初中数学苏科版（2024）八年级上册第二章 轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性练习题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册第二章 轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性练习题，共26页。试卷主要包含了5等腰三角形的轴对称性，等腰三角形的性质等内容，欢迎下载使用。
【名师点睛】
1.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
2.等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
【典例剖析】
【例1】（2021秋•南阳期末）在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝ ．
（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝ ．
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明．
【变式1】．（2018秋•宜兴市期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE＝CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：AE＝BC．
【例2】（2020秋•仪征市期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点O在BC边上运动（O不与B、C重合），连接AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于点D．
（1）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并证明；
（2）在点O的运动过程中，△AOD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDO的度数；若不可以，请说明理由．
【变式2】（2019秋•常熟市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：△ACD为等腰三角形．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•无锡期末）在△ABC中，∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．160°
2．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cmB．13cmC．8cm或13cmD．11cm或13cm
3．（2022•崇川区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的角平分线，∠C＝70°，则∠BDC＝（ ）
A．30°B．40°C．70°D．75°
4．（2022•高邮市模拟）若一个等腰三角形的周长为32，则该等腰三角形的腰长x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜32B．0＜x＜16C．8＜x＜16D．8＜x＜32
5．（2021秋•梁溪区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（ ）
A．10 cmB．12 cmC．14 cmD．16cm
6．（2021秋•滨湖区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝5，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E，则△ABE的周长是（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2021秋•苏州期中）如图，在3×3的正方形网格中，A，B是两个格点，连接AB，在网格中找到一个格点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
9．（2018秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，在△ABC所平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（2020秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，当∠A大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系是（ ）
A．EF＞BE+CFB．EF＜BE+CFC．EF＝BE+CFD．不能确定
二．填空题（共8小题）
11．（2022春•锡山区期中）等腰三角形的两边长分别是4cm、9cm，则它的周长为 ．
12．（2022春•镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是 ．
13．（2022•兴化市一模）顶角为80°的等腰三角形的底角为 ．
14．（2022春•靖江市校级月考）在△ABC中，∠A＝∠B，过点A作AD⊥CB交直线BC于点D，∠DAC＝36°，则∠C＝ °．
15．（2022•金坛区二模）如图，在△ABD中，C是边BD上一点．若AB＝AC＝CD，∠BAC＝40°，则∠D＝ °．
16．（2022•常州二模）如图、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD，DC．则∠BDC的度数为 °．
17．（2019秋•崇川区校级期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
18．（2022•秦淮区一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ．
三．解答题（共6小题）
19．（2021秋•泗阳县期中）如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．
20．（2021秋•鼓楼区期中）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
已知：如图，在△ABC中， ；
求证： ；
证明：
21．（2017秋•灌云县期中）已知如图，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于O点．
（1）求证：EO＝BE；
（2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB．
22．（2018秋•崇川区校级期中）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
23．（2021秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．
24．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．
【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题2.5等腰三角形的轴对称性（1）
【名师点睛】
1.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
2.等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
