中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第18讲等腰三角形(原卷版+解析)

这是一份中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第18讲等腰三角形(原卷版+解析)，共78页。试卷主要包含了等腰三角形的判定，等边三角形定义，性质，已知等内容，欢迎下载使用。
(全国通用版)
第18讲等腰三角形
核心考点1：等腰三角形
等腰三角形的定义
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形的性质
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（简称：三线合一）
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
3．等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
核心考点2：等边三角形
1．等边三角形定义：
三条边都相等的三角形是等边三角形．
2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
三角形是解决一切平面几何问题的基础，而等腰三角形、等边三角形是三种特殊的三角形，更是中考数学中的重中之重，对于特殊三角形的概念、性质、判定方法要熟练掌握。对于涉及这种特殊三角形的常考题型更要常练。
1——利用等腰三角形性质求角度
1．如图，在△ABC中，，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到，点D在边上，交于点F．下列结论：①；②平分；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据旋转的性质得到，，推出即可判断②；利用两个角对应相等的两个三角形相似即可判断①；利用相似三角形的性质得到，再证明，即可判断③．
【详解】解：∵将△ABC以点为旋转中心逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴平分，故②正确；
∵，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
故选：D．
【反思】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，熟记各定理是解题的关键．
2——利用等腰三角形“三线合一”求长度
2．如图，在△ABC中，于点D，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据含的直角三角形性质得到，再根据等腰三角形三线合一的性质得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【反思】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，含的直角三角形性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
3．如图，在矩形中，，，点为的中点，将△ABE沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图所示，过作于，根据折叠可知是等腰三角形，可证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过作于，
∵将沿折叠，使点落在矩形内点处，点为的中点，
∴，
∴是等腰三角形，
∴是中点，平分，且平分，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据题意，矩形中，，，点为的中点，即，
∴在中，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【反思】本题中主要考查矩形，直角三角形，相似三角形的综合，理解矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，，，是上一点，连接．把沿翻折得到，且于点，且，连接，则点到的距离为（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】C
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质及勾股定理可计算出、的长，根据等面积法可计算出的长，再由翻折的性质可得，在中，可计算出的长，即可得到的长，再在中应用等面积法即可得到答案．
【详解】过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
在中，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
，
∴，
由翻折可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
在中，
，
，
解得：，
∴，，
设点到的距离为，
∵，
∴，
解得：，
∴点到的距离为2．
故选：C
【反思】本题主要考查的等腰三角形的性质，勾股定理，翻折的性质等知识点，熟练掌握相关只是说是解题的关键．
3——利用等边三角形的性质求角
5．如图，直线，等边△ABC的顶点C在直线b上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点B作，可得，根据平行线的性质可得，，即可求解．
【详解】解：过点B作，
∵，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【反思】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．等边三角形三个角都是．
4——利用等腰三角形的性质解决“将军饮马”问题
6．如图，△ABC是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是 上的一个动点，当 最小时，的度数是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得即可解决问题；
【详解】如图，连接，与交于点，此时 最小，
∵是等边三角形，是边上的高，
∴，
∴，
∴，
即的长度即为与和的最小值，
∵ 是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C
【反思】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
5——等腰三角形与圆的结合问题
7．已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，则，根据折叠可知，，从而得到△OBD是等边三角形，进而得到，，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：连接，则，
∵将扇形沿着过点B的直线折叠，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的长；
故选：C．
【反思】本题考查求弧长．熟练掌握折叠的性质，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．
6——利用等边三角形性质计算线段长度问题
8．如图，等边△ABC内有一点E， ，，当时，则的长为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】以点B为旋转中心把△BAE顺时针旋转至，可证是等边三角形，，利用勾股定理求出的长即可求解．
