还剩24页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
初中数学北师大版（2024）九年级上册2 矩形的性质与判定练习题
展开
这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册2 矩形的性质与判定练习题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022春•遵化市期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（ ）
A．4B．4C．3D．5
2．（2021秋•沂水县期末）下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式（a+b）2＝a2+2ab+b2的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022•海曙区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A．cmB．cmC．cmD．8cm
4．（2021春•洛南县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．∠AOB＝60°B．AC＝BDC．AC⊥BDD．AB＝BC
5．（2022春•黔南州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．24B．3.6C．4.8D．5
6．（2021春•临沭县期末）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E的度数是（ ）
A．45°B．30°C．20°D．15°
7．（2021•天津一模）如图，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别是（0，0），（8，0），（0，6），对角线交点为E，则点E的坐标是（ ）
A．（6，8）B．（3，4）C．（8，6）D．（4，3）
8．（2022春•碑林区校级期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A．B．C．D．不确定
9．（2022•科左中旗二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）
A．8B．9C．10D．12
10．（2022•肇东市模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（ ）
A．5B．2.5C．4.8D．2.4
二、填空题。
11．（2022春•开福区校级期末）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝ ．
12．（2021春•浦东新区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝70°，则∠ACB的大小为 ．
13．（2021春•海珠区校级月考）如图，若直角三角形的两直角边分别为4cm和3cm，则斜边上的中线CD长为 ．
14．（2021•南浔区一模）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形和矩形分别称为格点三角形和格点矩形．如图，已知Rt△ABC是5×5网格图形中的格点三角形，则在该网格图形中，与△ABC面积相等的格点矩形的周长所有可能值是 ．
15．（2021•富阳区二模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若E、F分别为AO，AD的中点，若AC＝24，则EF的长为 ．
16．（2021•兴平市一模）已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AB边的中点，点F为BC边上的动点，点B和点B'关于EF对称，则B'D的最小值是 ．
17．（2022•泰山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
18．（2021春•临海市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B（1，2），若锁定OA，向左推矩形OABC，使点B落在y轴的点B′的位置，则点C的对应点C′的坐标为 ．
三、解答题。
19．（2022•盐池县二模）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F
（1）求证：OE＝CB；
（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．
20．（2021•天桥区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF．
21．（2022•揭阳一模）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为 ．
22．（2021春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．
23．（2021春•东丽区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）
（1）当t＝2时，PQ的长为 ；
（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；
（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．
24．（2022•长春一模）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求▱ABCD的面积．
25．（2021春•梁山县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．
26．（2021春•阳谷县期末）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：EO＝OF；
（2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由
27．（2021春•长春期末）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：AC＝BE；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．
专题1.2 矩形的性质与判定（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2022春•遵化市期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（ ）
A．4B．4C．3D．5
【答案】B。
【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，
即△OAB为等腰三角形，
又∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形．
故AB＝BO＝4，
∴DC＝AB＝4．
故选：B．
2．（2021秋•沂水县期末）下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式（a+b）2＝a2+2ab+b2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B。
【解答】解：对于等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，可看作边长为（a+b）的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成．
故选：B．
3．（2022•海曙区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A．cmB．cmC．cmD．8cm
【答案】C。
【解答】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，
∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE，则OE＝OF，
∵∠OBF＝∠ABD，
∴△BOF∽△BAD
∴＝，
∵BD＝＝10cm，
∴BO＝5cm，
∴FO＝5×cm＝cm，
∴EF＝2FO＝cm．
故选：C．
4．（2021春•洛南县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．∠AOB＝60°B．AC＝BDC．AC⊥BDD．AB＝BC
【答案】B。
【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．故B选项符合题意，
由∠AOB＝60°无法判断平行四边形ABCD是矩形．故A选项不符合题意，
由AC⊥BD无法判断平行四边形ABCD是矩形．故C选项不符合题意，
由AB＝BC无法判断平行四边形ABCD是矩形．故D选项不符合题意，
