2024年山东省济南历下区数学九上开学监测试题【含答案】

这是一份2024年山东省济南历下区数学九上开学监测试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）二次根式中的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（ ）
A．AC⊥BDB．AD=CDC．AB=BCD．AC=BD
3、（4分）下列各曲线中不能表示是的函数是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）若分式的值为0，则x的值为
A．3B．C．3或D．0
5、（4分）如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC=.其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6、（4分）下列二次根式，化简后能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如图，一次函数y1=x-1与反比例函数y2=的图象交于点A（2，1）、B（－1，－2），则使y1y2的x的取值范围是（ ）．
A．x2B．x2或1x0
C．1x0D．x2或x1
8、（4分）已知a、b、c是的三边，且满足，则一定是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知关于x的方程x2+（3﹣2k）x+k2+1＝0的两个实数根分别是x1、x2，当|x1|+|x2|＝7时，那么k的值是__．
10、（4分）如图是两个一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象，已知两个图象交于点A（3，2），当k1x+b1＞k2x+b2时，x的取值范围是_____．
11、（4分）在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝160°，则∠B＝_____．
12、（4分）若一组数据1，2，3，x，0，3，2的众数是3，则这组数据的中位数是_____．
13、（4分）如图，在平行四边形中，，，，则______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）（1）分解因式：
（2）解不等式组
15、（8分）如图，在正方形中，点是边上的一动点，点是上一点，且，、相交于点.
（1）求证：；
（2）求的度数
（3）若，求的值.
16、（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE相交于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形．
（2）若∠AOE=60°，AE=4，求矩形ADCE对角线的长．
17、（10分）先化简，再求值：，其中x=﹣2+．
18、（10分）在一次晚会上，大家做投飞镖的游戏．只见靶子设计成如图的形式．已知从里到外的三个圆的半径分别为l，2，3，并且形成A，B，C三个区域．如果飞镖没有停落在最大圆内或只停落在圆周上，那么可以重新投镖．
(1)分别求出三个区域的面积；
(2)雨薇与方冉约定：飞镖停落在A、B区域雨薇得1分，飞镖落在C区域方冉得1分．你认为这个游戏公平吗? 为什么? 如果不公平，请你修改得分规则，使这个游戏公平．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知直线与x轴的交点在、之间（包括、两点），则的取值范围是__________.
20、（4分）若＝．则＝_____．
21、（4分）已知三角形的三条中位线的长分别为5cm、6cm、10cm，则这个三角形的周长是_____cm．
22、（4分）命题“如果x=y，那么”的逆命题是 ____________________________________________．
23、（4分）若把分式中的x，y都扩大5倍，则分式的值____________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知一次函数的图象经过点和.
（1）求这个一次函数的解析式
（2）不等式的解集是 .（直接写出结果即可）
25、（10分）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
26、（12分）（问题原型）如图，在中，对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点.求证：四边形是菱形.
（小海的证法）证明：
是的垂直平分线，
，（第一步）
，（第二步）
.（第三步）
四边形是平行四边形.（第四步）
四边形是菱形. （第五步）
（老师评析）小海利用对角线互相平分证明了四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了.
（挑错改错）（1）小海的证明过程在第________步上开始出现了错误.
（2）请你根据小海的证题思路写出此题的正确解答过程，
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件可得出，再求x的取值范围即可．
【详解】
解：∵
∴
故选：D．
本题考查的知识点是二次根式的定义，根据二次根式被开方数大于等于零解此题．
2、D
【解析】
根据菱形的判定方法结合各选项的条件逐一进行判断即可得.
【详解】
A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C选项不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项符合题意，
故选D.
本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键.
3、C
【解析】
根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．
【详解】
A、是函数，正确；
B、是函数，正确；
C、很明显，给自变量一个值，不是有唯一的值对应，所以不是函数，错误；
D、是函数，正确．
故选C．
本题主要考查函数的自变量与函数值是一一对应的，即给自变量一个值，有唯一的一个值与它对应．
4、A
【解析】
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】
由分式的值为零的条件得x-1=2，且x+1≠2，
解得x=1．
故选A．
本题考查了分式值为2的条件，具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可．
5、D
【解析】
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；根据角的和差关系求得∠GAF=45°；在直角△ECG中，根据勾股定理可证CE=2DE；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；求出S△ECG，由S△FCG=即可得出结论．
【详解】
①正确．理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由：
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE．
又∵∠BAD=90°，∴∠EAG=45°；
③正确．理由：
设DE=x，则EF=x，EC=12-x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得：（12﹣x）2+62=（x+6）2，解得：x=4，∴DE=x=4，CE=12-x=8，∴CE=2DE；
④正确．理由：
∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；
⑤正确．理由：
∵S△ECG=GC•CE=×6×8=1．
∵S△FCG===．
故选D．
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
6、C
【解析】
分别化简二次根式，进而判断与是不是同类二次根式，即可判定.
