专题08 电场及带电粒子(带电体)在电场中的运动（分层练）--【高频考点解密】2024年高考物理二轮复习高频考点追踪与预测（江苏专用）

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内容概览
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc15289" \l "_Tc11033" A·常考题不丢分 PAGEREF _Tc15289 \h 1
\l "_Tc9220" 【命题点01 电场性质的理解】 PAGEREF _Tc9220 \h 1
\l "_Tc12523" 【命题点02 电场中的图像问题】 PAGEREF _Tc12523 \h 5
\l "_Tc5386" 【命题点03 平行板电容器相关问题分析】 PAGEREF _Tc5386 \h 10
\l "_Tc29601" 【命题点04 带电粒子在电场中的运动】 PAGEREF _Tc29601 \h 14
\l "_Tc29874" B·拓展培优拿高分 PAGEREF _Tc29874 \h 18
\l "_Tc8689" C·挑战真题争满分 PAGEREF _Tc8689 \h 28
【命题点01 电场性质的理解】
1.（2023·云南大理·统考一模）如图所示，在匀强电场中有边长为的等边三角形，三角形所在平面与匀强电场的电场线平行。O点为该三角形的中心，分别为和BC边的中点。三角形各顶点的电势分别为、，下列说法正确的是（ ）
A．点电势为
B．匀强电场的场强大小为，方向由C指向A
C．在三角形ABC内切圆的圆周上，E点电势最低
D．用外力将电子沿直线由O点移到D点，电场力始终不做功
【答案】AD
【详解】A．D点的电势为
可知BD是一条等势线，三角形ABC为等边三角形，则BD过O点，O点电势为，故A正确；
B．根据几何关系可知，BD垂直于AC，则电场线方向平行于AC，C点电势大于A点电势，电场方向由C指向A。电场强度为，故B错误；
C．在三角形ABC内切圆的圆周上，电势最低的点为沿电场线方向，距离O点最远的点。过O点平行于AC的直径与圆周的两个交点中，离A点较近的点才是电势最低的点。离C点较近的点是圆周上电势最高的点，故C错误；
D．将电子沿直线由O点移到D点，即沿等势线移动，电场力与运动方向垂直不做功，故D正确。
故选AD。
2．（多选）（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考三模）如图所示，空间有一正三棱P－ABC，D点是BC边上的中点，O点是底面ABC的中心，现在顶点P点固定一负的点电荷，则下列说法正确的是（ ）

