初中苏科版（2024）1.3 探索三角形全等的条件课后测评

这是一份初中苏科版（2024）1.3 探索三角形全等的条件课后测评，共29页。试卷主要包含了3探索三角形全等的条件，1】已知等内容，欢迎下载使用。
【名师点睛】
三角形全等的条件
（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
方法指引：全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【典例剖析】
【知识点1】利用SSS证全等
1．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，点A、D、B、E在一条直线上AC=EF，AD=BE，BC=DF，BC与DF交于点O．
(1)求证：△ABC≌△EDF；
(2)若∠A=60°，∠F=65°，求∠ABC的度数．
【变式1.1】（2021·江苏·淮安市浦东实验中学八年级期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．
（1）求证：OC平分∠AOB；
（2）继续测量得∠AMC=50°,∠MCN=30°，求∠AOB得度数．
【知识点2】利用SAS证全等
【例2】（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，AD∥BC，AE=CF，AD=CB．
(1)求证：△ADF≌△CBE;
(2)判断BE与DF的位置关系，并说明理由．
【变式2.1】（2022·江苏淮安·八年级期末）如图，已知AD∥BC，AD=CB，AE=FC．
(1)求证：∠D=∠B；
(2)若∠A=20°，∠D=110°，求∠BEC的度数．
【知识点3】利用ASA、AAS证全等
【例3】（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，BD＝CE，∠DAE＝∠BAC，且∠ABD＝∠ACE．求证：AB＝AC．
【变式3.1】（2021·江苏·灌南县实验中学八年级期末）已知：如图：AB∥CD，AB＝CD，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE、CF分别交AD于点E、F，求证：
(1)OA＝OD；
(2)BE＝CF．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•连云港期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（ ）
A．角角角B．角边角C．边角边D．角角边
2．（2021秋•常州期末）如图，已知AD∥BC，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△CDA的是（ ）
A．BA＝DCB．AB∥CDC．AD＝BCD．∠D＝∠B
3．（2021秋•鼓楼区期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上，点E、F在AD两侧，BF∥CE，BF＝CE，添加下列条件不能判定△ACE≌△DBF的是（ ）
A．AE＝DFB．AB＝CDC．∠E＝∠FD．AE∥DF
4．（2021秋•阿克苏地区期末）如图，已知AB＝AD，下列条件中，添加后仍不能判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．∠ACB＝∠ACDB．∠BAC＝∠DACC．∠B＝∠D＝90°D．BC＝DC
5．（2021秋•东莞市期末）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．BC＝EFC．∠B＝∠ED．∠ACB＝∠DFE
6．（2021秋•富裕县期末）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．BE＝CDD．∠AEB＝∠ADC
7．（2021秋•黔西南州期末）如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥OB于点C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有多少对（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
8．（2021秋•随县期末）根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形（ ）
A．①和②B．②和③C．①和③D．①和④
9．（2021秋•徐闻县期末）如图，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A＝∠DB．BE＝CF
C．∠ACB＝∠DFE＝90°D．∠B＝∠DEF
10．（2022•宣州区校级一模）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•泰兴市期末）如图，已知AC＝DC，∠BCE＝∠ACD，添加一个条件，使△ABC≌△DEC，你添加的条件是 （填一个即可）．
12．（2021秋•无锡期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加条件 后，可以判定△ABC≌△DEF．
13．（2021秋•宜兴市期末）如图，AC＝AD，∠DAC＝∠EAB，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
14．（2021秋•无锡期末）如图，OC平分∠AOB，D、E、F分别是OC、OA、OB上的点，要使△ODE≌△ODF，可以添加的条件是 ．（只要写出一个符合要求的条件）
15．（2021秋•北安市校级期末）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，请你添加一个条件： ，使得△ABC≌△DEF．
16．（2022•盘龙区二模）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
三．解答题（共6小题）
17．（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
18．（2021秋•苏州期末）如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．
