苏科版八年级数学上册举一反三系列专题7.5期中真题重组卷(考查范围：第1~3章)特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册举一反三系列专题7.5期中真题重组卷(考查范围：第1~3章)特训(原卷版+解析)，共42页。

【苏科版】
考试时间：90分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握所学内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·四川·麓山师大一中七年级期中）如图：要测河岸相对两点A、B间距离，先从B出发与AB成90°角方向，向前走50米到C立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为17米．这一作法的理论依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
2．（3分）（2022·广东广州·八年级期中）如图，AC＝DC，∠1＝∠2，添加下面一个条件不能使△ABC≌△DEC的是（ ）
A．BC＝ECB．∠A＝∠DC．DE＝ABD．∠DEC＝∠ABC
3．（3分）（2022·福建三明·八年级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E，已知△ABC与△BCE的周长分别为20cm和12cm，则BD的长为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
4．（3分）（2022·广东·佛山市顺德养正学校八年级期中）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个．
A．4个B．6个C．8个D．10个
5．（3分）（2022·江西赣州·八年级期中）如图，△ ABC和△ DCE都是边长为6的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A．23B．4C．43D．63
6．（3分）（2022·江苏·八年级专题练习）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为92，则BD2的值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
7．（3分）（2022·江苏·八年级专题练习）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为92，则BD2的值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
8．（3分）（2022·广东·珠海市紫荆中学八年级期中）如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．AN与CM交于点B，BM与CN交于点F，AN与BM交于点D．下列结论：①AN = BM；②EF∥AB；③CE = BF；④CD⊥EF；⑤DC平分∠ADB．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③⑤C．①③⑤D．①②③④⑤
9．（3分）（2022·四川·威远县凤翔中学八年级期中）如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（ ）
A．4B．3C．2D．1.5
10．（3分）（2022·湖北武汉·八年级期中）如图，在边长为6cm的等边△ABC中，点D从A出发沿A→B的方向以1cm/s的速度运动，点E从B出发沿B→C的方向以2cm/s的速度运动，D，E两点同时出发，当点E到达点C时，D，E两点停止运动，以DE为边作等边△DEF（D，E，F按逆时针顺序排列），点N为线段AB上一动点，点M为线段BC的中点，连MF，NF，当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为（ ）
A．5cmB．4.5cmC．4cmD．3cm
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·全国·八年级）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．∠ABC的角平分线交AC于点E，AD⊥BE交BE于点F，交BC于点D．O为BC的中点，连接OF，若DF＝a，EF＝b，则BF＝__________．（用含a，b的式子表示）
12．（3分）（2022·河南信阳·八年级期中）如图，已知∠1＝∠2，AD＝AE，那么图中共有______对全等三角形．
13．（3分）（2022·四川·威远县凤翔中学八年级期中）如图，在△ABC中，BH⊥AC交AC于点H，CD平分∠ACB交BH于点D，△DCH的面积为4，△BCD的面积为8，CH=3，则BC的长为 _____．
14．（3分）（2022·浙江台州·八年级期中）如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，则∠DAB+∠CAB的度数是______度．
15．（3分）（2022·江苏苏州·九年级专题练习）如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为射线CB上的动点，AE=AD且AE⊥ AD,BE与AC所在的直线交于点P，若AC=3PC，则BD和CD的数量关系为_______．
16．（3分）（2022·河南南阳·八年级期中）如图，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=50°，O是∠BAC的平分线上的一点，且OA=OB，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEF的度数是__．
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（6分）（2022·天津北京师范大学静海附属学校八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AE=CF，BE=DF；AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：AD=BC.
