中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用）第05讲 整式的运算与因式分解（附答案）

这是一份中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用）第05讲 整式的运算与因式分解（附答案），共21页。试卷主要包含了整式的乘法，乘法公式，整式的除法，下列整式的运算中，正确的是，下列各式计算正确的是，下列多项式是完全平方式的是，若，那么的值为 __，因式分解等内容，欢迎下载使用。
(全国通用版)
第5讲整式的运算与因式分解
核心考点1：整式的加减
整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
核心考点2：幂的运算
幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.
核心考点3：整式的乘法和除法
1．整式的乘法：
（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
2．乘法公式：
（1）平方差公式：. （2）完全平方公式：.
3．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
核心考点3：因式分解
1．因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.
2．因式分解的基本方法：
（1）提取公因式法：.
（2）公式法：平方差公式：.完全平方公式：.
3．分解因式的一般步骤：
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
以上步骤可以概括为“一提二套三检查”。
中考对整式相关内容的考查主要是以选择、填空题、计算题的形式进行，在分式的混合运算中也会有所涉及。
1．下列四个等式是整式的加减运算，其中结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
本题考查了整式的加减法运算法则。
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、没有同类项，不能合并故此选项不符合题意；，
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【反思】本题考查整式加减运算，熟练掌握整式加减运算法则，合并同类项法是解题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
根据同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可得．
A、，则此项错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【反思】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
3．下列各式中与的值相等的是（ ）
A．B．C．D．
根据去括号法则进行求解判断．
A、与的值不相等，不符合题意；
B、与的值不相等，不符合题意；
C、与的值相等，符合题意；
D、与的值不相等，不符合题意；
故选：C．
【反思】本题考查去括号的知识，注意掌握去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
4．下列整式的运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
根据合并同类项的方法和同类项的定义可以判断A、B、C，根据去括号法则可以判断D．
A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
【反思】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．
5．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
根据多项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公进行计算可得出答案．
A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【反思】此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则和乘法公式是解题的关键．
6．下列多项式是完全平方式的是（ ）
A．B．C．D．
根据完全平方式的特点逐个判断即可．
A．不是完全平方式；
B．不是完全平方式；
C．不是完全平方式；
D．是完全平方式；
故选：D．
【反思】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个．
7．下列等式从左到右的变形，属于因式分解并且正确的是（ ）
A．B．
C．D．
根据多项式因式分解的意义，逐个判断得结论．
A、左右两边不相等，故此选项错误，不符合题意；
B、整式的乘法，故此选项错误，不符合题意；
C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项正确，符合题意；
D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项错误，不符合题意，
故选：C．
【反思】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．
8．若，那么的值为 __．
利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．
，
当时，原式
，
故答案为：1．
【反思】本题考查整式的混合运算，灵活应用整体代入求值，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
9．因式分解：______．
先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
故答案为：．
【反思】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．如图，两个正方形的边长分别为，，如果，，则阴影部分的面积为___________．
根据阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，得出阴影部分面积为，然后整理，得出，然后把，整体代入计算即可．
∵，，
∴
，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：
【反思】本题考查了整式混合运算的应用、代数式求值、完全平方公式、求阴影部分的面积，解本题的关键在根据图形，得出阴影部分的面积．
——理清知识之间关系，学习会事半功倍
知识之间都是密切联系的，理清各个知识之间的关系，学习会事半功倍！
整式的乘法与因式分解是互逆的两个过程。两个乘法公式在应用时，可以从左到右，也可以从右到左，根据题目的需要进行选择不同的使用方式。灵活处理知识之间的关系，才能使我们学习起来更轻松，才不会感到知识杂乱无章。
秘籍五：理清知识之间关系，学习会事半功倍！
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A．2a3-a2=aB．（a3）2=a5
C．2a3⋅3a2=6a5D．-8a2÷4a=2
2．-2x-1去括号的结果是（ ）
A．-2x-1B．-2x+1C．-2x-2D．-2x+2
3．下面运算正确的是（ ）
A．5a2-2a2=3B．
C．4a+2b=6abD．3a2b+3ba2=6ba2
4．化简14-4x2+2x-8-12x-1=（ ）
A．-x2-3B．-x2-1C．x2+3D．-x2+1
5．下列运算正确的是（ ）
A．-a32=a6B．a8÷a2=a4C．a3+a3=a6D．a⋅a5=a5
6．下列各式计算正确的是（ ）
A．a+ba-b=a2+b2B．a-b2=a2-b2
C．a+b2=a2+2ab+b2D．a-1a-2=a2+3a+2
7．如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b(a>b)，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是（ ）
A．4a+4b=4(a+b)B．
C．2ab=(a+b)2-a2+b2D．a2-b2=(a+b)(a-b)
8．下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．16x2+24x+9=8x+32
C．25x2-y2=5x+y5x-y
D．2mm+n+6nm+n=2m+6nm+nm+n
9．若a+b=3，ab=2，则代数式的值为（ ）
A．6B．12C．18D．24
10．已知2a-3=b，，则2a2b-ab2的值为（ ）
A．3B．6C．8D．11
二、填空题
11．若单项式-4x3ym与xny4是同类项，则两式相加合并后的结果为______.
