中考数学解题大招复习讲义(全国通用)专题58二次函数中的面积问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)专题58二次函数中的面积问题(原卷版+解析)，共59页。学案主要包含了问题描述，方法总结，解题步骤，变1-1，变1-2，变2-1，变2-2等内容，欢迎下载使用。
求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．
【问题描述】在平面直角坐标系中，已知、、，求△ABC的面积．
【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：
构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积．
这是在“补”，同样可以采用“割”：
此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离．
由题意得：AE+BF=6．
下面求CD：
根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为：
由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4，
将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2，
故D点坐标为（4,2），CD=5,
．
【方法总结】
作以下定义：
A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；
过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．
如图可得：
【解题步骤】
（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；
（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；
（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；
（4）根据C、D坐标求得铅垂高；
（5）利用公式求得三角形面积．
例题精讲
【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．点P为抛物线第二象限上一动点，连接PB、PC、BC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
变式训练
【变1-1】．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
【变1-2】．如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标．
【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m），点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当P在何处时，△ACE面积最大．
变式训练
【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式；
（2）若点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
【变2-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值．

1．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（，）C．（1，3）D．（3，2）
2．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上直线BC上方的一动点，求△PBC面积的最大值，并求出点P坐标；
（3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，求△QAC周长的最小值．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值．若没有，请说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的二次函数解析式：
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）如图2，点H是直线BC下方抛物线上的动点，连接BH，CH．当△BCH的面积最大时，求点H的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；
（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．
7．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；
（3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．
8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．E是BC上一点，PE∥y轴．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求BCP面积的最大值；
（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当m为何值时MN＝BM，
9．已知直线y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A和点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．
12．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；
①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；
②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（﹣3，0）和点C（1，0）．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当△ABP的面积最大时，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
（3）设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线AB上确定一点H，使△DHP为等腰三角形，请直接写出此时点H的坐标 ．
14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
（3）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
16．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线的对称轴交x轴于点M，连接BC、CM．求△BCM的周长及tan∠BCM的值；
（3）如图2，过点A的直线m∥BC，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PD⊥m，垂足为点D，连接BD，CD，CP，PB．当四边形BDCP的面积最大时，求点P的坐标及四边形BDCP面积的最大值．
17．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）．
（1）求抛物线F1的解析式；
（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
①求点C和点D的坐标；
②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值．
18.将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式．
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A、C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值．
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为．

例题精讲
求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．
【问题描述】在平面直角坐标系中，已知、、，求△ABC的面积．
【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：
构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积．
这是在“补”，同样可以采用“割”：
此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离．
由题意得：AE+BF=6．
下面求CD：
根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为：
由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4，
将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2，
故D点坐标为（4,2），CD=5,
．
【方法总结】
作以下定义：
A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；
过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．
如图可得：
【解题步骤】
（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；
（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；
（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；
（4）根据C、D坐标求得铅垂高；
（5）利用公式求得三角形面积．
例题精讲
【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．点P为抛物线第二象限上一动点，连接PB、PC、BC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
解：令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3（k≠0），
把点B坐标代入y＝kx+3得﹣3k+3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
设P的横坐标是x（﹣3＜x＜0），则P的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），
