2024年四川省乐山外国语学校九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份2024年四川省乐山外国语学校九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列各数中，能使不等式成立的是（ ）
A．6B．5C．4D．2
2、（4分）下列因式分解错误的是（ ）
A．2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1）B．x2+2x+1=（x+1）2
C．x2y﹣xy2=xy（x﹣y）D．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
3、（4分）某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，1．这组数据的众数和中位数分别是（ ）．
A．50，20B．50，30C．50，50D．1，50
4、（4分）若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
5、（4分）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则的度数是（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
6、（4分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A．9B．6C．4D．3
7、（4分）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．12≤b≤13B．12≤b≤15C．13≤b≤16D．15≤b≤16
8、（4分）若线段，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（ ）
A．B．C．或D．或
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）将直线y＝2x＋1向下平移3个单位长度后所得直线的表达式是 ______．
10、（4分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，__．
11、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=，BC=3，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接DF、EF，则EF的长为____.
12、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为________．
13、（4分）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，是的中点，是上一点，四边形是菱形，则的面积为______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算：（）0﹣｜﹣2｜﹣．
15、（8分）如图1，□ABCD在平面直角坐标系xOy中，已知点、、、，点G是对角线AC的中点，过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F，点P是直线EF上的动点．
（1）求点D的坐标和的值；
（2）如图2，当直线EF交x轴于点，且时，求点P的坐标；
（3）如图3，当直线EF交x轴于点时，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 图2 图3
16、（8分）因为一次函数与的图象关于轴对称，所以我们定义:函数与互为“镜子”函数.
(1)请直接写出函数的“镜子”函数：________.
(2)如图，一对“镜子”函数与的图象交于点，分别与轴交于两点，且AO=BO，△ABC的面积为，求这对“镜子”函数的解析式.
17、（10分）已知E、F分别是平行四边形ABCD的BC和DA边上的点，且CE=AF，问：DE与FB是否平行？说明理由．
18、（10分）解方程：x2－ 4x= 1．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，点D、E、F分别是三边的中点，若AF=3cm，则DE=_____cm．
20、（4分）如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠BPN=_____度．
21、（4分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D＝70°，则∠ECF的度数是_________．
22、（4分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是____cm.
23、（4分）（2011贵州安顺，17，4分）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图．已知A、B两点的坐标分别为A(0，)，B(2，0)．直线AB与反比例函数的图象交于点C和点D(1，a)．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式．
（2）求∠ACO的度数．
25、（10分）某工厂从外地购得A种原料16吨，B种原料13吨，现计划租用甲、乙两种货车6辆将购得的原料一次性运回工厂，已知一辆甲种货车可装2吨A种原料和3吨B种原料；一辆乙种货车可装3吨A种原料和2吨B种原料，设安排甲种货车x辆.
(1)如何安排甲、乙两种货车?写出所有可行方案；
(2)若甲种货车的运费是每辆500元,乙种货车的运费是每辆350元，设总运费为W元，求W(元)与x(辆)之间的函数关系式；
(3)在(2)的前提下，当x为何值时,总运费最少,此时总运费是多少元？
26、（12分）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，请按要求画出格点四边形（四个顶点都在格点上的四边形叫格点四边形）．
（1）在图1中，画出一个非特殊的平行四边形，使其周长为整数．
（2）在图2中，画出一个特殊平行四边形，使其面积为6且对角线交点在格点上．
注：图1，图2在答题纸上．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
将A、B、C、D选项逐个代入中计算出结果，即可作出判断.
【详解】
解：当时，=1＞0，
当x=5时，=0.5＞0，
当x=4时，=0，
当x=2时，=-1＜0，
由此可知，可以使不等式成立．
故选D．
本题考查了一元一次不等式的解的概念，代入求值是关键.
2、A
【解析】
A、原式=（x﹣2）（2x﹣1），错误；
B、原式=（x+1）2，正确；
C、原式=xy（x﹣y），正确；
D、原式=（x+y）（x﹣y），正确，
故选A．
3、C
【解析】
根据众数和中位数的定义进行计算即可．
【详解】
众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中2是出现次数最多的，故众数是2；
将这组数据从小到大的顺序排列为：20，25，30，2，2，2，1，处于中间位置的那个数是2，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是2．
故选：C．
本题考查众数和中位数，明确众数和中位数的概念是关键．
4、D
【解析】
试题分析：将点（m，n）代入函数y=2x+1，得到m和n的关系式，再代入2m﹣n即可解答．
解：将点（m，n）代入函数y=2x+1得，
n=2m+1，
整理得，2m﹣n=﹣1．
故选D．
5、C
【解析】
根据直角三角形的斜边中线性质可得，根据菱形性质可得，从而得到度数，再依据即可．
【详解】
解：∵四边形是菱形，，
∵O为BD中点，．
，
∴在中，，
．
．
故选：．
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．
6、D
【解析】
已知ab＝8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.
