北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》 专题2.6 一元二次方程应用-面积问题（专项训练）

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专题2.6 一元二次方程应用-面积问题（专项训练）1．（2020·上虞期末）如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道， 使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为144m²，那么通道的宽x应该满足的方程为(　　)A．(40+2x)(26+x)=40×26B．(40-x)(26-2x)=144×6C．144×6+40x+2×26x+2x²=40×26D．(40-2x)(26-x)=144×62．（2021·华安期末）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，根据题意所列方程正确的是（　　）A．x2+130x−1400=0 B．x2+65x−350=0C．x2−130x−1400=0 D．x2−65x−350=03．（2021·苍南期末）工人师傅给一幅长为120cm，宽为40cm的矩形书法作品装裱，作品的四周需要留白如图所示，已知左、右留白部分的宽度一样，上、下留白部分的宽度也一样，而且左侧留白部分的宽度是上面留白部分的宽度的2倍，使得装裱后整个挂图的面积为7000cm2．设上面留白部分的宽度为xcm，可列得方程为　 　。4．（2021·北京期末）若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积，则称这样的矩形为“优美矩形”.某公园在绿化时，工作人员想利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和长为38m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD，其中边AB，AD为篱笆，且AB大于AD．设AD为xm，依题意可列方程为　 　.5．（2021·恩阳模拟）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门.当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？6．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 594m2 ，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度． 7．（2019九上·宝安期中）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？8．如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米  2 ，问小路宽为多少米？ 9．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）（1）EF =　 　cm， GH=　 　cm；（用含x的代数式表示）（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长10．（2021·青岛月考）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．11．（2021·茂名月考）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的长方形花圃．（1）设花圃的一边AB为xm，则BC的长可用含x的代数式表示为　 　m；（2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？12．（2021·龙湾期中）如图，将一张长方形纸板ABCD剪去四个边角（阴影部分）后制作成一个有盖的长方体纸盒（无缝衔接），在剪去的四个边角中，左侧两个是边长为5cm的正方形，右侧两个是有一边长为5cm的长方形，且AD＝2AB，设AB＝xcm．（1）请用含x的代数式分别表示长方体纸盒底面的长和宽：EH＝　 　cm，EF＝　 　cm；（2） 若所制作的长方体纸盒的容积为1500cm3，求长方体纸盒的表面积．专题2.6 一元二次方程应用-面积问题（专项训练）1．（2020·上虞期末）如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道， 使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为144m²，那么通道的宽x应该满足的方程为(　　)A．(40+2x)(26+x)=40×26B．(40-x)(26-2x)=144×6C．144×6+40x+2×26x+2x²=40×26D．(40-2x)(26-x)=144×6【答案】D【解答】解：根据题意设小路的宽为x米可以用平移法，把小路进行平移，如图矩形EFGH即为草坪的面积草坪的面积为：144 × 6EH=40-2x，EF=26-x则面积为：（40-2x）（26-x）=144 × 6故答案为：D.2．（2021·华安期末）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，根据题意所列方程正确的是（　　）A．x2+130x−1400=0 B．x2+65x−350=0C．x2−130x−1400=0 D．x2−65x−350=0【答案】B【解答】依题意，设金色纸边的宽为xcm，则(80+2x)(50+2x)=5400，整理得出： x2+65x−350=0.故答案为：B.3．（2021·苍南期末）工人师傅给一幅长为120cm，宽为40cm的矩形书法作品装裱，作品的四周需要留白如图所示，已知左、右留白部分的宽度一样，上、下留白部分的宽度也一样，而且左侧留白部分的宽度是上面留白部分的宽度的2倍，使得装裱后整个挂图的面积为7000cm2．设上面留白部分的宽度为xcm，可列得方程为　 　。【答案】（120+4x）（40+2x）=7000【解答】解： 设上面留白部分的宽度为xcm ,根据题意列方程得：（120+4x）（40+2x）=7000;4．