江苏省苏州市2023-2024学年高二年级下学期学业质量阳光指标调研卷暨6月期末考试+数学试卷（含答案）

这是一份江苏省苏州市2023-2024学年高二年级下学期学业质量阳光指标调研卷暨6月期末考试+数学试卷（含答案），文件包含江苏省苏州市2023-2024学年高二年级下学期学业质量阳光指标调研卷暨6月期末考试+数学试卷docx、江苏省苏州市2023-2024学年高二年级下学期学业质量阳光指标调研卷暨6月期末考试+数学试卷答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。

苏州市2023~2024 学年第二学期学业质量阳光指标调研卷
高二数学
2024.6
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本卷共4页，包含单项选择题（第1 题～第8题）、多项选择题（第9 题～第1l 题）、填空
题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回.
2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡
的规定位置.
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用
0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚.
一、选择题：本题共8小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.函数f(x) = -x2+1在[1,1.1]上的平均变化率为 ()
A. 0.21B. 2.1 C. －0.21 D.-2.1
【答案】D【解析】
【分析】根据平均变化率的公式计算即可.
【详解】函数f(x) = -x2+1在[1,1.1]上的平均变化率= -2.1.
故选:D
2. 设全集U= {-3,-1,0,1,3}，集合A = {-1,0,1}，B = {yy= 3x,x ∈A}，则A∩CUB = ( )
A. {-3,0,3}B. {-1,0,1} C. {-1,1} D. {0}
【答案】C【解析】
【分析】先求出集合B，再根据补集和交集的定义即可得解.
【详解】B = {yy= 3x,x ∈A}= {-3,0,3}，则CUB= {-1,1}，
所以A∩CUB = {-1,1}.
故选：C.
3. 对于满足n ≥ 4 的任意正整数n ，4×5×...×n =()
—4 D. A—3
【答案】D【解析】
【分析】根据排列数公式即可判断.
【详解】易得4×5×...×n =A-3，
故选：D.
4.已知a,b ∈R ,则“a>b>0”是“a+1>b+1”的什么条件
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】
【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可.
【详解】充分性：a >b >0 → a+1>b+1，充分性成立；
必要性：当a = —2,b = —1时，a+1>b+1 成立，但a b>0”是“a+1>b+1”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于常考题.
5.已知幂函数f(x) = (m2 +m—1)x—2m+1在(0,+∞)上单调递减，则实数m 的值为 ( )
A.—2或1 B. —1或2C.1 D. —2
【答案】C【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可.
【详解】因为幂函数f(x) = (m2 +m—1)x—2m+1在(0,+∞)上单调递减，
所以1，解得m = 1.
故选：C.
6. 在一个口袋中装有大小和质地均相同的5 个白球和3 个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为()
3 3 4 1
A. B. C. D.
16 852
【答案】B【解析】
【分析】借助全概率公式计算即可得.
【详解】设事件A 为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色，事件B 为第二次再从中随机摸出一个球是黄球，
则P(B)=P(A).P (BA)+P (A).P (B A)
故选：B.
7.设a = ，b = lg32，c= +sin，则
A. a>b>cB. c >b >aC.a>c>bD. b>a>c
【答案】A【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较a,b ，构造函数f(x)= x—sinx，利用导数判断函数
的单调性，即可比较,sin的大小，进而可比较b,c 的大小，即可得解.
因为a== lg33= lg327>lg325= lg35>lg34= lg32，
所以a >b ，
令f(x)= x —sinx，则f/(x)=1—csx ≥ 0，所以f(x)在R 上为增函数，
所以即—sin所以>sin则b = lg32 >lg3+sin ，即b >c，
综上所述，a >b >c .故选：A.
8.已知5 名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有 ()
A. 48 种 B. 60 种 C. 66种 D. 72种
【答案】B【解析】
【分析】分甲站在正中间与甲不站在正中间讨论即可得.
