初中数学苏科版（2024）八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性课后作业题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性课后作业题，共31页。试卷主要包含了7等腰三角形的轴对称性，含30度角的直角三角形等内容，欢迎下载使用。
【名师点睛】
1.含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
2.直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
【典例剖析】
【例1】（2021秋•京口区校级期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．
【变式1】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的长．
【例2】（2022春•邗江区期末）如图1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是BC延长线上一动点，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H．直线EH与直线AC相交于点F．设∠AEH＝α，∠ADC＝β．
（1）求证：∠EFC＝∠FEC；
（2）①若∠B＝30°，∠CAD＝50°，则α＝ ，β＝ ；
②试探究α与β的关系，并说明理由；
（3）若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出α与β的关系．
【变式2】（2021秋•邗江区期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；
（2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2018秋•崇川区校级月考）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
2．（2021秋•沭阳县校级月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（ ）
A．12B．9C．6D．3
3．（2021•苏州模拟）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2021秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1
5．（2018秋•武进区校级期末）已知等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则顶角为（ ）
A．30°B．135°C．150°D．30°或150°
6．（2019秋•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若CD＝6，则AD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．4.5
7．（2022春•如皋市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（ ）
A．12B．6C．4D．3
8．（2021秋•无锡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
9．（2021秋•丹阳市期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝70°，点E是AC的中点．则∠EBD的度数为（ ）
A．20°B．35°C．40°D．55°
10．（2021秋•泰兴市月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC边上的动点（点E与点C、A不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接MC、MF．若∠CBA＝50°，则在点E运动过程中∠CMF的大小为（ ）
A．80°B．100°
C．130°D．发生变化，无法确定
二．填空题（共8小题）
11．（2022春•通州区期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，D是边AB的中点，则线段CD的长为 ．
12．（2021秋•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝6，则CD＝ ．
13．（2021秋•宿豫区期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝10，则DE+DF＝ ．
14．（2022•邳州市一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，若AC＝2，则CD的长为 ．
15．（2021秋•海门市期末）等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为 cm．
16．（2016秋•通州区校级月考）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝ ．
17．（2014秋•盐城校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝ ．
18．（2021秋•海门市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD为边在BD左上方作等边△BDE，若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为 cm．
三．解答题（共6小题）
19．（2021秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．
（1）求证：BD⊥BC．
（2）求DB的长．
20．（2020秋•丹阳市期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；
（2）已知△ADE的周长11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，求OA的长．
21．（2020秋•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，且交AC于点D，DE垂直平分AB于点E，DE＝3cm．求线段AC的长．
22．（2020秋•广陵区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．
23．（2021秋•淮安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD是AB边的中线，CE是BD边的中线，当DE＝2时，求AC的长．
24．（2021秋•天宁区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点．
（1）∠OAC和∠OCA相等吗？请说明理由；
（2）若P为AC中点，试判断OP与AC的关系．
【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题2.7等腰三角形的轴对称性（3）：直角三角形
【名师点睛】
1.含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
2.直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
【典例剖析】
【例 1】（2021秋•京口区校级期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝MC＝BC，MF＝MB＝BC，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等边对等角求出∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC，再根据三角形的内角和定理求出∠BMF，∠EMC，然后利用平角等于180°列式计算得出∠EMF．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AB于F，M为BC的中点，
∴ME＝BC，
同理MF＝BC，
∴EM＝FM，
∴△MEF是等腰三角形；