19．（2021秋•吐鲁番市期末）已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且AB＝CD．求证：△ABC≌△CDE．
20．（2022•金坛区一模）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF．
（1）求证：AE＝EC；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
21．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
求证：∠ABD＝∠ACE．
22．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒acm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒．
（1）BQ＝ ，BP＝ ．（用含a或t的代数式表示）
（2）运动过程中，连接PQ，DQ，△BPQ与△CDQ能否全等？若能，请求出相应的t和a的值，若不能，说明理由．
2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题1.3探索三角形全等的条件
【名师点睛】
三角形全等的条件
（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
方法指引：全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【典例剖析】
【知识点1】利用SSS证全等
1．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，点A、D、B、E在一条直线上AC=EF，AD=BE，BC=DF，BC与DF交于点O．
(1)求证：△ABC≌△EDF；
(2)若∠A=60°，∠F=65°，求∠ABC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)55°
【解析】
【分析】
（1）由AD=BE可求得AB=ED，利用SSS可证得：ΔABC≅ΔEDF；
（2）由△ABC≌△EDF，得∠C=∠F，得出∠C=65°，根据三角形内角和定理求解即可．
(1)
解：证明：∵AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，
即AB=ED，
在ΔABC与ΔEDF中，
{AC=EFBC=DFAB=ED，
∴ΔABC≅ΔEDF(SSS)；
(2)
解：∵ △ABC≌△EDF，
∴ ∠C=∠F，∠ABC=∠EDF，
∵ ∠F=65°，
∴ ∠C=65°，
∵ ∠A=60°，
∴ ∠ABC=180°−∠A−∠C=55°．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是对全等三角形的判定条件的掌握与应用．
【变式1.1】（2021·江苏·淮安市浦东实验中学八年级期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．
（1）求证：OC平分∠AOB；
（2）继续测量得∠AMC=50°,∠MCN=30°，求∠AOB得度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠AOB=70°．
【解析】
【分析】
（1）由“SSS”可证△OMC≌△ONC，可得∠MOC=∠NOC，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠MCO=∠NCO=15°，由外角的性质可求解．
【详解】
解：（1）证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ONOC=OCCM=CN，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠MOC=∠NOC，
∴OC平分∠AOB；
（2）∵△OMC≌△ONC，∠MCN=30°，
∴∠MCO=∠NCO=15°，
∵∠AMC=∠MCO+∠MOC=50°，
∴∠MOC=50°-15°=35°，
∴∠AOB=2∠MOC=70°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【知识点2】利用SAS证全等
【例2】（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，AD∥BC，AE=CF，AD=CB．
(1)求证：△ADF≌△CBE;
(2)判断BE与DF的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)BE∥DF，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）结论：BE∥DF，利用全等三角形的性质即可证明．
(1)
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
AD=CB∠A=∠CAF=CE，
∴△ADF≌△CBE（SAS）；
(2)
解：结论：BE∥DF．
理由：∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴BE∥DF（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
【变式2.1】（2022·江苏淮安·八年级期末）如图，已知AD∥BC，AD=CB，AE=FC．
(1)求证：∠D=∠B；
(2)若∠A=20°，∠D=110°，求∠BEC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)50°
【解析】
【分析】
（1）根据AD∥BC，可得∠A=∠C，根据已知条件证明AF=CE，然后证明△ADF≌△CBE，即可证明∠D=∠B；
（2）根据已知条件结合三角形内角和定理可得∠AFD=50°，根据（1）可得△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得∠BEC=∠AFD=50°．
(1)
证明：∵ AE=FC，
∴ AE+EF=EF+FC
即AF=CE，
∵ AD∥BC
∴∠A=∠C
在△ADF与△CBE中
{AD=CB∠DAF=∠BCEAF=CE
∴ △ADF≌△CBE (SAS)
∴∠B=∠D.
