浙教版七年级数学上册同步精品讲义第4课二次函数的实际应用(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第4课二次函数的实际应用(学生版+解析)，共33页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 根据实际问题列二次函数表达式
根据实际问题确定二次函数表达式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题.
知识点02 二次函数的实际应用
在实际生活中存在很多抛物线型问题，还有很多“利润最大”“用量最少”“面积最大”“路程最短”等问题，它们都会用到二次函数的图象和性质来描述问题，解决这类问题的步骤：
（1）设出两个变量；
（2）写出函数表达式或画出图象；
（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用二次函数的性质求解；
（5）用求得的解来解释实际问题.

能力拓展
考点01 根据实际问题列二次函数表达式
【典例1】据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝6（1+2x）B．y＝6（1﹣x）2
C．y＝6（1+x）2D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2
【即学即练1】矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是 ．
考点02 利用二次函数解决最值问题
【典例1】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．
（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
【即学即练2】数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．
（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2，应该怎么剪这根铁丝？
（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？
分层提分
题组A 基础过关练
1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）2
2．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）C．y＝10（200﹣10x）2D．y＝（10+x）（200﹣10x）
3．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x）D．y＝2x（40﹣2x）
4．为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x，第一季度的总产值为y（亿元），则y关于x的函数解析式为 ．
5．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（ ）
A．21元B．22元C．23元D．24元
6．阳光超市里销售的一种水果，每千克的进价为10元，销售过程中发现，每天销量y（kg）与销售单价x（元）之间满足一次函数y＝﹣x+50的关系．若不计其他成本（利润＝售价﹣进价），则该超市销售这种水果每天能够获得的最大利润是 元．
7．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h＝x0t﹣gt2（h是物体离起点的高度，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出．
（1）球抛出后经多少秒回到起点？
（2）几秒后球离起点的高度达到1.8m？
（3）球离起点的高度能达到6m吗？请说明理由．
8．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
题组B 能力提升练
9．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2B．y＝a（1﹣x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝x2+a
10．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
11．如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P在AC上，点NM分别在BCAB上，记PM＝x，PN＝y，图中阴影部分的面积为S，若NP在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
12．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝20t﹣5t2，其中t的取值范围是（ ）
A．t≥0B．0≤t≤2C．2≤t≤4D．0≤t≤4
13．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
14．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
题组C 培优拔尖练
15．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第7秒B．第9秒C．第11秒D．第13秒
16．如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m，则花圃中的阴影部分的面积有（ ）
A．最小值247B．最小值266C．最大值247D．最大值266
17．n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是 ．
18．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
19．公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）直接写出s关于t的函数关系式 和v关于t的函数关系式 （不要求写出t的取值范围）
（2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（3）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
20．某商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系式为，已知日销售量y（千克）与时间t（天）之间的变化规律符合一次函数关系，且y与t的关系如表：
（1）试求在第30天的日销售量是多少？
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？学习目标
1.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.
2.会运用二次函数解决实际问题中的最值问题
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
时间t（天）
1
3
6
10
20
40
…
日销售量y（kg）
118
114
108
100
80
40
…
第4课 二次函数的实际应用
目标导航
知识精讲
知识点01 根据实际问题列二次函数表达式
根据实际问题确定二次函数表达式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题.
知识点02 二次函数的实际应用
在实际生活中存在很多抛物线型问题，还有很多“利润最大”“用量最少”“面积最大”“路程最短”等问题，它们都会用到二次函数的图象和性质来描述问题，解决这类问题的步骤：
（1）设出两个变量；
（2）写出函数表达式或画出图象；
（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用二次函数的性质求解；
（5）用求得的解来解释实际问题.