【详解】以点B为旋转中心把△BAE顺时针旋转至，
则．
∴是等边三角形，
∴，
∴，
，
∴．
故选B．
【反思】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
7——利用等腰三角形、等边三角形的性质与判定证明
9．如图，在△ABC中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，，求的长．
【分析】（1）根据得到，结合垂直以及等角的余角相等即可证明；
（2）结合（1）中的结论以及题目条件得到是等边三角形然后根据已知条件计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
而
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
【反思】本题主要考查等腰三角形的判定以及余角的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰及等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解决本题的关键．
10．如图所示，△ABC是边长为6的等边三角形，点D是的中点，，延长到E，使．
(1)求证：；
(2)求的长度．
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）连接，过得到A作于点H，则，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，点D是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，过得到A作于点H，
则，，
∵，
∴，
∴．
【反思】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握等腰三角形的性质．
11．如图1，和△ECD都是等腰直角三角形，，，，的顶点A在△ECD的斜边上．
(1)求证：；
(2)如图2，若，，点F是的中点，求的长．
【分析】（1）连接，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解；
（2）过点C作于H，根据（1）中的结论可求，从而求出，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长．
【详解】（1）证明：连接，如图1所示：
∵和都是等腰直角三角形，，，
∴，
，，，
∴，
∵在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点C作于H，如图2所示：
∵，，，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∴．
【反思】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，作出辅助线，构造全等三角形，证明△ECA≌△DCB，是解答本题的关键．
——学习数学要抓住核心！
数学的内容越学越多，感觉也越来越乱，这是很多同学对数学的第一印象。怎样才能学好数学，这也是所有同学最关心的问题，其实要学好数学，就一个关键——抓住问题的核心。
平面几何的核心就是特殊三角形——等腰三角形、直角三角形！
秘籍十三：抓住问题的核心！
一、选择题
1．如图，在中，，的垂直平分线交边于D点，交边于E点，若与的周长分别是20，12，则为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．已知边长为4的等边，D、E、F分别为边的中点，P为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．3C．4D．
3．如图，等腰内接于，点D是圆中优孤上一点，连接，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，若，内有一个定点P，点A，B分别在射线上移动，当周长最小时，则的度数为（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
5．如图，等腰中，，，是边的中点，于点，延长至点，使，则的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
6．如图，在中，，边BC在x轴上，且点，点，则的面积为（ ）
A．10B．12C．20D．26
7．如图，在正方形中，，为的中点，将沿折叠，使点落在正方形内点处，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知长方形沿着直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，则的长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
9．如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，将长方形沿折叠，B，C分别落在点H，G的位置，与交于点M．下列说法中，不正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
11．如图，在矩形中，，，点M在边上，若平分，则的长是（ ）
A．B．1C．D．
12．如图，中，，BD平分交AC于G，∥交的外角平分线于M，交、于F、E，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
13．如图，等边三角形中，D、E分别为边上的两个动点，且总使，与交于点F，于点G，则等于（ ）
A．1B．2C．D．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点M，N，且，，等边的顶点A，B分别在线段上，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
15．如图，在中，以各边为边分别作三个等边三角形，，，若，，，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④，其中正确的有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、解答题
16．如图，是等腰三角形，，，分别在的右侧，的左侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点．
(1)求证：；
(2)作射线交于点，交射线于点．
①补全图形，当时，求的度数；
②当的度数在给定范围内发生变化时，的度数是否也发生变化？若不变，请直接写出的度数；若变化，请给出的度数的范围．
17．如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求长．
18．在中，，点O是的中点，点P是上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线的垂线，垂足分别为点E和点F，连接．
(1)如图1，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2，当时，请判断线段与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)若，当为等腰三角形时，请直接写出线段的长．
19．如图，在中，，，E为边的中点，以为边作等边，连接，．
(1)求证：为等边三角形；
