初中数学北师大版（2024）九年级上册1 反比例函数当堂检测题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册1 反比例函数当堂检测题，共18页。

【学习目标】
理解反比例函数的概念和意义；
2.掌握反比例的图像和性质，并能解决相关问题
【知识点梳理】
考点1 反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
考点2 反比例的图像和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
注意：
（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
注意：
（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
（2）反比例的图像关于原点的对称
【典例分析】
【考点1 反比例的定义】
【典例1】 写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数.
（1）当圆锥的体积是150cm³时，它的高（cm）与底面积（cm²）的函数关系式；
（2）功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系式；
（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数与该班同学每天制作的数量之间的函数关系式；
【变式1-1】写出下列函数关系式，判断其是否是反比例函数，如果是，指出比例系数．
(1)功是50J时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系；
(2)如果密铺地面使用面积为xcm2的长方形地砖，铺得的面积为acm2(a＞0)，那么所需的地砖块数y与x之间的函数关系．
【变式1-2】一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y与x之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．二次函数
【变式1-3】（2022春•满洲里市期末）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝3x
【典例2】（2021春•蓬莱市期末）如果函数y＝x2m﹣1为反比例函数，则m的值是（ ）
A．﹣1B．0C．D．1
【变式2-1】（2021•南岗区校级开学）下面每个选项中的两种量成反比例的是（ ）
A．A和B互为倒数
B．圆柱的高一定，体积和底面积
C．被减数一定，减数和差
D．除数一定，商和被除数
【变式2-2】（2021秋•寿光市校级月考）已知函数是反比例函数，则n的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．±2
【变式2-3】（2020秋•合肥期末）已知y与x成反比例函数，且x＝2时，y＝3，则该函数表达式是（ ）
A．y＝6xB．y＝C．y＝D．y＝﹣
【考点2 反比例的图像和性质】
【典例3】（2022•香坊区校级三模）对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．它的图象在第二、四象限
B．点（1，﹣3）在它的图象上
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减少
【变式3-1】（2022•阿城区模拟）已知反比例函数y＝﹣的图象，当x＞0时，这个函数图象位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式3-2】（2022春•昆山市校级期末）已知反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图像经过点（2，﹣4）
B．图像分别在二、四象限
C．y≤1时，x≥﹣8
D．在每个象限内y随x增大而增大
【典例4】（2021秋•高新区校级期末）若反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＜6B．k＞﹣6C．k＞6D．k＜﹣6
【变式4-1】（2021秋•老河口市期末）如果反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．a＜2D．a＞2
【变式4-2】（2022春•东海县期末）反比例函数的图象分布在第二、四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3B．a＞﹣3C．a≤﹣3D．a≥﹣3
【变式4-3】（2022•青山区模拟）已知反比例函数，当x＜0时，y随x增大而减小，则a的值可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例5】（2022•广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（ ）
A．y1B．y2C．y3D．y4
【变式5-1】（2020秋•东莞市校级期末）已知点（3，y1），（﹣2，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2
【变式5-2】（2021秋•福清市期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜0B．0＜y1＜y2C．y2＜y1＜0D．0＜y2＜y1
【变式5-3】（2022•河池模拟）已知反比例函数y＝，当﹣2＜x＜﹣1，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣3＜y＜0B．﹣2＜y＜﹣1C．﹣10＜y＜﹣5D．y＞﹣10
【典例6】正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（2，1）
【变式6-1】如图，双曲线y＝与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
【变式6-2】如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（ ）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1
【变式6-3】（2022•荆州一模）平面直角坐标系中，下列函数的图象关于原点对称的是（ ）
A．y＝x2B．C．y＝2x﹣4D．y＝﹣x（x＞0）
专题6.1 反比例（知识解读1）
【直击考点】

【学习目标】
理解反比例函数的概念和意义；
2.掌握反比例的图像和性质，并能解决相关问题
【知识点梳理】
考点1 反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
考点2 反比例的图像和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
注意：
（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
注意：
（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
（2）反比例的图像关于原点的对称
【典例分析】
【考点1 反比例的定义】
【典例1】 写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数.