（2）解：∵MF＝MB，
∴∠ABC＝∠MFB＝50°，
同理∠ACB＝∠MEC＝60°，
∴∠BMF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∠EMC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠FME＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
【变式1】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的长．
【分析】FG⊥DE，连接GD、GE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得GD＝BC＝GE，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论．
【解答】（1）证明：连接EF，
∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∴△BCD，△BCE为直角三角形，
∵F是BC的中点，
∴EF＝DF＝BF＝CF＝BC，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵EF＝DF＝BF＝CF＝BC，
∴∠BEF＝∠ABC，∠CDF＝∠ACB，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BFE+∠CFD＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，
∴∠EFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴BC＝2DE＝4．
【例2】（2022春•邗江区期末）如图1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是BC延长线上一动点，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H．直线EH与直线AC相交于点F．设∠AEH＝α，∠ADC＝β．
（1）求证：∠EFC＝∠FEC；
（2）①若∠B＝30°，∠CAD＝50°，则α＝ 35° ，β＝ 70° ；
②试探究α与β的关系，并说明理由；
（3）若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出α与β的关系．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明∠AFH＝∠BEH即可解决问题．
（2）①利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质解决问题即可．
②图1中，设∠DAE＝∠CAE＝x，∠B＝∠CAB＝y．易知β＝∠ADC＝180°﹣2（x+y），α＝∠AEH＝90°﹣（x+y），由此可得结论．
（3）图形如图所示：结论：α+＝90°．设∠CBA＝∠CAB＝x，∠EAH＝y．首先证明y＝，即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠B＝∠CAB，
∵EH⊥AB，
∴∠AHF＝∠EHB＝90°，
∴∠B+∠BEH＝90°，∠CAB+∠AFH＝90°，
∴∠BEH＝∠AFH，
∵∠AFH＝∠EFC，
∴∠EFC＝∠FEC．
（2）①∵∠B＝∠CAB＝30°，
∴∠ACD＝∠B+∠CAB＝60°，
∵∠CAD＝50°，
∴β＝∠ADC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵EA平分∠DAC，
∴∠EAC＝∠DAC＝25°，
∴∠EAH＝∠EAC+∠CAB＝55°，
∵∠AHE＝90°，
∴α＝∠AEH＝90°﹣55°＝35°．
故答案为35°，70°．
②如图1中，设∠DAE＝∠CAE＝x，∠B＝∠CAB＝y．
∴β＝∠ADC＝180°﹣2（x+y），
∵∠AHE＝90°，
∴α＝∠AEH＝90°﹣（x+y），
∴β＝2α．
（3）图形如图所示：结论：α+＝90°．
理由：设∠CBA＝∠CAB＝x，∠EAH＝y．
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE＝∠DAE＝x﹣y，
∴∠DAB＝x﹣y﹣y＝x﹣2y，
∵∠CBA＝∠ADC+∠BAD，
∴x＝x﹣2y+β，
∴y＝，
∵EH⊥AB，
∴∠AHE＝90°，
∴∠AEH+∠EAH＝90°，
∴α+＝90°．
【变式2】（2021秋•邗江区期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；
（2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长．
【分析】（1）求出∠BAC＝110°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，可求出答案；
（2）连接OA，OB，OC，根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，计算即可．
【解析】（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACB＝40°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°；
（2）连接OA，OB，OC，
∵△ADE的周长7cm
∴AD+DE+EA＝7（cm），
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝7（cm）；
∵△OBC的周长为15，
∴OB+OC+BC＝15，
∵BC＝7，
∴OB+OC＝8，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2018秋•崇川区校级月考）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解析】∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2＝4cm．
故选：B．
2．（2021秋•沭阳县校级月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（ ）
A．12B．9C．6D．3
【分析】根据三角形的内角和求出∠A，根据余角的定义求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．
【解析】∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝3，
∴AC＝2AD＝6，
∴AB＝2AC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9，
故选：B．
3．（2021•苏州模拟）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．
【解析】作PH⊥MN于H，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝1，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OH＝OP＝5，
∴OM＝OH﹣MH＝4，
故选：B．
4．（2021秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出DE＝EC＝CD＝2．由含30度角的直角三角形的性质求出BE＝AB＝3，那么BD＝BE﹣DE＝1．
【解析】如图，过点A作AE⊥BC于E，
又∵AD＝AC，CD＝4，
∴DE＝EC＝CD＝2．
在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BE＝AB＝×6＝3，
∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．
故选：D．
5．（2018秋•武进区校级期末）已知等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则顶角为（ ）
A．30°B．135°C．150°D．30°或150°
【分析】本题要分两种情况解答：当BD在三角形内部以及当BD在三角形外部．再根据等腰三角形的性质进行解答．
【解析】本题分两种情况讨论：