能力拓展
考点01 根据实际问题列二次函数表达式
【典例1】据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝6（1+2x）B．y＝6（1﹣x）2
C．y＝6（1+x）2D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2
【思路点拨】根据平均每个月GDP增长的百分率为x，可得二月GDP总值为6（1+x），三月GDP总值为6（1+x）2，即可解答．
【解析】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，
由题意可得：
y关于x的函数表达式是：y＝6（1+x）2，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题的关键．
【即学即练1】矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是 y＝﹣x2+6x（0＜x＜6） ．
【思路点拨】根据矩形的周长及其中一边长度得出另外一边长度为米，再由矩形的面积公式可得函数解析式，根据长、宽均为正数可得x的取值范围．
【解析】解：根据题意知，y与x的函数关系式y＝x•＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x，
由得0＜x＜6，
所以y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是y＝﹣x2+6x（0＜x＜6），
故答案为：y＝﹣x2+6x（0＜x＜6）．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
考点02 利用二次函数解决最值问题
【典例1】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．
（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
【思路点拨】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．
（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．
【解析】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），
又∵m＝162﹣3x，
∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），
即y＝﹣3x2+252x﹣4860，
∵x﹣30≥0，
∴x≥30．
又∵m≥0，
∴162﹣3x≥0，即x≤54．
∴30≤x≤54．
∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．
（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，
所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．
∵500＞432，
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．
【即学即练2】数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．
（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2，应该怎么剪这根铁丝？
（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？
【思路点拨】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（20﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于13cm2建立方程求出其解即可；
（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，根据圆的面积公式求出两圆面积之和，再根据函数性质求最小值．
【解析】解：（1）设剪成较短的一短为xm，则较长的部分为（20﹣x）m，
由题意得：（）2+（）2＝13，
化简得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x1＝8，x2＝12，
当x＝8时，较长部分为12，
答：应该把铁丝剪成8m和12m的两个部分；
（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，
由题意得：S＝π•（）2+π•（）2＝（y﹣10）2+（0≤y≤20），
∵＞0，
∴当y＝10时，S有最小值，最小值为．
【点睛】本题考查和二次函数和一元二次方程的应用，关键是根据题意列出函数关系式和一元二次方程．
分层提分
题组A 基础过关练
1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2
C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）2
【思路点拨】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
【解析】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
2．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝10（200﹣10x）B．y＝200（10+x）
C．y＝10（200﹣10x）2D．y＝（10+x）（200﹣10x）
【思路点拨】直接利用销量×每件利润＝总利润，进而得出函数关系式．
【解析】解：由题意可得，y与x的函数关系式为：
y＝（60﹣50+x）（200﹣10x）
＝（10+x）（200﹣10x）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出销量是解题关键．
3．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x）D．y＝2x（40﹣2x）
【思路点拨】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积＝长×宽列出y关于x的函数关系式．
【解析】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y＝x（40﹣2x）．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题列二次函数关系式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4．为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x，第一季度的总产值为y（亿元），则y关于x的函数解析式为 y＝x2+3x+3 ．
【思路点拨】把一月份、二月份、三月份的产值加起来就是第一季度的总产值，根据题意即可得出答案．
【解析】解：y＝1+1×（1+x）+1×（1+x）2
＝1+1+x+1+2x+x2
＝x2+3x+3．
故答案为：y＝x2+3x+3．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，把一月份、二月份、三月份的产值加起来是解题的关键．
5．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（ ）
A．21元B．22元C．23元D．24元
【思路点拨】根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
【解析】解：设定价为x元，每天的销售利润为y．
根据题意得：y＝（x﹣15）[8+2（25﹣x）]＝﹣2x2+88x﹣870，
∴y＝﹣2x2+88x﹣870＝﹣2（x﹣22）2+98，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＝22时，y最大值＝98．
