河北省2024-2025学年高三省级联测考试数学试题

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A B.
C. D.
2. 已知复数，若为纯虚数，则（ ）
A. 1或2B. 1C. 2D. 3
3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4 已知，则（ ）
A. B. C. 2D. 6
5. 某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（ ）

A. B. C. D.
6. 设为正项等比数列的前项和，，则数列的前5项和为（ ）
A. 55B. 57C. 87D. 89
7. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
8. 已知定义域为的函数不是常函数，且满足，，则（ ）
A. B. 2C. D. 2026
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C.
D.
10. 已知函数，若，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的单调递增区间为
B. 函数的极大值点为1
C. 若，则值域为
D. 若，都有成立，则的取值范围为
11. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在曲线上
B. 直线与曲线无交点
C. 设直线，当时，直线与曲线恰有三个公共点
D. 直线与曲线所围成的图形的面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，若曲线在处的切线方程为，则__________.
13. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为______.
14. 某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当__________时，取得最大值.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对的边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长.
16. 已知椭圆的左焦点为，上､下顶点分别为，且，点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，证明：为定值.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面为钝角三角形且，是中点.
（1）证明：；
（2）若直线与底面所成的角为，求平面与平面夹角的正弦值.
18. 已知函数.
（1）证明：函数的极大值大于1；
（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围；
（3）已知是图象上四个不重合的点，直线为曲线y=fx在点处的切线，若三点共线，证明：.
19. 已知有限集，若中的元素满足，则称为“元重生集”.
（1）集合是否为“2元重生集”，请说明理由；
（2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；
（3）若，证明：“元重生集”有且只有一个，且.