（1）当BD在三角形内部时，
∵BD＝AB，∠ADB＝90°，
∴∠A＝30°；
（2）当BD在三角形外部时，
∵BD＝AB，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝30°，∠ABC＝180°﹣∠DAB＝30°＝150°．
故选：D．
6．（2019秋•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若CD＝6，则AD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．4.5
【分析】作DE⊥BC于E，根据三角形内角和定理求出∠C，根据直角三角形30°角的性质求出DE，根据角平分线的性质定理解答．
【解析】作DE⊥BC于E，
∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，
∴DE＝CD＝3，
∵BD平分∠ABC，∠CAB＝90°，DE⊥BC，
∴AD＝DE＝3，
故选：B．
7．（2022春•如皋市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（ ）
A．12B．6C．4D．3
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12，
则CD＝AB＝×12＝6，
故选：B．
8．（2021秋•无锡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE＝∠AEC＝45°，求得∠CAB＝60°，得到∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到CD＝BD＝AD＝AB，得到△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，于是得到结论．
【解析】∵∠ACB＝90°，CE＝AC，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∵∠BAE＝15°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD＝AD＝AB，
∴△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，
∴AC＝DC＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝×（180°﹣30°）＝75°．
故选：B．
9．（2021秋•丹阳市期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝70°，点E是AC的中点．则∠EBD的度数为（ ）
A．20°B．35°C．40°D．55°
【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠DEB＝140°，根据直角三角形的性质得到DE＝BE＝AC，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】连接DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵∠BAD＝70°，
∴∠DEB＝2∠BAD＝140°，
∵DE＝BE＝AC，
∴∠EBD＝∠EDB＝＝20°，
故选：A．
10．（2021秋•泰兴市月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC边上的动点（点E与点C、A不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接MC、MF．若∠CBA＝50°，则在点E运动过程中∠CMF的大小为（ ）
A．80°B．100°
C．130°D．发生变化，无法确定
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到MC＝MB＝ME，MF＝MB＝ME，得到MB＝MC＝ME＝MF，证明结论，于是得到结论．
【解析】∵∠ACB＝90°，点M为线段BE的中点，
∴MC＝BF，即MC＝MB＝ME，
∵EF⊥AB，点M为线段BE的中点，
∴MF＝BF，即MF＝MB＝ME，
∴MB＝MC＝ME＝MF，
∴点B、C、E、F在以点M为圆心的同一个圆上；
∴∠CMF＝2∠CBA＝100°，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．（2022春•通州区期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，D是边AB的中点，则线段CD的长为 6 ．
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12，
则CD＝AB＝×12＝6，
故答案为：6．
12．（2021秋•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝6，则CD＝ 3 ．
【分析】在Rt△ABC中，利用斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CD的长．
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝6，
∴CD＝AB＝×6＝3．
故答案为：3．
13．（2021秋•宿豫区期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝10，则DE+DF＝ 9 ．
【分析】根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝4，DF＝AC＝5，于是得到结论．
【解析】∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝10，
∴DE＝AB＝4，DF＝AC＝5，
∴DE+DF＝9；
故答案为：9．
14．（2022•邳州市一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，若AC＝2，则CD的长为 ．
【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠ACB＝∠A＝30°，再证明△BCD为等边三角形，可求得∠ACD＝90°，利用含30°角的直角三角形的性质可得AD＝2CD，再利用勾股定理可求解CD的长．
【解析】∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠A+∠ACB＝60°，
∵BD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠D＝∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝2CD，
∵AC2+CD2＝AD2，AC＝2，
∴22+CD2＝（2CD）2，
解得CD＝．
故答案为：．
15．（2021秋•海门市期末）等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为 15 cm．
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC＝30°．在直角△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长．
【解析】如图，AB＝AC＝30cm，∠B＝15°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝30°，
∴CD＝AB＝15cm．
故答案为：15．
16．（2016秋•通州区校级月考）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝ 4 ．
【分析】作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题．
【解析】作EG⊥OA于G，如图所示：
∵EF∥OB，∠AOE＝∠BOE＝15°
∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，
∵∠AOE＝15°，
∴∠EFG＝15°+15°＝30°，
∴EF＝2EG＝4．
故答案为：4．
17．（2014秋•盐城校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝ 4 ．
