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    中考数学解题大招复习讲义(全国通用)专题52一次函数背景下的将军饮马问题(原卷版+解析)

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    中考数学解题大招复习讲义(全国通用)专题52一次函数背景下的将军饮马问题(原卷版+解析)

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    这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)专题52一次函数背景下的将军饮马问题(原卷版+解析),共43页。学案主要包含了求线段之和的最小值等内容,欢迎下载使用。
    方法点拨
    一、求线段之和的最小值
    1、在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小;
    (1)点A、B在直线m两侧:


    (2)点A、B在直线同侧:


    A、A’ 是关于直线m的对称点。
    2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。
    (1)两个点都在直线外侧:


    (2)一个点在内侧,一个点在外侧:

    (3)两个点都在内侧:

    (4)、台球两次碰壁模型

    变式一:已知点A、B位于直线m,n 的内侧,在直线n、m分别上求点D、E点,使得围成的四边形ADEB周长最短.
    变式二:已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

    例题精讲
    【例1】.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为 .
    变式训练
    【变1-1】.已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为( )
    A.(1,)B.(,)C.(,)D.(,)
    【变1-2】.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点B在原点,点A、C在坐标轴上,点D的坐标为(6,4),E为CD的中点,点P、Q为BC边上两个动点,且PQ=2,要使四边形APQE的周长最小,则点P的坐标应为 .
    【例2】.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(1,3),点B坐标为(4,1),点C在x轴上,点D在y轴上,则以A、B、C、D为顶点的四边形的周长的最小值是 .
    变式训练
    【变2-1】.如图所示,已知点C(1,0),直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是线段AB,OA上的动点,则△CDE的周长的最小值是( )
    A.4B.10C.4D.12
    【变2-2】.如图,正比例函数的图象与反比例函数(k≠0)在第一象限的图象交于A点,过A点作x轴的垂线,垂足为M,已知△OAM的面积为1.如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P ,使PA+PB最小.

    1.如图,一次函数y=x+4的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,点C(﹣2,0)是x轴上一点,点E,F分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点,当△CEF周长最小时,点E,F的坐标分别为( )
    A.E(﹣,),F(0,2)B.E(﹣2,2),F(0,2)
    C.E(﹣,),F(0,)D.E(﹣2,2),F(0,)
    2.如图所示,直线y=x+4与两坐标轴分别交于A,B两点,点C是OB的中点,D,E分别是直线AB和y轴上的动点,则△CDE周长的最小值是 .
    4.如图所示,已知点C(1,0),直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是AB,OA上的动点,则△CDE周长的最小值是 .
    5.如图,在Rt△ABO中,∠OBA=90°,A(4,4),点C在边AB上,且=,点D为OB的中点,点P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为 P( , ) .
    6.如图,平面直角坐标系中,直线y=x+8分别交x轴,y轴于A,B两点,点C为OB的中点,点D在第二象限,且四边形AOCD为矩形.动点P为CD上一点,PH⊥OA,垂足为H,点Q是点B关于点A的对称点,当BP+PH+HQ值最小时,点P的坐标为 .
    7.如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A,B,C在小正方形的顶点上.
    (1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C';
    (2)在直线l上找一点P,使PA+PB的长最短.
    8.如图,已知△ABC三个顶点坐标分别为A(0,4),B(﹣2,﹣2),C(3,0),点P在线段AC上移动.当点P坐标为(1,m)时,请在y轴上找点Q,使△PQC周长最小.
    9.如图,直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A、B,直线l1、l2交于点C.
    (1)求点D的坐标;
    (2)求直线l2的解析表达式;
    (3)在x轴上求作一点M,使BM+CM的和最小,直接写出M的坐标.
    10.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x轴交于点B,与y轴交于点C,与直线y=x交于点A,点M是y轴上的一个动点,设M(0,m).
    (1)若MA+MB的值最小,求m的值;
    (2)若直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形,请求出m的值,并说明理由.
    11.如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A、B、C三点不在同一条直线上.
    (1)求AB的长;
    (2)求△ABC的周长的最小值;
    (3)若D(3,4),连接AD、CD,是否存在点C,使得△ACD的面积与6?若存在,求出点C,若不存在,说明理由.
    12.如图,一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B,以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC,使∠BAC=90°.
    (1)分别求点A、C的坐标;
    (2)在x轴上求一点P,使它到B、C两点的距离之和最小.
    13.如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴,y轴分别交于点A(4,0),B(0,2).
    (1)求该一次函数的表达式.
    (2)O为坐标原点,D为AB的中点,OC=1,点P为y轴上的动点,求PC+PD的最小值,并求出此时点P的坐标(用两种不同的方法求解).
    14.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣1,﹣1)和点B(1,﹣3).求:
    (1)求一次函数的表达式;
    (2)求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积;
    (3)请在x轴上找到一点P,使得PA+PB最小,并求出P的坐标.
    15.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上,AB=AC,∠BAC=90°,且A(2,0)、B(3,3),BC交y轴于M,
    (1)求点C的坐标;
    (2)连接AM,求△AMB的面积;
    (3)在x轴上有一动点P,当PB+PM的值最小时,求此时P的坐标.
    16.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+8分别交x轴,y轴于A、B两点,已知A点坐标(6,0),点C在直线AB上,横坐标为3,点D是x轴正半轴上的一个动点,连接CD,以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE,且∠CDE=90°.
    (1)求直线AB的解析式以及C点坐标;
    (2)设点D的横坐标为m,试用含m的代数式表示点E的坐标;
    (3)如图2,连接OC,OE,请直接写出使得△OCE周长最小时,点E的坐标.
    17.如图,在平面直角坐标系中,点A(a,0),AB⊥x轴,且AB=10,点C(0,b),a,b满足b=++15.点P(t,0)是线段AO上一点(不包含A,O).
    (1)当t=5时,求PB:PC的值;
    (2)当PC+PB最小时,求t的值;
    (3)请根据以上的启发,解决如下问题:正数m,n满足m+n=10,且正数p=+,则正数p的最小值= .