18．（6分）（2022·河北沧州·八年级期中）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点．
(1)求证：DE⊥MN；
(2)若BC=5，MN=3，求DE．
19．（6分）（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学八年级期中）如图，在8×8的正方形网中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）
(2)若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P有_____个
(3)在直线l上找到一点Q，使QB+QC的值最小（保作图痕迹）
(4)△ABC的形状是_______三角形，面积为 ______
20．（8分）（2022·河北唐山·八年级期中）如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上载取BF=AC，延长CE至点G使CG=AB，连接AF，AG．
(1)如图1，求证：AG=AF；求∠GAF的度数；
(2)如图2，若BD恰好平分∠ABC，过点G作GH⊥AC交CA的延长线于点H．直接写出：①图中与AD相等的线段；②图中DH、DF、GH之间的数量关系．
21．（8分）（2022·湖北咸宁·八年级期中）已知△ABC为等腰三角形，AC＝BC，△ACE为等边三角形．
(1)如图①，若∠ABC＝70°，则∠CAB的大小＝ （度），∠EAB的大小＝ （度）；
(2)如图②，△BDC为等边三角形，AE与BD相交于点F，求证FA＝FB．
22．（9分）（2022·河北唐山·八年级期中）如图1，△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，∠BAC=50°．
(1)求∠BGC的度数；
(2)如图2，连结AG，求证：AG平分∠BAC；
(3)若△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点H，连结AH，那么∠BHC是多少度？AH平分∠BAC吗？（直接写出结论）．
23．（9分）（2022·甘肃平凉·八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为海港，且点C与直线l上的两点A，B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域．已知台风运动速度为72km/h．
(1)求∠ACB的度数；
(2)求海港C到直线AB的最短距离；
(3)海港C受台风影响吗？若受影响请计算受影响时间，若不受影响请说明理由．
24．（10分）（2022·北京师大附中八年级期中）阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题：
(1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形；
(2)如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab；
(3)观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______．
25．（10分）（2022·全国·八年级期中）如图1，已知：在△ABC中，AD⊥BC．点D为BC的中点，且∠BAC＝2∠B．
(1)∠B的度数为______；
(2)点E为AC上一点，连接DE并延长至F，连接CF，过C作CH⊥DF于H，当H在线段EF上时，若DH＝CF+HF，探究∠F与∠FDC之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图2，在（2）的条件下，在AD上取点P，连接CP，使得∠2＝∠F，将线段EF沿着EC折叠并延长交BC于点G，当CP：PD＝12：5，GC﹣PD＝3时，求GC的长．
2022-2023学年八年级数学上册期中真题重组卷
（考查范围：第1~3章）
【苏科版】
号：2149452一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·四川·麓山师大一中七年级期中）如图：要测河岸相对两点A、B间距离，先从B出发与AB成90°角方向，向前走50米到C立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为17米．这一作法的理论依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】C
【分析】根据已知条件∠ABC＝∠EDC＝90°，CD＝BC，∠ACB＝∠ECD，判断△ABC≌△EDC的依据即可．
【详解】解：∵先从B处出发与AB成90°角方向，
∴∠ABC=90°，
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠EDCBC=CD∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=DE，
∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17
∴AB=17．
以上过程中，证明△ABC≌△EDC用到的条件是：∠ABC＝∠EDC＝90°，CD＝BC，∠ACB＝∠ECD，
∴用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．（3分）（2022·广东广州·八年级期中）如图，AC＝DC，∠1＝∠2，添加下面一个条件不能使△ABC≌△DEC的是（ ）
A．BC＝ECB．∠A＝∠DC．DE＝ABD．∠DEC＝∠ABC
【答案】C
【分析】由∠1＝∠2得∠1+∠ACE=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠DCE，要判定△ABC≌△DEC，已具备了一组对边和一组角相等，故添BC＝EC、∠A＝∠D、∠DEC＝∠ABC，可分别根据SAS、ASA、ASA判定△ABC≌△DEC，而添加DE＝AB后则不能．
【详解】解：A.若添BC＝EC，即可根据SAS判定全等，不符合题意；
B.若添∠A＝∠D，即可根据ASA判定全等，不符合题意；
C.若添DE＝AB，则是SSA，不能判定全等，符合题意；
D.若添∠DEC＝∠ABC，即可根据AAS判定全等，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
3．（3分）（2022·福建三明·八年级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E，已知△ABC与△BCE的周长分别为20cm和12cm，则BD的长为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，AD=BD=12AB，