12．-6b+13-9b2-17-2b2+3b=______．
13．若x、y满足x-2y=-3x+2y=-5，则x2-4y2的值为____．
14．若多项式4x2-mx+1（m是常数）是一个关于x的完全平方式，则m的值为______．
15．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要用A、B、C三类卡片拼一个边长为（a＋2b）的正方形，则需要C类卡片______张．
16．分解因式：m3-16m=_____________．
17．把多项式分解因式的结果是__________________．
18．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n（以上长度单位：）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为________________
19．已知a2=a+1，b2=b+1，且a≠b，则a4+b4值为 _______．
20．若a、b是△ABC的两条边的长度，且满足a2+b2-6a-8b=-25，则△ABC面积的最大值是__________．
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10B．20C．30D．40
4．下列从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如果，那么代数式的值为（ ）
A．0B．C．1D．3
6．已知二元一次方程组，则代数式的值为（ ）
A．0B．C．D．
7．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足，，是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
8．把多项式分解因式，结果是（ ）
A．B．
C．D．
9．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法生成的密码可以是（ ）
A．B．C．D．
10．已知，mn=12，则的值为（ ）
A．-84B．84C．D．300
二、填空题
11．若与是同类项，且其和为0，则的值为________．
12．_______________．
13．计算的结果是_____________．
14．若，则M与N的大小关系是________．
15．化简：（1）_______；（2）_______．
16．计算：___________．
17．若，则的值为_______．
18．如图，在边长为a的正方形的右下角，剪去一个边长为b的小正方形（），将余下部分拼成一个平行四边形，这一过程可以验证一个关于a，b的等式为______．
19．因式分解：___________．
20．若，则代数式应是__________．
三、解答题
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值:其中．
22．分解因式：
(1)；
(2)．
23．你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
探究发现：先填空：
______；
______；
______；…
由此猜想：______．
拓展应用：利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？
①求的值；
②若，求等于多少？
第5讲整式的有关概念
题组训练详细解答
1．【详解】A、2a3与a2不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、（a3）2=a6，故B不符合题意．
C、2a3⋅3a2=6a5，故C符合题意．
D、-8a2÷4a=-2a，故D不符合题意．
故选：C．
2． -2x-1=-2x+2，故选：D．
3．由题意可得，
5a2-2a2=3a2故A选项错误，不符合题意；
故B选项错误，不符合题意；
4a+2b=4a+2b故C选项错误，不符合题意；
3a2b+3ba2=6ba2故D选项正确，符合题意；
故选D．
4．14-4x2+2x-8-12x-1=-x2+12x-2-12x+1=-x2-1故选：B．
5．A、(-a3)2=a6，此项符合题意；
B、，此项不符合题意；
C、a3+a3=2a3， 此项不符合题意；
D、aa5=a6，此项不符合题意；
故选：A．
6．A、a+ba-b=a2-b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a-b2=a2-2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、a+b2=a2+2ab+b2，原计算正确，故此选项符合题意；
D、a-1a-2=a2-3a+2，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
7．，故选：B．
8．A、a3-a=aa2-1=aa+1a-1，故A不正确，不符合题意；
B、16x2+24x+9=4x+32，故B不正确，不符合题意；
C、25x2-y2=5x+y5x-y，故C正确，符合题意；