    模型介绍
    方法点拨
    一、求线段之和的最小值
    1、在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小;
    (1)点A、B在直线m两侧:


    (2)点A、B在直线同侧:


    A、A’ 是关于直线m的对称点。
    2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。
    (1)两个点都在直线外侧:


    (2)一个点在内侧,一个点在外侧:

    (3)两个点都在内侧:

    (4)、台球两次碰壁模型

    变式一:已知点A、B位于直线m,n 的内侧,在直线n、m分别上求点D、E点,使得围成的四边形ADEB周长最短.
    变式二:已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

    例题精讲
    【例1】.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为 (3,) .
    解:如图,作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.
    ∵D(,0),A(3,0),
    ∴H(,0),
    ∴直线CH解析式为y=﹣x+4,
    ∴x=3时,y=,
    ∴点E坐标(3,),
    故答案为:(3,).
    变式训练
    【变1-1】.已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为( )
    A.(1,)B.(,)C.(,)D.(,)
    解:如图,连接AC交OB于K,作KH⊥OA于H.
    ∵四边形ABCD 是菱形,
    ∴AC⊥OB,A、C关于对角线OB对称,
    ∴PC=PA,
    ∴PC+PD=PA+PD,
    ∴当D、P、A共线时,PC+PD的值最小,
    在Rt△OAK中,∵OK=2,OA=5,
    ∴AK==,
    ∵KH⊥OA,
    ∴KH==2,OH==4,
    ∴K(4,2),
    ∴直线OK的解析式为y=x,
    直线AD的解析式为y=﹣x+1,
    由,解得,
    ∴OB与AD的交点P′(,),
    ∴当点P与P′重合时,CP+DP最短时,点P的坐标为(,),、
    故选:D.
    【变1-2】.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点B在原点,点A、C在坐标轴上,点D的坐标为(6,4),E为CD的中点,点P、Q为BC边上两个动点,且PQ=2,要使四边形APQE的周长最小,则点P的坐标应为 (,0) .
    解:点A向右平移2个单位到M,点E关于BC的对称点F,连接MF,交BC于Q,
    此时MQ+EQ最小,
    ∵PQ=2,DE=CE=2,AE=,
    ∴要使四边形APQE的周长最小,只要AP+EQ最小就行,
    即AP+EQ=MQ+EQ,过M作MN⊥BC于N,
    设CQ=x,则NQ=6﹣2﹣x=4﹣x,
    ∵△MNQ∽△FCQ,