（2021·北京期末）若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积，则称这样的矩形为“优美矩形”.某公园在绿化时，工作人员想利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和长为38m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD，其中边AB，AD为篱笆，且AB大于AD．设AD为xm，依题意可列方程为　 　.【答案】(38−x)2=38x (无需写成一般式)【解答】∵AD=xm，且AB大于AD，∴AB=38-x，∵矩形ABCD是“优美矩形”，∴(38−x)2=x×2(38−x+x)2整理得： (38−x)2=38x .故答案为： (38−x)2=38x .5．（2021·恩阳模拟）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门.当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？【答案】当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，由题意得 x(25-2x+1)=80，化简，得x2-13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），当x=8时，26-2x=10＜12，答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米.6．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 594m2 ，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度． 【答案】1米【解答】解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为 (30−3x)m ，宽为 (24−2x)m ， 由已知得： (30−3x)⋅(24−2x)=594 ，解得： x1=1 ， x2=21 ，当 x=21 时， 30−3x=−33 ， 24−2x=−18 ，错误舍去，即 x=1 ．答：人行通道的宽度为1米。7．（2019九上·宝安期中）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？【答案】（1）AB=-2x+44（2）AD长为6米，AB长为32米．【解答】（1）解：∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x， ∴AB=-2x+44（2）解：由题意得，（-2x+44）•x=192， 即2x2-44x+192=0，解得x1=6，x2=16，∵x2=16＞ 443 （舍去），∴AD=6，∴AB=-2×6+44=32．答：AD长为6米，AB长为32米．8．如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米  2 ，问小路宽为多少米？ 【答案】1米【解答】解：设小路宽为x米，则种植草坪的六块区域可合成长为 (32−2x) 米、宽为 (20−x) 米的矩形， 根据题意得： (32−2x)(20−x)=570 ，整理得： x2−36x+35=0 ，解得： x1=1 ， x2=35( 错误，舍去 ) ．答：小路宽为1米．9．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）（1）EF =　 　cm， GH=　 　cm；（用含x的代数式表示）（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长【答案】（1） （1）（30-2x）；（20-x）（2）5cm.【解答】（1）（30-2x）；（20-x）（2）解：依题意，得（30-2x）（20-x）=300， 整理，得x2-35x+150=0，解得x1=5，x2=30（不合题意，舍去）答：剪掉的小正方形的边长为5cm.10．（2021·青岛月考）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．【答案】（1） 24﹣3x（2） 长为9米，宽为5米【解答】（1）24﹣3x（2）解：由题意可得：（22﹣3x+2）x=45， 解得：x1=3；x2=5，∴当AB=3时，BC=15＞14，不符合题意舍去，当AB=5时，BC=9，满足题意．答：花圃的长为9米，宽为5米．11．（2021·茂名月考）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的长方形花圃．（1）设花圃的一边AB为xm，则BC的长可用含x的代数式表示为　 　m；（2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？【答案】（1）30－3x（2）AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．【解答】（1）30－3x（2）解：由题意得：﹣3x2+30x＝63． 解此方程得x1＝7，x2＝3．当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；故当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．12．（2021·龙湾期中）如图，将一张长方形纸板ABCD剪去四个边角（阴影部分）后制作成一个有盖的长方体纸盒（无缝衔接），在剪去的四个边角中，左侧两个是边长为5cm的正方形，右侧两个是有一边长为5cm的长方形，且AD＝2AB，设AB＝xcm．（1）请用含x的代数式分别表示长方体纸盒底面的长和宽：EH＝　 　cm，EF＝　 　cm；（2） 若所制作的长方体纸盒的容积为1500cm3，求长方体纸盒的表面积．【答案】（1） x-5；x-10（2）950cm2. （2）950cm2.【解答】（1）x-5；x-10（2）解：容积为：EF×EH×5=5x−5x−10=1500， 解得x1=25；x2=-10（不合题意，舍去），∴AB=25cm，∴EF=15cm，EH=20cm， 故表面积为15×20+15×5+20×5×2=950cm2.