2024-2025学年江苏省南京外国语学校八年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京外国语学校八年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AC与DE相交于点M，△ABC≌△DEF，下列结论不正确的是( )
A. ∠A=∠D
B. AB//DE
C. EM=EC
D. BE=CF
2.如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，BD是△ABC的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明△ADB≌△EDB的是( )
A. ∠DAB=∠DEB
B. AB=EB
C. ∠ADB=∠EDB
D. AD=ED
3.如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P.那么∠APB的大小是( )
A. 80°B. 60°C. 45°D. 30°
4.如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为( )s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A. 1
B. 1或4
C. 1或2
D. 2或4
5.如图，△ABC中，D为BC的中点，点E为BA延长线上一点，DF⊥DE交射线AC于点F，连接EF，则BE+CF与EF的大小关系为( )
A. BE+CFEFD. 以上都有可能
6.如图，在△ABC中，以AB，AC为腰作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，连接EF，AD为BC边上的高线，延长DA交EF于点N，下列结论：①∠EAN=∠ABC；②△EAN≌△BAD；③S△AEF=S△ABC；④EN=FN，其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
7.如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第______块(填序号)能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是______．
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CE⊥BE，CE与AB相交于点F，且CD=BE，则∠ACD，∠CBA，∠DAF之间的数量关系是______．
9.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F，若BF=AC，CD=6，BD=8，则线段AF的长度为______．
10.如图，四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=∠ADC=90°，CD=10，则△BCD的面积为______．
11.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在DA的延长线上，且EF⊥BC，且交BC延长线于点F，H为DC上的一点，且BH=EF，AH=DF，AB=DE，若∠DAC+n∠ACB=90°，则n= ______．
12.如图所示，AD为△ABC中线，D为BC中点，AE=AB，AF=AC，连接EF，EF=2AD.若△AEF的面积为3，则△ADC的面积为______．
13.如图，∠C=∠CAM=90°，AC=8，BC=4，P，Q两点分别在线段AC和射线AM上运动，且PQ=AB.若△ABC与△PQA全等，则AP的长度为 ．
14.如图，△ABE，△BCD均为等边三角形，点A，B，C在同一条直线上，连接AD，EC，AD与EB相交于点M，BD与EC相交于点N，连接BF，下列结论正确的有______．
①AD=EC；②BM=BN；③MN//AC；④EM=MB；⑤FB平分∠AFC
15.如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为16和9，则阴影部分的总面积为______．
16.如图，等边三角形△ABC的边长为6，l是AC边上的高BF所在的直线，点D为直线l上的一动点，连接AD，并将AD绕点A逆时针旋转60°至AE，连接EF，则EF的最小值为______．
三、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AB=AD．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠ADB=50°，∠DAC=15°，求∠E的度数．
18.(本小题12分)
如图，已知线段a，b，∠1，用直尺和圆规求作△ABC，使得△ABC的两边分别为a，b，一内角等于∠1．
19.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G．
【问题探究】(1)∠AGB的度数为______°；
(2)过G作GF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，判断AB与FB的数量关系，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若AD=10，FG=6，求GH的长．
20.(本小题10分)
