苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题10等可能条件下的概率压轴题六种模型全攻略特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题10等可能条件下的概率压轴题六种模型全攻略特训(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了等可能性，几何求概率，列表法求概率，列举法求概率，已知概率求数量等内容，欢迎下载使用。
考点一 等可能性 考点二 列举法求概率
考点三 几何求概率 考点四 树状图法求概率
考点四 列表法求概率 考点六 已知概率求数量
典型例题

考点一 等可能性
例题：（2022·山西太原·七年级期末）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子B．篮球运动员定点投篮
C．掷一个矿泉水瓶盖D．从装有若干小球的透明袋子摸球
【变式训练】
1．（2021·山东泰安·七年级期末）下列事件不能确定是等可能事件的是（ ）
A．抛起一枚硬币，落地后国徽面朝上或朝下
B．七年级五班要随机抽一名学生参加校运会志愿者服务队，班级内学生小明或小华被抽到
C．今年7月1号下雨或不下雨
D．不透明的袋子里装有个球，红白，除颜色外均相同，摇匀后从袋子里任意摸出一球，颜色是白色或红色
2．（2021·江苏南京·八年级期中）从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件：①这张牌是“A”，②这张牌是“红桃”，③这张牌是“大王”，按其发生的可能性从小到大的顺序是_______．（填写序号）．
考点二 列举法求概率
例题：（2022·广东深圳·八年级期末）从3、5、6、9四个数中随机取一个数，不放回，再随机取一个数，把第一个数作为十位数字，第二个数作为个位数字，组成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率是______．
【变式训练】
1．（2021·四川·平昌县中小学教学研究室九年级期末）如图所示的电路中，当随机闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为_________．
2．（2022·广西贵港·中考真题）从，，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是___．
3．（2022·浙江金华·九年级期末）从长为9，6，5，4的四根木条中任取三根．
(1)请直接写出不同的取法有几种？分别列举出来．
(2)求能组成三角形的概率．
考点三 几何求概率
例题：（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色．现在要从其余13个白色小方格中任选出一个也涂成灰色，则使整个涂灰部分为轴对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·山东济南·中考真题）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．
2．（2022·山东淄博·七年级期中）向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内．
(1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是________；
(2)要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由．
考点四 树状图法求概率
例题：（2021·浙江温州·九年级期中）有三个分别标有数字2，3，5的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意抽出一张卡片，放回，再任意抽出一张．
(1)请用树状图或列表法表示出所有可能的结果．
(2)求两张卡片的数字之和为偶数的概率．
【变式训练】
1．（2022·陕西安康·九年级期末）小叶和小瑜报名参加“十四运”志愿者活动，他们将被随机分配到羽毛球（A）、篮球（B）、射箭（C）、水球（D）四个项目中承担工作任务．
(1)小叶被分配到水球（D）项目的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求出小叶和小瑜至少有一人被分配到射箭项目的概率．
2．（2022·河北沧州·九年级期末）某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其有两箱储存厂家的疫苗，另两箱分别储存厂家和厂家的疫苗．
(1)如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好收到厂家疫苗的概率是________；
(2)如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，请用列表或画树状图的方法求拿出的两个冷藏箱里有厂家疫苗的概率．
考点五 列表法求概率
例题：（2021·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）良常中学七年级某班开展社团活动，内容有：羽毛球、书法、茶艺表演．小红从三项中随机抽取社团内容，求下列事件概率．
(1)抽取一项，恰好是羽毛球的概率是 ；
(2)求抽取两项，羽毛球在其中的概率．
【变式训练】
1．（2022·青海西宁·中考真题）“青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、湟中堆绣、贵南藏绣、河湟刺绣等先后列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录．
(1)省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是________（填“全面调查”或“抽样调查”）；
(2)为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游戏．如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D（A代表土族盘绣、B代表湟中堆绣、C代表贵南藏绣、D代表河湟刺绣）．游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就获得相应的绣品（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）．请用画树状图或列表的方法求出甲、乙两名同学获得同一种绣品的概率，并列出所有等可能的结果．