(2)若，在边上找一点H，使得最小，并求出这个最小值．
20．在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：．
一、选择题
1．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点D、E．若，，则的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．已知等腰三角形一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积等于（ ）
A．B．C．D．或
3．如图，四边形是的内接四边形，连接．若，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在正方形中，，为的中点，将沿折叠，使点落在正方形内点处，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图1为一张正三角形纸片，其中D点在上，E点在上．以为折痕将B点往右折如图2所示，分别与相交于F点、G点．若，，，，则长度为（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．如图，已知是等边三角形，，，点，分别是，边上的点，且．连接，若的周长是，则的边长是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知点分别是等边边的中点，，点是线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
8．如图，在等边中，，动点D从点B出发，以1cm/s的速度沿方向运动．同时动点E从点B出发以相同的速度沿方向运动，当点D运动到点A时，点E也随之停止运动．连接，将沿折叠，点B的对称点为点F，设点D的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与t之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
9．点D是等边三角形的边上的一点，且，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为，点E，F分别在和上，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在等边三角形中，，．如果点M，N都以1cm/s的速度运动，点M在线段上由点C向点B运动，点N在线段上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，是一个直角三角形，则t的值为（ ）
A．B．C．或D．或
11．如图，已知的半径为，正三角形的边长为6，为边上的动点，过点P作的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．6
12．如图，为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则为（ ）
A．110°B．90°C．85°D．80°
13．如图，点是线段上任意一点（点与点，不重合），分别以、为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，则是等边三角形，以上结论正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
14．如图，P为外一点，分别切于点A、B，是的直径，若，，则的周长为（ ）
A．8B．C．20D．
15．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．10B．20C．D．
二、解答题
16．在中，已知，，点P、D分别在上．
(1)如图1，若，则______°（直接写答案）
(2)如图1，在（1）的条件下，求证：是等腰三角形．
(3)如图2中，若，点P在上移动，且满足，于点E，试问：此时的长度是否变化？若变化，说明理由：若不变，请予以证明．
17．如图，中， ，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．
(1)若的周长为21，求BC的长；
(2)若，求的度数．
18．已知，点为等边三角形所在平面内一点，且．
(1)如图（1），，求证：；
(2)如图（2），点在内部，且，求证：；
(3)如图（3），点在内部，为上一点，连接，若，求证：．
19．在中，，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．
(1)如图1，当时，则的大小；
(2)当时，
①如图2，连接，的形状是 三角形；
②如图3，直线与交于点，满足．P为直线上一动点．说明P点在什么位置时，有最大值；请直接写出这个最大值．（提示：作点D关于直线的对称点）
20．如图，是等边内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，
(1)求点与之间的距离；
(2)求的度数．
中考数学一轮复习资料五合一
《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》
(全国通用版)
第18讲等腰三角形
题组特训详解
选择题
1．如图，在中，，的垂直平分线交边于D点，交边于E点，若与的周长分别是20，12，则为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】首先根据是的垂直平分线，可得；然后根据的周长，的周长，可得的周长的周长，据此求出的长度是多少即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长，的周长，
∴的周长的周长，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．
2．已知边长为4的等边，D、E、F分别为边的中点，P为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．3C．4D．
【答案】C
【分析】连接，设与相交于点H，首先说明是线段的垂直平分线，可证，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，设与相交于点H，
∵是等边三角形，D、E、F分别为边的中点，
∴，，
∴,，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为4．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．如图，等腰内接于，点D是圆中优孤上一点，连接，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由同弧所对的圆周角相等即可得解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
4．如图，若，内有一个定点P，点A，B分别在射线上移动，当周长最小时，则的度数为（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
【答案】B
【分析】作点P关于的对称点，点P关于的对称点，连接，，，其中交于A，交于B，此时的周长最小值等于的长，由轴对称性质可知：，，，，且，从而得出，即可得出答案．
【详解】解：如图，作点P关于的对称点，点P关于的对称点，
连接，，，其中交于A，交于B，
此时的周长最小值等于的长，