【详解】若甲站在正中间，则共有AA种排法，
若甲不站在正中间，先排甲有C种，再排乙有C种，最后三人任意排有A种，则共有CCA种排法，
综上，共有AA+CCA=24+36 = 60 种不同排法.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 下列说法中正确的有()
A. 若随机变量x，y 满足经验回归方程= —0.02x +49.76 ，则x，y 的取值呈现正相关
B. 若随机变量X~ N(3,σ) ，且P(X>6) = 0.15 ，则P(X <0) = 0.15
C. 若事件A,B 相互独立，则P(A|B) =P(A)
D. 若5 件产品中有2 件次品，采取无放回的方式随机抽取3 件，则抽取的3 件产品中次品数为1的概率是
3
5
【答案】BCD【解析】
【分析】根据回归方程即可判断A；根据正态分布的对称性即可判断B；根据相互独立事件的概率公式及条件概率公式即可判断C；根据古典概型的概率公式即可判断D.
【详解】对于A，因为随机变量x ，y 满足经验回归方程= —0.02x+49.76，所以x ，y 的取值呈现负相关，故A错误；
对于B，因为随机变量X~N(3,σ) ，且P(X>6) = 0.15， 所以P(X <0)= P(x >6)= 0.15 ，故B正确；
对于C，若事件A,B 相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)，
所以P(A | B)== P(A)，故C正确；
对于D，由题意抽取的3 件产品中次品数为1的概率，故D正确.
故选：BCD.
10. 拐点（InflectinPint）又称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点，直观地说，是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）．拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．设函数f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，且函数g(x) =f/(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，若
彐x0∈(a,b) ，使得g/(x0 )=0 ，且在x = x0 的两侧g/(x)的符号相反，则称点(x0,f(x0))为曲线y =f(x) 的
拐点．以下函数具有唯一拐点的有 ()
=x3+x2B.f，x >0
C. f(x) = ax —x2（a >0 ，且a ≠ 1）D.f(x) =lnx+sinx
【答案】AC 【解析】
【分析】拐点即二阶导数的变号零点，求出二阶导数以后逐一分析即可，其中D需要找到两个拐点即可排除D.
对于A：g=3x2+2x ，g/= 6x+2 ，令g/= 0得x = -
当x >—时，g/(x)>0 ，当x <—时，g/(x)<0 ，所以(|(—,),| 是函数f(x)的拐点，
故A正确；
对于B：g (x)= f/(x)=x2 —，g/(x)= 2x +，x>0，令g/(x)=0 ，方程无解，所以f(x)无拐
点，故B错误；
对于C：g(x)= f/(x)=axlna—2x ，g/(x)=axln2a—2 ，令g/(x)= 0得x = lga，当a>1且x>lga时，g/(x)>0 ，当a>1且当x 当0 lga 时，g/(x)<0 ，当0 0，
—lg，所以是函数f(x)唯一拐点，故C
正确；
对于D：g (x)= f/(x)= +csx ，g/(x)= ——sinx，因为g/(π)
/(3π)
0,g|(2,|
0 ，所以g/(x)=0在
至少有一个零点x1且为变号零点，
又因为g/|((—,)| >0,g/(—π)<0 ，所以g/(x)=0在(|(—π,—),|至少有一个零点x2且为变号零点所以f(x)
有拐点但不唯一，故D 错误.故选：AC
11.已知定义域为R的连续函数f(x) 满足exf(x —y) = ex+yf(x)+f(—y) ，f(—1) = —e2，则 ( )
A.f(0) =0B.exf(x)为奇函数
C.f(x) 在(—∞,0)上单调递减D.f(x) 在(0,+∞)上的最大值为1
【答案】ABD 【解析】
【分析】令x = y = 0 ，即可判断A；由exf(x —y) = ex+yf(x)+f(—y) ，得
ex—yf(x—y) = exf(x)+e—yf(—y) ，令g(x)=exf(x) ，则g(x—y)=g(x)+g(—y)，令x = y = 0 ，即可判断B；关于x 求导得，g/(x—y)=g/(x)，从而可求出g(x)d的解析式，进而可求出f(x)的解析式，再利用导数即可判断CD.
