北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》 专题4.1 图形的相似（知识解读）

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专题4.1 图形的相似（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【知识点梳理】考点1 比例线段1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．考点2 黄金分割比1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.注意：一条线段的黄金分割点有两个. 考点2 相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).注意：　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等；考点3 相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．【典例分析】【考点1 比例性质】【典例1】已知，则的值为（　　）A． B．2.5 C． D．【变式1-1】已知，则下列结论一定成立的是（　　）A．x＝6，y＝7 B． C．y﹣x＝1 D．【变式1-2】若，则的值等于（　　）A． B． C． D．5【变式1-3】已知：x：4＝y：5＝z：6，则（x+y）：（y+z）＝（　　）A．2：3 B．4：5 C．9：11 D．5：11【考点2 比例线段】【典例2】已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（　　）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4【变式2-1】下列各组中的四条线段成比例的是（　　）A．2cm，3cm，4cm，6cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．1cm，2cm，3cm，4cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【变式2-1】若线段a＝2cm，线段b＝8cm，则a，b的比例中项c为（　　）A．4cm B．5cm C．6cm D．32cm【变式2-2】如果，且b是a和c的比例中项，那么等于（　　）A． B． C． D．【考点3 黄金分割比】【典例3】作出线段的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）【变式3】如图，设线段AC＝1.（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？【典例4】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（　　）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【变式4-1】已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（　　）A． B． C．3﹣ D．﹣1【变式4-2】P是线段AB上一点（AP＞BP），且满足＝，则称点P是线段AB的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），求叶柄BP的长度．设BP＝xcm，则符合题意的方程是（　　）A．（10﹣x）2＝10x B．x2＝10（10﹣x） C．x（10﹣x）＝102 D．10（1﹣x）2＝10﹣x【变式4-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，AB的垂直平分线DE交AC于点E．若AB＝4，则CE的长度为（　　）A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．6﹣2【考点4 相似图形】【典例5】下列图形中，不是相似图形的一组是（　　）A． B． C． D．【变式5-1】下列各组中两个图形不一定相似的是（　　）A．有一个角是120°的两个等腰三角形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是35°的两个等腰三角形 D．两个等边三角形【变式5-2】如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）A．135° B．90° C．60° D．45°【变式5-3】如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【考点5 相似多边形的性质】【典例6】若两个相似三边形的周长之比为1：2，则它们的面积之比为（　　）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【变式6-1】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于（　　）A．70° B．80° C．110° D．120°【变式6-2】若两个相似多边形的面积比为4：9，则它们的对应边的比是（　　）A．3：2 B．2：3 C．9：4 D．4：94【变式6-3】两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（　　）A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2 专题4.1 图形的相似（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【知识点梳理】考点1 比例线段1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．考点2 相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).注意：　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等；考点3 相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．【典例分析】【考点1 比例性质】【典例1】已知，则的值为（　　）A． B．2.5 C． D．【答案】A【解答】解：∵，∴＝1+＝1+＝，故选：A．【变式1-1】已知，则下列结论一定成立的是（　　）A．x＝6，y＝7 B． C．y﹣x＝1 D．【答案】B【解答】解：∵，∴设x＝6k，y＝7k，A、x＝6，y＝7，故A不符合题意；B、＝＝，故B符合题意；C、y﹣x＝7k﹣6k＝k，故C不符合题意；D、＝，＝，∴≠，故D不符合题意；故选：B．【变式1-2】若，则的值等于（　　）A． B． C． D．5【答案】A【解答】解：∵，∴＝，∴＝+1＝+1＝；故选A．【变式1-3】已知：x：4＝y：5＝z：6，则（x+y）：（y+z）＝（　　）A．2：3 B．4：5 C．9：11 D．5：11【答案】C【解答】解：设x：4＝y：5＝z：6＝k，则x＝4k，y＝5k，z＝6k，则（x+y）：（y+z）＝（4k+5k）：（5k+6k）＝9：11；故选：C．【考点2 比例线段】【典例2】已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（　　）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4【答案】A【解答】解：∵a、b、c、d四条线段是成比例的线段，∴＝，∵a＝3，b＝0.6，c＝2，∴＝解得：d＝0.4．故选：A【变式2-1】下列各组中的四条线段成比例的是（　　）A．2cm，3cm，4cm，6cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．