人教版（2024）九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程同步练习题

这是一份人教版（2024）九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程同步练习题，共26页。试卷主要包含了理解一元二次方程根与系数的关系等内容，欢迎下载使用。
1.理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程根的情况；
2.理解一元二次方程根与系数的关系
知识点1：一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③时，方程无实数根，反之亦成立
知识点2：一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
【题型 1 一元二次方程的判别式】
【典例1】（2022秋•沈河区期末）一元二次方程3x2﹣6x+4＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．无实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
【变式1-1】（2022秋•南开区校级期末）方程x2﹣2x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根
C．没有实数根D．无法确定
【变式1-2】一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【变式1-3】下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+kx﹣1＝0 B．x2+kx+1＝0 C．x2+x﹣k＝0 D．x2+x+k＝0
【典例2】（2022秋•甘井子区校级期末）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k＝﹣1D．k＞﹣1且k≠0
【变式2-1】（2022秋•滕州市校级期末）若关于x的一元二次方程x2+2m＝4有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m≤2C．m≥0D．m＜0
【变式2-2】（2022•太湖县校级一模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2B．k＞2C．k＜2且k≠﹣2D．k＞﹣2且k≠2
【典例3】（2022秋•武汉期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
【变式3-1】已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；．
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
【变式3-2】已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值．
【变式3-3】（2022秋•和平区校级期末）关于x的一元二次方程：．
（1）当k＝1时，求方程的根；
（2）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【题型2 一元二次方程的根与系数的关系】
【典例4】（2021•贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
【变式4-1】设 α,β 是一元二次方程 x2+2x−1=0 的两个根，则 αβ 的值是（ ）
A．2B．1C．-2D．-1
【变式4-2】若一元二次方程x2− 5x+k =0的一根为2，则另一个根为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式4-3】若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 m+nmm 的值为 ．
【典例5】已知关于x的一元二次方程 x2+(2m−3)x+m2=0 有两个实数根 x1 ， x2 .
（1）求实数m的取值范围；
（2）若 x1+x2=6−x1x2 ，求m的值.
【变式5-1】已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值．
【变式5-2】已知关于 x 的一元二次方程 x2+(k−1)x−k=0
（1）求证：不论 k 为何实数,方程总有实数根;
（2）若方程的两实数根分别为 x1,x2 ,且满足 1x1+1x2=2 ,求 k 的值.
【变式5-3】（2021秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当时，求m的值．
1．（2022•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
2.（2022•河南一模）方程x2+x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
3.（2022•罗平县一模）已知关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜B．a＞C．a＜且a≠1D．a＞且a≠1
4.（2022•太湖县校级一模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2B．k＞2C．k＜2且k≠﹣2D．k＞﹣2且k≠2
5.（2022•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（ ）
A．2016B．2018C．2020D．2022
6．（2022•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
7．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 ．
8．（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是 ．
9.（2022•西城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
10.（2022•南海区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．
11.（2022•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．
1．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
2．下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+kx﹣1＝0 B．x2+kx+1＝0 C．x2+x﹣k＝0 D．x2+x+k＝0
3．（2022秋•大冶市期末）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤5B．k＜5C．k≤5且k≠1D．k＜5且k≠1
4．（2022秋•漳州期中）若a*b＝ab2﹣2ab﹣3．则方程3*x＝0的根的情况为（ ）
A．无实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．不能确定
5．（2022秋•丰台区期末）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
A．2B．1C．-2D．-1
6．已知x1,x2是方程x2−x−1=0的根，则1x1+1x2的值是（ ）
A．1B．-1C．±1D．0
7．设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为（ ）
A．-2014B．2014C．2013D．-2013
8．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 m+nmm 的值为 ．
9．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为 .
10.（2021秋•大冶市期末）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x1x2＝4﹣x2时，求k的值．
11．已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+2m=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于3，求m的取值范围．
12．已知关于x的一元二次方程 x2+(2m−3)x+m2=0 有两个实数根 x1 ， x2 .
（1）求实数m的取值范围；
（2）若 x1+x2=6−x1x2 ，求m的值.