∵△BCE的周长是12cm，
∴BC+BE+EC=12cm，即AC+BC=12cm，
∵△ABC的周长是20cm，
∴AB+AC+BC=20cm，
∴AB=20-12=8cm，
∴BD=12AB=12×8=4cm．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．（3分）（2022·广东·佛山市顺德养正学校八年级期中）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个．
A．4个B．6个C．8个D．10个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的定义判断即可．
【详解】解：如图，
AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，
AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4=8．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意AB是腰长与底边两种情况讨论求解．
5．（3分）（2022·江西赣州·八年级期中）如图，△ ABC和△ DCE都是边长为6的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A．23B．4C．43D．63
【答案】D
【分析】根据等边三角形性质求得∠CBD=∠CDB=30°，进而得到∠BDE=90°，在Rt△BDE中，根据勾股定理求出BD．
【详解】解：由△ ABC和△ DCE都是边长为6的等边三角形得：
BC=CD，∠BCD=180°−60°=120°，∠CDE=60°，
∴∠CBD=∠CDB=(180°−120°)÷2=30°，
∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°，
在Rt△BDE中，
DE=6,BE=BC+CE=12，
所以根据勾股定理可得：BD=BE2−DE2=122−62=63，
故选：D．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，求出∠BDE=90°是解题关键．
6．（3分）（2022·山东·宁津县德清中学八年级期中）一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为2cm，高为8cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（ ）cm
A．8B．9C．10D．12
【答案】C
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、B的最短距离为线段AB的长．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8cm，AC为底面半圆弧长，
AC=2π=6cm，
所以AB=AC2+BC2=10cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
7．（3分）（2022·江苏·八年级专题练习）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为92，则BD2的值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
【答案】A
【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．
【详解】解：由折叠得，AB=AE，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
AB=AE∠BAF=∠EAFAF=AF，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴BF=AB2−AF2=3，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴S△ADE=12AD⋅EF=12DG⋅ℎ+12EG⋅ℎ，
即S△ADG+S△AEG=12AD⋅EF，
∵S△AEG=12⋅GE⋅ℎ=92，S△ADG=S△AEG，
∴S△ADG+S△AEG=92+92=9，
∴9=12AD⋅3，
∴AD=6，
∴FD=AD−AF=6−4=2，
在Rt△BDF中，BF=3，FD=2，
∴BD2=BF2+FD2=32+22=13，
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的面积求出AD的长度是解答本题的关键．
8．（3分）（2022·广东·珠海市紫荆中学八年级期中）如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．AN与CM交于点B，BM与CN交于点F，AN与BM交于点D．下列结论：①AN = BM；②EF∥AB；③CE = BF；④CD⊥EF；⑤DC平分∠ADB．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③⑤C．①③⑤D．①②③④⑤
【答案】B
【分析】由“SAS”可证△ACN≌△MCB，可得AN＝BM，∠CMB＝∠CAN，故①正确；由“ASA”可证△ACE≌△MCF，可得CE＝CF，故③正确；可证△CEF是等边三角形，可得∠CEF＝∠CFE＝60°＝∠ACM，可证EF∥AB，故②正确；由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠MFC，可得∠CED+∠MFC＝180°，则可证DE不一定等于DF，即CD不一定垂直平分EF，故④错误；由全等三角形的性质可得SΔACN=SΔMCB，由面积公式可证CG＝CH，由“HL”可证Rt△CDG≌Rt△CDH，可得∠CDG＝∠CDH，故⑤正确，即可求解．
【详解】解：①∵△ACM、△BCN是等边三角形，
∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°，
∴∠ACN＝∠MCB，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM，∠CMB＝∠CAN，故①正确，
③∵∠ACM＝∠BCN＝60°，
∴∠MCN＝60°＝∠ACM，
又∵AC＝CM，∠CMB＝∠CAN，
∴△ACE≌△MCF（ASA），
∴CE＝CF，故③正确，
