数学选择性必修 第一册3.1 椭圆教案设计

这是一份数学选择性必修 第一册3.1 椭圆教案设计，共8页。
教学目标
根据创设的情景，理解椭圆的定义.
理解椭圆标准方程的推导过程，在化简中提高学生的运算能力.
掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.
掌握求轨迹问题的基本思路与方法，发展直观想象、数学运算学科素养.
教学重难点
重点：①理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．
②掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
难点：理解椭圆标准方程的推导过程，领会坐标法的应用.
学情分析与教材分析
学情分析：
第一：在此之前，学生已学过运用坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够；
第二：从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在一定障碍；
第三：在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。
教材分析：
《椭圆及其标准方程》安排在《高中数学·选择性必修第一册》第三章第一节。圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容之一，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。本节是《圆锥曲线的方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。
它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下：
在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。一方面，前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，另一方面，椭圆、双曲线、抛物线无论是定义、性质、方程还是坐标法运用上都有很多相似之处，可以这么说学习椭圆就是学习其他圆锥曲线的基础。
对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。
教学过程
创设情境，引入新课
展示生活中的椭圆图片.

教师：善于观察的同学会发现，我们生活中到处都有与椭圆有关的物品，那么我们数学中的椭圆又是怎样的呢？
学生：欣赏图片，抽象出椭圆.
设计意图：培养学生用数学的眼光去看世界的意识，激发学生的想象力和思考，让学生对椭圆产生一个初步的感性认识，从而体验生活中的数学美。
探究椭圆的画法.
问题1：生活中，有哪些画椭圆的方法？（课前布置了任务）
学生：课前查阅相关书籍或上网查资料，了解目前生活中已有的椭圆的画法，完成一篇数学小研究报告。
教师：用手机拍照后展示几位学生课前完成的比较优秀的小研究报告. 同时展示，优秀研究报告的学生名单，有条件的还可以找其他时间颁发奖状。
设计意图：培养学生查阅资料解决问题的能力，提高学生的搜商，激发学生课外延展体验式学习数学的兴趣。
问题2：给你一根细绳和一支铅笔，如何画圆和椭圆？（课前准备绳子）
教师：邀请两组学生到黑板上画圆和椭圆，其他学生同桌合作，画圆和椭圆，并巡视学生画图情况，适当的个别指导.
学生：两组学生到黑板上体验画圆和椭圆的过程，其他同学合作画图.
问题3：观察画椭圆的过程，哪些量在变，哪些量没有变？
教师：播放视频演示画椭圆的过程，引导学生讨论问题3, 然后请一位学生用简洁的数学语言描述如何才能画椭圆.
学生：学生前后四人一组讨论，归纳总结画椭圆的方法.
设计意图：让学生体会画椭圆的过程，感受知识生成的过程，然后结合软件动画演示，形象直观地说明椭圆定义中的关键和必备条件，全程体会数学的直观性与严谨性。
新课探究过程
问题4：请同学们类比圆的定义，如何用最简洁的数学语言归纳椭圆的定义？
学生：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
教师：你认为在椭圆的定义中，我们必须重点关注哪些关键词句？
学生：①平面——大前提；②和——任意一点到两个定点F1，F2的距离的和等于常数; ③常数——常数必须大于焦距.
问题5：如果这个常数等于焦距，或者这个常数小于焦距呢？会是一个什么轨迹? 请尝试着自己画画。
学生：根据要求去尝试画动点的轨迹，得出结论：当常数等于焦距时，点的轨迹为线段F1F2；当常数小于焦距时，点的轨迹不存在.
设计意图：教师在引导学生理解椭圆的定义时，先突出“和”，再完善“常数”的长度要求．在师生互动过程中，教师引导学生用联系与发展的观点看问题，及时引导和提升，学生体会重要关节点和注意点，多正能量的正面评价和肯定，激励学生的学习热情与持续兴趣.
教师：类比圆的研究过程，知道椭圆的定义后，你们肯定知道接下来我们会研究什么？
学生：推导椭圆的方程。
教师：大家还记得求曲线方程的“四步曲”吗？
学生：全体口答：①建系，②找等式关系，③符号化，④化简与标准化.
问题6：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单？
学生：类比圆的方程的推导过程可知,利用椭圆的对称性建系能使椭圆的方程更简单(如图1、图2所示）.