    ∵MN=AB=4,CF=CE=2,CQ=x,QN=4﹣x,
    ∴,
    解得:x=,
    ∴BP=6﹣2﹣=,
    故点P的坐标为:(,0).
    故答案为:(,0).
    【例2】.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(1,3),点B坐标为(4,1),点C在x轴上,点D在y轴上,则以A、B、C、D为顶点的四边形的周长的最小值是 + .
    解:如图,作点A关于y轴的对称点A′,点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′交x轴于C,交y轴于D,连接AD,CD,BC,AB,四边形ABCD的周长最小.
    由作图可知:AD=DA′,BC=CB′,A′(﹣1,3),B′(4,﹣1)
    ∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD
    =AB+B′C+CD+DA′
    =AB+A′B′
    =+
    =+,
    故答案为+.
    变式训练
    【变2-1】.如图所示,已知点C(1,0),直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是线段AB,OA上的动点,则△CDE的周长的最小值是( )
    A.4B.10C.4D.12
    解:作点C关于y轴的对称点C',作点C关于y=﹣x+7的对称点C'',连接C'C'',则△CDE的周长的最小值为C'C''的长;
    ∵C(1,0),
    ∴C'(﹣1,0),
    设C''(m,n),则有
    =﹣+7,=1,
    ∴m=7,n=6,
    ∴C''(7,6),
    ∴C'C''=10;
    故选:B.
    【变2-2】.如图,正比例函数的图象与反比例函数(k≠0)在第一象限的图象交于A点,过A点作x轴的垂线,垂足为M,已知△OAM的面积为1.如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P (,0) ,使PA+PB最小.
    解:设A点的坐标为(a,b),则,
    ∴ab=k,
    ∵,

    ∴k=2,
    ∴反比例函数的解析式为.
    根据题意画出图形,如图所示:
    联立得,
    解得,
    ∴A为(2,1),
    设A点关于x轴的对称点为C,则C点的坐标为(2,﹣1).
    令直线BC的解析式为y=mx+n
    ∵B为(1,2),
    将B和C的坐标代入得:,
    解得:
    ∴BC的解析式为y=﹣3x+5,
    当y=0时,,
    ∴P点为(,0).
    故答案为:(,0).