【详解】
解：A、=，与不是同类二次根式，不能与合并，不合题意；
B、=，与不是同类二次根式，不能与合并，不符合题意；
C、=，与是同类二次根式，能与合并，符合题意；
D、=，与不是同类二次根式，不能与合并，不合题意．
故选：C．
此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
7、B
【解析】
根据交点坐标及图象的高低即可判断取值范围．
【详解】
要使，则一次函数的图象要高于反比例函数的图象，
∵两图象交于点A（2，1）、B（－1，－2），
∴由图象可得：当或时，一次函数的图象高于反比例函数的图象，
∴使的x的取值范围是：或．
故选：B．
本题考查一次函数与反比例函数的图象，要掌握由图象解不等式的方法．
8、C
【解析】
由a3-ac2-ab2=0知a（a2-c2-b2）=0，结合a≠0得出a2=b2+c2，根据勾股定理逆定理可得答案．
【详解】
解：∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a≠0，b≠0，c≠0，
又a3-ac2-ab2=0，
∴a（a2-c2-b2）=0，
则a2-c2-b2=0，即a2=b2+c2，
∴△ABC一定是直角三角形．
故选：C．
本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握勾股定理逆定理与因式分解的运用．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、﹣1．
【解析】
先根据方程有两个实数根，确定△≥0，可得k≤，由x1•x1=k1+1＞0，可知x1、x1，同号，分情况讨论即可．
【详解】
∵x1+（3﹣1k）x+k1+1＝0的两个实数根分别是x1、x1，
∴△＝（3﹣1k）1﹣4×1×（k1+1）≥0，
9﹣11k+4k1﹣4k1﹣4≥0，
k≤，
∵x1•x1＝k1+1＞0，
∴x1、x1，同号，
分两种情况：
①当x1、x1同为正数时，x1+x1＝7，
即1k﹣3＝7，
k＝5，
∵k≤，
∴k＝5不符合题意，舍去，
②当x1、x1同为负数时，x1+x1＝﹣7，
即1k﹣3＝﹣7，
k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
本题考查了根与系数的关系和根的判别式．解此题时很多学生容易顺理成章的利用两根之积与和公式进行解答，解出k值，而忽略了限制性条件△≥0时k≤．
10、x＞3
【解析】
观察图象，找出函数y1＝k1x+b1的图象在y2＝k2x+b2的图象上方时对应的自变量的取值即可得答案.
【详解】
∵一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的两个图象交于点A(3，2)，
∴当k1x+b1＞k2x+b2时，x的取值范围是x＞3，
故答案为：x＞3.
本题考查了一次函数与不等式，运用数形结合思想是解本题的关键.
11、100°
【解析】
由平行四边形的性质得出对角相等，邻角互补，∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，由∠A+∠C＝160°，得出∠A＝∠C＝80°，即可求出∠B．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝160°，
∴∠A＝∠C＝80°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝100°；
故答案为：100°．
本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质是解决问题的关键．
12、1
【解析】
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个.
【详解】
解：∵1，1，3，x，0，3，1的众数是3，
∴x＝3，
先对这组数据按从小到大的顺序重新排序0，1，1，1，3，3，3，位于最中间的数是1，
∴这组数的中位数是1．
故答案为：1；
本题考查了等腰直角三角形，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.
13、
【解析】
根据平行四边形的性质可得AB=10，BC=AD=6，由BC⊥AC，根据勾股定理求得AC的长，即可求得OA长，再由勾股定理求得OB的长，即可求得BD的长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，OB=OD，OA=OC，
∵AC⊥BC，
∴AC==8，
∴OC=4，
∴OB==2，
∴BD=2OB=4
故答案为：4．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质及勾股定理是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）．
【解析】
（1）根据平方差公式因式分解即可；
（2）根据不等式的基本性质分别求出两个不等式的解集，然后取公共解集即可．
【详解】
解：（1）原式
．
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得．
所以，原不等式组的解集是．
此题考查的是因式分解和解不等式组，掌握利用平方差公式因式分解和不等式的基本性质是解决此题的关键．
15、（1）见解析；（2）∠AGD＝90°；（3）.