(1)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD.求证：EF=BE+FD；
(2)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD.(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D，∠B=∠DEF，BC=EF，
∴AB//DE，BC−EC−EF−EC，即BE=FC，
无法得到EM=EC．
故选：C．
直接利用全等三角形的性质得出∠A=∠D，∠B=∠DEF，BC=EF，进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
A.∠DAB=∠∠DEB，∠ABD=∠EBD，BD=BD，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ADB≌△EDB，故本选项不符合题意；
B.AB=EB，∠ABD=∠EBD，BD=BD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ADB≌△EDB，故本选项不符合题意；
C.∠ADB=∠∠EDB，BD=BD，∠ABD=∠EBD，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ADB≌△EDB，故本选项不符合题意；
D.AD=ED，BD=BD，∠ABD=∠EBD，不符合全等三角形的判定定理AAS，不能推出△ADB≌△EDB，故本选项符合题意；
故选：D．
根据角平分线的定义得出∠ABD=∠EBD，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理和角平分线的定义，注意：全等三角形的判定定理有，SAS，ASA，AAS，SSS．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形，平行线的性质等知识点，能构造直角三角形是是解此题的关键．
如图，过B作BM/​/AC，连接DM，根据勾股定理求出DM、BM、BD的平方，再根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△DMB是等腰直角三角形，求出∠DBM=45°，再根据平行线的性质得出即可．
【解答】
解：如图，过B作BM/​/AC，连接DM，
由勾股定理得：DM2=12+22=5，BM2=5，BD2=32+12=10，
∴DM=BM，DM2+BM2=BD2，
∴△DMB是等腰直角三角形，
∴∠DBM=45°，
∵AC/​/BM，
∴∠APB=∠DBM=45°，
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：分两种情况：
①当EB=PC，BP=QC时，△BPE≌△CQP，
∵AB=20cm，AE=6cm，
∴EB=14cm，
∴PC=14cm，
∵BC=16cm，
∴BP=2cm，
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，
∴t=2÷2=1(s)；
②当BP=CP，BE=QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t=16−2t，
解集得：t=4(s)，
故选：B．
分两种情况：①当EB=PC时，△BPE≌△CQP，②当BP=CP时，△BEP≌△CQP，进而求出即可．
此题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定等知识，关键是掌握三边对应相等的两个三角形全等．
5.【答案】C
【解析】解：如图，延长ED到T，使得DT=DE，连接CT，TF．
∵DE=DT，DF⊥ET，
∴EF=TF，
在△EDB和△TDC中，
DB=DC∠EDB=∠TDCDE=DT，
∴△EDB≌△TDC(SAS)，
∴BE=CT，
∵CT+CF>FT，
∴BE+CF>EF，
故选：C．
如图，延长ED到T，使得DT=DE，连接CT，TF.证明△EDB≌△TDC(SAS)，推出BE=CT，由CT+CF>FT，可得BE+CF>EF．
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠BAE=90°，AD⊥BD，
∴∠EAN+∠BAD=90°=∠ABC+∠BAD，
∴∠EAN=∠ABC，故①正确；
∵∠AEN与∠BAD不一定相等，
∴△AEN与△BAD不一定全等，故②错误；
作EH⊥AN，交AN于点H，FK⊥AN，交AN延长线于点K，
∴∠AEH+∠EAH=90°，
∵∠EAB=90°，
∴∠EAH+∠BAD=90°，
∴∠AEH=∠BAD，
在△AEH和△BAD中，
∠AHE=∠ADB=90°∠AEH=∠BADAE=AB，
∴△AEH≌△BAD(AAS)，
∴EH=AD，
同理可得：△AFK≌△ACD，
∴FK=AD，
∴FK=EH，
在△FKN和△EHN中，
∠FKN=∠EHN=90°∠FNK=∠ENHFK=EH，
∴△FKN≌△EHN(AAS)，
∴S△ABD=S△EAH，S△FKA=S△ADC，S△ENH=S△FNK，
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC
=S△AEH+S△AFK
=(S△EAN−S△ENH)+(S△FNA+S△FNK)
=S△EAN+S△FNA
=S△AEF，
即S△ABC=S△AEF，故③正确；
∵△FKN≌△EHN，
∴FN=EN，故④正确．
故选：C．