    1.如图,一次函数y=x+4的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,点C(﹣2,0)是x轴上一点,点E,F分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点,当△CEF周长最小时,点E,F的坐标分别为( )
    A.E(﹣,),F(0,2)B.E(﹣2,2),F(0,2)
    C.E(﹣,),F(0,)D.E(﹣2,2),F(0,)
    解:作C(﹣2,0)关于y轴的对称点G(2,0),作C(2,0)关于直线y=x+4的对称点D,连接AD,连接DG交AB于E,交y轴于F,如图:
    ∴DE=CE,CF=GF,
    ∴CE+CF+EF=DE+GF+EF=DG,此时△CEF周长最小,
    由y=x+4得A(﹣4,0),B(0,4),
    ∴OA=OB,△AOB是等腰直角三角形,
    ∴∠BAC=45°,
    ∵C、D关于AB对称,
    ∴∠DAB=∠BAC=45°,
    ∴∠DAC=90°,
    ∵C(﹣2,0),
    ∴AC=OA﹣OC=2=AD,
    ∴D(﹣4,2),
    由D(﹣4,2),G(2,0)可得直线DG解析式为y=﹣x+,
    在y=﹣x+中,令x=0得y=,
    ∴F(0,),
    由得,
    ∴E(﹣,),
    ∴E的坐标为(﹣,),F的坐标为(0,),
    故选:C.
    2.如图所示,直线y=x+4与两坐标轴分别交于A,B两点,点C是OB的中点,D,E分别是直线AB和y轴上的动点,则△CDE周长的最小值是 2 .
    解:如图,作点C关于AB的对称点F,关于AO的对称点G,连接DF,EG,
    ∵直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点,点C是OB的中点,
    ∴A(0,4),B(﹣4,0),C(﹣2,0),
    ∴BO=4,OG=2,BG=6,OA=OB,
    ∴∠ABC=45°,
    ∴△BCF是等腰直角三角形,
    ∴BF=BC=2,
    由轴对称的性质,可得DF=DC,EC=EG,
    当点F,D,E,G在同一直线上时,△CDE的周长=CD+DE+CE=DF+DE+EG=FG,
    此时△DEC周长最小,
    ∵Rt△BFG中,FG==2,
    ∴△CDE周长的最小值是2.
    故答案为:2.
    3.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P在线段AB上,PC⊥x轴于点C,则△PCO周长的最小值为 3+3 .
    解:设点P(m,m+3),则PC=m+3,OC=﹣m,
    △PCO周长=OP+OC+PC=OP+m+3﹣m=3+PO,
    即△PCO周长取得最小值时,只需要OP最小即可,
    故点O作OD⊥AP,当点D、P重合时,OP(OD)最小,
    △AOB为等腰直角三角形,则BOD也为等腰三角形,
    设:OD=a,则DO=BD=a,
    由勾股定理得:2a2=(3)2,解得:a=3=OD=OP,
    故△PCO周长的最小值=3+PO=3+3,
    故答案为:3+3.
    4.如图所示,已知点C(1,0),直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是AB,OA上的动点,则△CDE周长的最小值是 10 .
    解:如图,点C关于OA的对称点C′(﹣1,0),点C关于直线AB的对称点C″,
    ∵直线AB的解析式为y=﹣x+7,
    ∴直线CC″的解析式为y=x﹣1,
    由解得,
    ∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K(4,3),
    ∵K是CC″中点,
    ∴可得C″(7,6).
    连接C′C″与AO交于点E,与AB交于点D,此时△DEC周长最小,
    △DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″==10.
    故答案为10.
    5.如图,在Rt△ABO中,∠OBA=90°,A(4,4),点C在边AB上,且=,点D为OB的中点,点P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为 P(,) .
    解:∵在Rt△ABO中,∠OBA=90°,A(4,4),
    ∴AB=OB=4,∠AOB=45°,
    ∵=,点D为OB的中点,
    ∴BC=3,OD=BD=2,
    ∴D(2,0),C(4,3),
    作D关于直线OA的对称点E,连接EC交OA于P,
    则此时,四边形PDBC周长最小,E(0,2),
    ∵直线OA 的解析式为y=x,
    设直线EC的解析式为y=kx+b,
    ∴,
    解得:,
    ∴直线EC的解析式为y=x+2,
    解得,,
    ∴P(,),
    故答案为:(,).
    6.如图,平面直角坐标系中,直线y=x+8分别交x轴,y轴于A,B两点,点C为OB的中点,点D在第二象限,且四边形AOCD为矩形.动点P为CD上一点,PH⊥OA,垂足为H,点Q是点B关于点A的对称点,当BP+PH+HQ值最小时,点P的坐标为 (﹣4,4) .
    解:BP+PH+HQ有最小值,
    理由是:∵直线y=x+8分别交x轴,y轴于A,B两点,点C为OB的中点,
    ∴OB=8,OA=6,OC=4,
    连接PB,CH,HQ,则四边形PHCB是平行四边形,如图,
    ∵四边形PHCB是平行四边形,
    ∴PB=CH,
    ∴BP+PH+HQ=CH+HQ+4,
    ∵BP+PH+HQ有最小值,即CH+HQ+4有最小值,
    ∴只需CH+HQ最小即可,
    ∵两点之间线段最短,
    ∴当点C,H,Q在同一直线上时,CH+HQ的值最小,
    过点Q作QM⊥y轴,垂足为M,
    ∵点Q是点B关于点A的对称点,
    ∴OA是△BQM的中位线,
    ∴QM=2OA=12,OM=OB=8,
    ∴Q(﹣12,﹣8),
    设直线CQ的关系式为:y=kx+b,
    将C(0,4)和Q(﹣12,﹣8)分别代入上式得:

    解得:,
    ∴直线CQ的关系式为:y=x+4,
    令y=0得:x=﹣4,
    ∴H(﹣4,0),
    ∵PH∥y轴,
    ∴P(﹣4,4),
    故答案为:(﹣4,4).
    7.如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A,B,C在小正方形的顶点上.
    (1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C';
    (2)在直线l上找一点P,使PA+PB的长最短.
    解:(1)如图,△A′B′C′即为所求.
    (2)如图,点P即为所求.
    8.如图,已知△ABC三个顶点坐标分别为A(0,4),B(﹣2,﹣2),C(3,0),点P在线段AC上移动.当点P坐标为(1,m)时,请在y轴上找点Q,使△PQC周长最小.
    解:∵A(0,4),C(3,0),
    设直线AC的解析式为y=kx+b,
    ∴,解得,
    ∴直线AC的解析式为y=﹣x+4;
    ∵点P在线段AC上移动,点P坐标为(1,m),
    ∴m=﹣×1+4=,
    ∴P(1,),
    作P点关于y轴的对称点P′,连接P′C交y轴于Q,此时PQ+QC=P′C,根据两点之间线段最短,Q就是使△PQC周长最小的点;
    则P′(﹣1,),
    设直线P′C的解析式为y=mx+n,
    ∴,解得,
    ∴直线P′C的解析式为y=﹣x+2,
    ∴Q点的坐标为(0,2).
    9.如图,直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A、B,直线l1、l2交于点C.
    (1)求点D的坐标;
    (2)求直线l2的解析表达式;
    (3)在x轴上求作一点M,使BM+CM的和最小,直接写出M的坐标.
    解:(1)∵直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3,且l1与x轴交于点D,
    当y=0时,x=1,
    ∴D(1,0).
    (2)设直线l2的解析式为y=kx+b,则有,
    解得,
    ∴y=x﹣.
    (3)如图,由,解得,
    ∴C(,﹣),
    作点C关于x轴的对称点C′(,),
    ∴直线BC′的解析式为y=﹣x+,
    ∴M(,0).
    10.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x轴交于点B,与y轴交于点C,与直线y=x交于点A,点M是y轴上的一个动点,设M(0,m).
    (1)若MA+MB的值最小,求m的值;
    (2)若直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形,请求出m的值,并说明理由.
    解:(1)直线y=﹣2x+10与x轴交于点B,与y轴交于点C,
    ∴B(5,0),C(0,10),
    解得,
    ∴A(4,2),
    ∴A点关于y轴的对称点A′(﹣4,2),
    如图1,连接A′B,交y轴的交点为M,
    此时MA=MA′,MA+MB=MA′+MB=A′B,MA+MB的值最小,
    设直线A′B的解析式为y=kx+b,
    把A′(﹣4,2),B(5,0)代入得,
    解得k=﹣,b=,
    ∴直线A′B的解析式为y=﹣x+,
    把M(0,m)代入得,m=;
    (2)如图2,∵A(4,2),B(5,0),C(0,10),
    ∴OA2=42+22=20,AC2=(4﹣0)2+(2﹣10)2=80,OC2=102=100,
    ∴OA2+AC2=OC2,
    ∴△OAC是以OC为斜边的直角三角形,
    若M点是OC的中点,则AM=OC,此时直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形,
    ∴M(0,5),
    ∴m=5.
    11.如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A、B、C三点不在同一条直线上.
    (1)求AB的长;
    (2)求△ABC的周长的最小值;
    (3)若D(3,4),连接AD、CD,是否存在点C,使得△ACD的面积与6?若存在,求出点C,若不存在,说明理由.
    解:(1)作AD⊥OB于D,如图1所示:
    则∠ADB=90°,OD=1,AD=4,OB=3,
    ∴BD=3﹣1=2,
    ∴AB==2.
    (2)如图2中,
    要使△ABC的周长最小,AB一定,
    则AC+BC最小,
    作A关于y轴的对称点A′,连接BA′交y轴于点C,
    点C即为使AC+BC最小的点,
    作A′E⊥x轴于E.
    由对称的性质得:AC=A′C,
    则AC+BC=A′B,A′E=4,OE=1,
    ∴BE=4,
    由勾股定理得:A′B==4,
    ∴△ABC的周长的最小值为2+4.
    (3)存在.如图3中,设C(m,0).
    由题意:×2×|m﹣4|=6,
    解得m=10或﹣2,
    ∴满足条件的点C的坐标为(0,10)或(0,﹣2).
    12.如图,一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B,以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC,使∠BAC=90°.
    (1)分别求点A、C的坐标;
    (2)在x轴上求一点P,使它到B、C两点的距离之和最小.
    解:(1)作CD⊥x轴,
    ∵∠OAB+∠CAD=90°,∠CAD+∠ACD=90°,
    ∴∠OAB=∠ACD,
    在△ABO和△CAD中,