2．（2022·辽宁铁岭·九年级期末）四个完全相同的乒乓球，分别标注数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中随机摸出一个球，记下数字后再放回．请用列表或画树状图的方法解决下列问题：
(1)求两次摸到的球上数字同时为偶数的概率；
(2)在上面的问题中，如果第一次摸出球后不放回，继续第二次摸球，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率．
考点六 已知概率求数量
例题：（2022·江苏徐州·八年级阶段练习）在一个不透明的口袋中装有若干个质地相同而颜色可能不全相同的球，如果口袋中只装有3个黄球，且摸出黄球的概率为，那么袋中共有___个球．
【变式训练】
1．（2022·辽宁铁岭·九年级期末）在一个不透明的袋子中，有若干个红球和白球，它们除颜色外完全相同，其中红球有12个，且从中摸出白球的概率为，则袋子中白球的个数为______．
2．（2022·福建·福州立志中学九年级期末）不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图来的概率是，则n的值是_________．
课后训练
一、选择题
1．（2022·山东济南·中考真题）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东淄博·七年级期中）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x，计算，则其结果为非负数的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·广西桂林·九年级阶段练习）在不透明口袋内有形状、大小、质地完全一样的一袋小球，其中若干个黑球，白球2个，随机抽取一个小球是黑球的可能性大小是60%，则黑球的个数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
4．（2021·湖南娄底·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD内概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河北唐山·九年级期末）从－1，－2，3，6这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点在函数 图像上的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2022·江苏盐城·八年级阶段练习）从－1，0，，3，中随机任取一数，取到无理数的概率是______．
7．（2022·黑龙江绥化·中考真题）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为______个．
8．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）看了《田忌赛马》故事后，小青用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如下表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为8，10，6，田忌的三匹马随机出场，则齐王赢得比赛的概率是田忌赢得比赛概率的_________倍．
9．（山东省青岛市实验初中、三十七中、三十九中2022年七年级下学期期末数学试题）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，得到的点数与2，4作为三角形三边的长，能构成等腰三角形的概率是______．
10．（2022·广东·平远县教师发展中心七年级期末）一只蚂蚁自由自在地在用七巧板拼成的正方形中爬来爬去（每块七巧板的表面完全相同），它最终停留在1号七巧板上的概率______．
三、解答题
11．（2022·陕西安康·九年级期中）一张圆桌旁设有4个座位，甲、乙两人各随机选择一个座位．
(1)若甲先选择，则甲坐①号座位的概率是______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人相邻而坐的概率．
12．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共个，它们除颜色外都相同，其中红球有个，且经过试验发现摸出一个球为黄球的频率接近．
(1)求袋中有多少个黑球；
(2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率达到，问至少取出了多少个黑球？
13．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，人们的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为A，B，C，D．
(1)一名乘客通过该站闸口时，选择B闸口通过的概率是___；
(2)当两名乘客通过该站闸口时，请用画树状图或列表法求这两名乘客选择不同闸口通过的概率．
14．（2022·浙江宁波·九年级期末）在一个不透明的口袋里装有分别标注1、2的两个小球（小球除数字外，其余都相同），另有背面完全一样、正面分别写有3、4、5的三张卡片，现从口袋中任意摸出一个小球，再从这三张背面朝上的卡片中任意摸出一张，则：
(1)共有多少种结果？（请用列表或者画树状图的方法表示说明）
(2)小方和小圆选择下列两个规则中的一个做游戏：
①若两次摸出的数字，和为奇数，则小方赢，否则小圆赢；
②若两次摸出的数字，积为奇数，则小方赢，否则小圆赢．
小方想要在游戏中获胜机会更大些，他应选择哪一条规则，请说明理由．
15．（2022·河北廊坊·九年级期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
16．（2021·四川乐山·三模）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机抽查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿（如图1）．根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有 人；
(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ．
(3)请把图2的条形统计图补充完整；
(4)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大学生运动会的志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9