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数的实际应用，为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解决本题的关键是二次函数图象的性质．
6．阳光超市里销售的一种水果，每千克的进价为10元，销售过程中发现，每天销量y（kg）与销售单价x（元）之间满足一次函数y＝﹣x+50的关系．若不计其他成本（利润＝售价﹣进价），则该超市销售这种水果每天能够获得的最大利润是 400 元．
【思路点拨】设超市销售这种水果每天能够获得的利润是w元，由题意得w＝﹣（x﹣30）2+400，再根据二次函数的性质可得答案．
【解析】解：设超市销售这种水果每天能够获得的利润是w元，
由题意得，w＝（x﹣10）（﹣x+50）＝﹣x2+60x﹣500＝﹣（x﹣30）2+400，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝30时，w最大为400元，
故答案为：400．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的关系式是解题关键．
7．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h＝x0t﹣gt2（h是物体离起点的高度，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出．
（1）球抛出后经多少秒回到起点？
（2）几秒后球离起点的高度达到1.8m？
（3）球离起点的高度能达到6m吗？请说明理由．
【思路点拨】（1）当h＝0时，10t﹣5t2＝0，可解得球抛出后经2秒回到起点；
（2）当h＝1.8时，10t﹣5t2＝1.8，可解得0.2秒或1.8秒后球离起点的高度达到1.8m；
（3）若h＝6，则10t﹣5t2＝6，可得Δ＝（﹣10）2﹣4×5×6＝﹣20＜0，原方程无实数解，即可知球离起点的高度不能达到6m．
【解析】解：∵初速度为10m/s，g取10m/s2，
∴h＝10t﹣×10t2＝10t﹣5t2，
（1）当h＝0时，
10t﹣5t2＝0，
解得t＝0或t＝2，
∴球抛出后经2秒回到起点；
（2）当h＝1.8时，
10t﹣5t2＝1.8，
解得t＝0.2或t＝1.8，
∴0.2秒或1.8秒后球离起点的高度达到1.8m；
（3）球离起点的高度不能达到6m，理由如下：
若h＝6，则10t﹣5t2＝6，
整理得5t2﹣10t+6＝0，
Δ＝（﹣10）2﹣4×5×6＝﹣20＜0，
∴原方程无实数解，
∴球离起点的高度不能达到6m．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握解一元二次方程的方法．
8．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
【思路点拨】（1）依题意设y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝（x﹣40）（﹣2x+220），再利用二次函数的性质可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，把x＝70，w＝2000代入函数解析式，解方程即可得到结论．
【解析】解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+220；
（2）该商品进价是60﹣2000÷100＝40，
设每周获得利润为w元，
则有w＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+1450，
∴当售价是75元/件时，周销售利润的最大利润是1450元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，
∵﹣2＜0，对称轴x＞75，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤70，∴w随x的增大而增大，
当x＝70时，w最大＝2000，
即﹣2×702+（300+2m）×70﹣8800﹣220m＝2000，
解得：m＝5．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
题组B 能力提升练
9．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2B．y＝a（1﹣x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝x2+a
【思路点拨】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【解析】解：设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放垃圾桶a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
10．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
【思路点拨】根据出手点A的坐标为求出函数关系式，再令y＝0可解得答案．
【解析】解：把A代入得：
＝﹣×9+k，
∴k＝，
∴y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0得﹣（x﹣3）2+＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，
∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能用待定系数法求出函数关系式．
11．如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P在AC上，点NM分别在BCAB上，记PM＝x，PN＝y，图中阴影部分的面积为S，若NP在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【思路点拨】设AB＝m（m为常数），根据等腰直角三角形的性质得到AM＝PM，根据矩形的性质得到PN＝BM，得到y＝﹣x+m，根据三角形和矩形的面积得到结论．
【解析】解：设AB＝m（m为常数），
在△AMP中，∠A＝45°，AM⊥PM，
∴△AMP为等腰直角三角形，
∴AM＝PM，
∵四边形PMBN是矩形，
∴PN＝BM，
∴x+y＝PM+PN＝AM+BM＝AB＝m，
即y＝﹣x+m，
∴y与x成一次函数关系，
∵S＝S△ABC﹣S矩形PMBN＝m2﹣xy＝m2﹣x（﹣x+m）＝x 2﹣m x+m2，
∴S与x成二次函数关系．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用．一次函数的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出函数解析式是解题的关键．
12．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝20t﹣5t2，其中t的取值范围是（ ）
A．t≥0B．0≤t≤2C．2≤t≤4D．0≤t≤4
【思路点拨】根据题意列出一元二次方程，解方程可得答案．
【解析】解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
∴当t＝2时，爆竹达到最大高度燃爆，
∴t的取值范围是0≤t≤2，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了二次函数性质及其应用问题；解题的关键是借助二次函数与二次方程之间的联系，来分析、判断、解答．
13．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【思路点拨】（1）直接用待定系数法，求出一次函数的关系式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
【解析】解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，
由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．