【详解】对于A，令x = y = 0，
则f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0 ，故A正确；
对于B，由exf(x—y) = ex+yf(x)+f(—y) ，得ex—yf(x—y)= exf(x)+e—yf(—y)，
令g(x)=exf(x) ，则g(x—y)=g(x)+g(—y)，
令x = y = 0 ，则g(0)= g(0)+g(0)，所以g(0)= 0，令y = x ，则g(0)= g(x)+g(—x)= 0，
所以g(x)为奇函数，即exf(x)为奇函数，故B 正确；由g(x—y)=g(x)+g(—y)，
关于x 求导得，g/(x—y)=g/(x)，
令—y =Δx,h(x)=g/(x)，
所以h(x)= C（C为常数），即g/(x)= C，所以g(x)= Cx+t （C,t 为常数），
因为g (0)=0,g(—1)=e—1×(—e2)= —e，
所以=ex，所以f，则
当x <1时，f/(x)>0 ，当x >1时，f/(x)<0，
所以f(x)在(—∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)max=f(1)=1，故C 错误；D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：由exf(x—y) = ex+yf(x)+f(—y) ，得出ex—yf(x—y) = exf(x)+e—yf(—y) ，是解决本题的关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5 分，共15 分.
12.89被6除所得的余数为.
【答案】2【解析】
【分析】把89用二项式定理展开，把问题转化为29被6的余数.
【详解】89= (6+2)9=C69+C68×2+C67×22+……C6×28 +C29 ，
展开式的前9项都能被6整除，只有最后一项不能被6整除，所以问题转化为29被6的余数，而29= 512 ，被6除的余数为2 ，所以89被6除的余数为2 .
故答案为：2
13.已知随机变量x ，y的五组观测数据如下表：
x
1
2
3
4
5
由表中数据通过模型y = emx+n得到经验回归方程为= e2.6x一3.8，则实数a的值为.
【答案】e4【解析】
【分析】令z = lny，则= 2.6x 一3.8 ，求出x,z，再根据线性回归方程必过样本中心点即可得解.【详解】令z = lny，
因为= e2.6x一3.8，所以= 2.6x 一3.8，
所以2.6×3一3.8 = ，解得a =e4.
故答案为：e4.
14.已知函数f(x) =x3 +ax2 +bx +c(a,b,c ∈R) ，若关于x的不等式f(x) <0 的解集为{x | x 则f(x) 的极小值为.
【答案】一4【解析】
【分析】结合三次函数的性质可得函数解析式，借助导数可得其单调性即可得其极小值.
【详解】由题意可得f(x) = x3 +ax2 +bx +c = (x 一t 一3)(x一t)2，即f/(x)= (x一t)2 +2(x 一t 一3)(x 一t)=3(x一t)(x一t 一2)，
当x∈(一∞,t)(t +2,+∞)时，f/(x)>0 ，当x ∈(t,t +2)时，f/(x)<0，
故f(x) 在(一∞,t)、(t +2,+∞)上单调递增，在(t,t +2)上单调递减，共有f(x)的极小值为f(t +2)= (t +2一t 一3)(t +2一t)2= 一1×22=一4.故答案为：一4.
四、解答题：本题共5小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知(1一3x)n （其中x ∈Rn ∈N* ）的展开式中第2 项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36 .
（1）求n；
y
一1.1
e
1.6e
a
6.5e
e9
（2）记(1—3x)n= a0 +a1x +a2x2 + ...+anxn ，求—+—+...+ (—1)n的值.
【答案】（1）8
（2）255
【解析】
【分析】（1）根据第2 项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36得C+C=36 ，即可求n；
先令x = 0 ，则a0 = 1 ，再令x = -，则28= a0 —即可求解.
【小问1详解】
由题意，二项式(1—3x)n 的通项公式为Tr+1 = C(—3x)r ，
根据第2 项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36得
C+C=36 ，即n2+ n—72 = 0，n∈N*
解得n = 8 .
【小问2 详解】
由（1）可知(1—3x)8= a0 +a1x +a2x2 +…+a8x8，令x =0 ，则a0= 1，
令则28=a0—
16.已知某射击运动员每次射击命中10 环的概率为，每次射击的结果相互独立，共进行4次射击.