专题10 等可能条件下的概率压轴题六种模型全攻略
考点一 等可能性 考点二 列举法求概率
考点三 几何求概率 考点四 树状图法求概率
考点四 列表法求概率 考点六 已知概率求数量
典型例题

考点一 等可能性
例题：（2022·山西太原·七年级期末）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子B．篮球运动员定点投篮
C．掷一个矿泉水瓶盖D．从装有若干小球的透明袋子摸球
【答案】A
【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确；
B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误；
C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误；
D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·山东泰安·七年级期末）下列事件不能确定是等可能事件的是（ ）
A．抛起一枚硬币，落地后国徽面朝上或朝下
B．七年级五班要随机抽一名学生参加校运会志愿者服务队，班级内学生小明或小华被抽到
C．今年7月1号下雨或不下雨
D．不透明的袋子里装有个球，红白，除颜色外均相同，摇匀后从袋子里任意摸出一球，颜色是白色或红色
【答案】C
【分析】根据等可能事件的定义：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件；即可作出判断．
【详解】解：A．抛起一枚硬币，落地后国徽面朝上或朝下是等可能事件，故选项不符合题意；
B．七年级五班要随机抽一名学生参加校运会志愿者服务队，班级内学生小明或小华被抽到是等可能事件，故选项不符合题意；
C．今年7月1号下雨或不下雨不能确定是等可能事件，故选项符合题意；
D．不透明的袋子里装有6个球，3红3白，除颜色外均相同，摇匀后从袋子里任意摸出一球，颜色是白色或红色是等可能事件，故选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了随机事件，正确分析各个事件的可能性是解题关键．
2．（2021·江苏南京·八年级期中）从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件：①这张牌是“A”，②这张牌是“红桃”，③这张牌是“大王”，按其发生的可能性从小到大的顺序是_______．（填写序号）．
【答案】③①②
【分析】首先分别求出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“大王”的张数各是多少，然后根据每张牌被抽到的机会相等，只要比较出哪个事件的可能结果最多，即可判断出这些事件发生的可能性的大小，并将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列即可．
【详解】解：∵一副扑克牌中含“A”4张，“红桃”13张，“大王”1张，
∵1＜4＜13，
∴将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列：③①②．
故答案为：③①②．
【点睛】此题主要考查了随机事件发生的可能性的大小问题，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“大王”的张数各是多少．
考点二 列举法求概率
例题：（2022·广东深圳·八年级期末）从3、5、6、9四个数中随机取一个数，不放回，再随机取一个数，把第一个数作为十位数字，第二个数作为个位数字，组成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率是______．
【答案】
【分析】从4个数中取两个数组成两位数，把所有情况全部列出来，找出其中的奇数，用奇数的个数除以两位数的总个数就是这个两位数是奇数的概率．
【详解】从3、5、6、9这四个数中取两个数组成两位数有下列情况：35、36、39、53、56、59、63、65、69、93、95、96，共12种结果，其中奇数有9种结果，
∴P(这个两位数是奇数)=
故答案为：
【点睛】本题考查了概率的计算，事件A发生的概率=，掌握概率的计算方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·四川·平昌县中小学教学研究室九年级期末）如图所示的电路中，当随机闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为_________．
【答案】
【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
【详解】解：因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，
分别为：；；；
其中有2种能够让灯泡发光，分别是；；
所以P（灯泡发光）=．
故本题答案为：．
【点睛】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
2．（2022·广西贵港·中考真题）从，，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是___．
【答案】
【分析】列举出所有情况，看在第三象限的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：∵从，，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，
∴所有的点为：（，），（，2），（，2），（，），（2，），（2，），共6个点；在第三象限的点有（，），（，），共2个；
∴该点落在第三象限的概率是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了列举法求概率，解题的关键是正确的列出所有可能的点，以及在第三象限上的点，再由概率公式进行计算，即可得到答案．
3．（2022·浙江金华·九年级期末）从长为9，6，5，4的四根木条中任取三根．
(1)请直接写出不同的取法有几种？分别列举出来．
(2)求能组成三角形的概率．
【答案】(1)4种，见解析
(2)
【分析】（1）根据枚举法，得到9、6、5；9、6、4；9、5、4；6、5、4共四种．
（2）判断构成三角形的种数，用它除以总的可能性种数即可．
（1）根据题意，得一共有4种等可能性，具体如下：9、6、5；9、6、4；9、5、4；6、5、4共四种．
（2）能构成三角形的有9、6、5；9、6、4； 6、5、4共三种，故能组成三角形的概率是．
