初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆达标测试

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆达标测试，共34页。试卷主要包含了5°，OB＝2，则的长为，6m，DC＝0，5m，则阴影部分的面积为，14×22＝12等内容，欢迎下载使用。
理解弧长和扇形面积及公式，并会计算弧长和扇形的面积
经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培养学生的探索能力；
通过弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系；
4.通过探索圆锥侧面积和全面积计算公式，并熟练运用公式解决问题。
知识点1：扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
知识点2：扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
圆柱的体积：
2、圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）
【题型1 弧长的计算】
【典例1】（2023•怀集县二模）如图，△ABC内接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，则的长是（ ）
A．B．C．D．π
【变式1-1】（2023•钦州一模）如图，点A，B，C，E在⊙O上，OC⊥AB于点D，∠E＝22.5°，OB＝2，则的长为（ ）
A．B．C．πD．π
【变式1-2】（2023•崆峒区校级三模）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】（2022秋•石景山区期末）若圆的半径为9，则120°的圆心角所对的弧长为（ ）
A．3B．6C．3πD．6π
【变式1-4】（2023•兰州模拟）如图，从一块半径为8cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则扇形ABC中弧BC的长为（ ）cm
A．B．C．D．
【题型2 利用弧长公式求周长】
【典例2】（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A．2πB．C．D．
【变式2-1】（2022•潍坊三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC的中点，连接AD，以点D为圆心，DA长为半径作弧MN，若DM⊥AB于点E，DN⊥AC于点F．则图中阴影部分的周长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2022•山西模拟）小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，其形状是扇形的一部分，图2是其平面示意图，AD和BC都是半径的一部分，小敏测得AD＝BC＝0.6m，DC＝0.8m，∠ADC＝∠BCD＝120°，则这块宣传版面的周长为（ ）
A．（π+2）mB．（π+2）m
C．（）mD．（）m
【变式2-3】（2023•安陆市二模）如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在△ABC内的三段弧长度之和为（ ）
A．3πB．2πC．πD．
【题型3 计算扇形的面积】
【典例3】（2023•忻州模拟）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是 一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．3m2C．D．
故选：A．
【变式3-1】（2023•温州三模）一个扇形的圆心角为135°，半径为2，则该扇形的面积为 ．
【变式3-2】（2023•嘉祥县二模）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，弧BC的长度为20πcm，弧DE的长度为，扇面边缘宽BD的长为20cm，则扇面DBCE的面积为 cm2．
【题型4 计算不规则图形的阴影部分面积】
【典例4】（2023•平遥县二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2023•建昌县二模）如图，扇形纸片的半径为6，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2023•长阳县一模）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB＝12，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式4-3】（2023•叶县模拟）如图，扇形OAB的半径OA＝2cm，∠AOB＝120°，则以AB为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是 cm2．
【题型5 旋转过程中扫过的路径或面积】
【典例5】（2020秋•江城区月考）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置．若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．10πcmB．10πcmC．15πcmD．20πcm
【变式5-1】（2022•枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ．（结果保留π）
【变式5-2】（2022•武山县校级一模）如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A、P之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为 ．
【变式5-3】（2022秋•邯山区校级期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C，直接写出A′，B′坐标；
（2）在（1）的条件下，请直接写出点B旋转到点B′所经过的路线长 （结果保留π）；
（3）在（1）的条件下，求点A旋转到点A′时，线段AC所扫过的面积（结果保留π）．
【典例6】（2023•丰润区二模）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．3π
【变式6-1】（2023•凉山州模拟）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A．B．
C．6πD．以上答案都不对
【变式6-2】（2023春•诸暨市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．π﹣B．π+C．πD．
【变式6-3】（2023•义乌市校级开学）如图，已知Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝30°，点C在线段BD上，BC＝2．将△BDE绕点B按顺时针方向旋转30°，使得BE与BA重合，则线段DE所扫过的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．B．C．D．
【题型6 圆锥的计算】
【典例7】（2023•零陵区三模）如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【变式7-1】（2023•武陵区一模）已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．30cm2B．30πcm2C．15πcm2D．12πcm2
【变式7-2】（2023•仁和区二模）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为36πm2，圆柱高为4m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
A．B．144πm2
C．D．216πm2
【变式7-3】（2023•蜀山区二模）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥体，则该扇形的圆心角θ得大小为（ ）
A．90°B．120°C．150°D．180°
【题型7 圆柱的计算】
【典例8】（2022秋•怀柔区校级月考）将一个高6cm的圆柱转化成如图的一个几何体后，表面积增加了48cm2．这个圆柱的半径是（ ）cm．
A．2B．4C．8D．16
【变式8-1】（2022春•绥棱县校级月考）把一根长2米、底面积是20平方厘米的圆柱形木料平行于底面截成3段，表面积增加了（ ）平方厘米．
A．240B．80C．120D．160