    ∴△ABO≌△CAD(AAS)
    ∴AD=OB,CD=OA,
    ∵y=﹣x+2与x轴、y轴交于点A、B,
    ∴A(3,0),B(0,2),
    ∴点C坐标为(5,3);
    (2)作C点关于x轴对称点E,连接BE,
    则E点坐标为(5,﹣3),将(0,2)(5,﹣3),代入y=ax+c中,

    解得:
    ∴直线BE解析式为y=﹣x+2,
    设点P坐标为(x,0),
    则(x,0)位于直线BE上,
    ∴点P坐标为(2,0).
    13.如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴,y轴分别交于点A(4,0),B(0,2).
    (1)求该一次函数的表达式.
    (2)O为坐标原点,D为AB的中点,OC=1,点P为y轴上的动点,求PC+PD的最小值,并求出此时点P的坐标(用两种不同的方法求解).
    解:(1)设一次函数表达式为y=kx+b,
    将A(4,0)B(0,2)代入得,
    解得:,
    所以一次函数表达式为y=﹣x+2;
    (2)法1:过点D作DE⊥OA,交OA于点E,
    ∵A(4,0),B(0,2),
    ∴OA=4,OB=2,
    又∵D为AB中点,DE∥OB,
    ∴DE为△BOA的中位线,
    ∴DE=OB=1,OE=OA=2,
    ∴D(2,1),
    作点D关于y轴的对称点D′,连接D′C交y轴于点P′,即为所求,
    ∴D′(﹣2,1),
    ∵∠D′=∠P′CO,∠D′HP′=∠P′OC,
    ∴△D′HP′∽△P′OC,
    ∴==2,
    ∴OP′=,
    ∴P′坐标为(0,),最小值为=;
    法2:求点D′的坐标部分同方法一,也可用中点坐标公式直接可得,
    设直线CD′的表达式为y=mx+n,
    把D′(﹣2,1),C(1,0)代入得:,
    解得:,
    ∴y=﹣x+,
    当x=0时,y=,
    则P′(0,),最小值为=.
    14.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣1,﹣1)和点B(1,﹣3).求:
    (1)求一次函数的表达式;
    (2)求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积;
    (3)请在x轴上找到一点P,使得PA+PB最小,并求出P的坐标.
    解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,
    把A(﹣1,﹣1)B(1,﹣3)代入得:﹣k+b=﹣1,k+b=﹣3,
    解得:k=﹣1,b=﹣2,
    ∴一次函数表达式为:y=﹣x﹣2;
    (2)设直线与x轴交于C,与y轴交于D,
    把y=0代入y=﹣x﹣2,
    解得x=﹣2,
    ∴OC=2,
    把x=0代入y=﹣x﹣2,
    解得:y=﹣2,
    ∴OD=2,
    ∴S△COD=×OC×OD=×2×2=2;
    (3)作A与A1关于x轴对称,连接A1B交x轴于P,则P即为所求,
    由对称知:A1(﹣1,1),
    设直线A1B解析式为y=ax+c,得﹣a+c=1,a+c=﹣3,
    解得:a=﹣2,c=﹣1,
    ∴y=﹣2x﹣1,
    令y=0得﹣2x﹣1=0,
    解得:x=﹣,
    ∴P(﹣,0).
    15.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上,AB=AC,∠BAC=90°,且A(2,0)、B(3,3),BC交y轴于M,
    (1)求点C的坐标;
    (2)连接AM,求△AMB的面积;
    (3)在x轴上有一动点P,当PB+PM的值最小时,求此时P的坐标.
    解:(1)如图1,作CD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,
    ∴∠CAD+∠DCA=90°,
    ∵∠BAC=90°,
    ∴∠CAD+∠BAE=90°,
    ∴∠BAE=∠ACD,
    在△CDA和△AEB中,

