2024年山西省晋南地区数学九上开学监测试题【含答案】

这是一份2024年山西省晋南地区数学九上开学监测试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列说法正确的是 （ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
2、（4分）若解关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣2D．任意实数
3、（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是AB，AC的中点，则EF等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
4、（4分）如图，AD、BE分别是的中线和角平分线，，，F为CE的中点，连接DF，则AF的长等于（ ）
A．2B．3C．D．
5、（4分）已知是方程的一个根，则（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图,在边长为2的菱形中, , ,,则的周长为（ ）
A．3B．6C．D．
7、（4分）如图，一客轮以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一客轮同时以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里
8、（4分）解分式方程时，在方程的两边同时乘以（x﹣1）（x+1），把原方程化为x+1+2x（x﹣1）＝2（x﹣1）（x+1），这一变形过程体现的数学思想主要是（ ）
A．类比思想B．转化思想C．方程思想D．函数思想
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※2＝，那么6※3＝_____．
10、（4分）己知三角形三边长分别为，，，则此三角形的最大边上的高等于_____________.
11、（4分）如果直线 y=kx+3 与两坐标轴围成三角形的面积为 3，则 k 的值为_____．
12、（4分）在一次数学单元考试中，某小组6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，80，70，90，100，70。则这组数据的中位数分别是_________________________分。
13、（4分）甲、乙两名同学的5次数学成绩情况统计结果如下表：
根据上表，甲、乙两人成绩发挥较为稳定的是______填：甲或乙
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）化简求值：，其中x=．
15、（8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF与DE相交于点M，且∠BAF＝∠ADE．
（1）如图1，求证：AF⊥DE；
（2）如图2，AC与BD相交于点O，AC交DE于点G，BD交AF于点H，连接GH，试探究直线GH与AB的位置关系，并说明理由；
（3）在（1）（2）的基础上，若AF平分∠BAC，且BDE的面积为4+2，求正方形ABCD的面积．
16、（8分）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动.
（1）奋进小组用图1中的矩形纸片ABCD，按照如图2所示的方式，将矩形纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点处，则与重合部分的三角形的类型是________.
（2）勤学小组将图2中的纸片展平，再次折叠，如图3，使点A与点C重合，折痕为EF，然后展平，则以点A、F、C、E为顶点的四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
（3）创新小组用图4中的矩形纸片ABCD进行操作，其中，，先沿对角线BD对折，点C落在点的位置，交AD于点G，再按照如图5所示的方式折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M．则EM的长为________cm.
17、（10分）如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线BD向上折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）如图2，过点D作DG∥BE交BC于点G，连接FG交BD于点O，若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
18、（10分）如图，在矩形中，对角线、相交于点.若，，求的长.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度．
20、（4分）平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，点E在AB上且AE：EB=1：2，点F是BC中点，过D作DP⊥AF于点P，DQ⊥CE于点Q，则DP：DQ=_______.
21、（4分）已知一组数据3、x、4、5、6，若该组数据的众数是5，则x的值是_____．
22、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm，则平行四边形ABCD的周长___________．
23、（4分）若直线y＝ax+7经过一次函数y＝4﹣3x和y＝2x﹣1的交点，则a的值是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）先化简，再求值：，其中a＝+1．
25、（10分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.
26、（12分）星期天小红从家跑步去体育场，在那里锻炼了后又步行到文具店买笔，然后散步回到家。小明离家的距离与所用时间之间的图象如图所示.请你根据图象解答下列问题：
（1）体育场距文具店___________；___________；小明在文具店停留___________.
（2）请你直接写出线段和线段的解析式.
（3）当为何值时，小明距家？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可．
【详解】
对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；
对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；
对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；
对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；
故选：D．
考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键．
2、A
【解析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值,让最简公分母(x-1))=0,得到x=1,然后代入化为整式方程的方程算出m的值
【详解】
方程两边都乘（x﹣1），
得x＝3（x﹣1）﹣m，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，
解得x＝1，
当x＝1时，m＝﹣1，故m的值是﹣1．
故选：A．
此题考查分式方程的增根，解题关键在于利用原方程有增根
3、C
【解析】
利用平行四边形性质得到BC长度，然后再利用中位线定理得到EF
【详解】
在▱ABCD中，AD＝8，得到BC=8，因为点E，F分别是AB，AC的中点，所以EF为△ABC的中位线，EF=，故选C
本题主要考查平行四边形性质与三角形中位线定理，属于简单题
4、D
【解析】
已知AD是的中线，F为CE的中点，可得DF为△CBE的中位线，根据三角形的中位线定理可得DF∥BE，DF=BE=2；又因，可得∠BOD=90°，由平行线的性质可得∠ADF=∠BOD=90°，在Rt△ADF中，根据勾股定理即可求得AF的长.
【详解】
∵AD是的中线，F为CE的中点，
∴DF为△CBE的中位线，
∴DF∥BE，DF=BE=2；
∵，
∴∠BOD=90°，
∵DF∥BE，
∴∠ADF=∠BOD=90°，
在Rt△ADF中，AD=4，DF=2，
∴AF=.
故选D.