先作EH⊥AN，交AN于点H，FK⊥AN，交AN延长线于点K，构造三对全等三角形：△AEH≌△BAD，△AFK≌△ACD，△FKN≌△EHN，根据全等三角形的面积相等，即可得出S△ABD=S△EAH，S△FKA=S△ADC，S△ENH=S△FNK，根据S△ABC=S△ABD+S△ADC=S△AEH+S△AFK=(S△EAN−S△ENH)+(S△FNA+S△FNK)=S△EAN+S△FNA=S△AEF，即可得出结论③；最后根据△FKN≌△EHN，得出FN=EN即可．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．解题时需要作辅助线构造三对全等三角形，注意全等三角形对应边相等，面积相等的灵活运用．
7.【答案】③ ASA
【解析】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③，ASA．
已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
8.【答案】∠ACD=∠CBA+∠DAF
【解析】解：∠ACD=∠CBA+∠DAF，理由如下：
∵CE⊥BE，
∴∠BEC=∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
AC=BC∠ACE=∠CBECD=BE，
∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ADF=90°，
∴∠DAF=90°−∠AFD，
∠ABE=90°−∠BFE，
又∠AFD=∠BFE，
∴∠DAF=∠ABE，
∵∠ACD=∠CBE=∠CBA+∠ABE，
∴∠ACD=∠CBA+∠DAF．
故答案为：∠ACD=∠CBA+∠DAF．
先证明△ACD≌△CBE得∠ADF=90°，然后证∠DAF=∠ABE，进而通过转化角得出关系．
本题考查了三角形全等的判定和性质，解决问题的关键是会用“同角的余角相等“转化角．
9.【答案】2
【解析】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC=∠FDB=90°，∠AEB=90°，
∴∠1+∠C=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠C，
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠C，
在△ADC和△BDF中∠3=∠C∠FDB=∠CDAAC=BF，
∴△ADC≌△BDF(AAS)，
∴FD=CD，AD=BD，
∵CD=6，BD=8，
∴AD=8，DF=6，
∴AF=8−6=2，
故答案为：2．
首先证明△ADC≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得FD=CD，AD=BD，根据AD=8，DF=6，即可算出AF的长．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等的方法：AAS、SSS、ASA、SAS．
10.【答案】50
【解析】解：过B作BE⊥DC，交DC的延长线于E，如图所示：
则∠CEB=90°=∠ADC，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
在△BCE和△CAD中，
∠CEB=∠ADC∠CBE=∠ACDBC=CA，
∴△BCE≌△CAD(AAS)，
∴BE=CD=10，
∴△BCD的面积=12CD×BE=12×10×10=50，
故答案为：50．
过B作BE⊥DC，交DC的延长线于E，证明△BCE≌△CAD(AAS)，得BE=CD=10，再由三角形面积公式即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形面积公式等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，作出辅助线，证明△BCE≌△CAD是解题的关键．
11.【答案】23
【解析】解：在△ABH和△DEF中，
AB=DEBH=EFAH=DF，
∴△ABH≌△DEF(SSS)，
∴∠EDF=∠BAH，∠AHB=∠EFD=90°，
∴∠EDF−∠BAD=∠BAH−∠BAD，
∴∠B=∠DAH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
设∠B=∠DAH=y，∠BAD=∠DAC=x，
∴2y+x=90°，∠CAH=∠DAC−∠DAH=x−y，
∴∠ACB=90°−∠HAC=3y，
∵∠DAC+n∠ACB=90°，
∴x+3ny=90°，
∴3n=2，
∴n=23，
故答案为：23．
由“SSS”可证△ABH≌△DEF，可得∠EDF=∠BAH，由角的数量关系可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
12.【答案】1.5
【解析】解：延长AD到点G，使DG=AD，连接BG，
∵D为BC中点，
∴△ADC的面积=△ADB的面积，BD=DC，
∵∠ADC=∠GDB，
∴△ADC≌△GDB(SAS)，
∴△ADC的面积=△BDG的面积，BG=AC，
∵AC=AF，
∴BG=AF，
∵EF=2AD，AG=2AD，
∴EF=AG，
∵AE=AB，
∴△AEF≌△BGA(SSS)，
∴△AEF的面积=△ABG的面积=3，
∴△ADC的面积=△BDG的面积=△ABD的面积=12△ABG的面积=1.5，
故答案为：1.5．