    ∴△CDA≌△AEB(AAS),
    ∴CD=AE,AD=BE,
    ∵A(2,0)、B(3,3),
    ∴OA=2,OE=BE=3,
    ∴CD=AE=1,OD=AD﹣OA=1,
    ∴C的坐标是(﹣1,1);
    (2)如图2,作BE⊥x轴于E,
    设直线BC的解析式为y=kx+b,
    ∵B点的坐标为(3,3),C点的坐标是(﹣1,1),
    ∴,
    解得,,
    ∴直线BC的解析式为y=x+,
    当x=0时,y=,
    ∴OM=,
    ∴△AMB的面积=梯形MOEB的面积﹣△AOM的面积﹣△AEB的面积
    =×(+3)×3﹣×2×﹣×1×3
    =;
    (3)如图3,作M关于x轴的对称点M′(0,﹣),连接BM',交x轴于点P,此时PB+PM的值最小,
    设直线BM′的解析式为y=mx+n,
    则,
    解得,,
    ∴直线BM′的解析式为y=x﹣,
    点P在x轴上,当y=0时,x=1,
    ∴点P的坐标为(1,0).
    16.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+8分别交x轴,y轴于A、B两点,已知A点坐标(6,0),点C在直线AB上,横坐标为3,点D是x轴正半轴上的一个动点,连接CD,以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE,且∠CDE=90°.
    (1)求直线AB的解析式以及C点坐标;
    (2)设点D的横坐标为m,试用含m的代数式表示点E的坐标;
    (3)如图2,连接OC,OE,请直接写出使得△OCE周长最小时,点E的坐标.
    解:(1)把A(6,0)代入y=kx+8中,
    得6k+8=0,解得:,
    ∴,
    把x=3代入,得y=4,
    ∴C(3,4);
    (2)作CF⊥x轴于点F,EG⊥x轴于点G,
    ∵△CDE是等腰直角三角形,
    ∴CD=DE,∠CDE=90°,
    ∴∠CDF=90°﹣∠EDG=∠DEG,且∠CFD=∠DGE=90°,
    ∴△CDF≌△DEG(AAS)
    ∴CF=DG=4,DF=EG=3﹣m,
    ∴OG=4+m,
    ∴E(4+m,m﹣3);
    (3)点E(4+m,m﹣3),
    设x=4+m,y=m﹣3,
    则y=x﹣7,
    故点E在直线l:y=x﹣7上,
    设:直线l交y轴于点H(0,﹣7),
    过点O作直线l的对称点O′,
    ∵直线l的倾斜角为45°,则HO′∥x轴,则点O′(7,﹣7),
    连接CO′交直线l于点E′,则点E′为所求点,
    OC是常数,
    △OCE周长=OC+CE+OE=OC+OE′+CE′=OC+CE′+O′E′=OC+CO′为最小,
    由点C、O′的坐标得,直线CO′的表达式为:y=﹣x+
    联立,
    解得:,
    故:.
    17.如图,在平面直角坐标系中,点A(a,0),AB⊥x轴,且AB=10,点C(0,b),a,b满足b=++15.点P(t,0)是线段AO上一点(不包含A,O).
    (1)当t=5时,求PB:PC的值;
    (2)当PC+PB最小时,求t的值;
    (3)请根据以上的启发,解决如下问题:正数m,n满足m+n=10,且正数p=+,则正数p的最小值= 2 .
    解:(1)依题意,得,

    解得,a=25,
    ∴b=15,
    ∴A(25,0),C(0,15),
    ∵AB⊥x且AB=10,
    ∴B(25,10),
    当t=5时,P(5,0),
    ∴PB=,
    pc=,
    ∴PB:PC=:1.
    (2)如图,作点B关于x轴的对称点B′,连接CB′交x轴于点P,
    根据两点之间,线段最短可得此时,
    PC+PB=PC+PB′=CB′的值最小,
    设直线CB′的解析式为y=kx+15,
    ∵B(25,10)关于x轴的对称点为B′(25,﹣10),
    ∴25k+15=﹣10,
    ∴k=﹣1,
    ∴y=﹣x+15,
    把y=0代入得,x=15,
    ∴t=15;
    (3)依题意,得n=10﹣m,
    ∴p=+,
    即求(m,0)到(0,3)和到(10,5)的距离和的最小值,
    由(2)可知(10,5)关于x轴对称点为(10,﹣5),
    ∴p=.
    故答案为:2.

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