第4讲 一元二次方程的判别式、根与系数
1.理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程根的情况；
2.理解一元二次方程根与系数的关系
知识点1：一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③时，方程无实数根，反之亦成立
知识点2：一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
【题型 1 一元二次方程的判别式】
【典例1】（2022秋•沈河区期末）一元二次方程3x2﹣6x+4＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．无实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵a＝3，b＝﹣6，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×4＝﹣12＜0，
∴该方程没有实数根．
故选：B．
【变式1-1】（2022秋•南开区校级期末）方程x2﹣2x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×1×4＝﹣12＜0，
∴原方程没有实数根．
故选：C．
【变式1-2】一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【答案】A
【解答】解：∵根的判别式Δ=(−1)2−4×(−1)=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A．
【变式1-3】下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+kx﹣1＝0 B．x2+kx+1＝0 C．x2+x﹣k＝0 D．x2+x+k＝0
【答案】A
【解答】解：A、△＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；
B、△＝k2﹣4×1×1＝k2﹣4，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、△＝12﹣4×1×（﹣k）＝1+4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、△＝12﹣4×1×k＝1﹣4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意.
故答案为：A.
【典例2】（2022秋•甘井子区校级期末）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k＝﹣1D．k＞﹣1且k≠0
【答案】C
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k•（﹣1）＝0，
解得k＝﹣1．
故选：C．
【变式2-1】（2022秋•滕州市校级期末）若关于x的一元二次方程x2+2m＝4有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m≤2C．m≥0D．m＜0
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2m＝4即x2+2m﹣4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（2m﹣4）＝16﹣8m＞0，
解得：m＜2．
故选：A．
【变式2-2】（2022•太湖县校级一模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2B．k＞2C．k＜2且k≠﹣2D．k＞﹣2且k≠2
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k+2≠0且Δ＝42﹣4（k+2）×1＞0，
解得：k＜2且k≠﹣2．
故选：C．
【典例3】（2022秋•武汉期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，
无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，
整理，得 2﹣k＝0．
解得 k＝2，
此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0．
解此方程，得 x1＝1，x2＝3．
所以方程的另一根为x＝1．
【变式3-1】已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；．
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
【答案】（1） a>- 13且a≠0 （2）-3.
【解答】（1）解：由题意得：a≠0，△=4+12a>0，
解得a>- 13且a≠0.
（2）解：由题意得：a+2-3=0，
解得：a=1，
∴x2+2x-3=0，
(x-1)(x+3)=0，
解得x=1或-3，
∴另一个实数根为：-3.
【变式3-2】已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值．
【答案】（1）k≤5 （2）4
【解答】（1）解：△=(−4)2−4(k−1)
=−4k+20
由于方程有实数根，所以根的判别式△≥0，则
−4k+20≥0
解得k≤5
（2）解：由一元二次方程根与系数关系得x1+x2=4,x1x2=k−1
而x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2 =42−2(k−1)=10
解得k=4
由于k=4≤5符合题意，所以k的值为4．
【变式3-3】（2022秋•和平区校级期末）关于x的一元二次方程：．
（1）当k＝1时，求方程的根；
（2）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【解答】解：（1）把k＝1代入得：
x2+3x+＝0，
（x+）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣；
（2）∵此方程有两个不相等的实数根，
∴k≠0，且Δ＝（2k+1）2﹣4k•（k+）＝1﹣k＞0，
解得：k＜1且k≠0，
即k的取值范围为k＜1且k≠0．
【题型2 一元二次方程的根与系数的关系】
【典例4】（2021•贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，
∴α+β﹣αβ＝﹣1+2＝1，
故选：B．
【变式4-1】设 α,β 是一元二次方程 x2+2x−1=0 的两个根，则 αβ 的值是（ ）
A．2B．1C．-2D．-1
【答案】D
【解答】解：∵ α,β 是一元二次方程 ，
∴αβ=−1 .
故答案为：D.
