，D，不符合题意，A符合题意．
故选：A．
【反思】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形三边关系建立不等式是解题的关键．
3．某校九年级1班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离是和，那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形三边的关系进行求解即可．
【详解】解：设杨冲、李锐两家的直线距离为，
则，即，
故选A．
【反思】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键，注意此问题三点共线时可以取等于号．
4．三角形三边长为，和，且是偶数，则这个三角形的周长为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得到第三边的长度，最后计算出三角形的周长．
【详解】解：∵三角形的两边长为，
∴，
∴解得：，
∵是偶数，
∴的取值为：或，
∴这个三角形的周长为：或，
故选．
【反思】本题考查了三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，根据题意列出不等式是解题的关键．
5．下列四个图形中，线段是的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
【详解】解：在中，画出边上的高，即是过点作边的垂线段，正确的是D．
故选：D．
【反思】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键．
6．如图所示，的边上的高是（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
【答案】C
【分析】根据三角形的高的定义即可进行解答．
【详解】解：的边上的高是线段，
故选：C．
【反思】从三角形一个端点向它的对边所在的直线作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高．
7．如图，，分别是的高和角平分线，且，，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据是的高，得出，再根据三角形内角和定理，得出，再根据角之间的数量关系，即可得出答案．
【详解】解：中已知，，
．
是的角平分线，
，
是的高，
，
，
，
．
故选：B．
【反思】本题考查了三角形角平分线及高、三角形内角和定理，解题的关键是根据已知条件善于找出题目中的能求出角的条件．
8．如图，在中，点、分别是、的中点．若的面积是，则的面积是 )
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】先利用点是的中点，可得的面积的面积，然后再利用点是的中点，可得的面积的面积，即可解答．
【详解】解：的面积是，点是的中点，
的面积的面积，
点是的中点，
的面积的面积，
故选：C．
【反思】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
9．在中，为边上的中线，若，，则的周长比的周长多（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据中线的定义可知D为边的中点，即，由此可解．
【详解】解：在中，为边上的中线，
，
，
即的周长比的周长多．
故选A．
【反思】本题考查三角形的中线，掌握三角形中线的定义是解题的关键．
10．图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】D
【分析】先根据角平分线定义、平行线的性质和等腰三角形的判定，得出，，然后等量代换，即可求出答案．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
同理可得：，
的周长=
=
=
=
=10．
故选D．
【反思】此题考查平行线的性质、等腰三角形的判定与角平分线的定义等知识，综合运用这些性质和判定得出，，是解答此题的关键．
11．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在( )
A．三条中线的交点B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点D．三个角的角平分线的交点
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：∵兔子的三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，
设猎狗在点，则，
∴点在线段的垂直平分线上，
同理，点在线段的垂直平分线上，
∴猎狗应蹲守在在三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
【反思】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．如图，在中，是的角平分线，，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，最后利用垂线的定义可得，进而解答即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选C．
【反思】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义．熟练掌握上述知识是解题关键．
13．如图，在中，平分，平分，MN经过点O，与AB、AC相交于点M、N，且．若，，，那么的周长是（ ）
A．12B．16C．18D．30
【答案】C
【分析】根据平行线的性质可求出．根据角平分线的定义可得出，从而得出，进而可证．最后根据三角形周长公式即可得出．
【详解】∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选C．
【反思】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的周长公式．证明出和是等腰三角形是解题关键．
14．如图，在中，，的平分线交于点D，点E，F分别是上的动点，则AE+EF的最小值为（ ）
A．4B．4.8C．5D．6
【答案】B
【分析】过点A作于H，在BC上截取，则的最小值是的长．
【详解】解：过A作于H，在BC上截取，
∵的平分线交于点D，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∵，
∴的最小值是的长．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴AE+EF的最小值为4.8．
故选：B．
【反思】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及角平分线的定义，正确作出辅助线是解题关键．