由轴对称性质可知：，，，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，将的周长最小值转化为的长是解题的关键．
5．如图，等腰中，，，是边的中点，于点，延长至点，使，则的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，即可得到结论．
【详解】解：∵，，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【点睛】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质，理解性质并熟练的应用是解题的关键．
6．如图，在中，，边BC在x轴上，且点，点，则的面积为（ ）
A．10B．12C．20D．26
【答案】A
【分析】作轴于点Ｄ，求得，，利用等腰三角形的性质求得，根据三角形的性质即可求解．
【详解】解：作轴于点Ｄ，
∵，
∴，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．如图，在正方形中，，为的中点，将沿折叠，使点落在正方形内点处，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点E作于点G，根据中点的性质可得，即可求出，根据折叠的性质可得，，则，进而得出，则，即可求出，即可求解．
【详解】解：过点E作于点G，
∵四边形为正方形，，
∴，
∵为的中点，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，中点的定义，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关知识，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
8．如图，已知长方形沿着直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，则的长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】由四边形为长方形可知，，从而得出，结合折叠的性质得出，进而得出．设，则，在中，根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x的值，即得出答案．
【详解】∵四边形为长方形，
∴，
∴．
由折叠的性质可知，，
∴，
∴．
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
9．如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对尺规作图进行分析，再利用等腰三角形的判定条件逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、如图1，由作法可知，，即是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
B、如图2，由作法可知，所做线段为的垂直平分线，但不能证明线段相等，无法推出等腰三角形，符合题意，选项正确；
C、如图3，由作法可知，所做线段为的垂直平分线，，即是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
D、如图4，由作法可知，所做线段为的垂直平分线，，即是等腰三角形，不符合题意，选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握尺规作图的基本图形做法是解题关键．
10．如图，将长方形沿折叠，B，C分别落在点H，G的位置，与交于点M．下列说法中，不正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由折叠的性质知，，，结合平行线的性质可证，可证选项B正确；由点到直线的距离可得，故选项A不正确；由折叠的性质知，再由，可得选项C正确，利用平行线的性质可得，，可证选项D正确．
【详解】解：如图，过点M作，
由折叠的性质知，，，
由题意知，，
∴，，
∴，
∴，故选项B正确，不合题意；
∵，
∴，故选项A不正确，符合题意；
由折叠的性质得：，
∵，
∴，故选项C正确，不合题意；
∵，
∴，
由题意知，
∴，
∴，故选项D正确，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是牢记折叠前后对应边相等、对应角相等．
11．如图，在矩形中，，，点M在边上，若平分，则的长是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】由矩形的性质得出，，，，由平行线的性质得出，再由角平分线证出，又勾股定理求出即可．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、勾股定理等，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
12．如图，中，，BD平分交AC于G，∥交的外角平分线于M，交、于F、E，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过证明，即可解决问题；
【详解】解：∵，
∴，
∵∥，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可证：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及其性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．如图，等边三角形中，D、E分别为边上的两个动点，且总使，与交于点F，于点G，则等于（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形性质得出，，证，推出，求出，求出，即可求出答案．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，证明全等三角形是关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点M，N，且，，等边的顶点A，B分别在线段上，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】证明为直角三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出答案．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是求出的长．
15．如图，在中，以各边为边分别作三个等边三角形，，，若，，，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④，其中正确的有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】由，得出，则①正确；由等边三角形的性质得，则，由证得，得，同理，得，得出四边形是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得，则③正确；，过点作于点，，则④不正确；即可得出结果．
【详解】解：，
，
，
，故①正确；
，都是等边三角形，
，
又，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
，
，
同理可证：，
，
四边形是平行四边形，故②正确；
，故③正确；
，
过点作于点，
，
故④不正确；