【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中由∠POH＝60°得到∠OPH＝30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH＝OP＝5，然后计算OH﹣MH即可．
【解析】作PH⊥MN于H，如图，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝1，
在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OH＝OP＝×10＝5，
∴OM＝OH﹣MH＝5﹣1＝4．
故答案为4．
18．（2021秋•海门市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD为边在BD左上方作等边△BDE，若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为 6 cm．
【分析】过E点作EF⊥AB于点F，由含30度角的直角三角形的性质可求BC＝6cm，结合等边三角形的性质通过证明△EBF≌△DBC可得EF＝DC，由等腰直角三角形的性质可求解CD的长，进而可求解．
【解析】过E点作EF⊥AB于点F，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，
∴BC＝AB＝6cm，∠ABC＝60°，
∵△BDE为等边三角形，
∴BE＝BD，∠EBD＝60°，
∴∠EBD＝∠ABC＝60°，
∵∠EBF＝∠EBD﹣∠ABD，∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD，
∴∠EBF＝∠DBC，
在△EBF和△DBC中，
，
∴△EBF≌△DBC（AAS），
∴EF＝CD，
∵∠CBD＝45°，∠C＝90°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
∴CD＝BC＝6cm，
∴EF＝6cm，
即点E到AB边的距离为6cm．
故答案为：6．
三．解答题（共6小题）
19．（2021秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．
（1）求证：BD⊥BC．
（2）求DB的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A＝∠C＝30°，根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，求出∠DBA＝30°，再求出答案即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出BD＝CD，求出AD＝AC，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣∠ABC）＝30°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，
∴BD⊥BC；
（2）解：∵∠DBC＝90°，∠C＝30°，
∴BD＝CD，
∵AD＝BD，
∴AD＝CD＝AC，
∵AC＝12，
∴AD＝4，
∴BD＝AC＝4．
20．（2020秋•丹阳市期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；
（2）已知△ADE的周长11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，求OA的长．
【分析】（1）求出∠BAC＝110°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，可求出答案；
（2）连接OA，OB，OC，根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，计算即可．
【解析】（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACB＝40°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°；
（2）连接OA，OB，OC，
∵△ADE的周长11cm
∴AD+DE+EA＝11（cm），
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝11（cm）；
∵△OBC的周长为27cm，
∴OB+OC+BC＝27（cm），
∵BC＝11cm，
∴OB+OC＝16（cm），
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝8（cm）．
21．（2020秋•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，且交AC于点D，DE垂直平分AB于点E，DE＝3cm．求线段AC的长．
【分析】由角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，利用线段垂直平分线的性质可得∠A＝∠ABD，结合直角三角形的性质可求得∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°，再根据含30° 角的直角三角形的性质可求解AD，CD的长，进而可求解AC的长度．
【解析】∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵DE＝3cm，
∴BD＝AD＝2DE＝6cm，
∴CD＝BD＝3cm，
∴AC＝AD+CD＝6+3＝9cm．
22．（2020秋•广陵区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．
【分析】（1）利用三角形内角和定理，角平分线的定义可得结论；
（2）利用等腰三角形的判断和线段中垂线的性质可得答案．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
又∵∠CAB＝2∠B，
∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB＝30°；
（2）∵∠DAB＝30°＝∠B，
∴AD＝DB，
∵AC＝EC，∠ACB＝90°，
∴AD＝DE，
∴DE＝DB．
23．（2021秋•淮安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD是AB边的中线，CE是BD边的中线，当DE＝2时，求AC的长．
【分析】根据CD、CE三等分∠ACB，求得∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，根据直角三角形的性质得到AD＝CD＝BD＝AB，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACD＝30°，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】∵∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，
∵CD是AB边的中线，
∴AD＝CD＝BD＝AB，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∵CE是BD边的中线，DE＝2，
∴BD＝2DE＝4，
∴AB＝8，
∴BC＝AB＝4，
∴AC＝＝4，
故AC的长为4．
24．（2021秋•天宁区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点．
（1）∠OAC和∠OCA相等吗？请说明理由；
（2）若P为AC中点，试判断OP与AC的关系．
【分析】（1）先根据O是BD的中点可知，OA．OC分别是Rt△ABD与Rt△BCD的中线，可知OA＝OC，再根据等边对等角即可求出∠OAC＝∠OCA；
（2）根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）∠OAC＝∠OCA，
理由：∵△ABD是直角三角形，O为BD的中点，
∴OA＝BD，
∵△BDC是直角三角形，O为BD的中点，
∴OC＝BD，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA；
（2）OP⊥AC，
理由：由（1）知AO＝OC，
∵P为AC中点，
∴OP⊥AC．