A．底面ABC为等势面
B．A、B、C三点的电场强度相同
C．若B、C、D三点的电势为、、，则有
D．将一正的试探电荷从B点沿直线BC经过D点移到C点，静电力对该试探电荷先做正功后做负功
【答案】CD
【详解】A．点电荷的等势面是以点电荷为圆心的同心圆（球）面。O到P点距离比A、B、C三点到P点距离短，故电势比A、B、C三点电势低，又O点为底面ABC上的一点，故底面ABC不为等势面，故A错误；
B．点电荷电场强度大小为
A、B、C三点到P点距离相同，故三点电场强度大小相等，但方向不同，故A、B、C三点的电场强度不相同，故B错误；
C．B、C两点到P点距离相等，两点电势相等，则，故C正确；
D．B、C两点到P点距离相等，两点电势相等，D点到P点距离小于BP或CP两点距离，故D的电势低于B、C两点电势，故正试探电荷从B点沿直线BC经过D点移到C点，电势能先减小后增加，故静电力对该试探电荷先做正功后做负功，故D正确。
故选CD。
3．（2023·河北衡水·河北武邑中学校考三模）如图所示，真空中固定两个等量异种点电荷A、B，其连线中点为O，其中A带正电。在A、B所形成的电场中，以O点为圆心、半径为R的圆面垂直于AB，以O为几何中心、边长为2R的正方形abcd平面垂直于圆面且与AB共面，两平面边线交点分别为e、f，g为圆面边缘上一点。下列说法正确的是（ ）
A．e、f、g三点电势相等
B．a、b、c、d四点电场强度相同
C．将一负试探电荷沿ab边从a移动到b过程中，试探电荷的电势能先增大后减小
D．将一正试探电荷沿线段eOf从e移动到f过程中，试探电荷受到的电场力先减小后增大
【答案】A
【详解】A．根据等量异种点电荷的电场分布特点可知，图中圆面是一个等势面，e、f、g三点电势相等，故A正确；
B．根据等量异种点电荷的电场分布特点和对称性可知，a、b、c、d四点电场强度大小相等、方向不同，故B错误；
C．从a到b，电势先增大后减小，所以负试探电荷的电势能先减小后增大，故C错误；
D．从e经O到f，电场强度先增大后减小，所以试探电荷受到的电场力先增大后减小，故D错误。
故选A。
4．（多选）（2023·河南开封·校考模拟预测）如图所示为A、B、C、D、E、F、G、H作为顶点构成一正方体空间，则下列说法正确的是（ ）
A．若只在A点放置一负点电荷，则EkQ=EkS
D．三小球所用的时间关系为tP=tS>tQ
【答案】BC
【详解】AB．假设P、Q、S三个小球都带正电，则P小球进入电场受到水平向右的电场力，故P小球不能落到O点，降落到O点的右侧；Q小球由左手定则可知，将受到向右的洛伦兹力，向右发生偏转，故Q小球不能落到O点，降落到O点的右侧；S小球做自由落体运动，能落到O点上，故A错误，B正确；
C．三个小球下落过程重力做功相同，而P小球有电场力做正功，Q小球洛伦兹力不做功，由动能定理可知，合外力对P小球做功最多，Q、S小球做功相同，故动能大小关系为，故C正确；
D．P、S小球竖直方向均做自由落体运动，故时间相同，Q小球受洛伦兹力发生偏转，偏转过程中受到洛伦兹力竖直向上的分力，故下落的加速度变小，时间变大，故三小球所用的时间关系为，故D错误。
故选D。
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·校联考一模）如图所示，虚线为匀强电场中的三角形，且三角形与匀强电场平行，，，BO的长度为l。一带电荷量为q的正粒子由A移动到B的过程中，电场力对该粒子做功为零，由B移动到O的过程中克服电场力做了W的功。图中的实线为粒子的可能轨迹，假设O点的电势为零，则下列说法正确的是（ ）
A．该匀强电场的场强为B．B点的电势为
C．O、A两点的电势差为
D．如果负粒子在A点的初速度方向由A指向B，则粒子的轨迹可能为实线M
【答案】B
【详解】BC．正粒子由A移动到B的过程中，电场力对该粒子做功为零，说明AB连线为该匀强电场的一个等势线，由B移动到O的过程中，电场力对该粒子做功为-W，说明电场强度的方向垂直AB向上，则BO之间的电势差为
又，则
O、A两点的电势差为，故B正确；C错误；
A．该匀强电场的电场场强大小为，故A错误；
D．负粒子由A点射入该匀强电场时，受力方向与电场线的方向相反，即负粒子将向下偏转，则负粒子的轨迹可能为实线N。故D错误。
故选B。
2．（2023·安徽淮北·统考一模）如图所示，A、B两小球带等量异种电荷，电荷量为q，A球被一根绝缘轻绳系于O点，B球固定在绝缘轻杆上，两球稳定时位于同一高度，轻绳与竖直方向夹角为。已知两球质量均为m，重力加速度为g，静电力常量为k。则下列说法正确的是（ ）
A．A、B两球距离B．OA绳拉力大小为
C．B球对轻杆的作用力大小为
D．若B球电荷量变为原来的2倍，稳定后，A、B间库仑力大小变为原来的2倍
【答案】C
【详解】AB．对A球分析，受重力mg、绳的拉力T和库仑力F，由平衡条件得
解得，，，故AB错误；
C．对B球分析，受重力mg、库仑力F和轻杆的作用力N，由平衡条件得，
根据牛顿第三定律可知B球对轻杆的作用力大小为2mg，故C正确；
D．若B球电荷量变为原来的2倍，稳定后，A球会绕O点转动使得轻绳与竖直方向夹角变大，A、B间距离变小，A、B间库仑力大小会大于原来的2倍，故D错误。
故选C。
3．（2023·河北保定·河北安国中学校联考三模）如图所示，真空中的正四面体边长为，在两点分别固定电荷量大小均为的异种电荷，已知静电力常量为，无穷远处电势为零。则下列说法正确的是（ ）
A．点的电场强度大小为
B．点和点电场强度大小相等、方向相反
C．将一个带电粒子沿直线从点移动到点，电势能先增大后减小
D．将一带电粒子从无穷远处移动到点，电场力做功为零
【答案】D
【详解】A．根据电场的叠加原理，点的电场强度，A项错误；
B．点和点电场强度大小相等，方向均平行同向，电场强度相同，B项错误；
C．将一个带电粒子沿直线从移动到，电势能保持不变，C项错误；
D．一个带电粒子在无穷远处与的电势能相等，故电场力做功为零，D项正确。
故选D。
二、多选题
4．（2023·山西·校联考模拟预测）如图所示，、均是圆心为、半径为的绝缘圆弧，、分别带有等量异种电荷，电荷在其上均匀分布。为连线上的一点，为延长线上的一点，取无穷远处电势为0，下列说法正确的是（ ）