【变式8-2】（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
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1．（2023•新疆）如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ ）
A．12πB．6πC．4πD．2π
2．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣20B．π﹣20C．20πD．20
3．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（ ）
A．11﹣2B．11﹣4C．8﹣2D．8﹣4
4．（2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 度．
5．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 ．
6．（2023•金华）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm．
7．（2023•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
8．（2023•重庆）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
9．（2023•内江）如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 ．
10．（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 cm2．（结果保留π）
11．（2023•自贡）如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 cm2．
户：gaga；邮箱：18376708956；学号：189
1．（2023•东莞市校级模拟）如图，点A、B、P在⊙O上，若AO＝2，∠APB＝35°，则劣弧的长度为（ ）
A．B．C．πD．
2．（2023•南岗区校级三模）已知扇形半径为6，弧长为4π，则扇形面积为（ ）
A．10πB．12πC．16πD．24π
3．（2023•大同模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．﹣3C．D．
4．（2023•建昌县一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交边CD于点E，连接AE，则扇形BAE的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023•南皮县校级一模）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是（ ）
A．1B．1.5C．2D．
6．（2022秋•防城港期末）在中国书画艺术中，扇面书画是一种特殊的形式．如图扇面书法作品的形状是同心圆作出的扇面，扇面弧所对的圆心角是120°，大圆半径是20cm，小圆半径是10cm，则此书法作品的扇面面积是（ ）
A．300πcm2B．200πcm2C．100πcm2D．80πcm2
7．（2022•治多县模拟）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）
A．πB．πC．πD．4
8．（2023•宿迁一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A．12cm2B．24cm2C．12πcm2D．24πcm2
9．（2023•常德三模）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的底面圆的面积为（ ）
A．2.25πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．36πcm2
10．（2023•天门校级模拟）如图，圆锥的轴截面是一个斜边为2的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．B．C．2πD．
11．（2023•微山县一模）如图，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，弧BB′的长是（ ）
A．2πB．C．D．
12．（2023•庆元县一模）如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若一个弧三角形的周长为2π，则此弧三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．2π
13．（2023•阳泉二模）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，半圆绕点B顺时针旋转45°．点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
​
A．B．πC．D．
14．（2022•南岗区校级开学）一个底面直径是10厘米，高是20厘米的圆柱，如果把它沿直径垂直于底面切成两半，表面积增加了 平方厘米．
15．（2022•常山县模拟）一个圆柱的底面半径为5cm，母线长为6cm，则这个圆柱的侧面积为 cm2．
16．（2023•西湖区校级二模）已知扇形的半径为3cm，圆心角为150°，则该扇形的弧长为 π cm．
17．（2023•镇平县二模）如图，扇形纸片AOB，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，已知，则图中阴影部分的周长为 ．
​
18．（2022•盘龙区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1cm．将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△AB'C'位置．则边BC扫过的面积是 cm2．
19．（2022秋•赵县期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 ；
（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为 ．（结果保留根号）
20．（禹会区一模）如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 ．
21．（海淀区校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．如果A（﹣4，0），B（﹣1，2）．请回答：
（1）点B'的坐标为 ．
（2）点A经过的路径的长度为 π．（友情提示：已经有π）
22．（2022秋•牡丹区校级期末）一个圆柱体，高减少了4厘米，表面积就减少50.24平方厘米，求这个圆柱体的底面积．
第07讲 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积
理解弧长和扇形面积及公式，并会计算弧长和扇形的面积
经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培养学生的探索能力；
通过弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系；
4.通过探索圆锥侧面积和全面积计算公式，并熟练运用公式解决问题。
知识点1：扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
知识点2：扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
圆柱的体积：
2、圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）
【题型1 弧长的计算】
【典例1】（2023•怀集县二模）如图，△ABC内接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，则的长是（ ）
A．B．C．D．π
【答案】C
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵BC＝，
∴OB＝OC＝BC＝1，
∴的长为：＝π，
故选：C．
【变式1-1】（2023•钦州一模）如图，点A，B，C，E在⊙O上，OC⊥AB于点D，∠E＝22.5°，OB＝2，则的长为（ ）
A．B．C．πD．π
【答案】B
【解答】解：∵∠E＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠E＝45°，
∵OB＝2，
∴的长为＝，
故选：B．