（1）当圆锥的体积是150cm³时，它的高（cm）与底面积（cm²）的函数关系式；
（2）功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系式；
（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数与该班同学每天制作的数量之间的函数关系式；
【解答】
（1）∵hS=450，∴，∴比例系数为450.
（2）∵Fs=W，∴，∴比例系数为.
（3）∵xy=1000，∴，∴比例系数为1000.
【变式1-1】写出下列函数关系式，判断其是否是反比例函数，如果是，指出比例系数．
(1)功是50J时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系；
(2)如果密铺地面使用面积为xcm2的长方形地砖，铺得的面积为acm2(a＞0)，那么所需的地砖块数y与x之间的函数关系．
【解答】(1)∵Fs＝50，
∴F＝，是反比例函数，比例系数为50；
(2)∵xy＝a，
∴y＝，是反比例函数，比例系数为a.
【变式1-2】一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y与x之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．二次函数
【答案】D
【解答】解：根据题意得：y＝（x+2）2﹣22＝x2+4x，
即y与x之间满足的函数关系是二次函数，
故选：D．
【变式1-3】（2022春•满洲里市期末）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝3x
【答案】C
【解答】解：A、为正比例函数，不符合题意；
B、y与x+1成反比例，不符合题意；
C、符合反比例函数的定义，符合题意；
D、为正比例函数，不符合题意；
故选：C．
【典例2】（2021春•蓬莱市期末）如果函数y＝x2m﹣1为反比例函数，则m的值是（ ）
A．﹣1B．0C．D．1
【答案】B
【解答】解：∵y＝x2m﹣1是反比例函数，
∴2m﹣1＝﹣1，
解之得：m＝0．
故选：B．
【变式2-1】（2021•南岗区校级开学）下面每个选项中的两种量成反比例的是（ ）
A．A和B互为倒数
B．圆柱的高一定，体积和底面积
C．被减数一定，减数和差
D．除数一定，商和被除数
【答案】A
【解答】解：A．因为A和B互为倒数，所以A×B＝1，符合题意；
B．圆柱的体积÷底面积＝高，不是乘积，不符合题意；
C．减数+差＝被减数，不是乘积，不符合题意；
D．被除数÷商＝除数，不是乘积，不符合题意．
故选：A．
【变式2-2】（2021秋•寿光市校级月考）已知函数是反比例函数，则n的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．±2
【答案】A
【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴n2﹣2＝﹣1，且n+1≠0，
解得n＝1，
故选：A．
【变式2-3】（2020秋•合肥期末）已知y与x成反比例函数，且x＝2时，y＝3，则该函数表达式是（ ）
A．y＝6xB．y＝C．y＝D．y＝﹣
【答案】C
【解答】解：把x＝2，y＝3代入得k＝6，
所以该函数表达式是y＝．
故选：C．
【考点2 反比例的图像和性质】
【典例3】（2022•香坊区校级三模）对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．它的图象在第二、四象限
B．点（1，﹣3）在它的图象上
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减少
【答案】D
【解答】解：A、k＝﹣3＜0，
∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
B、∵x＝1时，y＝﹣＝﹣3，
∴点（1，﹣，3）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；
C、k＝﹣3＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意；
D、k＝﹣3＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【变式3-1】（2022•阿城区模拟）已知反比例函数y＝﹣的图象，当x＞0时，这个函数图象位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，
∴比例函数y＝﹣的图象，当x＞0时，位于第四象限．
故选：D．
【变式3-2】（2022春•昆山市校级期末）已知反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图像经过点（2，﹣4）
B．图像分别在二、四象限
C．y≤1时，x≥﹣8
D．在每个象限内y随x增大而增大
【答案】C
【解答】解：A、当x＝2时，y＝﹣4，即反比例函数y＝﹣的图像经过点（2，﹣4），说法正确；
B、因为反比例函数y＝﹣中的k＝﹣8，所以图像分别在二、四象限，说法正确；
C、y≤1时，x≤﹣8或x＞0，故C说法不正确；