正确的个数是3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
二、解答题
16．如图，是等腰三角形，，，分别在的右侧，的左侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点．
(1)求证：；
(2)作射线交于点，交射线于点．
①补全图形，当时，求的度数；
②当的度数在给定范围内发生变化时，的度数是否也发生变化？若不变，请直接写出的度数；若变化，请给出的度数的范围．
【答案】(1)见解析
(2)①补全图形见解析，；②不变，理由见解析
【分析】（1）根据等角对等边以及等边三角形的性质得出，，进而得出，根据等角对等边即可得证；
（2）①根据题意补全图形，根据（1）的结论与已知条件得出垂直平分,进而得出，根据等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，继而在中，根据三角形内角和定理即可求解；
②设，
根据① 的方法与步骤进行验证即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵等边三角形和等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
（2）①如图所示，
由（1）可得，
又∵，
∴垂直平分,
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
②不变
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
17．如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求长．
【答案】(1)答案见解析
(2)12
【分析】（1）先根据平行线的性质证明，然后根据角平分线的定义得出，则可证明为等腰三角形；
（2）证明，从而得到的长，则可求得的长．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质和三角形全等的判定定理．
18．在中，，点O是的中点，点P是上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线的垂线，垂足分别为点E和点F，连接．
(1)如图1，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2，当时，请判断线段与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)若，当为等腰三角形时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】（1）如图，延长交于K，，证明，从而可得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得；
（2）如图，延长交于点K，由已知证明，，继而可证得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得；
（3）分点P在上与上两种情况分别画图进行解答即可得．
【详解】（1）解：如下图中，延长交于K，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
；
（2），
理由如下：
如下图，延长交于点K，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）如下图中，点P在线段上，延长交于点K，作于H，
，
，
在中，，
，
，
是等腰三角形，观察图形可知，只有，
在中，
，
，
如下图中，点P在线段上，作于G，
同法可得：，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
综上所述：的长为或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键．
19．如图，在中，，，E为边的中点，以为边作等边，连接，．
(1)求证：为等边三角形；
(2)若，在边上找一点H，使得最小，并求出这个最小值．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质可得，即可得，再证明，即有，，接着有，问题随之得解；
（2）作点E关于直线对称点，连接交于点H，则点H即为符合条件的点，连接、，由作图可知：最小值为，问题随之得解．
【详解】（1）在中，，E为边的中点，
∴，，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴结合，为等边三角形；
（2）作点E关于直线对称点，连接交于点H，则点H即为符合条件的点，连接、，
如图，
由作图可知：最小值为，，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称中的最短路径问题、勾股定理等，熟练掌握相关的性质与判定定理、利用轴对称添加辅助线确定最短路径问题是解题的关键.
20．在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论；
（2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，进而可证得．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
∴，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
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一．选择题
1．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点D、E．若，，则的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，设，根据等腰三角形的性质可得，再由，列出方程，求出x，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即，
∵，，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
2．已知等腰三角形一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积等于（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，当4为腰，6为底时，当4为底，6为腰时，分别求出这个等腰三角形的面积即可．
【详解】解：当4为腰，6为底时，过点A作，如图所示：
则，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当4为底，6为腰时，过点A作，如图所示：
则，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知，这个等腰三角形的面积等于或，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，注意分类讨论．
3．如图，四边形是的内接四边形，连接．若，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，，得到，根据计算选择即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握两个性质是解题的关键．