D、2mm+n+6nm+n=2m+nm+3n，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
9．∵a+b=3，ab=2，∴a3b+2a2b2+ab3=aba2+2ab+b2=2×32=18故选C．
10．∵2a-3=b，∴2a-b=3，∵，
∴4a2-4ab+b2+ab=11，即2a-b2+ab=11，
∴32+ab=11，
∴ab=2，
∴2a2b-ab2=ab2a-b=6．
故选：B．
11．∵单项式与xny4是同类项，∴m=4，n=3，
∴两式相加合并后的结果为．
故答案为：．
12．-6b+13-9b2-17-2b2+3b=-6b+13-9b2+17-2b2+3b=-11b2-3b+30
故答案为：-11b2-3b+30．
13．x-2y=-3①x+2y=-5②，
①×②得：x2-4y2=-3×-5=15
故答案为：15．
14．因为多项式4x2-mx+1（m是常数）是一个关于x的完全平方式，
∴4x2-mx+1=4x2±4x+1，
∴-m=±4，
∴m=±4．
故答案为：±4．
15．边长为（a+2b）的正方形的面积为（a+2b）（a+2b）＝a2+4ab+4b2，
A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab，
则可知需要A类卡片1张，B类卡片4张，C类卡片4张．
故答案为：4．
16．m3-16m=mm2-16=m(m+4)(m-4)
故答案为：m(m+4)(m-4)．
17．4ab2-16ab+16a=4a(b2-4b+4)=4a(b-2)2，
故答案为：4a(b-2)2．
18．根据图形面积关系可得：2m2+5mn+2n2=2m+nm+2n，
故答案为：2m+nm+2n．
19．a2=a+1①，b2=b+1②，
①-②，得
a2-b2=a-b，
(a+b)(a-b)-(a-b)=0，
(a-b)(a+b-1)=0，
因为a≠b，
所以a+b-1=0，
即a+b=1③，
①+②，得
a2+b2=a+b+2，
a2+b2=3④，
③平方，得
a2+b2+2ab=1⑤，
⑤-④，得
，
ab=-1，
a4+b4=(a2+b2)2-2(ab)2=32-2×(-1)2=9-2=7．
20．∵a2+b2-6a-8b=-25，∴∴a-32+b-42=0，
∵a-32≥0,b-42≥0，
∴a-3=0,b-4=0，
∴a=3,b=4，
设：AC=b,BC=a，
∵直角三角形的斜边大于直角边，
∴BC边上高≤AC，
∴当AC⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值为12ab=12×3×4=6；
故答案为：6．
过关检测详细解答
1．A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C.，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
3．由图可知，五边形的面积正方形的面积梯形的面积
，
阴影部分的面积五边形的面积三角形的面积三角形的面积
，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故选：C．
4．A．，原变形错误，故此选项不符合题意；
B．，原变形错误，故此选项不符合题意；
C．，原变形正确，故此选项符合题意；
D．，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．∵
∴
∴
=
=
=
=
=1．
故选C．
6．，
①＋②，得2x－y＝，
∴，
故选：D．
7．∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∵，
∴，
∴a=b（舍去负值），
∴△ABC是等腰三角形．
故选：B．
8．
，
故选：D．
9．
，
当，时，，，，
∴上述方法生成的密码可以是．
故选：D
10．∵，mn=12，
∴==，

∴，，
当m-n=1，m+n=7时，==mn（m+n）（m-n）=；
当m-n=1，m+n=-7时，==mn（m+n）（m-n）=12 （-7）1=-84；
当m-n=-1，m+n=7时，==mn（m+n）（m-n）=127 （-1）=-84；
当m-n=-1，m+n=-7时，==mn（m+n）（m-n）=12 （-7） （-1）=84；
故选：C.
11．∵与是同类项，
∴，
∵与的和为0，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
．
13．设，
原式
．
故答案为：．
14．∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，即，
故答案为：．
15．（1）；故答案为：；（2）；故答案为：．
16．
．
故答案为：
17．∵，
∴
故答案为：4048．
18．第一个图形的面积是，
第二个图形的面积是：，
∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得：，
故答案为：．
19．，故答案为：．
20． ∵，
∴，
故答案为：．
21．（1）原式
（2）原式
（3）原式
…
当，时，原式
22．
；
（2）解：
．
23．发现：；
；
；
……
由此猜想：，
故答案为：；
拓展应用：①，
由于，
∴；
② ∵
∴
∴，
∴．