故选：B．
5．（2022春•黔南州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．24B．3.6C．4.8D．5
【答案】C。
【解答】解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴PC的最小值为：＝4.8．
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：C．
6．（2021春•临沭县期末）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E的度数是（ ）
A．45°B．30°C．20°D．15°
【答案】D。
【解答】解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，
∴∠E＝15°，
故选：D．
7．（2021•天津一模）如图，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别是（0，0），（8，0），（0，6），对角线交点为E，则点E的坐标是（ ）
A．（6，8）B．（3，4）C．（8，6）D．（4，3）
【答案】D。
【解答】解：∵四边形OBCD是矩形，
∴DE＝BE，
∵点B坐标为（8，0），点D坐标为（0，6），
∴点E坐标为（4，3），
故选：D．
8．（2022春•碑林区校级期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】A。
【解答】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5，
∴OA＝OD＝2.5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝6，
∴S△AOD＝S△ACD＝3，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝×2.5×PE+×2.5×PF＝（PE+PF）＝3，
解得：PE+PF＝．
故选：A．
9．（2022•科左中旗二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【答案】C。
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
10．（2022•肇东市模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（ ）
A．5B．2.5C．4.8D．2.4
【答案】D。
【解答】解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴PM＝AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，
∴AP最短时，AP＝4.8，
∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．
故选：D．
二、填空题。
11．（2022春•开福区校级期末）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝ 12 ．
【答案】12。
【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2BO＝12．
故答案为12．
12．（2021春•浦东新区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝70°，则∠ACB的大
小为 35° ．
【答案】35°。
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OB，∠ABC＝90°，
又∵∠AOB＝70°，
∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝90°﹣55°＝35°．
方法二：矩形ABCD中，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ACB＝∠AOB＝×70°＝35°．
故答案为：35°．
13．（2021春•海珠区校级月考）如图，若直角三角形的两直角边分别为4cm和3cm，则斜边上的中线CD长为 cm ．
【答案】cm。
【解答】解：如图，由题意可知，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴AB＝＝5，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝（cm），
故答案为：cm．
14．（2021•南浔区一模）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形和矩形分别称为格点三角形和格点矩形．如图，已知Rt△ABC是5×5网格图形中的格点三角形，则在该网格图形中，与△ABC面积相等的格点矩形的周长所有可能值是 10或8 ．
【答案】10或8。
【解答】解：由题干可得：AC2＝52+12＝26，BC2＝32+32＝18，AB2＝22+22＝8，
即AC2＝AB2+BC2，，
令矩形的长为a（0＜a＜5），宽为b（0＜b＜5），即ab＝6，
当a＝1时，则b＝6，不符合题意；
当a＝2时，则b＝3，符合题意，格点矩形的周长＝2+2+3+3＝10；
当a＝3时，则b＝2，符合题意，格点矩形的周长＝2+2+3+3＝10；
当a＝4时，则b＝1.5，不符合题意；
当a＝5时，则b＝1.2，不符合题意；
当a＝时，则b＝3，符合题意，格点矩形的周长＝++3+3＝8．
故答案为：10或8．
15．（2021•富阳区二模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若E、F分别为AO，AD的中点，若AC＝24，则EF的长为 6 ．
【答案】6。
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝24，OA＝OB＝OD＝OB＝12，
∵E、F分别为AO，AD的中点，
∴EF＝OD＝6，
故答案为：6．
16．（2021•兴平市一模）已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AB边的中点，点F为BC边上的动点，点B和点B'关于EF对称，则B'D的最小值是 2﹣2 ．
【答案】2﹣2。
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，点E为AB边的中点，点B和点B'关于EF对称，
∴AE＝BE＝B'E＝2，∠A＝90°，
∴DE＝＝2，
∴当点B'在线段DE上时，B'D取得最小值，此时B'D＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
17．（2022•泰山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
【答案】。
【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
18．（2021春•临海市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B（1，2），若锁定OA，向左推矩形OABC，使点B落在y轴的点B′的位置，则点C的对应点C′的坐标为 （﹣1，） ．
【答案】（﹣1，）。
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（1，2），
∴OA＝1，AB＝2，
由题意得：AB'＝AB＝2，四边形OAB'C'是平行四边形，
∴OB'＝＝＝，B'C'＝OA＝1，
∴点C的对应点C'的坐标为（﹣1，）；
故答案为：（﹣1，）．
三、解答题。
19．（2022•盐池县二模）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F
（1）求证：OE＝CB；
（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC为矩形，
∴OE＝CB．
（2）解：设OC＝x，则OB＝2x，
∴BC＝＝x．
∵BC＝OE＝2，
∴x＝2，
∴OC＝2，OB＝4，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝2OC•OB＝16．
20．（2021•天桥区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE⊥BD，DF⊥AC，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴AE＝DF．
21．（2022•揭阳一模）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为 ．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）解：在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（4﹣DM）2＝22+DM2，