过点P作y轴的平行线交BC于M，则M（x，x+3），
∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S△PBC＝PM•|xB﹣xC|＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x2+3x）＝﹣（x+）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，S△PBC有最大值，最大值是，
∴△PBC面积的最大值为；
当x＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝，
∴点P坐标为（﹣，）．
变式训练
【变1-1】．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
解：（1）∵y＝ax2+bx+3经过A（1，0），C（4，3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
设直线AC的解析式为y＝kx+h，
将A、C两点坐标代入y＝kx+h得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣1；
（2）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y＝x+m，
联立，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m＝0，
△＝（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）＝0，
解得：m＝﹣，
即m＝﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x＝，y＝﹣＝﹣，
∴点E的坐标为（，﹣），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），
∴AF＝﹣1＝，
∵直线AC的解析式为y＝x﹣1，
∴∠CAB＝45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°＝×＝，
又∵AC＝＝3，
∴△ACE的最大面积＝×3×＝，此时E点坐标为（，）．
【变1-2】．如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标．
解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，
∴A（0，2），
令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得x＝4，
∴C（4，0）．
把A、C两点代入y＝﹣x2+bx+c得，，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图，
设M（a，﹣a2+a+2），则N（a，﹣a+2），
∴S△ACM＝•MN•OC＝（﹣a+2﹣a2﹣a﹣2）×4＝﹣a2+2a，
S△ABC＝•BC•OA＝×（4+2）×2＝6，
∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝﹣a2+2a+6＝＝﹣（a﹣2）2+8，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为（2，2）．
【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m），点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当P在何处时，△ACE面积最大．
解：（1）抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）把C（2，m）代入y＝x2﹣2x﹣3得m＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C（2，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；
设E（t，t2﹣2t﹣3）（﹣1≤t≤2），则P（t，﹣t﹣1），
∴PE＝﹣t﹣1﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+t+2，
∴△ACE的面积＝×（2+1）×PE
＝（﹣t2+t+2）
＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，△ACE的面积有最大值，最大值为，此时P点坐标为（，﹣）．
变式训练
【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式；
（2）若点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝2，解得：，
故抛物线的表达式为：，
则点C（0，2），函数的对称轴为：x＝﹣1；
（2）连接OP，设点，
则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝＝，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当时，S的最大值为．
【变2-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值．
解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．
把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，
∴B（4，0），
设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式y＝（x﹣4）（x+1）＝x2﹣x﹣2；
（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．
设D（x，x2﹣x﹣2），则F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．
∴S△BCD＝OB•DF＝×4×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4．
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4．

1．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（，）C．（1，3）D．（3，2）
解：对于y＝﹣x2+x+2，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，令x＝0，则y＝2，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，2），
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点H的坐标为（x，﹣x+2），
则△BCP的面积＝S△PHB+S△PHC＝PH×OB＝×4×（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故△BCP的面积有最大值，
当x＝2时，△BCP的面积有最大值，
此时，点P的坐标为（2，3），
故选：A．
2．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上直线BC上方的一动点，求△PBC面积的最大值，并求出点P坐标；
（3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，求△QAC周长的最小值．
解：（1）令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
令y＝0，则x＝4，
∴B（4，0），
将点B（4，0）和点C（0，2）代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）作PD∥y轴交直线BC于点D，
设P（m，﹣m2+m+2），则D（m，﹣m+2），
∴PD＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∴S△PBC＝×4×（﹣m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△PBC的面积有最大值4，
此时P（2，3）；
（3）令y＝0，则，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∵A点与B点关于对称轴对称，
∴AQ＝BQ，
∴AQ+CQ+AC＝BQ+CQ+AC≥BC+AC，
∴当B、C、Q三点共线时，，△QAC周长最小，
∵C（0，2），B（4，0），A（﹣1，0），
∴BC＝2，AC＝，
∴AC+BC＝3，
∴△QAC周长最小值为3．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值．若没有，请说明理由．
解：（1）根据题意得：，
解得，
则抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，
∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
对于y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，则y＝3，故点C（0，3），
设BC的解析式是y＝mx+n，
则，解得，
则BC的解析式是y＝x+3．
x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，
∴点Q的坐标是Q（﹣1，2）；
（3）过点P作y轴的平行线交BC于点D，
设P的横坐标是x，则P的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），对称轴与BC的交点D是（x，x+3）．
则PD＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．
则S△PBC＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣x＝＝﹣（x+）2+，
∵﹣＜0，故△PBC的面积有最大值是．
4．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的二次函数解析式：
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）如图2，点H是直线BC下方抛物线上的动点，连接BH，CH．当△BCH的面积最大时，求点H的坐标．
解：（1）∵y过A（﹣1，0），B（5，0）
把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣5
得，
解得
y＝x2﹣4x﹣5；