1cm，2cm，3cm，4cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【答案】A【解答】解：A、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，故符合题意；B、∵2×5≠4×3，∴四条线段不成比例，故不符合题意；C、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，故不符合题意；D、∵3×9≠4×6，∴四条线段不成比例，故不符合题意．故选：A．【变式2-2】若线段a＝2cm，线段b＝8cm，则a，b的比例中项c为（　　）A．4cm B．5cm C．6cm D．32cm【答案】A【解答】解：由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．则c2＝ab，即c2＝2×8，解得c＝4，（线段是正数，负值舍去）．故选：A．【变式2-3】如果，且b是a和c的比例中项，那么等于（　　）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵，b是a和c的比例中项，即a：b＝b：c，∴＝．故选：D．【考点3 黄金分割比】【典例3】作出线段的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）【解答】 解：如图，点即为所求．【点拨】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解和作图．【变式3】如图，设线段AC＝1.（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？【解答】 解：（1）如图，点B为所作；（2）点B是线段AC的黄金分割点．理由如下：设AC＝1，则CD，∴DE＝DC，∵AD=，∴AE＝AD﹣DE，∴AB， BC，即，∴点B是线段AC的黄金分割点．【典例4】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（　　）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【答案】B【解答】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），经检验，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故选：B．【变式4-1】已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（　　）A． B． C．3﹣ D．﹣1【答案】D【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，故选：D．【变式4-2】P是线段AB上一点（AP＞BP），且满足＝，则称点P是线段AB的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），求叶柄BP的长度．设BP＝xcm，则符合题意的方程是（　　）A．（10﹣x）2＝10x B．x2＝10（10﹣x） C．x（10﹣x）＝102 D．10（1﹣x）2＝10﹣x【答案】A【解答】解：∵AB＝10cm，BP＝xcm，∴AP＝（10﹣x）cm，∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP2＝BP×AB，即（10﹣x）2＝10x，故选：A【变式4-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，AB的垂直平分线DE交AC于点E．若AB＝4，则CE的长度为（　　）A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．6﹣2【答案】D【解答】解：∵AB＝AC＝4，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝36°，∴∠CBE＝∠A，∵∠C＝∠C，∴△CBE∽△CAB，∴CE：CB＝CB：CA，∵∠CEB＝∠A+∠ABE＝72°，∴∠CEB＝∠C，∴BC＝BE＝AE，∴CE：AE＝AE：CA，∴点E是线段AC的黄金分割点，且AE＞CE，∴AE＝AC＝2﹣2，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2，故选：D．【考点4 相似图形】【典例5】下列图形中，不是相似图形的一组是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；故选：D．【变式5-1】下列各组中两个图形不一定相似的是（　　）A．有一个角是120°的两个等腰三角形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是35°的两个等腰三角形 D．两个等边三角形【答案】C【解答】解：A、有一个角是120°的两个等腰的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；B、两个等腰直角的三组角分别对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，不符合题意；C、各有一个角是35°的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是35°，而另一个等腰三角形的顶角是35°，则两个三角形一定不相似，符合题意；D、两个等边三角形的各内角都为60°，所以两等边三角形相似，不符合题意；故选：C．【变式5-2】如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）A．135° B．90° C．60° D．45°【答案】D【解答】解：∵AB＝、AC＝，BC＝5，DE＝、EF＝2，DF＝，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠DEF＝180°﹣45°＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝45°．故选：D．【变式5-3】如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解答】解：由题意，两个矩形相似，∴＝或＝，解得x＝3或0（0不符合题意舍去），故选：A．【考点5 相似多边形的性质】【典例6】若两个相似三边形的周长之比为1：2，则它们的面积之比为（　　）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【答案】A【解答】解：相似多边形的周长的比是1：2，周长的比等于相似比，因而相似比是1：2，面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4；故选：A．【变式6-1】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于（　　）A．70° B．80° C．110° D．120°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，∴∠E＝∠A＝80°，∠G＝∠C＝90°，∴∠H＝360°﹣∠E﹣∠F﹣∠G＝360°﹣80°﹣70°﹣90°＝120°，故选：D．【变式6-2】若两个相似多边形的面积比为4：9，则它们的对应边的比是（　　）A．3：2 B．2：3 C．9：4 D．4：94【答案】B【解答】解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，∴它们的对应边的比2：3，故选：B．【变式6-3】两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（　　）A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2【答案】C【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4，∴两个相似多边形的相似比是3：4，∴两个相似多边形的面积比是9：16，∵较小多边形的面积为18cm2，∴较大多边形的面积为32cm2，故选：C．