中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第21讲圆(原卷版+解析)

这是一份中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第21讲圆(原卷版+解析)，共81页。试卷主要包含了与圆有关的概念和性质，注意等内容，欢迎下载使用。
(全国通用版)
第21讲圆
核心考点1：圆的基本概念
1．与圆有关的概念和性质
1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
核心考点2：垂径定理
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
核心考点3：圆心角、弧、弦的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
核心考点4：圆周角定理及其推论
1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
核心考点5：与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．(1)dr⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
核心考点6：切线的性质与判定
1．切线的性质
1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
核心考点7：三角形与圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．
核心考点8：正多边形的有关概念
正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．
正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．
正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
核心考点9：与圆有关的计算公式
1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．
2．圆锥与侧面展开图
1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．核
圆中最重要的有三个考点：其一，圆周角定理；其二，切线的性质与判定定理;其三,与圆有关的计算
1——考查圆周角定理
1．如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【反思】本题考查了圆周角定理，熟练掌握一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键．
2．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】首先证明点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，再利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，
在中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为，
故选：A．
【反思】本题考查点与圆的位置关系、圆周角定理、动点线段最值问题等知识，解题的关键是确定点P的位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．
2——考查直线与圆的位置关系
3．如图，为的弦，点P在弦上，，，点O到的C距离为5，则长为（ ）
A．7B．8C．D．
【答案】C
【分析】过点O作，垂足为点C，根据垂径定理得到，从而得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：过点O作，垂足为点C，
因为，，点O到的距离为5，
所以，
所以，
所以．
故选：C．
【反思】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
3——考查垂径定理
4．如图，是的直径，弦垂直于点，连接，，，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：∵是的直径，弦垂直于点，
∴，，，
∴，，
而不一定成立，
故选：B．
【反思】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
5．如图，已知的半径为，正三角形的边长为6，为边上的动点，过点P作的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．6
【答案】A
【分析】连接、，过点作于，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质求出，根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：连接、，过点作于，
∵是的切线，
∴，
∴，
当时，最小，取最小值，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴
∴，
∴的最小值为：，
故选：A．
【反思】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
5——考查切线的性质定理
6．如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接．若，且，则的长度是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，连接．由圆周角定理可得，等量代换可得，进而可得，根据切线的定义得出，利用勾股定理求出，则．
【详解】解：如图，连接．
由圆周角定理可得，
，
，
，
，
．
是的切线，
，
．
．
故选B．
【反思】本题主要考查圆周角定理、切线的定义、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，利用圆周角定理得出是解答本题的关键．
6——考查正多边形与圆
7．如图，正六边形内接于，的半径为2，则边心距的长为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】证明是等边三角形，得出，由等边三角形的性质求出，再由勾股定理求出即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵六边形为正六边形，
，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【反思】本题考查了正多边形和圆，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
6——考查圆锥的侧面积
8．圆锥的底面半径为，母线长，则它的侧面展开图的圆心角度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据圆锥的底面半径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用已知的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可.
【详解】圆锥的底面半径为
圆锥的侧面展开扇形的弧长为
母线长
圆锥的侧面展开扇形的面积为
解得，
侧面展开图的圆心角度数为
故答案选A．
【反思】本题考查圆锥的底面半径，侧面积，明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的侧面关系解题的关键．
7——考查切线的判定定理
9．如图，是的直径，C，D是上两点，是的中点，过点C作的垂线
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点G，可证明四边形是矩形，可求得，即可得证；
（2）连接，设，利用，设，，利用的性质求出利用勾股定理求出半径，进而求解．
【详解】（1）证明：连接交于点G，
∵点C是的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，设，
∵，
设，，
由（1）得，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
【反思】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质等知识，解决本题的关键是能够利用圆的对称性，得到垂直平分，利用相似与勾股定理的性质求出边，即可解答．
10．如图1，AB是的直径，点D，F在上，，延长至点C，连接，交于点E，连接，．
(1)证明：是⊙O的切线；
(2)如图2，连接，G是的中点，连接，若，，求的值．
【分析】（1）如图1，连接OF．由等边对等角可得， ．由对顶角相等可得，则．由题意知，可证，则，即，进而结论得证．
（2）如图2，过点G作于点H．由题意知，，，则，有，由，，可得，进而可证为的中位线，即，可得，，在中，，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OF．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
又∵OF是半径，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：如图2，过点G作于点H．
由题意知，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，，
在中，，
∴．
【反思】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，垂径定理，中位线，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握并灵活运用．
11．如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接、，易得，证明，即可得证；
（2）连接，利用，进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接、，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是切线；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
在中，，
∴，，
∴．
【反思】本题考查圆周角定理，垂径定理的推论，切线的判定和性质，求阴影部分的面积．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
——学会一题多解,一题多解
很多同学在学习数学时,感觉数学很难,其实学习数学并不像你想像的那样难,只要你做到从不同角度思想同一个问题,做到学会一题多解,一题多解,你的数学成绩一定会突飞猛进!