②∵∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF＝∠CFE＝60°，
∴∠FEC＝∠ACM＝60°，
∴EF∥AB，故②正确；
④∵△ACE≌△MCF，
∴∠AEC＝∠MFC，
∵∠AEC+∠CED＝180°，
∴∠CED+∠MFC＝180°，
∴∠CED不一定等于∠CFM，
∴∠DEF不一定等于∠DFE，
∴DE不一定等于DF，
又∵CE＝CF，
∴CD不一定垂直平分EF，故④错误；
⑤如图，过点C作CG⊥AN于G，CH⊥MB于H，
∵△ACN≌△MCB，
∴SΔACN=SΔMCB，
∴12AN×CG＝12BM×CH，
∴CH＝CG，
又∵CD＝CD，
∴Rt△CDG≌Rt△CDH（HL），
∴∠CDG＝∠CDH，
∴CD平分∠ADB，故⑤正确；
故选：B．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．（3分）（2022·四川·威远县凤翔中学八年级期中）如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（ ）
A．4B．3C．2D．1.5
【答案】C
【分析】利用ASA证明△ACD≌△BFD，得DF＝DC，再根据三角形面积可得CD的长，从而可得答案．
【详解】∵AD，BE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠DBF＝∠CAD，
在△ACD和△BFD中，
∠DBF=∠CADBD=AD∠BDF=∠ADC，
∴△ACD≌△BFD（ASA），
∴DF＝DC，
∵△ACD的面积为12，
∴12×CD×6=12，
∴CD＝4，
∴DF＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（3分）（2022·湖北武汉·八年级期中）如图，在边长为6cm的等边△ABC中，点D从A出发沿A→B的方向以1cm/s的速度运动，点E从B出发沿B→C的方向以2cm/s的速度运动，D，E两点同时出发，当点E到达点C时，D，E两点停止运动，以DE为边作等边△DEF（D，E，F按逆时针顺序排列），点N为线段AB上一动点，点M为线段BC的中点，连MF，NF，当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为（ ）
A．5cmB．4.5cmC．4cmD．3cm
【答案】B
【分析】先确定点F的运动路径，后确定点M关于直线的对称点，过对称点向AB作垂线，这条垂线段就是线段和的最小值，后计算即可．
【详解】如图，过点E作EH⊥AB于H，连接FC．
由题可得：∠BEH＝30°，AD＝1×t＝t（cm），BE=2t，CE＝(6-2t)（cm），
∴BH＝12BE＝t（cm），
∴DH＝AB-AD-BH=6-t-t=(6-2t)（cm），
∴DH＝EC．
∵△DEF，△ABC是等边三角形，
∴DE＝EF，∠DEF＝∠DBE =60°．
∴∠HDE+∠DEB＝120°，∠DEB+∠FEC＝120°，
∴∠HDE＝∠CEF．
在△DHE和△ECF中，
DE=EF∠HDE=∠DH=ECCEF，
∴△DHE≌△ECF（SAS），
∴∠DHE＝∠ECF＝90°，
∴F点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段CF，
作点M关于CF的对称点K，连接FK，过点K作KJ⊥AB于J，
∵FM+FN＝FK+FN≥KJ，
∴当点N与J重合，且点F在KJ上时，FM+FN的值最小，
∵M是BC的中点，
∴MC=CK=3，
∴BK＝BC+CK＝6+3＝9（cm），
∵∠KJB＝90°，∠B＝60°，
∴BJ＝BN=12BK＝9×12＝4.5（cm），
当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为4.5cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质，垂线段最短原理，三角形的全等，熟练确定动点的路径，把问题转化为线段和的最小值转化为垂线段最短原理是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·全国·八年级）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．∠ABC的角平分线交AC于点E，AD⊥BE交BE于点F，交BC于点D．O为BC的中点，连接OF，若DF＝a，EF＝b，则BF＝__________．（用含a，b的式子表示）
【答案】2a＋b
【分析】根据题意连接OA交BE于G．首先证明△ABF≌△CAD（ASA），推出AD=BG，再证明FG=EF，AF=DF即可得出答案.
【详解】解：连接OA交BE于G．
∵AB=AC，∠BAC=90°，OB=OC，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠ABO=∠OAC=∠C=45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABG=22.5°，
∵AD⊥BE，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=67.5°，
∴∠CAD=∠ABF=22.5°，
∵∠BAG=∠ACD，AB=AC，
∴△ABF≌△CAD（ASA），
∴AD=BG，
∵∠FGA=∠FAE=22.5°，∠AFG=∠AFE=90°，
∴∠AGF=∠AEF=67.5°，
∴AG=AE，∵AF⊥EG，
∴FG=FE，
∵∠BAF=∠BDF=67.5°，
∴BD=BA，∵BF⊥AD，
∴AF=DF，
∴AD=2OF=2a，
∴BF=BG+FG=AD+EF=2a+b，
故答案为：2a+b．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
12．（3分）（2022·河南信阳·八年级期中）如图，已知∠1＝∠2，AD＝AE，那么图中共有______对全等三角形．
【答案】3
【分析】根据AAS能推出△ADC≌△AEB，根据全等三角形的性质得出AB＝AC，CD＝BE，∠ADC＝∠AEB，求出BD＝CE，根据全等三角形的判定定理推出△BOD≌△COE，△BDE≌△CED即可．
【详解】解：全等三角形有3对，
理由是：在△ADC和△AEB中，
∠2=∠1∠A=∠AAD=AE，
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AB＝AC，CD＝BE，∠ADC＝∠AEB，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AB＝AE﹣AC，
∴BD＝CE，
在△BOD和△COE中，
∠BDO=∠CEO∠BOD=∠COEBD=CE，