【详解】




故选D.
本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
7、D
【解析】
此题涉及的知识点是解直角三角形，根据题目中底面半径是5，高是12，可以算出另一边，吸管在罐外部分剩余3，不同放置就可以算出总长
【详解】
底面半径是5，高是12，则吸管最长放在罐里的长度为13，加上罐外的3，总长为16；如果吸管竖直放置，则罐里最短长为12，加上罐外3总长为15，所以吸管总长范围为：
故选D
此题重点考察学生对直角三角形的解的应用，勾股定理是解题的关键
8、D
【解析】
分AC＜BC、AC＞BC两种情况，根据黄金比值计算即可．
【详解】
解：当AC＜BC时，BC= AB=，
当AC＞BC时，BC==，
故选：D．
本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、y＝1x－1
【解析】
直线y=1x+1向下平移3个单位长度，根据函数的平移规则“上加下减”，可得平移后所得直线的解析式为y=1x+1﹣3=1x﹣1．
考点：一次函数图象与几何变换．
10、或1
【解析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=13，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即ΔABE沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=1，可计算出CB′=8，设BE=a，则EB′=a，CE=12-a，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出a．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1所示，
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=1，BC=12，
∴AC==13，
∵将ΔABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即将ΔABE沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，设：，则，，
，
由勾股定理得：，
解得：；
②当点B′落在AD边上时，如图2所示，
此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=1，
综上所述，BE的长为或1，
故答案为：或1．
本题考查了矩形的性质，折叠问题，勾股定理等知识，熟练掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等是解题的关键.注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
11、
【解析】
连接DE、CD，先证明四边形DEFC为平行四边形，再求出CD的长，即为EF的长.
【详解】
连接DE、CD，
∵D、E分别是AB、AC的中点，CF=BC
∴DE=BC=CF，DE∥BF，
∴四边形DEFC为平行四边形，
∵BD=AB=,BC=3，AB⊥BF，
∴EF=CD=
此题主要考查四边形的线段求解，解题的关键是根据题意作出辅助线，求证平行四边形，再进行求解.
12、1
【解析】
先根据角平分线及平行四边形的性质得出∠BAE=∠AEB，再由等角对等边得出BE=AB，从而求出EC的长．
【详解】
解：∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3，
∴EC=BC-BE=5-3=1，
故答案为：1．
本题考查了角平分线、平行四边形的性质及等边对等角，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键．
13、8．
【解析】
已知直线y＝x+8与x轴、y轴分别交于A，B两点， 可求得点A、B的坐标分别为：（8 ，0）、（0，8）；又因 C是OB的中点， 可得点C（0，4），所以菱形的边长为4，根据菱形的性质可得DE＝4＝DC，设点D（m，m+8），则点E（m，m+4），由两点间的距离公式可得CD2＝m2+（m+8﹣4）2＝16， 解方程求得m＝2， 即可得点E（2，2）， 再根据S△OAE＝ ×OA×yE即可求得的面积．
【详解】
∵直线y＝x+8与x轴、y轴分别交于A，B两点，
∴当x＝0时，y＝8；当y＝0时，x＝8，
∴点A、B的坐标分别为：（8 ，0）、（0，8），
∵C是OB的中点，
∴点C（0，4），
∴菱形的边长为4，则DE＝4＝DC，
设点D（m，m+8），则点E（m，m+4），
则CD2＝m2+（m+8﹣4）2＝16，
解得：m＝2，
故点E（2，2），
S△OAE＝ ×OA×yE＝×8×2＝8 ，
故答案为8．
本题是一次函数与几何图形的综合题，正确求得点E的坐标是解决问题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、－1－
【解析】
根据零指数幂、实数的绝对值和二次根式的性质分别计算各项，再合并即可.