解得DM＝．
故答案为．
22．（2021春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∵AF，BF分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．
∴∠AEB＝90°，
同理可得：∠AFD＝90°，∠BHC＝90°，∠DGC＝90°，
∵∠HGF＝∠DGC＝90°，∠HEF＝∠AEB＝90°，
∴∠AFD＝∠BHC＝∠HGF＝∠HEF＝90°，
∴四边形EGFH是矩形．
23．（2021春•东丽区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）
（1）当t＝2时，PQ的长为 2 ；
（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；
（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．
【解答】解：（1）如图所示：作PH⊥AB于H，
由题意得，DP＝4，AQ＝2，
则QH＝2，又PH＝AD＝6，
由勾股定理得，PQ＝＝＝2，
故答案为：2；
（2）当PQ＝PB时，
如图，QH＝BH，
则t+2t＝8，
解得，t＝；
（3）当PQ＝BQ时，
（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2，
解得，t＝．
24．（2022•长春一模）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求▱ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴CD﹣CF＝AB﹣AE，
∴DF＝BE且DC∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝2，DE＝AE＝2，
由（1）得：四边形DFBE是矩形，
∴BF＝DE＝2，∠ABF＝90°，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，
∴AB＝BF＝×2＝6，
∴▱ABCD的面积＝AB×DE＝6×2＝12．
25．（2021春•梁山县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+75°＝135°；
（3）解：作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵∠OCB＝30°，AB＝2，
∴BC＝2，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△BOE的面积＝•EB•OF＝×（2﹣2）×1＝﹣1．
26．（2021春•阳谷县期末）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：EO＝OF；
（2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴EO＝FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO＝CO，
∴AO＝CO＝EO＝FO，
∴AO+CO＝EO+FO，
即AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形，
即当点O沿AC移动时，四边形AECF能成为一个矩形，此时，点O在AC的中点．
27．（2021春•长春期末）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：AC＝BE；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DC，
∴AB＝EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC＝BE；
（2）∵AB＝EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，
又∵∠AFC＝2∠D，
∴∠AFC＝2∠ABC，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
1．（2022春•遵化市期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（ ）
A．4B．4C．3D．5
2．（2021秋•沂水县期末）下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式（a+b）2＝a2+2ab+b2的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022•海曙区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A．cmB．cmC．cmD．8cm
4．（2021春•洛南县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．∠AOB＝60°B．AC＝BDC．AC⊥BDD．AB＝BC
5．（2022春•黔南州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．24B．3.6C．4.8D．5
6．（2021春•临沭县期末）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E的度数是（ ）
A．45°B．30°C．20°D．15°
7．（2021•天津一模）如图，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别是（0，0），（8，0），（0，6），对角线交点为E，则点E的坐标是（ ）
A．（6，8）B．（3，4）C．（8，6）D．（4，3）
8．（2022春•碑林区校级期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A．B．C．D．不确定
9．（2022•科左中旗二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）
A．8B．9C．10D．12
10．（2022•肇东市模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（ ）
A．5B．2.5C．4.8D．2.4
二、填空题。
11．（2022春•开福区校级期末）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝ ．
12．（2021春•浦东新区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝70°，则∠ACB的大小为 ．
13．（2021春•海珠区校级月考）如图，若直角三角形的两直角边分别为4cm和3cm，则斜边上的中线CD长为 ．
14．（2021•南浔区一模）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形和矩形分别称为格点三角形和格点矩形．如图，已知Rt△ABC是5×5网格图形中的格点三角形，则在该网格图形中，与△ABC面积相等的格点矩形的周长所有可能值是 ．
15．（2021•富阳区二模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若E、F分别为AO，AD的中点，若AC＝24，则EF的长为 ．
16．（2021•兴平市一模）已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AB边的中点，点F为BC边上的动点，点B和点B'关于EF对称，则B'D的最小值是 ．
17．（2022•泰山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
18．（2021春•临海市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B（1，2），若锁定OA，向左推矩形OABC，使点B落在y轴的点B′的位置，则点C的对应点C′的坐标为 ．
三、解答题。
19．（2022•盐池县二模）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F
（1）求证：OE＝CB；
（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．
20．（2021•天桥区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF．
21．（2022•揭阳一模）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为 ．
22．（2021春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．
23．（2021春•东丽区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）
（1）当t＝2时，PQ的长为 ；