(2)
∵∠A=20°，∠D=110°，
∴∠AFD=180°−∠A−∠D=50°
∵ △ADF≌△CBE
∴∠BEC=∠AFD=50°
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【知识点3】利用ASA、AAS证全等
【例3】（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，BD＝CE，∠DAE＝∠BAC，且∠ABD＝∠ACE．求证：AB＝AC．
【答案】证明见详解；
【解析】
【分析】
△ABD和△ACE中，利用角角边对应相等判定全等，便可解答；
【详解】
解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＋∠BAE=∠EAC＋∠BAE，
∴∠DAB=∠EAC，
又BD＝CE，∠ABD＝∠ACE
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AB＝AC；
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定（AAS）和性质；有两角及一角的对应边相等的两个三角形全等（AAS），全等三角形的对应边相等．
【变式3.1】（2021·江苏·灌南县实验中学八年级期末）已知：如图：AB∥CD，AB＝CD，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE、CF分别交AD于点E、F，求证：
(1)OA＝OD；
(2)BE＝CF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得到∠A=∠D，推出△ABO≌△CDO，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质可得∠A=∠D，∠BEO=∠CFO，进而得到∠AEB=∠DFC，然后根据AAS定理判定△ABE≌△DCF，再根据全等三角形的性质可得EB=CF．
(1)
∵AB//CD，
∴∠A=∠D，
在△ABO与△CDO中，
∠A＝∠D∠AOB＝∠DOCAB＝CD，
∴△ABO≌△DCO，
∴OA=OD；
(2)
∵AB//CD，
∴∠A=∠D，
∵BE//CF，
∴∠BEO=∠CFO，
∴∠AEB=∠DFC，
在△EBA和△FCD中，
∠A＝∠D∠AEB＝∠DFCAB＝CD，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴EB=CF．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，关键是掌握全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•连云港期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（ ）
A．角角角B．角边角C．边角边D．角角边
【分析】已知两角对应相等，且有一公共边，利用全等三角形的判定定理进行推理即可．
【解析】在△ABC与△ADC中，
，
则△ABC≌△ADC（ASA）．
∴BC＝CD．
故选：B．
2．（2021秋•常州期末）如图，已知AD∥BC，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△CDA的是（ ）
A．BA＝DCB．AB∥CDC．AD＝BCD．∠D＝∠B
【分析】由平行线的性质可得∠ACB＝∠CAD，又AC公共，在△ABC与△CDA中，已经具备一边一角对应相等，根据全等三角形的判定方法进行解答即可．
【解析】∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD．
A．由AC＝AC，BA＝DC，∠ACB＝∠CAD，不能判定△ABC≌△CDA，故本选项符合题意；
B．∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA．
由∠BAC＝∠DCA，AC＝AC，∠ACB＝∠CAD，根据ASA能判定△ABC≌△CDA，故本选项不符合题意；
C．由AC＝AC，∠ACB＝∠CAD，BC＝AD，根据SAS能判定△ABC≌△CDA，故本选项不符合题意；
D．由∠B＝∠D，∠ACB＝∠CAD，AC＝AC，根据AAS能判定△ABC≌△CDA，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．（2021秋•鼓楼区期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上，点E、F在AD两侧，BF∥CE，BF＝CE，添加下列条件不能判定△ACE≌△DBF的是（ ）
A．AE＝DFB．AB＝CDC．∠E＝∠FD．AE∥DF
【分析】根据BF∥CE，可以得到∠ACE＝∠DBF，又BF＝CE，即在△ACE与△DBF中，已经具备一边一角对应相等，根据全等三角形的判定定理结合各个选项中的条件，即可解答本题．
【解析】∵BF∥CE，
∴∠ACE＝∠DBF，
又BF＝CE，
∴若添加AE＝DF，则不能判定△ACE≌△DBF，故选项A符合题意；
若添加AB＝CD，则AC＝DB，可以判断△ACE≌△DBF（SAS），故选项B不符合题意；
若添加∠E＝∠F，可以判断△ACE≌△DBF（ASA），故选项C不符合题意；
若添加AE∥DF，则∠A＝∠D，可以判断△ACE≌△DBF（AAS），故选项D不符合题意；
故选：A．
4．（2021秋•阿克苏地区期末）如图，已知AB＝AD，下列条件中，添加后仍不能判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．∠ACB＝∠ACDB．∠BAC＝∠DACC．∠B＝∠D＝90°D．BC＝DC
【分析】由AB＝AD，AC＝AC，添加各选项中的条件后，逐一验证△ABC和△ADC是否全等，取无法证出△ABC≌△ADC的选项即可得出结论．
【解析】A．在△ABC和△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，∠ACB＝∠ACD，
无法证出△ABC≌△ADC，选项A符合题意；
B．在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），选项B不符合题意；
C．在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），选项C不符合题意；
D．在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），选项D不符合题意．
故选：A．
5．（2021秋•东莞市期末）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．BC＝EFC．∠B＝∠ED．∠ACB＝∠DFE
【分析】根据AF＝DC求出AC＝DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解析】∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+FC，
即AC＝DF，
A．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．∠B＝∠E，∠A＝∠D，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，∠A＝∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．（2021秋•富裕县期末）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．BE＝CDD．∠AEB＝∠ADC