【详解】
解：原式＝1＋－2－2＝－1－
本题考查了实数的混合运算，熟知实数的混合运算法则是求解的关键.
15、（1）（2，−2），7；（2）点P的坐标为（，−）或（−，）；（3）点P的坐标为（3，0）或（−1，2）或（，−）或（−，）．
【解析】
（1）根据平行线的性质可求点D的坐标，根据重心的定义可得S四边形BEFC＝S▱ABCD从而求解；
（2）分两种情况：①点P在AC左边，②点P在AC右边，进行讨论即可求解；
（3）先作出图形，再根据矩形的性质即可求解．
【详解】
解：（1）∵▱ABCD在平面直角坐标系xOy中，点A（−1，0）、B（0，4）、C（3，2），
∴点D的坐标为（2，−2），
∴S▱ABCD＝6×4−×1×4−×3×2−×1×4−×3×2＝14，
∵点G是对角线AC的中点，
∴S四边形BEFC＝S▱ABCD＝7；
（2）∵点G是对角线AC的中点，
∴G（1，1），
设直线GH的解析式为y＝kx＋b，
则，
解得，
∴直线GH的解析式为y＝−x＋；
①点P在AC右边，
S△ACH＝×6×2＝6，
∵S△PAC＝S四边形BEFC，
1＋4×＝，
当x＝时，y＝−×＋＝−，
∴P（，−）；
②点P在AC左边，
由中点坐标公式可得P（−，）；
综上所述，点P的坐标为（，−）或（−，）；
（3）如图，
设直线GK的解析式为y＝kx＋b，则，
解得，
则直线GK的解析式为y＝−x＋，
CP⊥AP时，点P的坐标为（3，0）或（−1，2）；
CP⊥AC时，直线AC的解析式为y＝x＋，
直线CP的解析式为y＝−2x＋8，
故点P的坐标为（，−）；
AP⊥AC时，
同理可得点P的坐标为（−，）；
综上所述，点P的坐标为（3，0）或（−1，2）或（，−）或（−，）．
本题考查四边形的综合题、矩形的性质、三角形和四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
16、 (1)y=-3x-2；(2)；.
【解析】
（1）根据“镜子”函数的定义解答即可；
（2）根据“镜子”函数的定义可得与的图象关于轴对称，即可得出AO=BO=CO，设OA=OB =OC=x，根据△ABC的面积为列方程求出x的值，即可得点A、B、C的坐标，利用待定系数法求出k、b的值即可得答案.
【详解】
(1)∵函数与互为“镜子”函数.
∴函数的“镜子”函数是，
故答案为：
(2)∵函数与是一对“镜子”函数，
∴一次函数与的图象关于轴对称，
∴BO=CO，
∴AO=BO=CO，
设，根据题意可得
解得
∴，
将B、A的坐标分别代入中得，
解得：
∴其函数解析式为，
∴其“镜子”函数解析式为.
∴这对“镜子”函数的解析式为和.
本题考查待定系数法求一次函数解析式，根据关于y轴对称的点的坐标特征得出OA=OB=OC是解题关键.
17、DE∥FB
【解析】
试题分析：DE与FB平行，根据已知条件可证明DFBE是平行四边形，由平行四边形的性质可得DE∥FB．
试题解析：
DE∥FB．
因为 在□ABCD中，
AD∥BC （平行四边形的对边互相平行）．
且 AD=BC （平行四边形的对边相等），
所以 DF∥BE，
又 CE=AF，DE=AD﹣AF，BE=BC﹣CE，
所以 DF=BE，
所以 DFBE是平行四边形，（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
所以 DE∥FB．（平行四边形的对边相等）．
18、x1=2+，x2=2-
【解析】
试题分析：方程两边都加上一次项系数一半的平方，进行配方，两边直接开平方即可求得方程的解．
试题解析：x2-4x=1
x2-4x+4=1+4
（x-2）2=5
x-2=
即：x1=2+，x2=2-
考点：解一元二次方程---配方法．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、3
【解析】
∵在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，
∴BC＝2AF＝6cm，
又∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=3cm.
故答案为3.
本题考查直角三角形斜边上的中线和三角形的中位线. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
20、1
【解析】
根据折叠的性质知：可知：BN=BP，再根据∠BNP=90°即可求得∠BPN的值.