4．如图，在正方形中，，为的中点，将沿折叠，使点落在正方形内点处，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点E作于点G，根据中点的性质可得，即可求出，根据折叠的性质可得，，则，进而得出，则，即可求出，即可求解．
【详解】解：过点E作于点G，
∵四边形为正方形，，
∴，
∵为的中点，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，中点的定义，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关知识，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
5．如图1为一张正三角形纸片，其中D点在上，E点在上．以为折痕将B点往右折如图2所示，分别与相交于F点、G点．若，，，，则长度为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】先证明，得到，求出的长，然后求出线段长即可．
【详解】解：正三角形
∴
∵
∴
∴
即
∴
∵，，
∴
∴
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握翻折的性质．
6．如图，已知是等边三角形，，，点，分别是，边上的点，且．连接，若的周长是，则的边长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长至，使，连接，由“”可证，，可得，，，即可求解．
【详解】解：延长至F，使，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等腰三角形，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
∵的周长是
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．如图，已知点分别是等边边的中点，，点是线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】B
【分析】连接交于点，连接，此时的值最小，最小值为．
【详解】解：连接交于点，连接，如下图：
∵是等边三角形，D是的中点，
∴，
∴，此时的值最小，最小值为
∵分别是等边边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴的值最小值为6．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称求最短距离，解题关键是掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质．
8．如图，在等边中，，动点D从点B出发，以1cm/s的速度沿方向运动．同时动点E从点B出发以相同的速度沿方向运动，当点D运动到点A时，点E也随之停止运动．连接，将沿折叠，点B的对称点为点F，设点D的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与t之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质，利用分类讨论的思想方法求得y与t的函数关系式，再结合自变量的取值范围判定出函数的大致图象．
【详解】解：由折叠的性质可得：，
①当时，
与重叠部分的面积为，
由题意得：，
过点D作于点H，如图，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
∴；
②当时，
与重叠部分的面积为梯形，如图，
由题意得：，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
同理：，
∴为等边三角形，
∴
，
综上，y与t之间函数关系式为，
由二次函数图象的性质可知，第一个函数的图象是开口向上的抛物线的一部分，第二个函数的图象是开口向下的抛物线的一部分，
∴A大致反映y与t之间函数关系，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
9．点D是等边三角形的边上的一点，且，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为，点E，F分别在和上，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由等边三角形的性质结合题意可知，，进而可求出．由折叠的性质可知，即得出，从而可得出，即证明，得出，代入数据，即可求出的长，进而即可求出的长．
【详解】解：∵三角形为等边三角形，
∴，，
∴．
由折叠的性质可知，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质，折叠的性质．熟练掌握三角形相似的判定定理及其性质是解题关键．
10．如图，在等边三角形中，，．如果点M，N都以1cm/s的速度运动，点M在线段上由点C向点B运动，点N在线段上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，是一个直角三角形，则t的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据题意，用含t的式子表示出，分两种情况讨论，当时，，求出t的值；当时，，求出t的值．
【详解】解：∵是等边三角形，cm，
∴cm，
∵点M、N都以1cm/s的速度运动，
设，，
则，
当时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
当时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
综上所述：t的值为或时，是直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了有关三角形的动点问题，涉及到了等边三角形的性质、直角三角形的性质，灵活运用各个性质定理和分类讨论思想是解题的关键．
11．如图，已知的半径为，正三角形的边长为6，为边上的动点，过点P作的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．6
【答案】A
【分析】连接、，过点作于，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质求出，根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：连接、，过点作于，
∵是的切线，
∴，
∴，
当时，最小，取最小值，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴
∴，
∴的最小值为：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
12．如图，为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则为（ ）
A．110°B．90°C．85°D．80°
【答案】C
【分析】由三角形的外心可知，结合，先求出，再利用是正三角形以及外角的性质即可求解的度数．
【详解】解：是的外心，
是正三角形
故选C．
【点睛】本题主要考查外心的性质，等边三角形的性质及三角形外角性质，熟练掌握外心的性质及外角的性质是解决本题的关键．
13．如图，点是线段上任意一点（点与点，不重合），分别以、为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，则是等边三角形，以上结论正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】利用等边三角形的性质，证明 从而可判断①，由可得 再利用三角形的内角和定理可判断②，得出，进而证明，判断③，得出，即可判断④