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解析】A．∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
B．AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
C．AB＝AC，BE＝CD，∠A＝∠A，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABE≌△ACD，故本选项符合题意；
D．∠A＝∠A，∠AEB＝∠ADC，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．（2021秋•黔西南州期末）如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥OB于点C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有多少对（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
【分析】先根据角平分线的性质得到ED＝EC，则可利用“HL”判断Rt△OED≌Rt△OEC，则OD＝OC；再利用“ASA”判断△AED≌△BEC，则AD＝BC，然后根据“SAS”判断△OAE≌△OBE，△OAC≌△OBD．
【解析】∵OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥OB，
∴ED＝EC，
在Rt△OED和△OEC中，
，
∴Rt△OED≌Rt△OEC（HL）；
∴OD＝OC，
在△AED和△BEC中，
，
∴△AED≌△BEC（ASA）；
∴AD＝BC，
∴OD+AD＝OC+BC，即OA＝OB，
在△OAE和△OBE中，
，
∴△OAE≌△OBE（SAS），
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
故选：B．
8．（2021秋•随县期末）根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形（ ）
A．①和②B．②和③C．①和③D．①和④
【分析】根据SAS即可判断求解．
【解析】根据题意得，△ABC≌△HNM．
故选：D．
9．（2021秋•徐闻县期末）如图，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A＝∠DB．BE＝CF
C．∠ACB＝∠DFE＝90°D．∠B＝∠DEF
【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．
【解析】∵AC＝DF，AB＝DE，
∴添加∠A＝∠D，可利用SAS证明△ABC≌△DEF，故A正确；
∴添加BE＝CF，得出BC＝EF，利用SSS证明△ABC≌△DEF，故B正确；
∴添加∠ACB＝∠DFE＝90°，利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF，故C正确；
故选：D．
10．（2022•宣州区校级一模）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可．
【解析】A．△ABC和甲所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；
B．△ABC和乙所示三角形根据SAS可判定它们全等，故本选项正确；
C．△ABC和丙所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；
D．△ABC和丁所示三角形根据AA无法判定它们全等，故本选项错误；
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•泰兴市期末）如图，已知AC＝DC，∠BCE＝∠ACD，添加一个条件，使△ABC≌△DEC，你添加的条件是 CB＝CE（答案不唯一） （填一个即可）．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，先根据∠BCE＝∠ACD求出∠BCA＝∠DCE，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
【解析】添加的条件是CB＝CE，
理由是：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ECA＝∠ACD+∠ECA，
∴∠BCA＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：CB＝CE（答案不唯一）．
12．（2021秋•无锡期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加条件 BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF 后，可以判定△ABC≌△DEF．
【分析】先根据平行线的性质得到∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解析】∵AB∥ED，
∴∠B＝∠E，
∵AC∥FD，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴当添加BC＝EF（或BF＝EC）时，根据“ASA”可判定△ABC≌△DEF；
当添加AB＝DE（或AC＝DF）时，根据“AAS”可判定△ABC≌△DEF；
综上所述，当添加条件BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF后，可以判定△ABC≌△DEF．
故答案为：BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF．
13．（2021秋•宜兴市期末）如图，AC＝AD，∠DAC＝∠EAB，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D） ．（只需写出一个条件即可）
【分析】先证明∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，则根据全等三角形的判定方法可添加条件．
【解析】∵∠DAC＝∠EAB，
∴∠DAC+BAD＝∠EAB+∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，
∴当添加AB＝AE时，根据“SAS”可判断△ABC≌△AED；
当添加∠B＝∠E时，根据“AAS”可判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，根据“ASA”可判断△ABC≌△AED，
∴要使△ABC≌△AED，应添加的条件是AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D）．
故答案为：AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D）．
14．（2021秋•无锡期末）如图，OC平分∠AOB，D、E、F分别是OC、OA、OB上的点，要使△ODE≌△ODF，可以添加的条件是 OE＝OF或∠ODE＝∠ODF或∠OED＝∠OFD ．（只要写出一个符合要求的条件）
【分析】由于∠EOD＝∠FOD，OD为公共边，则根据全等三角形的判定方法可添加条件使△ODE≌△ODF．