【典例剖析】
【例1】（2021秋•南阳期末）在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝ 15° ．
（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝ 20° ．
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明．
【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝30°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝75°，所以∠DEC＝15°；
（2）同理，易证∠ADE＝70°，所以∠DEC＝20°；
（3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
进而得出∠BAD＝2∠CDE．
【解析】（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠EDC＝15°；
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠EDC＝20°；
（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）；理由如下：
∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE．
故答案为：15°；20°．
【变式1】（2018秋•宜兴市期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE＝CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：AE＝BC．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE＝CE；
（2）判断出△ABF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AF＝BF，根据同角的余角相等求出∠EAF＝∠CBF，然后利用“角角边”证明△AEF和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝CE；
（2）证明：∵BF⊥AC，∠BAC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C＝90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C＝90°，
∴∠EAF＝∠CBF，
在△AEF和△BCF中，
，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴AE＝BC．
【例2】（2020秋•仪征市期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点O在BC边上运动（O不与B、C重合），连接AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于点D．
（1）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并证明；
（2）在点O的运动过程中，△AOD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDO的度数；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）先由等腰三角形的性质得∠C＝∠B＝30°，则∠BAC＝120°，再由平行线的性质得∠OAC＝∠AOD＝30°，求出∠BAO＝90°即可；
（2）分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出∠BDO的度数即可．
【解析】（1）△AOB为直角三角形，理由如下：
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵OD∥AC，∠AOD＝∠B＝30°，
∴∠OAC＝∠AOD＝30°，
∴∠BAO＝120°﹣30°＝90°，
∴△AOB是直角三角形；
（2）△AOD的形状可以是等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①DA＝DO时，∠OAD＝∠AOD＝30°，
∴∠BDO＝∠OAD+∠AOD＝60°；
②OA＝OD时，∠ODA＝∠OAD＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BDO＝180°﹣75°＝105°；
③AD＝AO时，∠ADO＝∠AOD＝30°，
∴∠OAD＝120°＝∠BAC，点O与C重合，不合题意；
综上所述，∠BDO的度数为60°或105°．
【变式2】（2019秋•常熟市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：△ACD为等腰三角形．
【分析】（1）由中垂线性质知DB＝DA，据此知∠B＝∠DAB＝40°，利用三角形外角的性质可得答案；
（2）由∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣40°＝80°＝∠ADC，利用“等角对等边”即可得证．
【解析】（1）∵DE垂直平分AB，
∴DB＝DA，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠B＝40°，
∴∠B＝∠DAB＝40°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝80°；
（2）∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣40°＝80°＝∠ADC，
∴CA＝CD，
∴△ACD为等腰三角形．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•无锡期末）在△ABC中，∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．160°
【分析】根据三角形的内角和即可得到结论．
【解析】∵∠C＝20°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣20°）＝80°，
故选：C．
2．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cmB．13cmC．8cm或13cmD．11cm或13cm
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解析】当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，
当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．
则三角形的周长为11cm或13cm．
故选：D．
3．（2022•崇川区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的角平分线，∠C＝70°，则∠BDC＝（ ）
A．30°B．40°C．70°D．75°
【分析】首先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再根据角平分线的性质求出∠DBC的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠BDC的度数．
【解析】∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝35°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
故选：D．
4．（2022•高邮市模拟）若一个等腰三角形的周长为32，则该等腰三角形的腰长x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜32B．0＜x＜16C．8＜x＜16D．8＜x＜32
【分析】首先用含x的式子表示底边，并且底边要大于零，得到关于x的不等式；利用三角形的任意两边之和大于第三边得到关于x的不等式．解不等式组即可．
【解析】∵腰长为x，且等腰三角形的周长为32，
∴底边为32﹣2x，并且32﹣2x＞0，得x＜16，
又∵x+x＞32﹣2x，
解得x＞8，
∴x的取值范围是8＜x＜16．
故选：C．
5．（2021秋•梁溪区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（ ）
A．10 cmB．12 cmC．14 cmD．16cm
【分析】根据中点的定义得到DC＝BC，根据直角三角形的性质得到DE＝AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，点E为AC的中点，
∴DC＝BC，DE＝AC，
∵△ABC的周长为20cm，
∴△CDE的周长＝DE+EC+DC＝×20＝10（cm）．
故选：A．
6．（2021秋•滨湖区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝5，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E，则△ABE的周长是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，进而可得AE+BE＝BC＝5，进而可得答案．
【解析】∵边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，
∴AE＝CE，
∵BC＝5，
∴BE+CE＝5，
∵AB＝3，
∴△ABE的周长为3+5＝8．
故选：A．
7．（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据“两圆一线”画图找点即可．
【解析】如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形，
故选：C．
8．（2021秋•苏州期中）如图，在3×3的正方形网格中，A，B是两个格点，连接AB，在网格中找到一个格点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据网格结构，分别以A、B为圆心，AB为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数．
【解析】如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有5个．
故选：A．
9．（2018秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，在△ABC所平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再根据等腰三角形的性质分别利用AC、BC为腰以及AB为底得出符合题意的图形即可．
【解析】如图所示：AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，
∵32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．
当AC1＝AC＝4，BC＝BC2＝3，BC＝CC3＝3，BC＝CC4＝3，C5A＝C5B，C6A＝C6C都能得到符合题意的等腰三角形．
故这样的直线最多可画的条数为6．
故选：D．
10．（2020秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，当∠A大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系是（ ）
A．EF＞BE+CFB．EF＜BE+CFC．EF＝BE+CFD．不能确定
【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得∠EBD＝∠EDB，则ED＝BE，同理可得DF＝FC，则EF＝BE+CF，可得答案．
【解析】∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝BE，
同理DF＝FC，
∴ED+DF＝BE+FC，
即EF＝BE+CF，
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2022春•锡山区期中）等腰三角形的两边长分别是4cm、9cm，则它的周长为 22cm ．
【分析】根据题意，分两种情况：①腰是4cm，②底是4cm，根据三角形的三边关系进行判断，即可确定三角形的周长．
【解析】根据题意，分两种情况：
①腰是4cm，
∵4+4＜9，
∴腰是4cm不能构成三角形，
②底是4cm，
∵9+9＞4，
∴底是4cm满足条件，
则周长为：9+9+4＝22（cm），
故答案为：22cm．
12．（2022春•镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是 12 ．
【分析】根据已知的两边，则第三边可能是2或5；再根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，进行分析．
【解析】根据题意，得第三边可能是2或5．
根据三角形的三边关系，得
当三边是2，2，5时，则2+2＜5，不能构成三角形，应舍去．
当三边是2，5，5时，则2+5＞5，能构成三角形．
那么它的周长是：2+5+5＝12，
故答案为：12．
13．（2022•兴化市一模）顶角为80°的等腰三角形的底角为 50° ．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行解答即可．
【解析】∵等腰三角形的顶角为80°，
∴这个等腰三角形的底角＝（180°﹣80°）＝50°．
故答案为：50°．
14．（2022春•靖江市校级月考）在△ABC中，∠A＝∠B，过点A作AD⊥CB交直线BC于点D，∠DAC＝36°，则∠C＝ 54或126 °．
【分析】首先在直角△ACD中，分两种情况利用三角形内角和定理和邻补角的定义求得∠BCA的度数．
【解析】当△ABC时锐角三角形时，如图1．
在直角△ACD中，∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣36°＝54°；
当△ABC是钝角三角形时，如图2．
∠ACD＝90°﹣∠DAC＝90°﹣36°＝54°，
则∠ACB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣54°＝126°．
则∠ACB的度数是54°或126°．
故答案为：54或126．
15．（2022•金坛区二模）如图，在△ABD中，C是边BD上一点．若AB＝AC＝CD，∠BAC＝40°，则∠D＝ 35 °．
【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质解答即可．
【解析】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB＝∠D+∠CAD＝70°，