【详解】解：为等边三角形，

即

故①正确；




故②正确；
则
在中
，故③正确；
又
是等边三角形，故④正确
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质,掌握以上知识是解题的关键．
14．如图，P为外一点，分别切于点A、B，是的直径，若，，则的周长为（ ）
A．8B．C．20D．
【答案】D
【分析】如图所示，连接，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，再根据切线的性质和切线长定理得到，进而证明是等边三角形，得到，由此利用三角形周长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵分别切于点A、B，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．10B．20C．D．
【答案】D
【分析】连接，证明是等边三角形，得出，从而得出，证明是等边三角形，得出，根据勾股定理，结合含角的直角三角形性质，求出即可．
【详解】解：如图，连接，
∵将绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形性质，解题的关键是证明是等边三角形，求出的长．
二、解答题
16．在中，已知，，点P、D分别在上．
(1)如图1，若，则______°（直接写答案）
(2)如图1，在（1）的条件下，求证：是等腰三角形．
(3)如图2中，若，点P在上移动，且满足，于点E，试问：此时的长度是否变化？若变化，说明理由：若不变，请予以证明．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)PE的值不变，，理由见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；
（2）首先根据等腰直角三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理和得到，进而求解即可；
（3）过点O作于M，则，然后证明出是等腰直角三角形，根据角度直接的和差关系得到，然后证明出，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）证明：，
∴
在中，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形；
（3）解：的值不变，，理由如下：
如图，过点O作于M，则
∵，
∴是等腰直角三角形，，点M为的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴的值不变，PE的值为6．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
17．如图，中， ，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．
(1)若的周长为21，求BC的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）通过垂直平分线的性质判断边等，将三角形周长换成边的和，据此求解即可．
（2）等腰三角形推出角等，通过角度的数量关系求解即可．
【详解】（1）AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．
，
的周长是21，，
的周长，
；
（2）AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．
，，
中，，
，
，
，
．
【点睛】此题考查垂直平分线的性质，解题关键是找到等角和等边的数量关系求解．
18．已知，点为等边三角形所在平面内一点，且．
(1)如图（1），，求证：；
(2)如图（2），点在内部，且，求证：；
(3)如图（3），点在内部，为上一点，连接，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）证明即可；
（2）将绕A逆时针旋，得到，点P的对应点为E，连接，首先证明是等边三角形，从而得出，再利用含角的直角三角形的性质，可得答案；
（3）将绕A逆时针旋，得到，点P的对应点为E，连接，同理得是等边三角形，过点C作平行于，交的延长线于点N，再利用证明，得，再证明，从而解决问题．
【详解】（1）是等边三角形，
，
，，
，
，
；
（2），
，
将绕A逆时针旋转，得到，点P的对应点为E，连接，
则，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）将绕A逆时针旋，得到，点P的对应点为E，连接，
同理可知，是等边三角形，
∴，
，
，
又
，
过点C作交的延长线于点N，则
又，
由旋转得，
∴
又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．
19．在中，，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．
(1)如图1，当时，则的大小；
(2)当时，
①如图2，连接，的形状是 三角形；
②如图3，直线与交于点，满足．P为直线上一动点．说明P点在什么位置时，有最大值；请直接写出这个最大值．（提示：作点D关于直线的对称点）
【答案】(1)
(2)①等边
②点在的延长线上时，的值最大，最大值为2，理由见解析
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
（2）①是等边三角形，证明，即可；
②结论：．如图3中，作点关于直线的对称点，连接，，．当点在的延长线上时，的值最大，此时，利用全等三角形的性质证明，可得结论．
【详解】（1）解：如图1中，
点是线段，的垂直平分线的交点，
，
，，
，，
，
，
，
．
（2）解：①如图2中，
点是线段，的垂直平分线的交点，
，
，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形；
②如图3中，作点关于直线的对称点，连接，，．
当点在的延长线上时，的值最大，此时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
时等边三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
∴点在的延长线上时，的值最大，最大值为2，
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
20．如图，是等边内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，
(1)求点与之间的距离；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质得出，，，进而得出为等边三角形，即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，继而得出，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，，
，
而，
．
故为等边三角形，
；
（2），，
，
所以为直角三角形，
且
又为等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，掌握旋转的性质是解题的关键．