2024年上海市长宁区中考数学一模卷

这是一份2024年上海市长宁区中考数学一模卷，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在中，，如果，那么等于（）
A．B．C．D．
2．下列关于抛物线的描述正确的是（ ）
A．该抛物线是上升的B．该抛物线是下降的
C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的
3．已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知为非零向量，且，那么下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，下列条件中可以推出DE∥BC的是( )
A．，B．，
C．,D．，
6．已知在与中，点分别在边上，（点不与点重合，点不与点重合）．如果与相似，点分别对应点，那么添加下列条件可以证明与相似的是（ ）
①分别是与的角平分线；
②分别是与的中线；
③分别是与的高．
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题
7．如果均不为零），那么的值是 ．
8．计算： ．
9．已知线段，线段，线段c是线段a、b的比例中项，那么 ．
10．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 .
11．如图，，如果，那么线段的长是 ．

12．二次函数图像上部分点的坐标满足下表：那么 ．
13．已知向量与单位向量方向相反，且，那么= （用向量的式子表示）
14．已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为 ．
15．如图，在中，是上的高，且，矩形的顶点在边上，顶点分别在边和上，如果，那么 ．
16．如图，在中，，点是的重心，联结，如果，那么的余切值为 ．
17．我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在中，，点都在边上，，如果与是友好三角形，那么的长为 ．
18．如图，在矩形中，是对角线，点P在边上，连接，将沿着直线翻折，点C的对应点Q恰好落在内，那么线段的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知抛物线．
(1)用配方法把化为的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的顶点坐标．
20．在平行四边形中，点是的中点，相交于点．

(1)设，试用表示；
(2)先化简，再求作：（直接作在图中）．
21．如图，在四边形中，，垂足为点．
(1)求的值；
(2)交于点，如果，求的长．
22．小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为．
实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为．
问题解决：
(1)请用含的代数式表示仰角；
(2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号）
23．如图，在中，点分别是的中点，且，连接并延长交于点．
(1)证明：；
(2)证明：．
24．已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点与点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点在线段下方的抛物线上，过点作的平行线交线段于点，交轴于点．
①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结，当时，求的正切值；
②如果，求点的坐标．
25．已知中，，平分，，．点分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F．

(1)求的长；
(2)如图1，如果，求的值；
(3)如果是以为腰的等腰三角形，求长．
0
1
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】解：，
∴，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：∵抛物线，
∴，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A、B、C均错误，不符合题意，选项D正确，符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查黄金分割、解一元二次方程，把当作已知数求出，求出，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．
【详解】解：令，，则，
可变形为，
整理，得，
，
解得，
边长为正数，
，，
即，，
，故A选项错误；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项错误；
故选B．
4．C
【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的相关定义，根据其运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：．∵为非零向量，且，∴，正确，故本选项不符合题意；
．∵为非零向量，且，∴，正确，故本选项不符合题意；
．∵为非零向量，且，∴，原说法错误，故本选项符合题意；
．∵为非零向量，且，∴，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．C
【分析】根据各个选项的条件只要能推出 或 ，即可得出△ADE∽△ABC，推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出即可．
【详解】解：
A、根据和，不能推出DE∥BC，故本选项错误；
B、根据和，不能推出DE∥BC，故本选项错误；
C、∵ ，
∴ ，
∵，
∴=
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，故本选项正确；
D、根据= 和 =,不能推出DE∥BC，故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解题的关键是推出△ABC∽△ADE．
6．A
【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据与相似，可得，，，再根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：与相似，点分别对应点，
，，，
①分别是与的角平分线时：，，
，
又，
；故①正确；
②分别是与的中线时，，，
，
，
又，
；故②正确；
③分别是与的高时，现有条件不足以证明，故③错误；
综上可知，添加①或②时，可以证明与相似
故选A．
7．
【分析】本题考查的是比例的基本性质，令，则然后化简整理即可求得．令，则，，即可作答．
【详解】解：根据题意，可令，则
因此，．
故答案为：．
8．/
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．
【详解】解：
故答案为：．
9．
【分析】根据比例中项的定义，得到，代入计算，结合线段的非负性，确定答案即可．
【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，线段，线段，
∴，
∴或（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例中项即称线段c是线段a、b的比例中项，根据定义计算是解题的关键．
10．4∶9
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
考点：相似三角形的性质．
11．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理结合比例解答即可．
【详解】解：∵，
∴
∵
∴．
故答案为6．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活应用平行线分线段成比例定理列出比例式是解答本题的关键．
12．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．利用表中数据确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解．
【详解】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线，
所以和时的函数值相等，
即当时，y的值为．
故答案为：．
13．-3．
【详解】试题分析：由向量与单位向量方向相反，且||＝3，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案．∵向量与单位向量方向相反，且||＝3，
∴=-3．
故答案为-3．
考点：平面向量．
14．
【分析】本题考查坡度，先利用勾勾股定理求出水平距离，然后利用公式计算是解题的关键．
【详解】解：如图，，，
∴，
∴斜坡的坡度为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，通过四边形EFGH为矩形推出，因此与两个三角形相似，将视为的高，可得出，再将数据代入计算是本题的关键．
【详解】解：设AD与交于点M．
∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵和AD分别是和的高，
∴,，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
16．23
【分析】延长交于F，过G作于G，直线交于E，证明，得，同理可得，即有，根据G为的重心，，得，设，根据勾股定理列式计算可得答案．
【详解】解：过G作于G，延长CF交AB于点，如图：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵G为的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
则在直角三角形中，，
故答案为：23
【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
17．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程．如图，过过点A作于点F．证明，推出，设这构建方程求解．
【详解】解：如图，过点A作于点F．

∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设这
∵，
∴
∴（负根已经舍去），
∴
故答案为：．
18．
【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质等，计算出点恰好落在边上，以及点恰好落在边上时的值，即可得出线段的取值范围．
【详解】解：当点的对应点恰好落在边上时，如图：
由折叠的性质知，，，
又矩形中，，
四边形是正方形，
，
；
当点的对应点恰好落在边上时，如图，

由折叠的性质知，
，
又矩形中，，
，
，
又，
，
，即，
，
，
线段的取值范围是．
故答案为：．
19．(1)该抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为
(2)
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（2）设平移后的抛物线解析式为，代入点，求得的值即可求解．
【详解】（1）解：
，
∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为；
（2）设平移后的抛物线解析式为，
∵新的抛物线经过点，
∴，
解得，
∴平移后的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线的顶点坐标是．
20．(1)
(2)，见详解
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量，
根据题意得和，进一步得到，则，代入向量即可．
化解得，将对应线段代入得到，过点E作，则，，连接即可．
【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
则，
∵点是的中点，
∴，
则，
∴，
∵，
∴．
（2），
∵，
∴，
过点E作，则，
∴，如图，即为所求．

21．(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、解直角三角形：
（1）根据，得证明，结合相似三角形的性质，得的值；
（2）根据相似三角形的性质且，得，，再证明，列式代数计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴
∴
∴
则
（2）解：如图：
∵，，
∴，
∴，
∴，
得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
解得．
22．(1)
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）延长交于L，根据题意可得：，从而可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
（2）延长交于点M，根据题意可得：米，米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：如图：延长交于L，
由题意得：
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：延长交于点M，
由题意得：，
设米，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵，
∴
解得：
∴米，
∴米，
∴大楼EF的高度为米．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质：
（1）根据等边对等角可得，再证这组夹角的两边成比例即可；
（2）作交于点H，可证，，推出，，进而可得，再根据得出，推出，等量代换可证．
【详解】（1）证明：，
，即，
又点分别是的中点，
，，
，
∴，
；
（2）证明：如图，作交于点H，
，
，；，，
，，
又点分别是的中点，
，，
，，
，
由（1）得，
，即，
，
．
24．(1)
(2)①②
【分析】（1）先由一次函数求出，再运用待定系数法求二次函数解析式，即可作答．
（2）①依题意，得，，根据角的等量代换，即，先求出点B的坐标．的正切值等于；
②先表达出，，，，再根据相似三角形的性质与判定，列式化简计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵直线经过点与点
则当；
∴
∴
解得
；
（2）解：①如图：
∵，且两点关于抛物线的对称轴对称，
∴，
则
∵
∴轴
则
∵过点作的平行线交线段于点，交轴于点．
∴
则
∵轴交于两点（点在点的左侧），
∴
∴，
∴
∵
则的正切值等于；
②设，的解析式为
∴把代入
得
解得
∵过点作的平行线交线段于点，交轴于点
∴设的解析式为
把代入
得
∴
令，
即
当
解得
则把代入
得
∴
∵过点作轴，过点作轴，
∴
∴
∵
∴
∵，，
∴，
∴
解得
∵点在线段下方的抛物线上，
∴（舍去）
∴．
把代入
∴
∴点的坐标
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
25．(1)10
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义，得到，进而得出，证明，得到，求出，进而得到，即可求出的长；
（2）由得到，进而得出，证明，得到，求出，，过点作交于点，得到，，求出，即可得出比值；
（3）根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出，,进而得出，证明，，得到，，先求出，再求出，即可得到长．
【详解】（1）解：平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
如图，过点作交于点，
，，
，，
，
，
；
（3）解：是以为腰的等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
B
D
B
C
C
A