∵AC＝CD，
∴∠D＝∠CAD＝35°．
故答案为：35°．
16．（2022•常州二模）如图、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD，DC．则∠BDC的度数为 130 °．
【分析】延长AD到点E，使得AE＝BC，证得DBC≌△CAE，设∠CDE＝∠CED＝α，表示出∠BDC＝∠ACE＝100°+α，然后根据三角形的内角和定理求得已知角即可．
【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝20°，
∵BD＝AB，
∴∠ADB＝∠DAB＝80°，
延长AD到点E，使得AE＝BC，
∵BD＝AB＝AC，∠CAD＝∠DBC，
∴△DBC≌△CAE（SAS），
∴CD＝CE，∠BDC＝∠ACE，
∴∠CDE＝∠CED＝α，
∵∠ADB＝80°，
∴∠BDE＝100°，
∴∠BDC＝∠ACE＝100°+α，
∴20°+100°+α+α＝180°，
∴α＝30°，
∴∠BDC＝130°，
故答案为：130．
17．（2019秋•崇川区校级期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 4 个．
【分析】分别以A、B为圆心，以AB为半径作圆，再作AB的垂直平分线，即可得出答案．
【解析】以A为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有一个交点；
同理以B为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有两个交点；
作AB的垂直平分线与BC有一个交点，
即有1+2+1＝4个，
故答案为4．
18．（2022•秦淮区一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 a＝4或a＞8 ．
【分析】分两种情况，①作线段MN的垂直平分线交OB于点P，连接PM，PN，过点M作MH⊥OB于点H，当MH＝MN时，a＝8，即可求出a的取值范围；②当△PMN是等边三角形时，根据等边三角形的性质可得OM＝MP＝MN，求出a，即可确定a的取值范围．
【解析】①作线段MN的垂直平分线交OB于点P，连接PM，PN，如图所示：
则PM＝PN，此时△PMN是等腰三角形，
过点M作MH⊥OB于点H，
当MH＞MN，满足条件的点P恰好只有一个，
∵MN＝4，∠AOB＝30°，
当MH＝4时，OM＝2MH＝8，
∴当a＞8时，满足条件的点P恰好只有一个，
②当△PMN是等边三角形时，满足条件的点P恰好只有一个，
此时MN＝MP，∠NMP＝60°，
∵∠AOB＝30°，
∴∠MPO＝30°，
∴OM＝MP＝MN＝4，
∴a＝4，
综上，满足条件的a的取值范围：a＝4或a＞8，
故答案为：a＝4或a＞8．
三．解答题（共10小题）
19．（2021秋•泗阳县期中）如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质即可得出∠ABC＝∠ACB，从而得证；
（2）由（1）中得证△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，可知AH⊥BC，由于AD∥BC，即可得证．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠B，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC．
（2）∵AB＝AC，
又∵点H是BC的中点，
∴AH⊥BC，
∵AD∥BC，
∴AH⊥AD．
20．（2021秋•鼓楼区期中）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
已知：如图，在△ABC中， ∠B＝∠C ；
求证： △ABC为等腰三角形 ；
证明：
【分析】根据题意易得已知，求证，过点A作 AD⊥BC，垂足为D．通过证明△ABD≌△ACD可得AB＝AC，进而证明结论．
【解答】∠B＝∠C，AB＝AC；
证明：过点A作 AD⊥BC，垂足为D．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD与△ACD中，
∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS）．
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
21．（2017秋•灌云县期中）已知如图，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于O点．
（1）求证：EO＝BE；
（2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB．
【分析】（1）利用平行线以及角平分线的定义证明∠EOB＝∠EBO即可．
（2）想办法证明∠OCF＝∠OCB即可．
【解答】证明：（1）∵EF∥BC，交AB、AC于E、F．
∴∠BOE＝∠CBO，∠COF＝∠BCO，
∵∠B的平分线交EF于O点，
∴∠EBO＝∠CBO，
∴∠EBO＝∠BOE，
∴EO＝BE．
（2）∵EF＝BE+CF，且EF＝OE+OF，
∴OE+OF＝BE+CF，
∵EO＝BE，
∴OF＝CF，
∴∠COF＝∠FCO，
∵∠COF＝∠BCO，
∴∠BCO＝∠FCO，
∴OC平分∠ACB．
22．（2018秋•崇川区校级期中）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
【分析】（1）首先依据平行线的性质证明∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B＝∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形；
（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得△ABC的周长．
【解答】证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF＝CF．
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE＝GC＝8．
∵GC＝2BG，
∴BG＝4．
∴BC＝12．
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．
23．（2021秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．
【分析】证明∠DBC＝∠ECB即可解决问题．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠EBC＝∠DCB，
∵BD，CE是角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴OB＝OC．
24．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，求出∠ABD的度数，计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
【解析】（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠CBD＝15°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴DB+DC＝DA+DC＝AC，
又∵AB＝AC＝7，△CBD周长为12，
∴BC＝5．