∴△BOD≌△COE（AAS），
在△BDE和△CED中，
BD=CEBE=CDDE=ED，
∴△BDE≌△CED（SSS），
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
13．（3分）（2022·四川·威远县凤翔中学八年级期中）如图，在△ABC中，BH⊥AC交AC于点H，CD平分∠ACB交BH于点D，△DCH的面积为4，△BCD的面积为8，CH=3，则BC的长为 _____．
【答案】6
【分析】根据垂直的定义得到∠CHD＝90°，根据三角形的面积求得DH＝83，过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝83，于是得到结论．
【详解】解：∵BH⊥AC，
∴∠CHD＝90°，
∵△DCH的面积为4，CH＝3，
∴DH＝83，
过D作DE⊥BC于E，
∵CD平分∠ACB交BH于点D
∴DE＝DH＝83，
∵△BCD的面积为8，
∴12DE•BC＝12×83BC＝8，
∴BC＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．（3分）（2022·浙江台州·八年级期中）如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，则∠DAB+∠CAB的度数是______度．
【答案】45
【分析】作C点关于AB的对称点E，连接DE，由对称性知ΔABC≌ΔABE，得到∠CAB＝∠BAE，再结合网格利用勾股定理得出AD，DE，AE的长，进而利用勾股逆定理解答即可．
【详解】解：作C点关于AB的对称点E，连接AE，DE，如图所示：
由对称性知ΔABC≌ΔABE，
∴∠CAB＝∠BAE，
在正方形网格，每个小正方形的边长均为1，
在RtΔADG中，AG=3,DG=2，由勾股定理得：AD=22+32=13，
在RtΔDEF中，DF=3,EF=2，由勾股定理得：ED=22+32=13，
∴ AD=DE，
在RtΔABE中，AB=5,BE=1，由勾股定理得：AE=12+52=26，
∴AD2+DE2=13+13=26=AE2，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°＝∠DAB＋∠BAE＝∠DAB＋∠CAB，
故答案为：45．
【点睛】本题考查网格中运用勾股定理、勾股逆定理及等腰直角三角形的判定与性质，关键是根据勾股定理得出AD，DE，AE的长解答．
15．（3分）（2022·江苏苏州·九年级专题练习）如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为射线CB上的动点，AE=AD且AE⊥ AD,BE与AC所在的直线交于点P，若AC=3PC，则BD和CD的数量关系为_______．
【答案】BD=25CD或BD=2CD
【分析】分两种情况：①当点D位于CB延长线上时，如图：过点E作AP延长线的垂线于点M，可证△ADC≌△EAM和△BCP≌△EMP，可得PC=PM，CD=AM，由等腰三角形的性质及线段的和差关系可求解；②当点D位于CB之间时，如图：过点E作AP延长线的垂线于点N，同理①的方法可进行求解．
【详解】解：①当点D位于CB延长线上时，如图：过点E作AP延长线的垂线于点M，
∵等腰Rt△ABC，
∴AC=BC，
∴∠BCP=∠ACD=∠AME=90°，
∴∠ADC+∠DAC=90°，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90°，
∴∠DAC+∠EAM=90°，
∴∠ADC=∠EAM，
∵AD=AE，
∴△ADC≌△EAM（AAS），
∴CD=MA，AC=EM，
∴EM=BC，
∵∠BPC=∠EPM，∠BCP=∠EMP，
∴△BCP≌△EMP（AAS），
∴PC=PM，
∵CD=AM，AC=3PC，AC=BC，
∴设PC=PM=x，
∴AC=BC=3x，
∴CD=AM=5x，
∵CD=BD+BC，
∴BD=2x，
∴BD=25CD；
②当点D位于CB之间时，如图：过点E作AP延长线的垂线于点N，
同理①可易证△ADC≌△EAN，△BCP≌△ENP，
∴PC=PN，
∵CD=AN，AC=3PC，AC=BC，
∴设PC=PN=x，
∴AC=BC=3x，
∴CD=AN=x，
∵CD=BC-BD，
∴BD=2x，
∴BD=2CD；
故答案为BD=25CD或BD=2CD．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
16．（3分）（2022·河南南阳·八年级期中）如图，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=50°，O是∠BAC的平分线上的一点，且OA=OB，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEF的度数是__．
【答案】50°．
【分析】利用全等三角形的判定以及等腰三角形的性质得出∠OBC=40°，再根据ΔABO≅ΔACO得到∠OBC=∠OCB=40°，再利用翻折变换的性质得出EO=EC，∠CEF=∠FEO，进而求出∠OEF．
【详解】解：∵∠BAC=50°，OA平分∠BAC，
∴∠OAB=∠ABO=25°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=25°
∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠OBC=65°−25°=40°，
∵ AB=AC∠BAO=∠CAOAO=AO，
∴ΔABO≅ΔACO(SAS)，
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=40°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，∠CEF=∠FEO，
∴∠CEF=∠FEO=180°−2×40°2=50°，
故答案为：50°．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（6分）（2022·天津北京师范大学静海附属学校八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AE=CF，BE=DF；AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：AD=BC.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直的定义及全等三角形的判定和性质直接证明即可；
（2）由图中线段的数量关系得出DE=BF，再由全等三角形的判定和性质即可证明．