本题考查了三角形的中位线定理及勾股定理，利用三角形的中位线定理求得DF∥BE，DF=BE=2是解决问题的关键.
5、D
【解析】
把n代入方程得到，再根据所求的代数式的特点即可求解.
【详解】
把n代入方程得到，故
∴3（）-7=3-7=-4，
故选D.
此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知一元二次方程的解的定义.
6、C
【解析】
利用菱形的性质可得，AD=AB=BC=CD=2，∠ADC=120°由30°的直角三角形可得 利用勾股定理得 同理可得，∠FDC=30°，可证△DEF是等边三角形继而可得△DEF的周长为
【详解】
解：在菱形ABCD中，AD=AB=BC=CD=2
∵DE⊥AB
∴∠AED=90°
∵∠A=60°
∴∠ADE=30°，∠ADC=120°
∴
∴
同理 ，∠FDC=30°
∴∠EDF=60°，
∵
∴△DEF是等边三角形
∴
∴△DEF的周长为
故答案为：C
本题考查了菱形的性质以及勾股定理和等边三角形的判定，正确掌握菱形的性质及含30°的直角三角形的性质是解题的关键.
7、D
【解析】
首先根据路程=速度×时间可得AC、AB的长，然后连接BC，再利用勾股定理计算出BC长即可．
【详解】
解：连接BC，
由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），
CB= =40（海里），
故选：D．
本题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
8、B
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，故利用的数学思想是转化思想．
【详解】
解分式方程时，在方程的两边同时乘以（x﹣1）（x+1），把原方程化为x+1+2x（x﹣1）＝2（x﹣1）（x+1），这一变形过程体现的数学思想主要是转化思想.
故选B．
此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1.
【解析】
试题解析：6※3=．
考点：算术平方根．
10、
【解析】
分析：根据勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积求解即可.
详解：∵三角形三边长分别为，，
∴
∴三角形是直角三角形
∴
∴高为
故答案为.
点睛：此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形是解题关键.
11、±
【解析】
找到函数y=kx+3与坐标轴的交点坐标,利用三角形面积公式表示出面积,解方程即可.
【详解】
解：∵直线 y=kx+3 与两坐标轴的交点为（0,3）（,0）
∴与两坐标轴围成三角形的面积=·3·||=3
解得：k=
故答案为
本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题,属于简单题,明确函数与x轴的交点有两个是解题关键.
12、75
【解析】
根据中位数的定义即可求解.
【详解】
先将数据从小到大排序为65，70，70，80，90，100，
故中位数为(70+80)=75
此题主要考查中位数的求解，解题的关键是熟知中位数的定义.
13、甲
【解析】
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】
∵S甲2=4，S乙2=16，
∴S甲2=4＜S乙2=16，
∴成绩稳定的是甲，
故答案为：甲．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、
【解析】
首先按照乘法分配律将原式变形，然后根据分式的基本性质进行约分，再去括号，合并同类项即可进行化简，然后将x的值代入化简后的式子中即可求解．
【详解】
原式=


当时，原式．
本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键．
15、（1）见解析；（2）GHAB，见解析；（3）12+8
【解析】
（1）根据正方形的性质证明∠BAF+∠AED＝90°即可解决问题．
（2）证明△ADF≌△BAF（ASA），推出AE＝BF，由AECD，推出＝，由BFAD，推出＝，由AE＝BF，CD＝AD，推出＝可得结论．
（3）如图2﹣1中，在AD上取一点J，使得AJ＝AE，连接EJ．设AE＝AJ＝a．利用三角形的面积公式构建方程求出a即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵∠ADE＝∠BAF，
∴∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AME＝90°，
∴AF⊥DE．
（2）解：如图2中．结论：GHAB．
理由：连接GH．
∵AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，∠ADE＝∠BAF，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AECD，
∴＝，
∵BFAD，
∴＝，
∵AE＝BF，CD＝AD，
∴＝，
∴GHAB．
（3）解：如图2﹣1中，在AD上取一点J，使得AJ＝AE，连接EJ．设AE＝AJ＝a．
∵AF平分∠BAC，∠BAC＝45°，
∴∠BAF＝∠ADE＝22.5°，
∵AE＝AJ＝a，∠EAJ＝90°，
∴∠AJE＝45°，
∵∠AJE＝∠JED+∠JDE，
∴∠JED＝∠JDE＝22.5°，
∴EJ＝DJ＝a，
∵AB＝AD＝a+a，AE＝AJ，
∴BE＝DJ＝a，
∵S△BDE＝4+2，
∴×a×（a+a）＝4+2，
解得a2＝4，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴AD＝2+2，
∴正方形ABCD的面积＝12+8．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质和平行线分线段成比例是解题的关键．
16、（1）等腰三角形（或钝角三角形）；（2）菱形，理由详见解析；（3）.
【解析】
（1）利用折叠的性质和角平分线定义即可得出结论；
（2）利用四边相等的四边形是菱形即可得出结论；
（3）由勾股定理可求BD的长，BG的长，AG的长，利用勾股定理和折叠的性质可得到结果。
【详解】
解：（1）等腰三角形（或钝角三角形）．
提示：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴．
由折叠知，，
∴，
∴重合部分的三角形是等腰三角形.