【变式4-2】若一元二次方程x2− 5x+k =0的一根为2，则另一个根为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解答】解：设方程的另一根为t，
根据题意得2＋t＝5，
解得t＝3.
故答案为：A.
【变式4-3】若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 m+nmm 的值为 ．
【答案】-2
【解答】解：根据题意得m+n=4，mn=-2，
所以原式= 4−2 =-2．
故答案为：-2
【典例5】已知关于x的一元二次方程 x2+(2m−3)x+m2=0 有两个实数根 x1 ， x2 .
（1）求实数m的取值范围；
（2）若 x1+x2=6−x1x2 ，求m的值.
【答案】（1） m≤34 （2）m=−1
【解答】（1）解：因为一元二次方程有两个实数根，
所以 Δ=b2−4ac=(2m−3)2−4m2≥0
∴4m2−12m+9−4m2≥0
∴−12m≥−9
∴m≤34
即实数m的取值范围为 m≤34 ；
（2）解： ∵x1+x2=−ba=3−2m,x1⋅x2=ca=m2 ， x1+x2=6−x1x2
∴3−2m=6−m2
∴m2−2m−3=0
∴(m−3)(m+1)=0
∴m=3 （舍去）或 m=−1∴m=−1
【变式5-1】已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值．
【答案】（1）k≤5 （2）4
【解答】（1）解：△=(−4)2−4(k−1)
=−4k+20
由于方程有实数根，所以根的判别式△≥0，则
−4k+20≥0
解得k≤5
（2）解：由一元二次方程根与系数关系得x1+x2=4,x1x2=k−1
而x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2 =42−2(k−1)=10
解得k=4
由于k=4≤5符合题意，所以k的值为4．
【变式5-2】已知关于 x 的一元二次方程 x2+(k−1)x−k=0
（1）求证：不论 k 为何实数,方程总有实数根;
（2）若方程的两实数根分别为 x1,x2 ,且满足 1x1+1x2=2 ,求 k 的值.
【答案】（1）略 （2）k=-1.
【解答】（1）证明： ∵Δ=(k−1)2+4k=k2−2k+1+4k=(k+1)2 ,
∵(k+1)2⩾0,∴Δ≥0,
∴无论 k 取何值, 该方程总有实数根
（2）解：∵一元二次方程x2+(k-1)x-k=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-（k-1）=1-k，x1x2=-k，
∵1x1+1x2=2，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=1−k−k=2，
∴整理，解得：k=-1.
【变式5-3】（2021秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当时，求m的值．
【答案】（1）m＞﹣1且m≠0； （2）4
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＞0且m≠0，
解得：m＞﹣1且m≠0；
（2）∵关于的一元二次方程mx²﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
∵x12+x22＝x1x2+1，（x1+x2）2﹣2x1x2＝x1x2+1，
即（x1+x2）2＝3x1x2+1，
∴（）2＝﹣+1，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m1＝4，m2＝﹣1，
经检验，m1，m2都是分式方程的解，
∵m＞﹣1且m≠0，
∴m的值为4．
1．（2022•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
2.（2022•河南一模）方程x2+x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【答案】D
【解答】解：∵Δ＝（）2﹣4×1×1＝﹣1＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
3.（2022•罗平县一模）已知关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜B．a＞C．a＜且a≠1D．a＞且a≠1
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴22﹣4（1﹣a）×（﹣2）＞0且1﹣a≠0，
整理得：4+8﹣8a＞0且a≠1
解得：a＜且a≠1．
故选：C
4.（2022•太湖县校级一模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2B．k＞2C．k＜2且k≠﹣2D．k＞﹣2且k≠2
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k+2≠0且Δ＝42﹣4（k+2）×1＞0，
解得：k＜2且k≠﹣2．
故选：C．
5.（2022•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（ ）
A．2016B．2018C．2020D．2022
【答案】B
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的根，
∴m2﹣5m﹣1＝0，
∴m2﹣5m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝5，
∴m2﹣6m﹣n+2022＝m2﹣5m﹣m﹣n+2022＝1﹣5+2022＝2018．
故选：B．
6．（2022•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k＜2且k≠1
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，
解得k＜2且k≠1，
所以k的取值范围是k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
7．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 ．
【答案】6
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
8．（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是 ．
【答案】3
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，
∴x1•x2＝3，
故答案为：3．
9.（2022•西城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
【答案】（1）略 (2)m的值为或﹣