【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握枚举法计算概率是解题的关键．
考点三 几何求概率
例题：（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色．现在要从其余13个白色小方格中任选出一个也涂成灰色，则使整个涂灰部分为轴对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用轴对称图形的定义找出使整个涂黑部分为轴对称图形的小方格的个数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：根据题意，从其余13个白色小方格中任选出一个也涂成黑色，使整个涂黑部分为轴对称图形，这样的小方格有3个，如图
所以使整个涂黑部分为轴对称图形的概率=．
故选：C
【点睛】本题考查了概率公式：某事件的概率=某事件所占的结果数除以所有结果数．也考查了轴对称图形．
【变式训练】
1．（2022·山东济南·中考真题）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．
【答案】
【分析】根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，
∴它最终停留在阴影区域的概率是．
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
2．（2022·山东淄博·七年级期中）向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内．
(1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是________；
(2)要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由．
【答案】(1)
(2)2个，理由见解析
【分析】（1）由图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个，利用概率公式计算可得；
(2)要使沙包落在图中阴影区域的概率为，所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，据此可得．
（1）
解：图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个，
∴扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是，
故答案为：；
（2）
解：涂黑2个；
∵图形中有16个小等边三角形，要使沙包落在图中阴影区域的概率为，
∴所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，已经涂黑了6个，
∴还需要涂黑2个；
如图所示：
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
考点四 树状图法求概率
例题：（2021·浙江温州·九年级期中）有三个分别标有数字2，3，5的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意抽出一张卡片，放回，再任意抽出一张．
(1)请用树状图或列表法表示出所有可能的结果．
(2)求两张卡片的数字之和为偶数的概率．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数；
（2）根据（l）得出所有等可能的结果数和两张卡片的数字之和为偶数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．
（1）
解：根据题意画图如下：
共有9种等可能的结果数；
（2）
∵共有9种等可能的结果数，抽取的两张卡片的数字之和为偶数的有5种情况，
∴两张卡片的数字之和为偶数的概率是．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于放回实验．
【变式训练】
1．（2022·陕西安康·九年级期末）小叶和小瑜报名参加“十四运”志愿者活动，他们将被随机分配到羽毛球（A）、篮球（B）、射箭（C）、水球（D）四个项目中承担工作任务．
(1)小叶被分配到水球（D）项目的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求出小叶和小瑜至少有一人被分配到射箭项目的概率．
【答案】(1)
(2)小叶和小瑜至少有一人被分配到射箭项的概率为
【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意，画出树状图，可得共有16种等可能出现的结果，其中小叶和小瑜至少有一人被分配到射箭项的有7种，再根据概率公式计算，即可求解．
（1）解∶ 共4种可分配的可能性，其中分配到水球（D）项的只有1种，因此小悦被分配到水球（D）项目的概率为，故答案为：；
（2）解∶ 画树状图如下：共有16种等可能出现的结果，其中小叶和小瑜至少有一人被分配到射箭项的有7种，所以小叶和小瑜至少有一人被分配到射箭项的概率为．
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
2．（2022·河北沧州·九年级期末）某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其有两箱储存厂家的疫苗，另两箱分别储存厂家和厂家的疫苗．
(1)如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好收到厂家疫苗的概率是________；
(2)如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，请用列表或画树状图的方法求拿出的两个冷藏箱里有厂家疫苗的概率．
【答案】(1)
(2)，画树状图见解析
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，拿出的两个冷藏箱里有厂家疫苗的结果有10种，再由概率公式求解即可．
（1）解：如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好收到厂家疫苗的概率是，故答案为：
（2）解：树状图如图，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中有A厂家疫苗的结果有10种，故P（拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗）==.