（1）求恰有3次命中10 环的概率；
（2）求至多有3次命中10 环的概率；
（3）设命中10 环的次数为X，求随机变量X 的数学期望E(X)和方差D(X) .
【答案】（1）（2）
（3）；DX=
【解析】
【分析】（1）直接根据二项分布的概率公式计算即可；
（2）用对立事件法求概率；
（3）直接代入二项分布的期望和方差公式即可.【小问1详解】
设运动员每次射击命中10 环为随机变量ξ,则由题意可知则恰有3次命中10 环的概率即
【小问2 详解】
至多有3次命中10环的概率即= 1—P= 1—C
【小问3详解】
17.已知函数为奇函数.
（1）设函数+t，求g+...+g的值；
（2）若关于x的方程f(4x +3)+f (—a .2x —a)= 0 有实数根，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）2023
（2）a ≥2
【解析】
【分析】（1）由函数f(x)为奇函数可得f(0)= 0 ，即可求出a ，再求出g(x)+g(1—x)的值即可得解；（2）先判断函数 f(x) 的 单调性 ，根据函数f(x) 为 奇函数可得f(4x +3)= —f(—a .2x —a)= f(a .2x +a)，则问题转化为关于x的方程4x +3 = a .2x +a ，分离参数，
再结合基本不等式即可得解.【小问1详解】
函数的定义域为R ，
因为函数为奇函数， 所以= 0 ，即= 0 ，所以t = 1，
经检验，符合题意，
因为f(x)为奇函数，所以f(x)+f(x)=0，
所以+...+g
「( 1)(2023)7「( 2)(2022)7 「(2023) (1)7
=
gL(|2024,|+g (|2024,|」| +gL|(2024,|+g |(2024,|」| +...+Lg(|2024,|+g|(2024,|」|
2
【小问2详解】
因为y= 2x +1是R 上的增函数，且恒大于零，所以f(x)在R 上单调递减，
由f(4x +3)+f (a .2x a)= 0 ，
得f(4x +3)= f(a.2xa)= f(a .2x +a)，
所以4x +3 = a.2x+a，即a==2x +1+
因为关于x的方程f(4x +3)+f (a .2xa)= 0 有实数根，
所以关于x的方程a = 2x +1+2有实数根，
当且仅当2x +1=，即x =0 时取等号，
所以a ≥2 .
18. 某学校组织100名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1 顶帽子，学校统计学生所领帽
子的颜色，得到了如下2×2列联表.
（1）是否有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”；
（2）在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1 号到7 号的7 个箱子，现从中随机选取4 个箱子，
①求所选的4 个箱子的标号数之和为奇数的概率；
②记所选的箱子中有X对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2 和2，3为2 对相邻序号，
所以X = 2），求随机变量X 的分布列和数学期望E(X) .
附：，其中n = a+b+c+d.
【答案】（1）有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.
（2）分布列见解析
【解析】
【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论；
（2）根据古典概型计算概率；根据题意求离散型随机变量的可能取值及相应概率，列出分布列，根据数学期望公式计算出结果；
【小问1详解】
零假设H0:喜好红色或蓝色与性别无关，
红色
蓝色
合计
男
20
25
45
女
40
15
55
合计
60
40
100
α
0.1
005
.
0.01
xa
2.706
3.841
6.635
所以，根据独立性检验，没有充分证据推断H0成立，因此有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.【小问2 详解】
①根据题意可知箱子的标号有4 个奇数3 个偶数，
标号为1号到7号的7 个箱子，现从中随机选取4 个箱子，设事件A 记为所选的4 个箱子的标号数之和为奇数，
②标号为1号到7号的7 个箱子，现从中随机选取4 个箱子，则选取4个箱子的所有情况有
{1456,1457,1467,1567,2345,2346,2347,2356,2357,2367,2456,2457,2467,2567,3456, }
[1234,1235,1236,1237,1245,1246,1247,1256,1257,1267,1345,1346,1347,1356,1357,1367,)
l3457,3467,3567,4567J
记所选的箱子中有X对相邻序号，可得X = 0,1,2,3, 则
所以随机变量X的分布列为
因此数学期望
19.已知函数f(x)=(x+1)lnx.