（1）
证明：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=∠CFB=90°，
在△ABE和△CDF中，
AE=CF∠AEB=∠CFDBE=DF
∴∆ABE≅∆CDF(SAS)；
（2）
证明：∵BE=DF，
∴DF＋EF=BE＋EF，
∴DE=BF，
在△ADE和△CBF中，
AE=CF∠AED=∠CFBDE=BF，
∴∆ADE≅∆CBF(SAS)；
∴AD=BC．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
18．（6分）（2022·河北沧州·八年级期中）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点．
(1)求证：DE⊥MN；
(2)若BC=5，MN=3，求DE．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接DM，DN．根据直角三角形的中线得到DM=DN，根据等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据勾股定理计算，得到答案．
（1）
证明：如图，连接DM，DN．
∵BN、CM分别是△ABC的两条高，
∴BN⊥AC，CM⊥AB，
∴∠BMC=∠CNB=90°，
∵D是BC的中点，
∴DM=12BC，DN=12BC，
∴DM=DN，
∵E为MN的中点，
∴DE⊥MN；
（2）
解：∵Rt△BMC中，BC=5，D是BC的中点，
∴DM=2.5，
∵点E是MN的中点，MN=3，
∴ME=1.5，
由勾股定理得：DE=2.52−1.52=2．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
19．（6分）（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学八年级期中）如图，在8×8的正方形网中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）
(2)若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P有_____个
(3)在直线l上找到一点Q，使QB+QC的值最小（保作图痕迹）
(4)△ABC的形状是_______三角形，面积为 ______
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)见解析
(4)等腰直角，5
【分析】（1）利用轴对称的性质，即可作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）依据格点P到点A、B的距离相等，作出AB的垂直平分线，经过的格点即为所求；
（3）根据两点之间，线段最短，连接B1C，与直线l的交点Q即为所求；
（4）根据勾股定理求出AB2，BC2，AC2，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，依据割补法进行计算，即可得到△ABC的面积．
（1）
解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）
解：如图所示，网格中满足条件的格点P共有4个；
故答案为：4；
（3）
解：如图所示，点Q即为所求；
（4）
解：∵AB2=42+22=20，BC2=12+32=10，AC2=12+32=10，
∴AB2=BC2+AC2且BC=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC =3×4−12×1×3−12×2×4−12×1×3 =5．
故答案为：等腰直角，5．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线的性质的运用、勾股定理及其逆定理、最短路径问题．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
20．（8分）（2022·河北唐山·八年级期中）如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上载取BF=AC，延长CE至点G使CG=AB，连接AF，AG．
(1)如图1，求证：AG=AF；求∠GAF的度数；
(2)如图2，若BD恰好平分∠ABC，过点G作GH⊥AC交CA的延长线于点H．直接写出：①图中与AD相等的线段；②图中DH、DF、GH之间的数量关系．
【答案】(1)见解析；90°
(2)①CD，GH；②DH=DF+GH
【分析】（1）先根据余角的性质证明∠ABF=∠ACG，再根据“SAS”证明△AGC≅△FAB，从而得出AG=AF，∠GAC=∠AFB，然后结合三角形外角的性质可得∠GAF=∠ADF，即可求解；
（2）①先根据“ASA”证明△ABD≅△CBD，可得AD=CD，根据余角的性质可得∠ABD=∠ECA，再根据“AAS”证明△ABD≅△GCH，可得AD=GH，从而得解；
②由①可得BD=CH，然后结合BF=CA得出DF=HA，再结合HD=HA+AD，AD=GH即可得出结论．
（1）
解：∵BD，CE分别是AC，AB边上的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠ACE，即∠ABF=∠ACG，
在△AGC和△FAB中，
CA=BF∠ACG=∠ABFCG=BA，
∴△AGC≅△FAB（SAS），
∴∠GAC=∠AFB，AG=AF，
又∠AFB=∠FAD+∠ADF，∠GAC=∠GAF+∠FAD，
∴∠GAF=∠ADF，
又BD是高，
∴∠ADF=90°，
∴∠GAF=90°；
（2）
解：①∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BD是高，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
又BD=BD，
∴△ABD≅△CBD（ASA），
∴AD=CD，
∵BD、CE是高，GH⊥AC，
∴∠ADB=∠AEC=∠H=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ACE+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠ECA，
又∠ADB=∠H，AB=GC，
∴△ABD≅△GCH（AAS），
∴AD=GH，
∴与AD相等的相等有CD和GH；
②由①知：△ABD≅△GCH，
∴BD=CH，
又BF=CA，
∴DF=HA，
又HD=HA+AD，AD=GH，
∴DH=DF+GH．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，正确的识别图形是解题的关键．