【详解】
根据折叠的性质知：BP=BC，
∴BN=BC=BP，
∵∠BNP=90°，
∴∠BPN=1°，
故答案为：1．
本题考查了正方形的性质、翻折变换（折叠问题）等知识，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.
21、35°
【解析】
根据折叠的性质可得∠ECB=∠ECF，CB=CF，根据菱形的性质可得CB=CD，∠B=∠D=70°，∠BCD=180°-∠D=110°，求出等腰三角形DCF的顶角∠DCF，即可求出∠ECF的度数
【详解】
解：在菱形ABCD中，CB=CD，∠B=∠D=70°，∠BCD=180°-∠D=110°，
根据折叠可得：∠ECB=∠ECF，CB=CF，
∴CF=CD
∴∠DCF=180°-70°-70°=40°，
∴∠ECF=（∠BCD-∠DCF）=35°.
故答案为35°.
本题考查图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
22、18
【解析】
解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=18cm
本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大．
23、P（5，5）或（4，5）或（8，5）
【解析】
试题解析：由题意，当△ODP是腰长为4的等腰三角形时，有三种情况：
（5）如图所示，PD=OD=4，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=5．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=，
∴OE=OD-DE=4-5=4，
∴此时点P坐标为（4，5）；
（4）如图所示，OP=OD=4．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=5．
在Rt△POE中，由勾股定理得： OE=，
∴此时点P坐标为（5，5）；
（5）如图所示，PD=OD=4，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=5．
在Rt△PDE中，由勾股定理得： DE=，
∴OE=OD+DE=4+5=8，
∴此时点P坐标为（8，5）．
综上所述，点P的坐标为：（4，5）或（5，5）或（8，5）．
考点：5．矩形的性质；4．坐标与图形性质；5．等腰三角形的性质；5．勾股定理．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）y=x+ ，y=﹣；（2）∠ACO=30°；
【解析】
（1）根据A、B两点坐标求得一次函数解析式，再求得D点的具体坐标，从而求得反比例函数的解析式.
（2）联立函数解析式求得C点坐标，过C点作CH⊥x轴于H，证明为等腰三角形，根据特殊直角三角形求得的度数，从而求得的度数.
【详解】
解：(1)设直线AB的解析式为： ，
把A(0，)，B(2，0)分别代入，
得，，
解得 =，b=．
∴直线AB的解析式为：y=x+；
∵点D(1，a)在直线AB上，
∴a=+=，即D点坐标为(1，)，
又∵D点(1，)在反比例函数的图象上，
∴k=1×=﹣，
∴反比例函数的解析式为：y=﹣；
(2)由，解得或，
∴C点坐标为(3，﹣)，过C点作CH⊥x轴于H，如图，
∵OH=3，CH=，
∴OC=，而OA=，
∴OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
又∵OB=2，
∴AB=，
在Rt△AOB中，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACO=30°
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法.
25、 (1)有两种可行方案，方案一：安排甲种货车1辆，乙种货车5辆，方案二：安排甲种货车2辆，乙种货车4辆；
(2) x为1时，总运费最少，此时总运费是2250元.
【解析】
【分析】(1)依题意得，解不等式组即可；
（2）直接根据数量关系可列W=500x+350(6−x)=150x+2100；
（3）结合（1）和（2），当x最小时，运费最少.
【详解】(1)由题意可得，
，
解得，1⩽x⩽2，
∴有两种可行方案，
方案一：安排甲种货车1辆，乙种货车5辆，
方案二：安排甲种货车2辆，乙种货车4辆；
(2)由题意可得，
W=500x+350(6−x)=150x+2100，
即W(元)与x(辆)之间的函数关系式是W=150x+2100；
(3)由(2)知，
W=150x+2100，
∵1⩽x⩽2，
∴当x=1时，W取得最小值，此时W=2250，
答：x为1时，总运费最少，此时总运费是2250元.
【点睛】此题考核知识点：列不等式组解应用题；求函数的最小值.解题的关键是：根据题意列出不等式组，并求出解集；分析函数解析式中函数值与自变量之间的关系，从而轻易确定函数最小值.
26、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）利用勾股定理得出符合题意的四边形；
（2）利用平行四边形的面积求法得出符合题意的答案．
【详解】
（1）如图1，平行四边形ABCD即为所求
图1
（2）如图2，菱形ABCD即为所求
图2
此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理确定线段长度，正确借助网格得出是解题关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人