（1）求曲线y =f(x) 在x =1处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f(x) >m(x 1)在(1,+∞)上恒成立，求实数m 的最大值；
（3）若关于x的方程f(x)+ax2 +(a +1)x +1= 0(a ∈R) 有两个实根x1 ，x2(x1 ≠ x2 )，求证：
X
3
P
4
35
【答案】（1）y = 2x—2（2）2
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2 ）由题意可得(x+1)lnx—m(x—1)>0在(1,+∞) 上恒成立，则可构造函数g(x)=(x+1)lnx—m(x—1)，求导后分m ≤2及m>2 讨论其单调性，在m>2 时结合零点的存在性定理研究，即可得m 的具体范围，即可得其最大值；
（3）借助因式分解可将原问题转化为lnx+ax+1=0 有两个实根，借助导数研究其单调性可得两根范围，
借助换元法，令t1=，t2 =，可得两式作差可得a =—，从而将证明
(t1)2
—2a <1+1 转化为证明lnt1 +1—|(t2,|>0 ，借助换元法令t1 = n >1 ，即证ln n+ 1—n2>0 ，构造相
x1 x2t2 2. t1 t2 2n
2
t
应函数，借助导数即可证明；再借助（2）中所得，结合两实根的范围，可得即
可得{[l—aa(t)1>—(t2—()—3)，两式作差即可得证+【小问1详解】
又f(1)=(1+1)ln1= 0 ，则有y —0 =2(x—1)，即曲线y = f(x) 在x = 1处的切线方程为y =2x—2；【小问2 详解】
由题意可得(x+1)lnx—m(x—1)>0在(1,+∞)上恒成立，
令g(x)=(x+1)lnx—m(x—1)，则g/(x)= lnx +1+—m，
则当x ∈(1,+∞) 时，α/(x)>0 ，故g/(x)在(1,+∞) 上单调递增，
则当时，g/= ln1+1+—m = 2—m，
当m ≤2时，g/(x)>2—m ≥ 0 ，故g(x)在(1,+∞) 上单调递增，有g(x)>g(1)=2ln1—m(1—1)= 0 ，符合要求，
当m>2时，由g/= 2—m <0 ，g/= lnem+1+—m= 1+
则存在x0∈(1,em) ，使g/(x0)=0 ，即当x∈(1,x0)时，g/(x)<0，当x ∈(x0,+∞)，g/(x)>0，
故g(x)在(1,x0 )上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
则g(x0)f(x)+ax2+(a+1)x +1= (x+1)lnx+(ax+1)(x+1)=(x+1)(lnx +ax+1)=0，由x >0，即有lnx+ax+1=0 有两个实根x1 ，x2(x1 ≠ x2)，
令μ(x)= lnx+ax+1，μ/(x)=+a，
当a ≥ 0 时，μ/(x)= +a>0恒成立，μ(x)=0不可能有两个实根，故舍去； 当a <0，则x∈时，当x∈(|(—,+∞),|时，μ/(x)<0，
故μ(x)在(|(0,—),|上单调递增，在(|(—,+∞),|上单调递减，则有—1+1= —ln>0 ，即a ∈
又μ(1)= ln1+a+1=a+1>0，
不妨令x1 有{一12，令t1 =，t2=，即有
则有+1一ln 一即lnt1一lnt2 =a(1tt1)，
即则要证一2a <+ ，只需证一故h(x)在(1,+∞)上单调递减，故h(x)即有lnn+12>0 在n >1时恒成立，故一2a<+得证；
由（2）可知，当m = 2 时，f(x) >m(x 一1)在(1,+∞)上恒成立，
1
由0 1 、0a
又，即，即即，则有a
整理得a(t1-t2)>t-t-3(t1-t2)，即a >t1+t2 -3 ，即t1+t2即综上，-2a <x1x2
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助换元法，令t1=，从而将证明
-2a <x1x2