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
考点五 列表法求概率
例题：（2021·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）良常中学七年级某班开展社团活动，内容有：羽毛球、书法、茶艺表演．小红从三项中随机抽取社团内容，求下列事件概率．
(1)抽取一项，恰好是羽毛球的概率是 ；
(2)求抽取两项，羽毛球在其中的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）设羽毛球、书法、茶艺表演分别用表示，列表法求概率即可求解．
（1）解：从三项中随机抽取社团内容，抽取一项，恰好是羽毛球的概率是；
（2）设羽毛球、书法、茶艺表演分别用表示列表如图，
共有6种等可能结果，羽毛球在其中的有4种，故求抽取两项，羽毛球在其中的概率为．
【点睛】本题考查了公式法与列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·青海西宁·中考真题）“青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、湟中堆绣、贵南藏绣、河湟刺绣等先后列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录．
(1)省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是________（填“全面调查”或“抽样调查”）；
(2)为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游戏．如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D（A代表土族盘绣、B代表湟中堆绣、C代表贵南藏绣、D代表河湟刺绣）．游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就获得相应的绣品（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）．请用画树状图或列表的方法求出甲、乙两名同学获得同一种绣品的概率，并列出所有等可能的结果．
【答案】(1)抽样调查
(2)，见解析
【分析】（1）选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判定即可．
（2）利用列表法求解即可．
（1）解：省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查；
（2）解：列表如下：
由表格可知，共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学获得同一种绣品的结果共有4种，即AA，BB，CC，DD∴．
【点睛】本题考查抽样设调查与全面调查的判定，列表法求概率，熟练掌握调查方式的选择与用列表法可画树状图法求概率是解题的关键．
2．（2022·辽宁铁岭·九年级期末）四个完全相同的乒乓球，分别标注数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中随机摸出一个球，记下数字后再放回．请用列表或画树状图的方法解决下列问题：
(1)求两次摸到的球上数字同时为偶数的概率；
(2)在上面的问题中，如果第一次摸出球后不放回，继续第二次摸球，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率．
【答案】(1)两次摸到的球上数字同时为偶数的概率为
(2)两次摸到的球上数字之和为偶数的概率为
【分析】（1）用列表法分析，所有等可能出现的结果，共有种，其中“两次摸到的球上数字同时为偶数”的有种情况，再利用概率公式计算即可；
（2）用列表法分析，所有等可能出现的结果，共有12种，其中“两次摸到的球上数字之和为偶数的概率”的有种情况，再利用概率公式计算即可；
(1)
解：用表格列出所有可能的结果：
由表格可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次摸到的球上数字同时为偶数”的有种情况分别（2、2）、（2、4）、（4、2）、（4、4），
所以概率为；
(2)
解：用表格列出所有可能的结果：
由表格可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次摸到的球上数字之和为偶数的概率”的有种情况，分别为（1、3）、（2、4）、（3、1）、（4、2），
所以概率为．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果情况是正确解答的关键．
考点六 已知概率求数量
例题：（2022·江苏徐州·八年级阶段练习）在一个不透明的口袋中装有若干个质地相同而颜色可能不全相同的球，如果口袋中只装有3个黄球，且摸出黄球的概率为，那么袋中共有___个球．
【答案】9
【分析】根据概率的计算公式求解即可
【详解】设袋中共有 个球，则 ，解得．
故答案为9．
【点睛】本题考查概率的计算，牢记概率的定义及计算公式为要．
【变式训练】
1．（2022·辽宁铁岭·九年级期末）在一个不透明的袋子中，有若干个红球和白球，它们除颜色外完全相同，其中红球有12个，且从中摸出白球的概率为，则袋子中白球的个数为______．
【答案】24
【分析】设白球的个数为x个，由题意可得，进而求解即可．
【详解】解：设白球的个数为x个，由题意得：
，
解得：，
经检验：是方程的根，
∴白球的个数为24个；
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用概率求解问题是解题的关键．
2．（2022·福建·福州立志中学九年级期末）不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图来的概率是，则n的值是_________．
【答案】10
【分析】根据概率的意义列方程求解即可．
【详解】解：由题意得，
，
解得n=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了概率的意义及计算方法，理解概率的意义是正确求解的关键．
课后训练
一、选择题
1．（2022·山东济南·中考真题）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为．
故选：C．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．（2022·山东淄博·七年级期中）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x，计算，则其结果为非负数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】当朝上的面的点数为5,6时满足题意，根据概率公式计算即可求解．
【详解】当朝上的面的点数为5或6时满足，为非负数，
当朝上的面的点数为5,6朝上的概率为．
故选：C
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，有理数的减法，掌握概率公式是解题的关键．