（2）当x＝0时，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
设P（m，m2﹣4m﹣5），Q（n，0），
①BC为对角线，
则xQ﹣xC＝xB﹣xP，yQ﹣yC＝yB﹣yP，
解得，（舍去），
∴P（4，﹣5），
②CP为对角线，
则xQ﹣xC＝xP﹣xB，yQ﹣yC＝yP﹣yB，
解得或，
∴P（2+，5）或（2﹣，5），
③CQ为对角线时，CP∥BQ，
则点P（4，﹣5）；
综上P（4，﹣5）或（2﹣，5）或（2+，5）；
第三种，CQ为对角线不合要求，舍去；
（3）过H作HD∥y轴交BC于D，
∴S△BCH＝S△CDH+S△BDH＝HD（xH﹣xC）+HD（xB﹣xH）＝HD（xB﹣xC）＝HD，
设BC：y＝kx+b1，
∵BC过B、C点，
代入得，
，
，
∴y＝x﹣5，
设H（h，h2﹣4h﹣5），D（h，h﹣5），
S△BCH＝HD＝×[h﹣5﹣（h2﹣4h﹣5）]＝﹣（h﹣）2+，
∴当h＝时，H（，﹣）时，S△BCHmax＝．
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，
∵点B（3，0）在二次函数图象上，
∴9+3b﹣3＝0，
∴b＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由：如图1，
连接PP'交y轴于E，
∵四边形POP'C为菱形，
∴PP'⊥OC，OE＝CE＝OC，
∵点C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴OE＝，
∴E（0，﹣），
∴点P的纵坐标为﹣，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣，
∴x＝或x＝，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴0＜x＜3，
∴点P（，﹣）；
（3）如图2，过点P作PF⊥x轴于F，则PF∥OC，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∴设P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3），
∴F（m，0），
∴S四边形ABPC＝S△AOC+S梯形OCPF+S△PFB＝OA•OC+（OC+PF）•OF+PF•BF
＝×1×3+（3﹣m2+2m+3）•m+（﹣m2+2m+3）•（3﹣m）
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，四边形ABPC的面积最大，最大值为，此时，P（，﹣），
即点P运动到点（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，其最大值为．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；
（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得：a＝﹣，b＝，c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+2）．
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4．
∴S＝AB•PD＝×4×（﹣t2+t+2）＝﹣t2+t+4（0＜t＜3）；
（3）当△ODP∽△COB时，＝即＝，
整理得：4t2+t﹣12＝0，
解得：t＝或t＝（舍去）．
∴OD＝t＝，DP＝OD＝，
∴点P的坐标为（，）．
当△ODP∽△BOC，则＝，即＝，
整理得t2﹣t﹣3＝0，
解得：t＝或t＝（舍去）．
∴OD＝t＝，DP＝OD＝，
∴点P的坐标为（，）．
综上所述点P的坐标为（，）或（，）．
7．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；
（3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．
解：（1）∵点C的横坐标为3，
∴y＝×3+＝2，
∴点C的坐标为（3，2），
把点C（3，2）代入抛物线，可得2＝9a﹣9a﹣4a，
解得：a＝，
∴抛物线的解析式为y＝；
（2）设点P（m，0），Q（m+1，0），
由题意，点D（m，m+）m，E（m，），G（m+1，m+1），F（m+1，），
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴ED＝FG，
∴（）﹣（m+）＝（）﹣（m+1），即＝，
∴m＝0.5，
∴P（0.5，0）、Q（1.5，0）；
（3）设以D、E、F、G为顶点的四边形面积为S，
由（2）可得，S＝（）×1÷2＝（﹣m2+m+）＝，
∴当m＝时，S最大值为，
∴以D、E、F、G为顶点的四边形面积有最大值，最大值为．
8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．E是BC上一点，PE∥y轴．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求BCP面积的最大值；
（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当m为何值时MN＝BM，
解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
这个二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3；
（2）当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y＝kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，
解这个方程组，得．
故直线BC的解析是为y＝﹣x+3，
过点P作PE∥y轴，
交直线BC于点E（t，﹣t+3），
PE＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t，
∴S△BCP＝S△BPE+S△CPE＝（﹣t2+3t）×3＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝时，S△BCP最大＝．
（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3），
∴MN＝|m2﹣3m|，BM＝|m﹣3|，
当MN＝BM时，m2﹣3m＝（m﹣3），解得m＝．
9．已知直线y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A和点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）把x＝0代入y＝x﹣3得y＝﹣3，则C点坐标为（0，﹣3），
把y＝0代入y＝x﹣3得x﹣3＝0，解得x＝4，则A点坐标为（4，0），
把A（4，0），C（0，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+n得，
解得，
所以二次函数解析式为y＝﹣x2+x﹣3；
（2）存在．
过D点作直线AC的平行线y＝kx+b，当直线y＝kx+b与抛物线只有一个公共点时，点D到AC的距离最大，此时△ACD的面积最大，
∵直线AC的解析式为y＝x﹣3，
∴k＝，即y＝x+b，
由直线y＝x+b和抛物线y＝﹣x2+x﹣3组成方程组得，消去y得到3x2﹣12x+4b+12＝0，
∴△＝122﹣4×3×（4b+12）＝0，解得b＝0，
∴3x2﹣12x+12＝0，解得x1＝x2＝2，
把x＝2，b＝0代入y＝x+b得y＝，
∴D点坐标为（2，）．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值．
解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得：，
∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，
过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E （m，m﹣2），
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，
联立方程组：，
解得：，．
∵点B坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（﹣，﹣），
∴BD+CF＝3+||＝．
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC＝PE•BD+PE•CF
＝PE（BD+CF）
＝（﹣m2+m+1）×＝﹣（m﹣）2+，（其中﹣＜m＜3）．
∵﹣＜0，
∴这个二次函数有最大值．
∴当m＝时，S△PBC的最大值为 ．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．
解：（1）∵直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣2），
设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣2＝﹣4a，
∴a＝，
∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，
∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y＝x，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点P（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）；
当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，连接AP''，BP''，
∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，
∴S△AP''B＝S△ABO，
∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），
∴直线EP''解析式为y＝x﹣4，
联立方程组可得，
解得，
∴点P''（2，﹣3），
综上所述：点P坐标为（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）或（2，﹣3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，
设点M（m，m2﹣m﹣2），则点F（m，m﹣2），
∴MF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣（m﹣2）2+2，
∴△MAB的面积＝×4×[﹣（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2，﹣3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，
∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN＝ON，
∴MN+ON＝MN+KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y＝x，
当x＝2时，点Q（2，2），
∴QM＝2+3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM＝QM＝+，
∴MN+ON的最小值为+．
12．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；
①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；
②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），
将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，﹣m2+m+2），点N（m，﹣m+2），
则：△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣2m2+8m，
当m＝2时，S最大，此时，点P（2，5）；
②点P（2，5），则点Q（，5），设点M（a，﹣a+2）；
（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，
则（a﹣）2+（a+3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，
解得：a＝，
故点M1（，）；
（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，
则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，
作QH⊥AB于H，BQ的延长线交x轴于点N，
则tan∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，
故直线QH表达式中的k为2，
设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，
故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与B重合，
M2、M1关于B对称，
∴M2（﹣，）；
综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（﹣3，0）和点C（1，0）．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当△ABP的面积最大时，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
（3）设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线AB上确定一点H，使△DHP为等腰三角形，请直接写出此时点H的坐标 （﹣，﹣） ．
解：（1）将点B（﹣3，0）和点C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，
∴，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）令x＝0，则y＝﹣3，
∴A（0，﹣3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x﹣3，
过点P作PG⊥x轴交AB于点G，
设P（t，t2+2t﹣3），则G（t，﹣t﹣3），
∴PG＝﹣t﹣3﹣t2﹣2t+3＝﹣t2﹣3t，
∴S△ABP＝×3×（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+，
当t＝﹣时，S△ABP有最大值，
此时P（﹣，﹣）；
（3）由y＝x2+2x﹣3的顶点D（﹣1，﹣4），
设H（m，﹣m﹣3），
∵△DHP为等腰三角形，
∴DH＝PH，
∴（m+1）2+（﹣m+1）2＝（m+）2+（﹣m+）2，
解得m＝﹣，
∴H（﹣，﹣），
故答案为：（﹣，﹣）．
14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．
解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝＝3，同理可得：AN＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+；
（3）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
（3）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
解：
（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）∵点P在抛物线上，
∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图1，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC解析式为y＝x﹣4，
∴F（t，t﹣4），
∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴S△PBC＝S△PFC+S△PFB＝PF•OE+PF•BE＝PF•（OE+BE）＝PF•OB＝（﹣t2+4t）×4＝﹣2（t﹣2）2+8，
∴当t＝2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，
∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．
（3）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图2，
∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，﹣4），
∴D（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）．
16．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线的对称轴交x轴于点M，连接BC、CM．求△BCM的周长及tan∠BCM的值；
（3）如图2，过点A的直线m∥BC，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PD⊥m，垂足为点D，连接BD，CD，CP，PB．当四边形BDCP的面积最大时，求点P的坐标及四边形BDCP面积的最大值．
解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3．
（2）由解析式可得M（1，0），C（0，3），
∴．
∴△BCM的周长为．
如图1，过点M作MN⊥BC于点N，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠BMN＝45°．
∴．
∴．
∴．
（3）由题意可知：S四边形BDCP＝S△BDC+S△BPC，
∵过点A的直线m∥BC，
∴．
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4．
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3交y轴于点C（0，3），
∴OC＝3．
∴．
如图2，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F，交BC于点E，
直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．
设P（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3），
∵点P是直线BC上方抛物线上一动点，
∴PE＝PF﹣EF＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x．
则＝．
∴．
当时，四边形BDCP的面积最大，最大面积为．
此时，点P的坐标为．
17．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）．
（1）求抛物线F1的解析式；
（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
①求点C和点D的坐标；
②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值．
解：（1）将点A（﹣3，0）和点B（1，0）代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
∵顶点（﹣1，﹣4）关于原点的对称点为（1，4），
∴抛物线F2的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（3）由题意可得，抛物线F3的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5，
①联立方程组，
解得x＝2或x＝﹣2，
∴C（﹣2，﹣3）或D（2，5）；
②设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝2x+1，
过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交CD于点E，
设M（m，m2+2m﹣3），N（n，﹣n2+2n+5），
则F（m，2m+1），E（n，2n+1），
∴MF＝2m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2+4，
NE＝﹣n2+2n+5﹣2n﹣1＝﹣n2+4，
∵﹣2＜m＜2，﹣2＜n＜2，
∴当m＝0时，MF有最大值4，
当n＝0时，NE有最大值4，
∵S四边形CMDN＝S△CDN+S△CDM＝×4×（MF+NE）＝2（MF+NE），
∴当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为16．
18.将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式．
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A、C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值．
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为．
解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PF•EF＝PE2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．