21．（8分）（2022·湖北咸宁·八年级期中）已知△ABC为等腰三角形，AC＝BC，△ACE为等边三角形．
(1)如图①，若∠ABC＝70°，则∠CAB的大小＝ （度），∠EAB的大小＝ （度）；
(2)如图②，△BDC为等边三角形，AE与BD相交于点F，求证FA＝FB．
【答案】(1)70，10
(2)见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠CAB=70°，再由等边三角形的性质得出∠CAE=60°，则可求出答案；
（2）由等边三角形的性质可得出结论．
（1）
∵AC＝CB，
∴∠ABC＝∠CAB＝70°，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠CAE＝60°，
∴∠EAB＝∠CAB﹣∠CAE＝70°﹣60°＝10°；
故答案为：70；10；
（2）
证明：∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵△ACE，△BDC都为等边三角形，
∴∠CAE＝∠CBD＝60°，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠CBA﹣∠CBD，
即∠FAB＝∠FBA，
∴FA＝FB．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
22．（9分）（2022·河北唐山·八年级期中）如图1，△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，∠BAC=50°．
(1)求∠BGC的度数；
(2)如图2，连结AG，求证：AG平分∠BAC；
(3)若△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点H，连结AH，那么∠BHC是多少度？AH平分∠BAC吗？（直接写出结论）．
【答案】(1)115°
(2)见解析
(3)∠BHC=65°，AH平分∠BAC
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠GBC+∠GCB，根据三角形内角和定理计算即可；
（2）过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，GQ⊥AC于Q，根据角平分线定理得到GM=GN，GN=GQ，推出GM=GQ，再根据角平分线的判定定理证得即可；
（3）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，得到外角∠CBP+∠BCL，根据角平分线的定义求出∠CBH+∠BCH，根据三角形内角和定理求出∠BHC；过点H作HP⊥AB于P，HK⊥BC于K，HL⊥AC于L，利用角平分线的性质定理及判定定理证得AH平分∠BAC．
（1）
解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵BE，CF是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠GBC=12∠ABC，∠GCB=12∠ACB，
∴∠GBC+∠GCB=12（∠ABC+∠ACB）=65°，
∴∠BGC=180°-65°=115°；
（2）
如图，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，GQ⊥AC于Q，
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠ACB，
∴GM=GN，GN=GQ，
∴GM=GQ，
∵GM⊥AB于M， GQ⊥AC于Q，
∴AG平分∠BAC；
（3）
∵∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠CBP+∠BCL=360°-（∠ABC+∠ACB）=230°，
∵BH，CH分别平分∠ABC和∠ACB的外角，
∴∠CBH=12∠CBP，∠BCH=12∠BCL，
∴∠CBH+∠BCH=12(∠CBP+∠BCL)=115°，
∴∠BHC=180°-115°=65°，
过点H作HP⊥AB于P，HK⊥BC于K，HL⊥AC于L，
∵BH，CH分别平分∠ABC和∠ACB的外角，
∴HP=HK，HK=HL，
∴HP=HL，
∵HP⊥AB于P， HL⊥AC于L，
∴AH平分∠BAC．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，角平分线的判定和性质定理的应用，正确运用各性质及判定定理解决问题是解题的关键．
23．（9分）（2022·甘肃平凉·八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为海港，且点C与直线l上的两点A，B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域．已知台风运动速度为72km/h．
(1)求∠ACB的度数；
(2)求海港C到直线AB的最短距离；
(3)海港C受台风影响吗？若受影响请计算受影响时间，若不受影响请说明理由．
【答案】(1)90°
(2)240km
(3)会影响，259h
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得到ΔACB是直角三角形，进而得到∠ACB的度数；
（2）利用面积不变，先求出三角形面积，再由底边长即可得到AB边上的高CG，此高即为海港C到直线AB的最短距离；
（3）利用（2）中的CG，由CG=240<260，即可判断海港C受台风影响，再根据勾股定理求出当CD=260时，DG的长，进而得到EG的长，由t=sv，即可得到时间．
（1）
在ΔACB中，AC=300km，BC=400km，AB=500km
∵AC2+BC2=AB2
∴ΔACB为Rt△，
∴∠ACB=90∘
（2）
如图，作CG⊥AB
∵SΔACB=AC⋅BC2
又∵SΔACB=AB⋅CG2
∴AC×BC=AB×CG
∵AC=300km，BC=400km，AB=500km
∴CG=AC×BCAB=240km
故海港C到直线AB的最短距离为240km
（3）
会影响
设DC=EC=260km
在RtΔDGC中，DG2=DC2−CG2
∵CG=240km，DC=260km
∴DG=2602−2402=100km
同理可得：EG=100km
∵DE=EG+DG
∴DE=200km
∵ s=vt
∵s=200km，v=72km/h
∴ t=259h
故受到影响时间为259h
【点睛】本题考查勾股定理再实际中的应用，由题意构造出直角三角形再利用勾股定理求解时关键．