【解析】∵OC平分∠AOB，
∴∠EOD＝∠FOD，
而OD为公共边，
∴当添加OE＝OF时，根据“SAS”可判断△ODE≌△ODF；
当添加∠ODE＝∠ODF时，根据“ASA”可判断△ODE≌△ODF；
当添加∠OED＝∠OFD时，根据“AAS”可判断△ODE≌△ODF；
故答案为：OE＝OF或∠ODE＝∠ODF或∠OED＝∠OFD．
15．（2021秋•北安市校级期末）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，请你添加一个条件： AC＝DF（答案不唯一） ，使得△ABC≌△DEF．
【分析】此题是一道开放型的问题，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解析】添加的条件是AC＝DF，
理由是：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AC＝DF（答案不唯一）．
16．（2022•盘龙区二模）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 或3或或 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
【分析】设点P在线段BC上运动的时间为t，分两种情况讨论，①点P由B向C运动时，△BPE≌△CQP②△BPE≌△CPQ，③点P由C向B运动时，△BPE≌△CQP，④△BPE≌△CPQ，根据全等三角形的对应边相等列方程解出即可．
【解析】设点P在线段BC上运动的时间为t，
①点P由B向C运动时，BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵△BPE≌△CQP，
∴BE＝CP＝5，
∴5＝8﹣3t，
解得t＝1，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷1＝3cm/s；
②点P由B向C运动时，
∵△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP，
∴3t＝8﹣3t，
t＝，
此时，点Q的运动速度为：5÷＝cm/s；
③点P由C向B运动时，CP＝3t﹣8，
∵△BPE≌△CQP，
∴BE＝CP＝5，
∴5＝3t﹣8，
解得t＝，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷＝cm/s；
④点P由C向B运动时，
∵△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP＝4，
3t﹣8＝4，
t＝4，
∵BE＝CQ＝5，
此时，点Q的运动速度为5÷4＝cm/s；
综上所述：点Q的运动速度为cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s；
故答案为：或3或或．
三．解答题（共6小题）
17．（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】先利用平行线的性质得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再证明BC＝EF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
18．（2021秋•苏州期末）如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．
【分析】由等角对等边可得AC＝AD，再由平行线的性质可得∠DAE＝∠ACB，由∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，得∠AED＝∠B，从而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．
【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，
∴AD＝AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACB，
∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠B，
在△ADE与△CAB中，
，
∴△ADE≌△CAB（AAS）．
19．（2021秋•吐鲁番市期末）已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且AB＝CD．求证：△ABC≌△CDE．
【分析】根据线段中点定义可得AC＝EC，再利用平行线的性质得∠A＝∠DCE，根据SAS定理判定△ABC≌△CDE即可．
【解答】证明：∵点C是线段AE的中点，
∴AC＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS）．
20．（2022•金坛区一模）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF．
（1）求证：AE＝EC；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
【分析】（1）证明△ADE≌△CFE（AAS），即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得AD＝CF＝4，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ECF，
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AE＝EC；
（2）解：由（1）可知，△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1，
即BD的长为1．
21．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
求证：∠ABD＝∠ACE．
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得结论．
【解答】证明：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE．
22．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒acm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒．
（1）BQ＝ 2tcm ，BP＝ （8﹣at）cm ．（用含a或t的代数式表示）
（2）运动过程中，连接PQ，DQ，△BPQ与△CDQ能否全等？若能，请求出相应的t和a的值，若不能，说明理由．
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度解答；
（2）△BPQ与△CDQ能全等；根据∠B＝∠C确定全等的分类方式，根据对应边相等列方程可得结论．
【解析】（1）由题意得，AP＝atcm，BP＝（8﹣at）cm，BQ＝2tcm，
故答案为：2tcm，（8﹣at）cm；
（2）△BPQ与△CDQ能全等；
∵∠B＝∠C，
∴△BPQ与△CDQ全等存在两种情况：
①当△PBQ≌△QCD时，PB＝CQ，BQ＝CD，
∴2t＝6，8﹣at＝8﹣2t，
∴a＝2，t＝3；
②当△PBQ≌△DCQ时，PB＝DC，BQ＝CQ，
∴8﹣at＝6，2t＝8﹣2t，
∴a＝1，t＝2；
综上，△BPQ与△CDQ能全等，此时a＝2，t＝3或a＝1，t＝2．