3．（2021·广西桂林·九年级阶段练习）在不透明口袋内有形状、大小、质地完全一样的一袋小球，其中若干个黑球，白球2个，随机抽取一个小球是黑球的可能性大小是60%，则黑球的个数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】用白球的个数除以抽取白球可能性的大小得出袋中球的总个数，继而可得答案．
【详解】】解：根据题意，袋中球的总个数为2÷（1-60%）=5，
所以黑球的个数为5-2=3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查可能性大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法．
4．（2021·湖南娄底·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD内概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【详解】解：∵设正方形的边长为a，
∴⊙O的半径为，
∴S圆＝×（a）2，
S正方形＝a2，
∴在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）＝．
5．（2022·河北唐山·九年级期末）从－1，－2，3，6这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点在函数 图像上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（m，n）在函数图像上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画出树状图，
∵共有12种等可能的结果，点（m，n）在函数图像上的有（-1，6），（-2，3），（3，-2），（6，-1），
∴点（m，n）在函数图像上的概率是：．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征以及列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
6．（2022·江苏盐城·八年级阶段练习）从－1，0，，3，中随机任取一数，取到无理数的概率是______．
【答案】##
【分析】首先找到－1，0，，3，中无理数为π，，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵从－1，0，，3，中随机任取一数，一共有5种等可能结果，其中满足无理数的占两种π和，
∴取到无理数的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率的计算公式和无理数的定义，解决问题的关键是掌握概率的计算公式．
7．（2022·黑龙江绥化·中考真题）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为______个．
【答案】15
【分析】设黄球的个数为x个，根据概率计算公式列出方程，解出x即可．
【详解】解：设黄球的个数为x个，
解得：，
检验：将代入，值不为零，
∴是方程的解，
∴黄球的个数为15个，
故答案为：15．
【点睛】本题考查概率计算公式，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．
8．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）看了《田忌赛马》故事后，小青用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如下表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为8，10，6，田忌的三匹马随机出场，则齐王赢得比赛的概率是田忌赢得比赛概率的_________倍．
【答案】5
【分析】利用列举法列举出田忌的匹马出场顺序，求出所求情况占总情况的多少即可求解．
【详解】解：根据题意，齐王的三匹马出场顺序为8，10，6；
田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；一共有6中等可能的结果，其中田忌赢得比赛的有9，5，7一种，齐王赢得比赛的有5种，
∴齐王赢得比赛的概率为，田忌赢得比赛的概率为，
则齐王赢得比赛的概率是田忌赢得比赛概率的5倍，
故答案为：5．
【点睛】本题考查列举法求概率，解答的关键是列举法需要做到不重不漏，还要熟知求概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．（山东省青岛市实验初中、三十七中、三十九中2022年七年级下学期期末数学试题）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，得到的点数与2，4作为三角形三边的长，能构成等腰三角形的概率是______．
【答案】
【分析】骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6，投掷这个骰子一次有6种结果，利用构成三角形的条件，其中能与2、4构成等腰三角形的只有一种情况，根据概率公式计算可得．
【详解】解：骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6，
其中能与2、4构成等腰三角形的只有4，
∴能构成等腰三角形的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，事件A发生的概率为且0≤P（A）≤1．
10．（2022·广东·平远县教师发展中心七年级期末）一只蚂蚁自由自在地在用七巧板拼成的正方形中爬来爬去（每块七巧板的表面完全相同），它最终停留在1号七巧板上的概率______．
【答案】##0.25
【分析】根据1号七巧板占总的面积比例即可解题．
【详解】∵1号七巧板面积占总面积的
∴它最终停留在1号七巧板上的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查几何面积法求概率，解题的关键是把概率问题转换成面积比．
三、解答题
11．（2022·陕西安康·九年级期中）一张圆桌旁设有4个座位，甲、乙两人各随机选择一个座位．
(1)若甲先选择，则甲坐①号座位的概率是______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人相邻而坐的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能的情况，再利用概率公式求解即可．
（1）
解：∵共有4个座位，
∴甲先选择坐①号座位的概率为．
故答案为：．
（2）
解：画树状图如下：
∵共有12中等可能的结果，其中甲、乙两人相邻而坐的结果有：
（①，②），（①，④），（②，①），（②，③），（③，②），（③，④），（④，③），（④，①），共8种，
∴甲、乙两人相邻而坐的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
12．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共个，它们除颜色外都相同，其中红球有个，且经过试验发现摸出一个球为黄球的频率接近．
(1)求袋中有多少个黑球；
(2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率达到，问至少取出了多少个黑球？
【答案】(1)袋中有个黑球
(2)至少取出个黑球