（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；
（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．
24．（2022•长春一模）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求▱ABCD的面积．
25．（2021春•梁山县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．
26．（2021春•阳谷县期末）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：EO＝OF；
（2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由
27．（2021春•长春期末）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：AC＝BE；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．
专题1.2 矩形的性质与判定（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2022春•遵化市期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（ ）
A．4B．4C．3D．5
【答案】B。
【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，
即△OAB为等腰三角形，
又∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形．
故AB＝BO＝4，
∴DC＝AB＝4．
故选：B．
2．（2021秋•沂水县期末）下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式（a+b）2＝a2+2ab+b2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B。
【解答】解：对于等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，可看作边长为（a+b）的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成．
故选：B．
3．（2022•海曙区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A．cmB．cmC．cmD．8cm
【答案】C。
【解答】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，
∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE，则OE＝OF，
∵∠OBF＝∠ABD，
∴△BOF∽△BAD
∴＝，
∵BD＝＝10cm，
∴BO＝5cm，
∴FO＝5×cm＝cm，
∴EF＝2FO＝cm．
故选：C．
4．（2021春•洛南县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．∠AOB＝60°B．AC＝BDC．AC⊥BDD．AB＝BC
【答案】B。
【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．故B选项符合题意，
由∠AOB＝60°无法判断平行四边形ABCD是矩形．故A选项不符合题意，
由AC⊥BD无法判断平行四边形ABCD是矩形．故C选项不符合题意，
由AB＝BC无法判断平行四边形ABCD是矩形．故D选项不符合题意，
故选：B．
5．（2022春•黔南州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．24B．3.6C．4.8D．5
【答案】C。
【解答】解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴PC的最小值为：＝4.8．
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：C．
6．（2021春•临沭县期末）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E的度数是（ ）
A．45°B．30°C．20°D．15°
【答案】D。
【解答】解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，
∴∠E＝15°，
故选：D．
7．（2021•天津一模）如图，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别是（0，0），（8，0），（0，6），对角线交点为E，则点E的坐标是（ ）
A．（6，8）B．（3，4）C．（8，6）D．（4，3）
【答案】D。
【解答】解：∵四边形OBCD是矩形，
∴DE＝BE，
∵点B坐标为（8，0），点D坐标为（0，6），
∴点E坐标为（4，3），
故选：D．
8．（2022春•碑林区校级期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】A。
【解答】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5，
∴OA＝OD＝2.5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝6，
∴S△AOD＝S△ACD＝3，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝×2.5×PE+×2.5×PF＝（PE+PF）＝3，
解得：PE+PF＝．
故选：A．
9．（2022•科左中旗二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【答案】C。
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
10．（2022•肇东市模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（ ）
A．5B．2.5C．4.8D．2.4
【答案】D。
【解答】解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴PM＝AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，
∴AP最短时，AP＝4.8，
∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．
故选：D．
二、填空题。
11．（2022春•开福区校级期末）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝ 12 ．
【答案】12。
【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2BO＝12．
故答案为12．
12．（2021春•浦东新区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝70°，则∠ACB的大
小为 35° ．
【答案】35°。
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OB，∠ABC＝90°，
又∵∠AOB＝70°，
∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝90°﹣55°＝35°．
方法二：矩形ABCD中，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ACB＝∠AOB＝×70°＝35°．
故答案为：35°．
13．（2021春•海珠区校级月考）如图，若直角三角形的两直角边分别为4cm和3cm，则斜边上的中线CD长为 cm ．
【答案】cm。
【解答】解：如图，由题意可知，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴AB＝＝5，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝（cm），
故答案为：cm．
14．（2021•南浔区一模）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形和矩形分别称为格点三角形和格点矩形．如图，已知Rt△ABC是5×5网格图形中的格点三角形，则在该网格图形中，与△ABC面积相等的格点矩形的周长所有可能值是 10或8 ．
【答案】10或8。
【解答】解：由题干可得：AC2＝52+12＝26，BC2＝32+32＝18，AB2＝22+22＝8，
即AC2＝AB2+BC2，，
令矩形的长为a（0＜a＜5），宽为b（0＜b＜5），即ab＝6，
当a＝1时，则b＝6，不符合题意；
当a＝2时，则b＝3，符合题意，格点矩形的周长＝2+2+3+3＝10；