秘籍十五：学会一题多解,一题多解
一、选择题
1．如图，点，，是上的点，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，的延长线经过格点D，则的长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在圆内接四边形中， ，为直径，若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（ ）
A． B．C．D．
4．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线；分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．直线与相交于点O，若以点O为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（ ）
A．点B在上B．是的外接圆
C．是的弦D．是的切线
5．如图，点，，在上，，，连接交于点，则的度数是（ ）
A．108°B．109°C．110°D．112°
6．如图，在边长为正方形中，点在以为圆心的弧上，射线交于，连接，若，则=（ ）
A．B．C．D．
7．如图，正五边形内接于，其半径为1，作交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知圆锥的底面半径为，设圆锥的母线与高的夹角为（如图所示），且的值为，则侧面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将圆沿轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
11．如图，中，，，，点P从C点出发，沿运动到点B停止，过点B作射线的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为__．
12．如图，P是矩形对角线上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作．若且，当与矩形的边相切时，的长为______．
13．如图，的内切圆（圆心为点）与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法正确的是______．（填代码即可）

A．射线一定过点
B．点是三条中线的交点
C．若是等边三角形，则
D．点是三条边的垂直平分线的交点
14．如图，正方形和等边都内接于圆O，与分别相交于点G，H．若，则的长为___________．
15．如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 __．
16．如图，在矩形中，，，为矩形的对角线的交点，以为圆心，半径为1作，为上的一个动点，连接、，则面积的最大值为___________．
三、解答题
17．如图，为的直径，为上的两点，C为的中点，于D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
18．如图，是的直径，是的切线，切点为B，连接PO，过点C作交于点A，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为3，求的长．
19．如图，是的直径，C，E在上，平分，，垂足为D，，的延长线交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
20．如图，分别与相切于E，F，G三点，且为的直径．
(1)延长交于点P，若，，求图中阴影部分的面积；
(2)连接，与交于点M，若，求的值．
一、选择题
1．如图，是的外接圆，若，半径为，则劣弧的长为( )
A．B．C．D．
2．如图，点A、B、C是上的三点，连接，若的半径是13，且，的值是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴，点在轴的负半轴，经过四点，若，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作的切线，交于点，交的延长线于点；若半径为3，且，则线段的长是（ ）
A．B．5C．D．
5．如图，是的直径，是的切线，切点为点，过点的直线与交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．如果平分，
C．如果平分，那么
D．如果，那么也是的切线
6．如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（ ）
A．4B．C．D．
7．如图，在正方形中，E、F分别是、上一点，交对角线于点G，，交于点G，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
8．如图，是四边形ABCD的外接圆，点E在CD的延长线上，若，则的度数是（ ）
A．60°B．80°C．90°D．100°
9．如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，扇形纸片的半径为2，沿折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图1是博物馆展出的战国时期车轮实物，《周礼·考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，为验证博物馆展出车轮类型，我们可以通过计算车轮的半径推断．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．作弦的垂线，D为垂足，经测量，，，则此车轮半径为______．通过单位换算（在战国时期，一尺大约是左右），得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
12．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为______．
13．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是_______．
14．如图，网格中每个小正方形的边长为1，点P是外一点，连接交于点A，与相切于点N，点P，A，O均在格点上．
（Ⅰ）切线长PN等于___________；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中作的切线PM，并简要说明切点M的位置是如何找到的（不要求证明）．___________
15．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率，方法如图：作正六边形ABCDEF内接于，取的中点G，与交于点H；连接、；依次对剩余五段弧取中点可得一个圆内接正十二边形，记正十二边形的面积为，正六边形的面积为，则______．
三、解答题
16．如图，已知点D是上一点，点C在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点E，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，
①求的半径；
②求的长．
17．如图，已知等边，以为直径的与边相交于点．过点作，垂足为；过点作，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求直径的长．
18．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求的长．
19．如图，半圆与的边相切于点，与，边分别交于点，，，是半圆的直径．
(1)求证：是半圆的切线；
(2)若，，求和的长．
20．如图，点在的平分线上，与相切于点．
(1)求证：是的切线；
(2)与相交于点，直线交于点，若，，求的半径．位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d=r
d