二、填空题
15．已知等腰三角形的一边长等于，一边长等于，它的周长为______．
【答案】##22厘米
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当腰为时，，因为两边之和小于第三边，所以不能构成三角形；
当腰为时，，，所以能构成三角形，周长是：．
故答案为：．
【反思】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
16．平行四边形的两条对角线长分别为3和5，则其中一条长为整数的边可以是___________．
【答案】2或3##3或2
【分析】利用平行四边形的性质，三角形三边关系定理计算判断即可．
【详解】设四边形是平行四边形，对角线交点为O，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的边长为整数，
∴，
故答案为：2或3．
【反思】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
17．如图，在矩形中，，，点A在x轴正半轴上，点D在y轴的正半轴上运动时，点D也随之运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为______．
【答案】8
【分析】取的中点，连接，，由勾股定理可求的长，由直角三角形的性质可求的长，由三角形的三边关系可求解．
【详解】解：取的中点，连接，，
∵矩形，，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
在中，，
当点在上时，，
∴的最大值为，
故答案为：8．
【反思】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键．
18．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】延长至，使，连接，证明，进而根据三角形三边关系即可求解．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
为边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
的取值范围是：．
故答案为：．
【反思】本题考查了倍长中线，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19．在中，，，则边上的中线的取值范围是_____．
【答案】
【分析】延长至E，使，然后证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解．
【详解】解：延长至E，使，连接．
在和中，
，
，
在中，
，
即
故．
故答案为：．
【反思】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
20．如图，在中，点D在边上，，，则______度．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质得，再根据三角形外角的性质得，又由等腰三角形的性质得，最后由三角形的内角和定理得出答案．
【详解】解：，
，
．
，
∴
．
故答案为：36．
【反思】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角的性质是解题的关键．
21．如图，，平分，点A、B、C分别是射线上的动点（A、B、C不与点O重合）连接交射线于点D、设，若当________时，使得中有两个相等的角．
【答案】120或60
【分析】分类讨论，当时、当时，利用三角形内角和定理及平行线的性质即可解答．
【详解】∵，平分，
∴，
∵
∴；
当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为120或60．
【反思】本题考查了三角形内角和定理及平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
22．如图，已知为等边三角形，，将边绕点顺时针旋转（）得到线段，连接，与交于点，的平分线交于点，点为上一点，且．则___________°
【答案】60
【分析】先根据旋转的性质和等边三角形得，，再结合等腰三角形的性质和角平分线的定义，即可得到的度数．
【详解】解：将边绕点顺时针旋转（）得到线段，为等边三角形，
，，
，
平分，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：60．
【反思】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，综合性较强，能够识别图中有助于解题的角是解决本题的关键．
23．如图，等腰中，，，，作的平分线交于点，，，，求的长为_________________．
【答案】6
【分析】在上截取，是的平分线，即可证明，证明，然后根据列方程求解．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
设，
∴，
在上截取，如图所示：
∵是的平分线，
∴，
在和中，

∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
则 ，即，
故答案为：6．
【反思】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，正确做出辅助线，构造全等三角形，是本题的关键．
24．如图，直线、分别垂直平分线段、，交于点．若，则______°．
【答案】35
【分析】连接，并延长到P，根据线段的垂直平分线的性质得，根据四边形的内角和为得，根据外角的性质得，，相加可得结论．
【详解】解：连接，并延长到P，
∵线段、的垂直平分线、相交于点O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵直线、分别垂直平分线段、，
∴，
∵，，
∴；
∴
即：
∴
故答案为：
【反思】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，掌握外角的性质并添加辅助线是解题的关键．
25．在中，，，分别以和为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于和两点，作直线分别交和于点和点，则的度数为____度．
【答案】18
【分析】首先根据题意可得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，进而得到，然后再根据等腰三角形的性质计算出的度数，进而得到答案．
【详解】解∶由题意得∶是的垂直平分线，
是的垂直平分线
故答案为∶18
【反思】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．