设计意图：注重学生知识迁移能力的培养，用学生熟悉的知识解决新知识的理解，促使学生更深刻的学会建系技巧和策略.
问题7：自主学习教材，如何巧设常数的值和两焦点的坐标，为我们求椭圆方程的第三步“符号化”提供便利？
学生：自主学习教材，得出巧设结论：设常数为2a，F1−c,0，F2c,0，从而得到以下符号化后的式子：
x+c2+y2+x−c2+y2=2a （※）
教师：化简（※）式的方法有哪些？可以自主学习教材，教材上介绍了一种。
学生：教材上的方法是：两次平方去根号法，一位学生通过多媒体展示自己的推导过程，并且上讲台解说自已的推导演算过程.
教师：根据学情情况，可以适当的增加方法：构造等差数列法、构造三角函
数法、构造代数恒等式法、共轭无理数法等简化方法，让学生体会比较，哪种方法运算量更小。
教师：观察x2,y2的系数以及常数项,考虑怎样能让方程a2−c2x2+a2y2=a2a2−c2更简洁?
学生：全体口答：两边同时除以a2a2−c2，可得更简洁的椭圆方程：
x2a2+y2a2−c2=1
问题8：观察图3，你能在图中找出表示a，c，a2−c2的线段吗？
教师：引导学生观察图形. 令b=a2−c2，要求学生写出焦点在x轴的椭圆的标准方程。
学生：认真观察图形，总结出a，b，c的几何意义，并写出焦点在x轴的椭圆的标准方程:
x2a2+y2b2=1a>b>0
设计意图：让学生通过该过程体会数形结合重要数学思想，让学生更深入理解椭圆方程中各个字母的含义，促进学生深度学习.
问题9：如果椭圆的焦点在y轴上，那么椭圆方程又会是什么呢？
教师：引导学生类比推理
学生：类比得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程的推到方法，推导出焦点在y轴上的椭圆的标准方程：
y2a2+x2b2=1a>b>0
设计意图：引导学生体会类比、化归等重要数学思想，探求焦点在y轴上的椭圆的标准方程，让学生体会问题的本质所在，简化运算。
问题10：如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？
学生：哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上.
教师：非常正确，可简记为：“谁大在谁家”. 并同时引导学生完成以下表格：
设计意图：表格梳理所学知识，强化学生对椭圆方程的更深入的理解，培养学生的整理归纳能力,为后续学习做铺垫.
新知识应用
例1 用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.
到F1−1,0，F21,0的距离之和为4的点M的轨迹.
到F1−1,0，F21,0的距离之和为2的点M的轨迹.
到F1−1,0，F21,0的距离之和为1的点M的轨迹.
学生：全体学生口答.
例2 已知椭圆x225+y216=1.
a=_______，b=_______，c=_______，焦距等于_______.
若椭圆上任一点C到一个焦点的距离为6，则点C到另一个焦点的距离为_______.
若C为椭圆上任一点,则△CF1F2的周长为____________；若CD为过左焦点F1的弦,则△F2CD的周长为____________.
学生：全体学生独立思考并解答，然后三个学生分享自己的答案，并简要分享自己的求解过程.
例3 已知椭圆的两个焦点坐标分别是−2,0，2,0,并且经过点52,−32 ,求它的标准方程.
教师：巡视学生的解答情况，并挑选几个典型的解答过程，拍照投影，让学生上讲台讲解自己的求解思路.
学生：学生根据自己的解题过程分步详细讲解.
设计意图：培养学生的口头表达的能力,利用费曼学习法让学生更加深入的理解知识点，促进学生深度学习。
课堂小结
教师：（i）本节课学习的主要知识是什么？ （ii）求椭圆标准方程的推到过程是怎样的?（有哪些更加简便的推到方法？）（iii）本节课涉及哪些
重要的数学思想方法？
学生：学生回忆本节课所学内容，从内容、方法、思想三个方面进行归纳.
设计意图：培养学生的归纳概括能力，提升学生的数学学科核心素养.
随堂限时小练
动点P到两个定点F1−3,0，F23,0的距离之和为6,则点P的轨
迹为（ ）
A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定
椭圆x225+y216=1任一点M到一个焦点的距离为3，则点M到另一个焦点的距离为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
求适合下列条件的椭圆的标准方程:
a=5，b=1, 焦点在x轴上;
a=4，c=15，焦点在y轴上;
a+b=10，c=25.
学生：学生独立完成课堂限时小练.
教师：巡视学生的解答情况，并挑选正确解答，拍照投影，并表扬性评价.
设计意图：及时巩固本节课所学知识，训练学生新知识应用和解题能力.
课后作业布置
作业1：人教版A版教材49页A组第1题和第2题.
作业2：方程mx2+ny2=1能表示哪些我们学过的曲线？
选做作业：请同学们课后查阅书籍或上网查询资料，研究椭圆的相关资料或椭圆有关的故事，自选主题，完成一篇与椭圆有关的数学小报告。焦点在x轴上
焦点在y轴上
图 形
标准方程
焦点坐标
a,b,c三者之间的关系
焦点位置的判断