A．点的电势一定低于点的电势
B．点和点电场强度的大小相等
C．将一正试探电荷从点沿直线移动到点，其电势能保持不变
D．将一正试探电荷从点沿直线移动到点，其电势能保持不变
【答案】AC
【详解】A．根据等量异种点电荷中垂面是零势面结合电场的分布特点可知，点电势为0，点电势小于0，所以点的电势一定低于点，故A正确；
B．由电场的叠加和对称性可知，点和点场强方向相同，但点场强要小于点的场强，故B错误；
C．根据等量异种点电荷中垂面是零势面，将一正检验电荷沿直线从点运动到点，静电力不做功，电势能不变，故C正确；
D．将一正检验电荷沿直线从点运动到点，电势减小，根据可知电势能减小，故D错误。
故选AC。
5．（2024·云南红河·统考一模）如图所示，边长均为的正方形区域和位于同一竖直平面内，内存在竖直方向的匀强电场和垂直纸面的匀强磁场，内存在匀强电场。一质量、电荷量的小球，从距A点正上方的O点静止释放，进入后做匀速圆周运动，之后恰好从C点沿水平方向进入，取，则（ ）
A．内的电场强度，方向竖直向上
B．磁感应强度，方向垂直纸面向里
C．若内存在竖直向下的匀强电场，恰好能使小球从F点飞出，则两点的电势差
D．若内存在水平向左的匀强电场强度，则恰好能使小球从G点飞出
【答案】AC
【详解】A．小球进入后做匀速圆周运动，则电场力与质量平衡，有，解得，方向竖直向上，故A正确；
B．进入后做匀速圆周运动，之后恰好从C点沿水平方向进入，根据几何关系可知，小球在区域内做匀速圆周运动的半径为
粒子进入前做自由落体运动，则有
根据洛伦兹力提供向心力可得，
可得磁感应强度大小为，根据左手定则可知，磁感应强度方向垂直纸面向里，故B错误；
C．若内存在竖直向下的匀强电场，恰好能使小球从F点飞出，则有，，
联立解得，则两点的电势差为，故C正确；，
D．若内存在水平向左的匀强电场强度，设小球从边离开，则竖直方向有
解得
水平方向有，，解得，可知小球从边的中点飞出，故D错误。
故选AC。
6．（2023·全国·校联考一模）如图所示，一带负电粒子（不计重力）质量为、电荷量大小为，以初速度沿两板中央水平方向射人水平放置、距离为、电势差为的一对平行金属板间，经过一段时间从两板间飞出，在此过程中，已知粒子动量变化量的大小为，下列说法正确的是（ ）