（2）菱形．
理由：如图，
连接AE、CF，设EF与AC的交点为M，
由折叠知，，，
∴，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形．
（3）.
提示：∵点D与点A重合，得折痕EN，，，
∴.
在中，，
∴.
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴由勾股定理可得，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴，设，则．
由勾股定理得，即，
解得，即.
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
17、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；
（2）根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断四边形BFDG是菱形，再根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．
【详解】
（1）证明：根据折叠得，∠DBC=∠DBE，
又AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∵DF=BF，
∴四边形BFDG是菱形；
∵AB=6，AD=8，
∴BD=1．
∴OB= BD=2．
假设DF=BF=x，∴AF=AD-DF=8-x．
∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即62+（8-x）2=x2，
解得x=，
即BF=，
∴，
∴FG=2FO=．
此题考查了四边形综合题，结合矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理解答，考查了翻折不变性，综合性较强，是一道好题．
18、
【解析】
首先根据矩形的性质可得，易证是等边三角形,即可得OA的长度，可得AC的长度．
【详解】
在矩形中，
．
，
．
是等边三角形．
，
．
本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定，掌握矩形的性质是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、22.5°
【解析】
四边形ABCD是矩形，
AC=BD，OA=OC，OB=OD，
OA=OB═OC，
∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∠EAC=2∠CAD，
∠EAO=∠AOE，
AE⊥BD，
∠AEO=90°，
∠AOE=45°，
∠OAB=∠OBA=67.5°，
即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．
考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．
20、2：
【解析】
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出S△DEC=S△DFA=S平行四边形ABCD，求出AF×DP=CE×DQ，设AB=3a，BC=2a，则BF=a，BE=2a，BN=a，BM=a，FN=a，CM=a，求出AF=a，CE=2a，代入求出即可．
【详解】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S△DEC=S△DFA=S平行四边形ABCD，
即AF×DP=CE×DQ，
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB=60°，
∴∠CBN=∠DAB=60°，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
∵AB：BC=3：2，
∴设AB=3a，BC=2a，
∵AE：EB=1：2，F是BC的中点，
∴BF=a，BE=2a，
BN=a，BM=a，
由勾股定理得：FN=a，CM=a，
AF==a，
CE==2a，
∴a•DP=2a•DQ，
∴DP：DQ=2：，
故答案为：2：.
【点睛】本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，求出AF×DP=CE×DQ和AF、CE的值是解题的关键．
21、1
【解析】
根据众数的定义进行求解即可得答案．
【详解】
解：这组数据中的众数是1，即出现次数最多的数据为：1，
故x=1，
故答案为1．
本题考查了众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
22、39
【解析】
根据角平分线和平行得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE，根据勾股定理求得BC=13cm，根据等腰三角形性质得到AB,CD，从而求得周长.
【详解】
在中，
∵,AB=CD
∴
∵BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD
∴
∴ ，
∴
∵
∴
∵BE平分
∴
∴ ，
同理可得 ，
∴
∴的周长为：
故答案为： ．
本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于利用等腰三角形和直角三角形的性质求得平行四边形中一组对边的长度.
23、-2
【解析】
根据题意，得4﹣3x=2x﹣1，解得x=1，∴y=1．
把（1，1）代入y=ax+7，得a+7=1，解得a=﹣2．
故答案为﹣2．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、
【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】
原式＝
=，
当a＝+1时，原式＝．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25、6
【解析】
根据菱形的性质得出AC⊥BD，DO=BO，然后根据Rt△AOB的勾股定理求出BO的长度，然后根据BD=2BO求出答案.
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O， ∴AC⊥BD，DO=BO，
∵AB=5，AO=4， ∴BO==3， ∴BD=2BO=2×3=6
考点：菱形的性质
26、（1）1，30，20；（2）线段OA对应的函数解析式为y=x（0≤x≤15），线段DE对应的函数解析式为y=−x+4.75（65≤x≤95）；（3）当x为7.2或71时，小明距家1.2km．
【解析】
（1）根据题意和函数图象中的数据可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据可以求得线段OA和线段DE的解析式；
（3）根据（2）中的函数解析式可以求得当x为何值时，小明距家1.2km．
【详解】
解：（1）由图象可得，
体育场距文具店：2.5-1.5=1（km），
m=15+15=30，
小明在文具店停留：65-45=20（min），
故答案为：1，30，20；
（2）设线段OA对应的函数解析式为y=kx，
由15k=2.5，得k=，
即线段OA对应的函数解析式为y=x（0≤x≤15），
设线段DE对应的函数解析式为y=ax+b，
由题意得
，
得，
即线段DE对应的函数解析式为y=−x+4.75（65≤x≤95）；
（3）将y=1.2代入y=x，得
1.2=x，解得，x=7.2，
将y=1.2代入y=−x+4.75，得
1.2=−x+4.75，解得，x=71，
答：当x为7.2或71时，小明距家1.2km．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
平均分
方差
标准差
甲
80
4
2
乙
80
16
4