【解答】（1）证明：∵△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）
＝36，
∵不论m取何值时，36恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝0代入x2﹣4mx+4m2﹣9＝0中，得4m2﹣9＝0，
解得：m＝或﹣．
∴m的值为或﹣．
10.（2022•南海区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．
【答案】（1）m＜． （2）x1＝0，x2＝3
【解答】解：（1）由题意可知：△＝9﹣4（m+1）＞0，
∴m＜．
（2）当m＝﹣1时，
∴△＝9，
由求根公式可知：x＝，
∴x1＝0，x2＝3
11.（2022•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．
【答案】（1）k≤5 （2）4
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤5；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1•x2＝k﹣1，
∵x12+x22＝10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝42﹣2（k﹣1）＝10，
解得k＝4，
∵k≤5，
∴k＝4．
故k的值是4．
1．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【答案】A
【解答】解：∵根的判别式Δ=(−1)2−4×(−1)=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A．
2．下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+kx﹣1＝0 B．x2+kx+1＝0 C．x2+x﹣k＝0 D．x2+x+k＝0
【答案】A
【解答】解：A、△＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；
B、△＝k2﹣4×1×1＝k2﹣4，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、△＝12﹣4×1×（﹣k）＝1+4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、△＝12﹣4×1×k＝1﹣4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意.
故答案为：A.
3．（2022秋•大冶市期末）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤5B．k＜5C．k≤5且k≠1D．k＜5且k≠1
【答案】D
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜5且k≠1．
故选：D．
4．（2022秋•漳州期中）若a*b＝ab2﹣2ab﹣3．则方程3*x＝0的根的情况为（ ）
A．无实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．不能确定
【答案】C
【解答】解：方程利用题中的新定义化简得：3x2﹣6x﹣3＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝36+36＝72＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
5．（2022秋•丰台区期末）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
【答案】
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×k＝1﹣4k＝0，
解得：k＝，
故答案为：
A．2B．1C．-2D．-1
【答案】D
【解答】解：∵ α,β 是一元二次方程 ，
∴αβ=−1 .
故答案为：D
6．已知x1,x2是方程x2−x−1=0的根，则1x1+1x2的值是（ ）
A．1B．-1C．±1D．0
【答案】B
【解答】解：∵x1与x2是方程x2−x−1=0的根，
∴x1+x2=1,x1⋅x2=−1 ，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−1.
故答案为：B.
7．设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为（ ）
A．-2014B．2014C．2013D．-2013
【答案】D
【解答】解：∵a是方程的根
∴a2+a+2012=0
∴a2=-a-2012
∴a2+2a+β=-a-2012+2a+β=a+β-2012
∵a和β是方程的两个实数根
∴a+β=-1
∴a+β-2012=-1-2012=-2013
故答案为：D.
8．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 m+nmm 的值为 ．
【答案】-2
【解答】解：根据题意得m+n=4，mn=-2，
所以原式= 4−2 =-2．
故答案为：-
9．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为 .
【答案】2020
【解答】解：∵a，b是方程x2＋x−2021＝0的两个实数根，
∴a2＋a−2021＝0，即a2＋a＝2021，a＋b＝−ba＝−1，
∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2021−1＝2020.
故答案为：2020.
10.（2021秋•大冶市期末）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x1x2＝4﹣x2时，求k的值．
【答案】（1）k≤ (2)1
【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，
解得：x＝，
∴k＝0符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤，
综上所述，k的取值范围为k≤；
（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∵x1+x1x2＝4﹣x2，即x1+x2+x1x2＝4，
∴+＝4，
解得：k＝1，
经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．
∴k的值为1．
11．已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+2m=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于3，求m的取值范围．
【答案】（1）略 （2）m3．
∴m