当a＝3时，则b＝2，符合题意，格点矩形的周长＝2+2+3+3＝10；
当a＝4时，则b＝1.5，不符合题意；
当a＝5时，则b＝1.2，不符合题意；
当a＝时，则b＝3，符合题意，格点矩形的周长＝++3+3＝8．
故答案为：10或8．
15．（2021•富阳区二模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若E、F分别为AO，AD的中点，若AC＝24，则EF的长为 6 ．
【答案】6。
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝24，OA＝OB＝OD＝OB＝12，
∵E、F分别为AO，AD的中点，
∴EF＝OD＝6，
故答案为：6．
16．（2021•兴平市一模）已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AB边的中点，点F为BC边上的动点，点B和点B'关于EF对称，则B'D的最小值是 2﹣2 ．
【答案】2﹣2。
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，点E为AB边的中点，点B和点B'关于EF对称，
∴AE＝BE＝B'E＝2，∠A＝90°，
∴DE＝＝2，
∴当点B'在线段DE上时，B'D取得最小值，此时B'D＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
17．（2022•泰山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
【答案】。
【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
18．（2021春•临海市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B（1，2），若锁定OA，向左推矩形OABC，使点B落在y轴的点B′的位置，则点C的对应点C′的坐标为 （﹣1，） ．
【答案】（﹣1，）。
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（1，2），
∴OA＝1，AB＝2，
由题意得：AB'＝AB＝2，四边形OAB'C'是平行四边形，
∴OB'＝＝＝，B'C'＝OA＝1，
∴点C的对应点C'的坐标为（﹣1，）；
故答案为：（﹣1，）．
三、解答题。
19．（2022•盐池县二模）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F
（1）求证：OE＝CB；
（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC为矩形，
∴OE＝CB．
（2）解：设OC＝x，则OB＝2x，
∴BC＝＝x．
∵BC＝OE＝2，
∴x＝2，
∴OC＝2，OB＝4，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝2OC•OB＝16．
20．（2021•天桥区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE⊥BD，DF⊥AC，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴AE＝DF．
21．（2022•揭阳一模）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为 ．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）解：在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（4﹣DM）2＝22+DM2，
解得DM＝．
故答案为．
22．（2021春•西吉县期末）已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∵AF，BF分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．
∴∠AEB＝90°，
同理可得：∠AFD＝90°，∠BHC＝90°，∠DGC＝90°，
∵∠HGF＝∠DGC＝90°，∠HEF＝∠AEB＝90°，
∴∠AFD＝∠BHC＝∠HGF＝∠HEF＝90°，
∴四边形EGFH是矩形．
23．（2021春•东丽区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）
（1）当t＝2时，PQ的长为 2 ；
（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；
（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．
【解答】解：（1）如图所示：作PH⊥AB于H，
由题意得，DP＝4，AQ＝2，
则QH＝2，又PH＝AD＝6，
由勾股定理得，PQ＝＝＝2，
故答案为：2；
（2）当PQ＝PB时，
如图，QH＝BH，
则t+2t＝8，
解得，t＝；
（3）当PQ＝BQ时，
（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2，
解得，t＝．
24．（2022•长春一模）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求▱ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴CD﹣CF＝AB﹣AE，
∴DF＝BE且DC∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝2，DE＝AE＝2，
由（1）得：四边形DFBE是矩形，
∴BF＝DE＝2，∠ABF＝90°，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，
∴AB＝BF＝×2＝6，
∴▱ABCD的面积＝AB×DE＝6×2＝12．
25．（2021春•梁山县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+75°＝135°；
（3）解：作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵∠OCB＝30°，AB＝2，
∴BC＝2，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△BOE的面积＝•EB•OF＝×（2﹣2）×1＝﹣1．
26．（2021春•阳谷县期末）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：EO＝OF；
（2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴EO＝FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO＝CO，
∴AO＝CO＝EO＝FO，
∴AO+CO＝EO+FO，
即AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形，
即当点O沿AC移动时，四边形AECF能成为一个矩形，此时，点O在AC的中点．
27．（2021春•长春期末）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：AC＝BE；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DC，
∴AB＝EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC＝BE；
（2）∵AB＝EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，
又∵∠AFC＝2∠D，
∴∠AFC＝2∠ABC，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
相关试卷
初中数学北师大版（2024）九年级上册2 视图随堂练习题： 这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册<a href="/sx/tb_c99911_t7/?tag_id=28" target="_blank">2 视图随堂练习题</a>，共24页。试卷主要包含了下列三视图所对应的直观图是等内容，欢迎下载使用。
数学1 投影综合训练题： 这是一份数学<a href="/sx/tb_c99910_t7/?tag_id=28" target="_blank">1 投影综合训练题</a>，共17页。
初中数学北师大版（2024）九年级上册8 图形的位似练习： 这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册<a href="/sx/tb_c99908_t7/?tag_id=28" target="_blank">8 图形的位似练习</a>，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