延长AD到点G，使DG=AD，连接BG，利用线段中点的定义可得△ADC的面积=△ADB的面积，BD=DC，再利用倍长中线模型证明△ADC≌△GDB，从而可得△ADC的面积=△BDG的面积，BG=AC，再结合已知易得BG=AF，EF=AG，然后利用SSS证明△AEF≌△BGA，从而可得△AEF的面积=△ABG的面积=3，最后进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13.【答案】8或4
【解析】解：当△ABC≌△PQA时，AP=AC=8，
当△ABC≌△QPA时，AP=BC=4，
故答案为：8或4．
分△ABC≌△PQA和△ABC≌△QPA两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
14.【答案】①②③⑤
【解析】解：∵△ABE，△BCD均为等边三角形，
∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
AB=BE∠ABD=∠EBCBD=BC，
∴△ABD≌△EBC(SAS)，
∴AD=EC，故①正确；
∴∠DAB=∠BEC，
又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠EBD=60°，
在△ABM和△EBN中，
∠MAB=∠NEBAB=BE∠ABE=∠EBN，
∴△ABM≌△EBN(ASA)，
∴BM=BN，故②正确；
∴△BMN为等边三角形，
∴∠NMB=∠ABM=60°，
∴MN/​/AC，故③正确；
若EM=MB，则AM平分∠EAB，
则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，
故④不正确；
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=CE，S△ABD=S△EBC，
∴点B到AD、CE的距离相等，
∴B点在∠AFC的平分线上，
即FB平分∠AFC；
∴⑤正确；
综上可知正确的有①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
可先证明△ABD≌△EBC，可判断①；再证明△ABM≌△EBN，可判断②；可证明△BMN为等边三角形，可判断③；利用等边三角形的三线合一可判断④，最后根据全等的性质得到AD=CE，S△ABD=S△EBC，再利用角平分线的判定可求得答案．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是可先证明△ABD≌△EBC，△ABM≌△EBN．
15.【答案】12
【解析】【分析】
此题考查的是全等三角形的判定与性质、图形的面积计算等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作LM⊥FE交FE的延长线于点M，交JI的延长线于点N，构造四个全等三角形：△EML、△EDK、△KHI、△LNI，通过证明这四个三角形全等，可使该问题得到解决．
【解答】
解：如图，作LM⊥FE交FE的延长线于点M，交JI的延长线于点N，
∵四边形A、B、C都是正方形，且正方形A、C的面积分别为16、9，
∴∠EKI=∠EDR=∠IHG=90°，DE2=16，HI2=9，
∴DE=4，HI=3，
∵∠EDK=∠KHI=180°−90°=90°，
∴∠DKE=90°−∠KHI=∠HIK，
在△EDK和△KHI中，
∠EDK=∠KHI∠DKE=∠HIKEK=KI，
∴△EDK≌△KHI(AAS)，
∴DK=HI=3，DE=HK=4，
∴S△EDK=S△KHI=12×4×3=6；
∵∠DEF=∠HIJ=90°，
∴∠DEM=180°−∠DEF=90°，∠HIN=180°−∠HIJ=90°，
∵∠KEL=∠KIL=90°，
∴∠MEL=∠DEK=90°−∠KEM，∠NIL=∠HIK=90°−∠KIN，
∵EF/​/l，IJ//l，
∴EF//IJ，
∴∠EML=∠EMN=∠N=90°，
在△EML和△EDK中，
∠MIL=∠DEK∠EML=∠EDKEL=EK，
∴△EML≌△EDK(AAS)，
∴EM=ED=EF，
∴S△EFL=S△EML=S△EDK=6；
在△LNI和△KHI中，
∠NIL=∠HIK∠N=∠KHIIL=IK，
∴△LNI≌△KHI(AAS)，
∵IN=IE=IJ，
∴S△LJI=S△LNI=S△KHI=6，
∴S△EFL+S△LJI=6+6=12，
∴阴影部分的总面积为12．
16.【答案】32
【解析】解：如图，取AB的中点H，连接DH，
∵△ABC是等边三角形，BF是高，
∴AF=CF=3，∠ABF=30°，
∵点H是AB中点，
∴BH=AH=3，
∴AH=AF，
∵将AD绕点A逆时针旋转60°至AE，
∴AE=AD，∠DAE=60°=∠BAC，
∴∠DAH=∠FAE，且AF=AH，AD=AE，
∴△ADH≌△AEF(SAS)
∴EF=DH，
∴当DH⊥BF时，DH的长最短，即EF有最小值，
∴DH的最小值为12BH=32，
∴EF的最小值为32，
故答案为：32．
取AB的中点H，连接DH，由“SAS”可证△ADH≌△AEF，可得EF=DH，由垂线段最短，可得当DH⊥BF时，DH的长最短，即EF有最小值，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAF=∠2+∠DAF，
即∠BAC=∠DAE，
∵∠ADC=∠ADE+∠3=∠B+∠1，∠1=∠3，
∴∠B=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