D、因为反比例函数y＝﹣中的k＝﹣8，所以在每个象限内y随x增大而增大，说法正确；
故选：C
【典例4】（2021秋•高新区校级期末）若反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＜6B．k＞﹣6C．k＞6D．k＜﹣6
【答案】C
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，
∴6﹣k＜0，
解得：k＞6，
故选：C．
【变式4-1】（2021秋•老河口市期末）如果反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．a＜2D．a＞2
【答案】D
【解答】解：∵反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，
∴a﹣2＞0，
解得：a＞2，
故选：D．
【变式4-2】（2022春•东海县期末）反比例函数的图象分布在第二、四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3B．a＞﹣3C．a≤﹣3D．a≥﹣3
【答案】A
【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，
∴a+3＜0，
解得：a＜﹣3．
故选：A．
【变式4-3】（2022•青山区模拟）已知反比例函数，当x＜0时，y随x增大而减小，则a的值可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：∵反比例函数，当x＜0时，y随x增大而减小，
∴2﹣a＞0，
解得：a＜2，
故a的值可能是1．
故选：A．
【典例5】（2022•广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（ ）
A．y1B．y2C．y3D．y4
【答案】D
【解答】解：∵k＝4＞0，
∴在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，且1＜2＜3＜4，
∴y4最小．
故选：D．
【变式5-1】（2020秋•东莞市校级期末）已知点（3，y1），（﹣2，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2
【答案】A
【解答】解：∵k＝﹣6＜0，
∴图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，
∴y2＞0，y3＜y1＜0，
∴y3＜y1＜y2，
故选：A．
【变式5-2】（2021秋•福清市期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜0B．0＜y1＜y2C．y2＜y1＜0D．0＜y2＜y1
【答案】A
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣2＜0，
∴在同一个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，且0＜x1＜x2，
∴y1＜y2＜0，
故选：A．
【变式5-3】（2022•河池模拟）已知反比例函数y＝，当﹣2＜x＜﹣1，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣3＜y＜0B．﹣2＜y＜﹣1C．﹣10＜y＜﹣5D．y＞﹣10
【答案】C
【解答】解：∵k＝10，且﹣2＜x＜﹣1，
∴在第三象限内，y随x的增大而减小，
当x＝﹣2时，y＝﹣5，
当x＝﹣1时，y＝﹣10，
∴﹣10＜y＜﹣5，
故选：C．
【典例6】正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（2，1）
【答案】A
【解答】解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．
故选：A．
【变式6-1】如图，双曲线y＝与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
【答案】B
【解答】解：∵点A与B关于原点对称，
∴A点的坐标为（2，3）．
故选：B．
【变式6-2】如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（ ）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1
【答案】B
【解答】解：把x＝1代入y＝，得y＝3，故A点坐标为（1，3）；
∵A、B关于y＝x对称，则B点坐标为（3，1）；
又∵B和C关于原点对称，
∴C点坐标为（﹣3，﹣1），
∴点C的横坐标为﹣3．
故选：B．
【变式6-3】（2022•荆州一模）平面直角坐标系中，下列函数的图象关于原点对称的是（ ）
A．y＝x2B．C．y＝2x﹣4D．y＝﹣x（x＞0）
【答案】B
【解答】解：A、y＝x2，关于y轴对称，此选项不符合题意；
B、，两个分支处在一、三象限，关于原点对称，此选项符合题意；
C、y＝2x﹣4，过一、三、四象限，此选项不符合题意；
D、y＝﹣x（x＞0），第四象限的角平分线，此选项不符合题意．
故选：B．