把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，
由题意得，
（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，
解得：x1＝40，x2＝20，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），
整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题．
14．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
【思路点拨】（1）设水池的长为am，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，得出面积关于x的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
【解析】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，
即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
15．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第7秒B．第9秒C．第11秒D．第13秒
【思路点拨】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值．
【解析】解：∵此炮弹在第6与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：x＝＝9.5，
∴炮弹所在高度最高是9.5秒，
∴在四个选项中炮弹所在高度最高的是9秒．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
16．如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m，则花圃中的阴影部分的面积有（ ）
A．最小值247B．最小值266C．最大值247D．最大值266
【思路点拨】根据平移的性质可得，花圃中的阴影部分可看作是长为（20﹣x）m，宽为（14﹣x）m的矩形，然后进行计算即可解答．
【解析】解：由题意得：
花圃中的阴影部分的面积y＝（20﹣x）（14﹣x）
＝x2﹣34x+280，
＝（x﹣17）2﹣9，
∵0＜x≤1，
∴当x＝1时，y有最小值，
此时y＝（1﹣17）2﹣9＝247．
故选：A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
17．n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是 m＝n2﹣n ．
【思路点拨】n个球队都要与除自己之外的（n﹣1）球队个打一场，因此要打n（n﹣1）场，然而有重复一半的场次，故比赛场次为n（n﹣1），得出关系式．
【解析】解：m＝n（n﹣1）＝n2﹣n，
故答案为：m＝n2﹣n．
【点睛】考查函数关系式的求法，在具体的情景中，蕴含数量之间的关系，理解和发现数量之间的关系是正确解答的关键．
18．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 121 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
【思路点拨】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【解析】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，
∵﹣1＜0，
∴当x＝19时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润＝单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
19．公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）直接写出s关于t的函数关系式 s＝﹣t2+16t 和v关于t的函数关系式 v＝﹣t+16 （不要求写出t的取值范围）
（2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（3）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
【思路点拨】（1）根据图象，利用待定系数法分别求出一次函数和二次函数解析式即可；
（2）把v＝9代入一次函数解析式求出t，再把t的值代入二次函数解析式求出s即可；
（3）分析得出当v＝10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可．
【解析】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点，
设二次函数表达式为s＝at2+bt，一次函数表达式为v＝kt+c，
∵二次函数经过（2，30），（4，56），
∴，解得：，
∴二次函数表达式为s＝﹣t2+16t．
∵一次函数经过（0，16），（8，8），
∴，解得：，
∴一次函数表达式为v＝﹣t+16．
故答案为：s＝﹣t2+16t，v＝﹣t+16；
（2）∵v＝﹣t+16，
∴当v＝9时，
﹣t+16＝9，解得t＝7，
∵s＝﹣t2+16t，
∴当t＝7时，s＝﹣×72+16×7＝87.5，
∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；
（3）∵当t＝0时，甲车的速度为16m/s，
∴当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大，
当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小，
∴当v＝10m/s时，两车之间距离最小，
将v＝10代入v＝﹣t+16中，得t＝6，
将t＝6代入s＝﹣t2+16t中，得s＝78，
此时两车之间的距离为：10×6+20﹣78＝2（m），
∴6秒时两车相距最近，最近距离是2m．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图象，求出表达式是解题的基本前提．
20．某商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系式为，已知日销售量y（千克）与时间t（天）之间的变化规律符合一次函数关系，且y与t的关系如表：
（1）试求在第30天的日销售量是多少？
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
【思路点拨】（1）设y＝kt+b，利用待定系数法即可解决问题．
（2）日利润＝日销售量×每公斤利润，据此分别表示前24天和后24天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
【解析】解：（1）设y＝kt+b，
把t＝1，y＝118；t＝3，y＝114代入得：，
解得，
∴y＝﹣2t+120．
将t＝30代入上式，得：y＝﹣2×30+120＝60．
答：在第30天的日销售量是60 kg；
（2）设第t天的销售利润为w元．
当1≤t≤24时，由题意，
∴t＝10时，w最大值为1250元．
当25≤t≤48时，，
∵对称轴t＝58，a＝1＞0，
∴在对称轴左侧w随t增大而减小，
∴t＝25时，w最大值＝1 085，
答：第10天利润最大，最大利润为1250元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．学习目标
1.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.
2.会运用二次函数解决实际问题中的最值问题
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
时间t（天）
1
3
6
10
20
40
…
日销售量y（kg）
118
114
108
100
80
40
…