∠BAC=∠DAEAB=AD∠B=∠ADE，
∴△ABC≌△ADE(ASA)；
(2)解：由(1)可知，△ABC≌△ADE，
∴∠C=∠E，
∵∠ADB=∠DAC+∠C=50°，∠DAC=15°，
∴∠C=∠ADB−∠DAC=50°−15°=35°，
∴∠E=35°．
【解析】(1)证∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，再由ASA证明△ABC≌△ADE即可；
(2)由全等三角形的性质得∠C=∠E，再由三角形的外角性质得∠C=∠ADB−∠DAC=35°，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】解：

作法1，如图，△ABC为所求，

作法2，如图，△ABC为所求，
．
【解析】作法1：作∠MBN=∠1，在BM，BN上分别取BC=b，BA=a，连接AC，则△ABC为所求；
作法2：作∠MBN=∠1，在BN上分别取BA=a，以A为原心，b的长为半径作弧交BC于点C，连接AC，则△ABC为所求．
本题主要考查了尺规作图，作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键．
19.【答案】135
【解析】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°−∠ACB=90°，
∵∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G，
∴∠GAB=12∠BAC，∠GBA=12∠ABC，
∴∠GAB+∠GBA=12∠ABC+12∠BAC=45°，
∴∠AGB=180°−∠GAB−∠GBA=135°，
故答案为：135；
(2)AB=BF，
理由如下：∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=90°，
∵FG⊥AD，
∴∠AGH=∠FCH=90°，
又∵∠FHC=∠AHG，
∴∠F=∠HAG，
∵∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G，
∴∠CAD=∠BAD，∠ABG=∠CBG，
∴∠F=∠BAG，
又∵BG=BG，
∴△ABG≌△FBG(AAS)，
∴AB=BF；
(3)∵△ABG≌△FBG，
∴AG=FG=6，
∴DG=AD−AG=4，
又∵∠AGH=∠FGD=90°，∠HAG=∠F，
∴△AGH≌△FGD(ASA)，
∴GH=DG=4．
(1)由角平分线的定义及三角形内角和定理可得出答案；
(2)证明△ABG≌△FBG(AAS)，由全等三角形的性质得出AB=BF；
(3)证明△AGH≌△FGD(ASA)，由全等三角形的性质得出GH=DG=4．
本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：延长CB到H，使BH=DF，连接AH，如图1所示：

∵∠ABC+∠ABH=180°，∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABH=∠D，
在△ABH和△ADF中，
AB=AD∠ABH=∠DBH=DF，
∴△ABH≌△ADF(SAS)，
∴∠BAH=∠DAF，AH=AF，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=∠EAF=12∠BAD，
即∠BAE+∠BAH=∠EAF，
∴∠HAE=∠EAF，
在△AHE和△AEF中，
AH=AF∠HAE=∠EAFAE=AE，
∴△AHE≌△AEF(SAS)，
∴HE=EF，
∵HE=BH+BE=DF+BE，
∴EF=BE+FD；
(2)解：(1)中的结论不成立，它们之间的数量关系是：EF=BE−DF，证明如下：

在BE上截取BT=DF，连接AT，如图2所示：
∵∠ADC+∠ADF=180°，∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF，
在△ABT和△ADF中，
AB=AD∠B=∠ADFBT=DF，
∴△ABT≌△ADF(SAS)，
∴∠BAT=∠DAF，AT=AF，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠DAE+∠EAD=12∠BAD，
即∠BAT+∠EAD=12∠BAD，
∴∠EAT=∠BAD−(∠BAT+∠EAD)=∠BAD−12∠BAD=12∠BAD，
∴∠EAT=∠EAF，
在△EAT和△EAF中，
AT=AF∠EAT=∠EAFAE=AE，
∴△EAT≌△EAF(SAS)，
∴ET=EF，
∵ET=BE−BT=BE−DF，
∴EF=BE−DF．
【解析】(1)延长CB到H，使BH=DF，连接AH，先证∠ABH=∠D，再依据“SAS”判定△ABH和△ADF全等得∠BAH=∠DAF，AH=AF，由此根据∠EAF=12∠BAD可证∠HAE=∠EAF，然后可依据“SAS”判定△AHE和△AEF全等得HE=EF，据此即可得出结论；
(2)在BE上截取BT=DF，连接AT，先证，∠B=∠ADF，再依据“SAS”判定△ABT和△ADF全等得∠BAT=∠DAF，AT=AF，由此根据∠EAF=12∠BAD可证∠EAT=∠EAF，然后可依据“SAS”判定△EAT和△EAF全等得ET=EF，据此可得出EF，BE，DF之间的数量关系．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．