A．粒子在两板间运动的加速度大小为B．粒子从两板间离开时的速度大小为
C．金属板的长度为D．入射点与出射点间的电势差为
【答案】ACD
【详解】A．根据牛顿第二定律可知，粒子在两板间运动的加速度大小为，故A正确；
BC．粒子在水平方向做匀速直线运动，水平方向的动量变化为0；粒子在沿电场方向做初速度为0的匀加速直线运动，根据题意有，
可得粒子从两板间离开时沿电场方向的分速度大小为
则粒子在两板间的运动时间为
金属板的长度为，故B错误，C正确；
D．设入射点与出射点间的电势差为，根据动能定理可得，
其中，，联立解得，故D正确。
故选ACD。
7．（2024·贵州·统考一模）如图（a），水平放置长为l的平行金属板右侧有一竖直挡板。金属板间的电场强度大小为，其方向随时间变化的规律如图（b）所示，其余区域的电场忽略不计。质量为m、电荷量为q的带电粒子任意时刻沿金属板中心线射入电场，均能通过平行金属板，并打在竖直挡板上。已知粒子在电场中的运动时间与电场强度变化的周期T相同，不计粒子重力，则（ ）
A．金属板间距离的最小值为B．金属板间距离的最小值为
C．粒子到达竖直挡板时的速率都大于D．粒子到达竖直挡板时的速率都等于
【答案】AD
【详解】AB．在t=nT(n=0、1、2……)时刻进入电场的粒子在电场中的竖直位移最大，粒子在电场中运动的时间为T，则竖直方向先做匀加速运动后做匀减速运动，由对称性，则沿竖直方向的位移
金属板间距离的最小值为，选项A正确，B错误；
CD．粒子出离电场时的水平速度均为，竖直方向，在t=t0时刻进入电场的粒子，先加速时间为，然后再减速时间，在时刻速度减为零；然后再反向加速t0时间，再反向减速t0时间，即在t=T+t0时刻出离电场时竖直速度再次减为零，粒子出离电场后做匀速直线运动，则达到竖直挡板时的速率等于，选项C错误，D正确。
故选AD。
8．（2024·河南·项城市第一高级中学校考模拟预测）两点电荷分别固定在和坐标原点处，所形成电场的电势在轴上的分布如图所示，图线与轴交于处，处电势最低，取无穷远处电势为0，一正电荷自处由静止释放，则（ ）
A．处的电场强度为0 B．电荷所带电量大小之比为
C．正电荷运动的过程中，加速度先增大后减小 D．正电荷运动的过程中，电势能先减小后增大
【答案】BD
【详解】A．图像，斜率表示电场强度，在处的图像斜率不为零，则电场强度也不为零，故A错误；
B．处图像斜率为零，则满足,所以电荷所带电量大小之比为，故B正确；
C．一正电荷自处由静止释放，根据电势变化情况可知，自处右侧场强方向先沿轴正方向后沿轴负方向，场强先减小为零后反向增大再减小，根据牛顿第二定律，有
可知正电荷运动的过程中，加速度先减小为零后反向增大再减小，故C错误；
D．一正电荷自处由静止释放，根据电势变化情况可知，自处右侧场强方向先沿轴正方向后沿轴负方向，电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，故D正确。
故选BD。
三、解答题
9．（2023·安徽淮北·统考一模）如图所示，一内壁光滑的绝缘圆管AB固定在竖直平面内，圆管的圆心为O，D点为圆管的最低点，A、B两点在同一水平线上，过OD的虚线与过AB的虚线垂直相交于C点。在虚线AB的上方存在水平向右的、范围足够大的匀强电场，虚线AB的下方存在水平向左、范围足够大的匀强电场，电场强度大小与AB上方电场强度大小相等。圆心O正上方的P点有一质量为m、电荷量为q（）、可视为质点的绝缘小球。现将该小球无初速释放，经过一段时间，小球刚好沿切线无碰撞地进入圆管内，并继续运动。已知圆管的半径，圆管的管径忽略不计，，，重力加速度为g。求：
（1）电场强度的大小；
（2）小球对圆管的最大压力；
（3）小球体从管口离开后，经过一段时间的运动落到虚线AB上的N点（图中未标出N点），则N点距管口A多远。
【答案】（1）；（2），方向与CD成指向左下；（3）
【详解】（1）如图所示，小球释放后在重力和电场力的作用下做匀加速直线运动，小球从B点沿切线方向进入，则有,解得电场强度的大小为
（2）小球从P点到B点的过程，根据动能定理可得，，解得
小球在圆管内运动时，受到的重力和电场力的合力如图所示
所以小球在图中M点时，对圆管压力最大，根据动能定理可得,解得
由牛顿第二定律可得，解得
由牛顿第三定律可知，小球对圆管的最大压力大小为，方向与CD成指向左下。
（3）小球从B到A过程，根据动能定理可得，解得
从A到N过程，竖直方向有
水平方向有，，联立解得
10．（2023·四川成都·统考一模）如图，在第一象限0≤x≤2L区域内存在沿y轴正方向的匀强电场（未知），2L 0，则三个点电荷的电荷量可能为（ ）