【解析】
（1）直接利用正方形的性质得到AD＝DC，∠ADF＝∠DCE，，结合全等三角形的判定方法得出答案；
（2）根据∠DAF＝∠CDE和余角的性质可得∠AGD＝90°；
（3）利用全等三角形的判定和性质得出△ABH≌△ADG（AAS），即可得出的值．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADF＝∠DCE＝90°，
在△ADF和△DCE中
；
∴△ADF≌△DCE（SAS）；
（2）解：由（1）得△ADF≌△DCE，
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠ADG+∠CDE＝90°，
∴∠ADG+∠DAF＝90°，
∴∠AGD＝90°，
（3）过点B作BH⊥AG于H
∵BH⊥AG，
∴∠BHA＝90°，
∴∠BHA＝∠AGD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵∠ABH+∠BAH＝90°，∠DAG+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠DAG，
在△ABH和△ADG中
，
∴△ABH≌△ADG（AAS），
∴AH＝DG，
∵BG＝BC，BA＝BC，
∴BA＝BG，
∴AH＝AG，
∴DG＝AG，
∴．
此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，正确得出△ABH≌△ADG是解题关键．
16、（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
分析：（1）根据四边形ABDE是平行四边形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四边形ADCE是矩形．
（2）根据∠AOE=60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长．
详解：（1）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
又∵AB=AC，
∴DE=AC．
∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠ADC=90°，
又∵D为BC中点，
∴CD=BD．
∴CD∥AE，CD=AE．
∴四边形AECD是平行四边形，
又∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
（2）∵四边形ADCE是矩形，
∴AO=EO，
∴△AOE为等边三角形，
∴AO=4，
故AC=1．
点睛：本题考查了矩形的判定和性质，二者结合是常见的出题方式，要注意灵活运用等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形中位线的性质.
17、，
【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，再把除法转化成乘法约分即可得到结果．
【详解】
解：原式=÷
=÷
=×
=
=﹣，
当x=﹣2+时，
原式=﹣=﹣=﹣．
18、（1）5π；（2）这个游戏不公平，见解析；修改得分规则：飞镖停落在A、B区域雨薇得5分，飞镖停落在C区域方冉得4分，这样游戏就公平了.
【解析】
（1）从面积比得到概率；（2）通过概率大小进行判定，只要概率相等就公平.
【详解】
（1）SA=π•12=π，SB=π•22-π•12=3π，SC=π•32-π•22=5π；
（2）P（A）=，P（B）=，P（C）=
P（雨薇得分）=×1+×1=，P（方冉得分）=×1=
∵P（雨薇得分）≠P（方冉得分）
∴这个游戏不公平．
修改得分规则：飞镖停落在A、B区域雨薇得5分，飞镖停落在C区域方冉得4分，这样游戏就公平了．
考核知识点：求几何概率.理解概率意义和公式是关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据题意得到的取值范围是，则通过解关于的方程求得的值，由的取值范围来求的取值范围．
【详解】
解：直线与轴的交点在、之间（包括、两点），
，
令，则，
解得，
则，
解得．
故答案是：．
本题考查了一次函数图象与系数的关系．根据一次函数解析式与一元一次方程的关系解得的值是解题的突破口．
20、1．
【解析】
直接利用已知将原式变形进而得出x，y之间的关系，进而得出答案．
【详解】
解：∵＝，
∴2y＝x+y，
故y＝x，
则＝1．
故答案为：1．
本题考查了比例的性质，正确将原式变形是解题的关键．
21、1
【解析】
根据三角形的中位线定理解答即可.
【详解】
∵三角形的三条中位线的长分别是5cm、6cm、10cm，
∴三角形的三条边分别是10cm、12cm、20cm．
∴这个三角形的周长＝10+12+20＝1cm．
故答案是：1．
本题考查了三角形的中位线定理，熟知三角形的中位线定理是解决问题的关键.
22、逆命题“如果，那么x=y”．
【解析】
命题“如果x=y，那么x2=y2”的题设是“x=y”，结论是“x2=y2”，
则逆命题的题设和结论分别为“x2=y2”和“x=y”，
即逆命题为“如果x2=y2，那么x=y”.
故答案为如果x2=y2，那么x=y.
点睛：本题考查逆命题的概念：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题互为逆命题，如果把其中一个叫原命题，那么另一个叫它的逆命题.
23、扩大5倍
【解析】
【分析】把分式中的x和y都扩大5倍，分别用5x和5y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】把分式中的x，y都扩大5倍得：
=，
即分式的值扩大5倍，
故答案为：扩大5倍.
【点睛】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1) ;(2)x>1.
【解析】
（1）将两点代入，运用待定系数法求解；
（2）把y=5代入y=2x-1解得，x=1，然后根据一次函数是增函数，进而得到关于x的不等式kx+b〉5的解集是x>1．
【详解】
解：（1）的图象过点,
,
解得：,
.
（2）∵k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
把y=5代入y=2x-1解得，x=1，
∴当x>1时，函数y>5.
考查待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
25、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；
（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180× =45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．
【详解】
（1）在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
∴∠CDE=∠CBD，
∴BC=CD，
∵AD=CD，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE=2：3，
∴∠CBE=180× =45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
26、（1）二; （2）见解析.
【解析】
(1)由垂直平分线性质可知，AC和EF并不是互相平分的,EF垂直平分AC，但AC并不平分EF，需要通过证明才可以得出，故第2步出现了错误;
(2) ）根据平行四边形性质求出AD∥BC，推出，证,推出，可得四边形是平行四边形，推出菱形.
【详解】
（1）二
（2）四边形是平行四边形，
．
．
是的垂直平分线，
．
在与中，
．
．
四边形是平行四边形．
．
四边形是菱形．
本题考查菱形的判定，以及平行四边形的性质，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形
题号
一
二
三
四
五
总分
得分