24．（10分）（2022·北京师大附中八年级期中）阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题：
(1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形；
(2)如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab；
(3)观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______．
【答案】(1)不能
(2)＝；＞
(3)（ac＋bd）2＜（a2＋b2）（c2＋d2）
【分析】（1）分别计算正方形的面积和长方形的面积，比较两个图形的面积大小即可得解；
（2）如图3中，分别计算左边大正方形的面积和右边大正方形的面积，即可得a2+b2= c2，再利用 (a+b)2=a2+2ab+b2变形得a+b2≥2ab；
（3）如图4，先由完全平方公式和整式的乘法计算得（ac＋bd）2=a2c2+2abcd+b2d2，（a2＋b2）（c2＋d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2，（ad−bc）2=a2d2−2abcd+b2c2≥0，进而可得（ac＋bd）2≤（a2＋b2）（c2＋d2）．
（1）
解：如图1，图2，
∵S正方形=82=64，S长方形=5×13=65，
∴S正方形≠S长方形，
故答案为：不能；
（2）
解：如图3中，
左边大正方形的面积：S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2，右边大正方形的面积：S大正方形=c2+4×12 ab=c2+2ab，
∴a2+2ab+b2= c2+2ab，
∴a2+b2= c2，
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2 =(a+b)2-2ab，
∵a2+b2≥0，
∴a+b2−2ab≥0，
∴a+b2≥2ab，
故答案为：=，≥ ；
（3）
解：如图4，
（ac＋bd）2=a2c2+2abcd+b2d2，（a2＋b2）（c2＋d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2，（ad−bc）2=a2d2−2abcd+b2c2≥0，
∴a2d2+b2c2≥2abcd，
∴（ac＋bd）2≤（a2＋b2）（c2＋d2），
故答案为：（ac＋bd）2≤（a2＋b2）（c2＋d2）．
【点睛】本题考查了完全平方公式及勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
25．（10分）（2022·全国·八年级期中）如图1，已知：在△ABC中，AD⊥BC．点D为BC的中点，且∠BAC＝2∠B．
(1)∠B的度数为______；
(2)点E为AC上一点，连接DE并延长至F，连接CF，过C作CH⊥DF于H，当H在线段EF上时，若DH＝CF+HF，探究∠F与∠FDC之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图2，在（2）的条件下，在AD上取点P，连接CP，使得∠2＝∠F，将线段EF沿着EC折叠并延长交BC于点G，当CP：PD＝12：5，GC﹣PD＝3时，求GC的长．
【答案】(1)45°
(2)∠F＝2∠FDC，证明见解析
(3)10.5
【分析】（1）先证明AB＝AC，∠ACB＝∠B，再利用三角形内角和定理即可求解；
（2）在DH上取一点N使HN＝HF，先证明∠F＝∠CNF，再证明CN＝DN，进而得到∠FDC＝∠NCD，即可证明∠F＝2∠FDC；
（3）连接PB，证明∠BPD＝∠F，设PC与DF交于K，过点C作CM⊥EG于M，根据第（2）步结论设∠FDC＝α，得到∠F＝2α，∠BPD＝2α，进而证明∠PKD＝∠ADF，PK＝PD，从而证明△GMC≌△KHC，GC＝CK，由BP：PD＝12：5，设BP＝12x，PD＝5x，得到方程7x﹣5x＝3，解方程，即可求出GC＝7x＝10.5．
（1）
解：∵AD⊥BC，D为BC中点，
∴AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∵∠BAC＝2∠B，∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠B+2∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝45°；
（2）
解：∠F＝2∠FDC，
理由如下：
在DH上取一点N使HN＝HF，
∵CH⊥DF，HN＝HF，
∴CN＝CF，
∴∠F＝∠CNF，
∵DH＝CF+HF，DH＝DN+HN，
∴CF＝DN，
∵CN＝CF，CF＝DN，
∴CN＝DN，
∴∠FDC＝∠NCD，
∵∠CNF＝∠FDC+∠NCD，
∴∠F＝2∠FDC；
（3）
解：连接PB，
∵BD＝CD，AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴∠2＝∠BPD，
∴∠BPD＝∠F，
设PC与DF交于K，过点C作CM⊥EG于M，
由（2）知∠F＝2∠FDC，设∠FDC＝α，则∠F＝2α，
∵∠BPD＝∠F，
∴∠BPD＝2α，
∵AD⊥BC，D为BC中点，
∴BP＝CP，∠PCD＝∠PBD，
∵∠BPD＝2α，
∴∠PCD＝∠PBD＝90°﹣2α，
∴∠PKD＝∠PCD+∠FDC＝90°﹣α，
∵AD⊥BC，
∴∠ADF＝90°﹣∠FDC＝90°﹣α，
∴∠PKD＝∠ADF，
∴PK＝PD，
由EF沿着EC折叠可知∠FEC＝∠GEC，
∴CM＝CH，
由（1）知∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝45°，
∵∠BAC＝2∠ABC，
∴∠DAC＝45°，
∴∠AED＝45°+α，
∴∠FEC＝∠CEG＝∠AED＝45°+α，
∴∠HEG＝90°+2α，
∵∠DEG＝90°﹣2α，
∴∠EGC＝90°﹣α，
∵∠EKC＝∠PKD＝90°﹣α，
∴∠EGC＝∠EKC，
又∵∠GMC＝∠KHC＝90°，
∴△GMC≌△KHC（AAS），
∴GC＝CK，
由BP：PD＝12：5，设BP＝12x，PD＝5x，
∴GC＝CK＝CP﹣PK＝BP﹣PK＝12x﹣5x＝7x，
∵GC﹣PD＝3，
∵7x﹣5x＝3，
∴x＝1.5，
∴GC＝7x＝10.5．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定等知识，熟知相关知识，理解题意正确添加辅助线是解题关键，注意此类题目每一小问往往为后续解题提供解题的条件或结论．（3）题中证明△GMC≌△KHC，GC＝CK是此问的关键与难点．