A．Q1= q，，Q3= qB．Q1= －q，，Q3= －4q
C．Q1= －q，，Q3= －qD．Q1= q，，Q3= 4q
【答案】D
【详解】AB．选项AB的电荷均为正和均为负，则根据电场强度的叠加法则可知，P点的场强不可能为零，AB错误；
C．设P、Q1间的距离为r，则Q1、Q3在P点产生的合场强大小有，解得
而Q2产生的场强大小为 ，则P点的场强不可能为零，C错误；
D．设P、Q1间的距离为r，则Q1、Q3在P点产生的合场强大小有，解得，
而Q2产生的场强大小为，则P点的场强可能为零，D正确。
故选D。
4．（2023·重庆·统考高考真题）真空中固定有两个点电荷，负电荷Q1位于坐标原点处，正电荷Q2位于x轴上，Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x=x0处产生的合电场强度为0，则Q1、Q2相距（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【详解】依题意，两点电荷电性相反，且Q2的电荷量较大，所以合场强为0的位置应该在x轴的负半轴，设两点电荷相距L，根据点电荷场强公式可得，，又解得，
故选B。
5．（2023·浙江·高考真题）如图所示，示波管由电子枪竖直方向偏转电极YY′、水平方向偏转电极XX′和荧光屏组成。电极XX′的长度为l、间距为d、极板间电压为U，YY′极板间电压为零，电子枪加速电压为10U。电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿OO′方向进入偏转电极。已知电子电荷量为e，质量为m，则电子（ ）
A．在XX′极板间的加速度大小为
B．打在荧光屏时，动能大小为11eU
C．在XX′极板间受到电场力的冲量大小为
D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α的正切
【答案】D
【详解】A．由牛顿第二定律可得，在XX′极板间的加速度大小，A错误；
B．电子电极XX′间运动时，有vx = axt，
电子离开电极XX′时的动能为
电子离开电极XX′后做匀速直线运动，所以打在荧光屏时，动能大小为，B错误；
C．在XX′极板间受到电场力的冲量大小，C错误；
D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α的正切，D正确。
故选D。
二、多选题
6．（2023·海南·统考高考真题）如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中带正电，带负电，为边的四等分点，下列说法正确的是（ ）

A．、两点电场强度相同B．、两点电势相同
C．负电荷在点电势能比在点时要小D．负电荷在点电势能比在点时要大
【答案】BC
【详解】A．根据场强叠加以及对称性可知，MN两点的场强大小相同，但是方向不同，选项A错误；
B．因在AB处的正电荷在MN两点的合电势相等，在C点的负电荷在MN两点的电势也相等，则MN两点电势相等，选项B正确；
CD．因负电荷从M到O，因AB两电荷的合力对负电荷的库仑力从O指向M，则该力对负电荷做负功，C点的负电荷也对该负电荷做负功，可知三个电荷对该负电荷的合力对其做负功，则该负电荷的电势能增加，即负电荷在M点的电势能比在O点小；同理可知负电荷在N点的电势能比在O点小。选项C正确，D错误。
故选BC。
7．（2023·天津·统考高考真题）如图所示，在一固定正点电荷产生的电场中，另一正电电荷先后以大小相等、方向不同的初速度从P点出发，仅在电场力作用下运动，形成了直线PM和曲线PN两条点左轨迹，经过M、N点两点时q的速度大小相等，则下列说法正确的有（ ）

A．M点比P点电势低B．M、N两点的电势不同
C．q从P到M点始终做减速运动D．q在M、N两点的加速度大小相等
【答案】AD
【详解】A．由图中正电荷运动轨迹可知，正电荷在受力方向向右，即电场线为指向，所以P点电势高于M点电势，即M点比P点电势低，故A正确；
B．由题意知，同一个正电荷q两次以大小相同、方向不同的初速度从P点出发，分别抵达M点与N点，且q在M，N点时速度大小也一样，由动能定理可知M、N两点的电势相同，故B错误；
C．q从P到M做加速运动，故C错误；
D．根据以上分析可知，M、N两点在同一等势面上，且该电场是固定正电荷产生的电场，则说明M、N到固定正电荷的距离相等，由点电荷的场强公式可知M、N两点处电场强度大小相同，根据可知，q在M、N两点的加速度大小相等，故D正确。
故选AD。
8．（2023·广东·统考高考真题）电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色．透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素．如图所示，胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒．当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊内迁移（每个微粒电量保持不变），像素由黑色变成白色．下列说法正确的有（ ）