【分析】（1）由一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共个，经过试验发现摸出一个球为黄球的频率接近，求出黄球的个数，再用总数减去黄球、黑球的个数，即为黑球的个数；
（2首先设取出个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率达到，列出方程，解方程即可求得答案．
（1）
解：黄球有个，
黑球有个．
答：袋中有个黑球；
（2）
解：设取出个黑球，根据题意得
，
解得．
答：至少取出个黑球．
【点睛】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，掌握概率公式是解题的关键．
13．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，人们的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为A，B，C，D．
(1)一名乘客通过该站闸口时，选择B闸口通过的概率是___；
(2)当两名乘客通过该站闸口时，请用画树状图或列表法求这两名乘客选择不同闸口通过的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据概率公式即可求得；
(2)首先画出树状图，再根据概率公式即可求得．
（1）
解：共有4出入闸口，
选择B闸口通过的概率是，
故答案为：；
（2）
解：画树状图得：
由树状图可知，有16种等可能的结果，其中两名乘客选择不同闸口通过的有12种结果，
∴两名乘客选择不同闸口通过的概率．
【点睛】本题考查了概率公式及利用画树状图法求概率，熟练掌握和运用利用画树状图法或列表法求概率的方法是解决本题的关键．
14．（2022·浙江宁波·九年级期末）在一个不透明的口袋里装有分别标注1、2的两个小球（小球除数字外，其余都相同），另有背面完全一样、正面分别写有3、4、5的三张卡片，现从口袋中任意摸出一个小球，再从这三张背面朝上的卡片中任意摸出一张，则：
(1)共有多少种结果？（请用列表或者画树状图的方法表示说明）
(2)小方和小圆选择下列两个规则中的一个做游戏：
①若两次摸出的数字，和为奇数，则小方赢，否则小圆赢；
②若两次摸出的数字，积为奇数，则小方赢，否则小圆赢．
小方想要在游戏中获胜机会更大些，他应选择哪一条规则，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)小方应选择规则①，理由见解析
【分析】（1）利用列表法可得所有等可能结果．
（2）从表格中找到和为奇数与积为奇数的结果数，根据概率公式求解即可得出答案．
（1）
有6种等可能结果，
列表如下：
（2）
小方应选择规则①，理由如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中和为奇数的有3种结果，积为奇数的有2种结果，
所以按规则①小方获胜的概率为，
按规则②小方获胜的概率为，
∵，
∴小方应选择规则①．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件A或的结果数目，然后根据概率公式求出事件A或的概率．
15．（2022·河北廊坊·九年级期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
【答案】(1)
(2)甲
【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率；
（2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论．
（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种，所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为．
（2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种，根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人．
【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
16．（2021·四川乐山·三模）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机抽查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿（如图1）．根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有 人；
(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ．
(3)请把图2的条形统计图补充完整；
(4)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大学生运动会的志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】(1)180
(2)126°
(3)详见解析
(4)
【分析】（1）根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
（2）用360°乘以篮球的学生所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以篮球人数所占的百分比，求出篮球的人数，从而补全统计图；
（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
（1）解：根据题意得：54÷30%＝180（人），答：这次被调查的学生共有180人；故答案为：180；
（2）根据题意得：360°×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝126°，答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°，故答案为：126°；
（3）篮球的人数有：180×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝63（人），补全统计图如下：
（4）列表如下：
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲，∴P（选中甲、乙）＝＝．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
A
B
C
A
AB
AC
B
BA
BC
C
CA
CB
甲
乙
A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD
第一次
第二次
1
2
3
4
1
1、1
1、2
1、3
1、4
2
2、1
2、2
2、3
2、4
3
3、1
3、2
3、3
3、4
4
4、1
4、2
4、3
4、4
第一次
第二次
1
2
3
4
1
1、2
1、3
1、4
2
2、1
2、3
2、4
3
3、1
3、2
3、4
4
4、1
4、2
4、3
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9
1
2
3
4
5
甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一