A．像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势
B．像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势
C．像素由黑变白的过程中，电场力对白色微粒做正功
D．像素由白变黑的过程中，电场力对黑色微粒做负功
【答案】AC
【详解】A．像素呈黑色时，当胶囊下方的电极带负电，像素胶囊里电场线方向向下，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故A正确；
B．像素呈白色时，当胶囊下方的电极带正电，像素胶囊里电场线方向向上，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故B错误；
C．像素由黑变白的过程中，白色微粒受到的电场力向上，位移向上，电场力对白色微粒做正功，故C正确；
D．像素由白变黑的过程中，黑色微粒受到的电场力向下，位移向下，电场力对黑色微粒做正功，故D错误。
故选AC。
9．（2023·山东·统考高考真题）如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（ ）

A．点与点的电场强度大小相等
B．点与点的电场强度方向相同
C．点与点的电势差小于点与点的电势差
D．将试探电荷由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小
【答案】ACD
【详解】D．将六棱柱的上表面拿出

由几何条件可知正电荷在OF中点K的场强方向垂直OF，则K点的合场强与OF的夹角为锐角，在F点的场强和OF的夹角为钝角，因此将正电荷从F移到O点过程中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，D正确；
C．由等量异种电荷的电势分布可知，，，，
因此，C正确；
AB．由等量异种电荷的对称性可知和电场强度大小相等，和电场强度方向不同，A正确B错误；
故选ACD。
三、解答题
10．（2023·重庆·统考高考真题）某同学设计了一种粒子加速器的理想模型。如图所示，xOy平面内，x轴下方充满垂直于纸面向外的匀强磁场，x轴上方被某边界分割成两部分，一部分充满匀强电场（电场强度与y轴负方向成α角），另一部分无电场，该边界与y轴交于M点，与x轴交于N点。只有经电场到达N点、与x轴正方向成α角斜向下运动的带电粒子才能进入磁场。从M点向电场内发射一个比荷为的带电粒子A，其速度大小为v0、方向与电场方向垂直，仅在电场中运动时间T后进入磁场，且通过N点的速度大小为2v0。忽略边界效应，不计粒子重力。
（1）求角度α及M、N两点的电势差。
（2）在该边界上任意位置沿与电场垂直方向直接射入电场内的、比荷为的带电粒子，只要速度大小适当，就能通过N点进入磁场，求N点横坐标及此边界方程。
（3）若粒子A第一次在磁场中运动时磁感应强度大小为B1，以后每次在磁场中运动时磁感应强度大小为上一次的一半，则粒子A从M点发射后，每次加速均能通过N点进入磁场。求磁感应强度大小B1及粒子A从发射到第n次通过N点的时间。
【答案】（1），；（2），；（3），
【详解】（1）粒子M点垂直于电场方向入射，粒子在电场中做类平抛运动，沿电场方向做匀加速直线运动，垂直于电场方向做匀速直线运动，在N点将速度沿电场方向与垂直于电场方向分解，在垂直于电场方向上有，解得
粒子从过程，根据动能定理有，
解得，
（2）对于从M点射入的粒子，沿初速度方向的位移为，沿电场方向的位移为
令N点横坐标为，根据几何关系有，解得
根据上述与题意可知，令粒子入射速度为v，则通过N点进入磁场的速度为2v，令边界上点的坐标为（x，y）则在沿初速度方向上有
在沿电场方向有，解得
（3）由上述结果可知电场强度，解得
设粒子A第次在磁场中做圆周运动的线速度为，可得第次在N点进入磁场的速度为，第一次在N点进入磁场的速度大小为，可得
设粒子A第次在磁场中运动时的磁感应强度为，由题意可得
由洛伦兹力提供向心力得，联立解得
粒子A第n次在磁场中的运动轨迹如图所示

粒子每次在磁场中运动轨迹的圆心角均为300°，第n次离开磁场的位置C与N的距离等于，由C到N由动能定理得，,联立上式解得，
由类平抛运动沿电场方向的运动可得，粒子A第n次在电场中运动的时间为
粒子A第n次在磁场中运动的周期为
粒子A第n次在磁场中运动的时间为
设粒子A第n次在电场边界MN与x轴之间的无场区域的位移为，边界与x轴负方向的夹角为，则根据边界方程可得，，
由正弦定理可得，,解得
粒子A第n次在电场边界MN与x轴之间运动的时间为
粒子A从发射到第n次通过N点的过程，在电场中运动n次，在磁场和无场区域中均运动n-1次，则所求时间，
由等比数列求和得，
解得，