【变式1-2】（2023•崆峒区校级三模）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：图中的管道中心线的长为＝（m），
故选：B．
【变式1-4】（2022秋•石景山区期末）若圆的半径为9，则120°的圆心角所对的弧长为（ ）
A．3B．6C．3πD．6π
【答案】D
【解答】解：由题意知，r＝9，n＝120，
∴l＝＝＝6π，
故选：D．
【变式1-4】（2023•兰州模拟）如图，从一块半径为8cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则扇形ABC中弧BC的长为（ ）cm
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：作OD⊥AB于D，如图，则AD＝BD，
∵∠OAD＝∠BAC＝30°，
∴OD＝OA＝4cm，
∴AD＝＝＝4（cm），
∴AB＝2AD＝8cm，
∴弧BC的长＝，
故选：D．
【题型2 利用弧长公式求周长】
【典例2】（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A．2πB．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，
∴＝＝，
∵的长＝＝π，
∴“莱洛三角形”的周长等于的长×3＝×3＝2π．
故选：A．
【变式2-1】（2022•潍坊三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC的中点，连接AD，以点D为圆心，DA长为半径作弧MN，若DM⊥AB于点E，DN⊥AC于点F．则图中阴影部分的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝＝10，
∵D为BC的中点，
∴AD＝BD＝CD＝BC＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，DE＝AC＝4，DF＝AB＝3，
∴AF＝DE，AE＝DF，∠MDN＝90°，
∵DE+DM＝DF+FN＝AD，
∴阴影部分的面积为2AD+＝10+，
故选：C．
【变式2-2】（2022•山西模拟）小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，其形状是扇形的一部分，图2是其平面示意图，AD和BC都是半径的一部分，小敏测得AD＝BC＝0.6m，DC＝0.8m，∠ADC＝∠BCD＝120°，则这块宣传版面的周长为（ ）
A．（π+2）mB．（π+2）m
C．（）mD．（）m
【答案】A
【解答】解：如图，延长AD、交BC的延长线于点E，
∵∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠CDE＝∠DCE＝60°，
∴∠E＝60°，
∴DE＝DC＝0.8m，
∴AE＝AD+DE＝0.6+0.8＝1.4（m），
∴＝＝，
∴这块宣传版面的周长为：AD+DC+BC+＝0.6+0.8+0.6+＝＝（m）．
故选：A．
【变式2-3】（2023•安陆市二模）如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在△ABC内的三段弧长度之和为（ ）
A．3πB．2πC．πD．
【答案】C
【解答】解：根据图示可得：在△ABC内的三段弧长度之和为：＝π，
故选：C．
【题型3 计算扇形的面积】
【典例3】（2023•忻州模拟）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是 一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．3m2C．D．
【答案】A
【解答】解：如图，
S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝﹣＝π（m2）．
故选：A．
【变式3-1】（2023•温州三模）一个扇形的圆心角为135°，半径为2，则该扇形的面积为 ．
【答案】．
【解答】解：扇形的面积＝＝．
故答案为：．
【变式3-2】（2023•嘉祥县二模）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，弧BC的长度为20πcm，弧DE的长度为，扇面边缘宽BD的长为20cm，则扇面DBCE的面积为 cm2．
【答案】．
【解答】解：设扇形的圆心角为n°，
则＝20π，π，
∴AB＝3AD，
∵BD＝AB﹣AD＝20，
∴AD＝10，BD＝30，
∴n＝120，
则扇面的面积为（cm2）．
故答案为：．
【题型4 计算不规则图形的阴影部分面积】
【典例4】（2023•平遥县二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：S阴＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF
＝×1×+﹣
＝+，
故选：A．
【变式4-1】（2023•建昌县二模）如图，扇形纸片的半径为6，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，
∴AC＝AO，BC＝BO，
∵AO＝BO，
∴四边形AOBC是菱形，
连接OC交AB于D，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵AC＝6，
∴OC＝3，AD＝AC＝3，
∴AB＝2AD＝6，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC＝﹣6×6＝12π﹣18．
故选：A．
【变式4-2】（2023•长阳县一模）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB＝12，则图中阴影部分的面积为 6π ．
【答案】6π．
【解答】解：连接OD，OC，OC交BD于点E，过点O作OF⊥CD于点F，则：OD＝OC＝OB；
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝30°，AB＝12，
∴，
∵BC＝CD，为半圆，
∴，
∵OD＝OC＝OB，
∴，△COD为等边三角形，
∴OE⊥BD，BD＝2BE，，
∴，，，
∴，
∴S阴影＝S扇形OCB+S△OCD﹣S△OBD
＝
＝6π．
故答案为：6π．
【变式4-3】（2023•叶县模拟）如图，扇形OAB的半径OA＝2cm，∠AOB＝120°，则以AB为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是 cm2．
【答案】．
【解答】解：∵扇形OAB的半径OA＝2cm，∠AOB＝120°，
∴（cm2），
过点O作OP⊥AB于点P，
则AP＝BP，
∵OA＝OB，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
∴∠OAP＝30°，
∴（cm），
在Rt△AOP中，由勾股定理得：（cm），
∴AB＝2AP＝（cm），
∴（cm2），
∴（cm2）
∴S阴影＝S半圆﹣（S扇形OAB﹣S△AOB）
＝
＝
＝（cm2），
∴阴影部分的面积是，
故答案为：．
【题型5 旋转过程中扫过的路径或面积】
【典例5】（2020秋•江城区月考）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置．若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．10πcmB．10πcmC．15πcmD．20πcm
【答案】A
【解答】解：∵BC＝7.5cm，
∴AC＝15cm，
＝10πcm，
故选：A．
【变式5-1】（2022•枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ．（结果保留π）
【答案】．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为＝，
故答案为：．
【变式5-2】（2022•武山县校级一模）如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A、P之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为 14π ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：图中扇形的圆心角是60°，则点P运动的路径长是：+++++＝14π．
故答案是：14π．
【变式5-3】（2022秋•邯山区校级期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C，直接写出A′，B′坐标；
（2）在（1）的条件下，请直接写出点B旋转到点B′所经过的路线长 π （结果保留π）；
（3）在（1）的条件下，求点A旋转到点A′时，线段AC所扫过的面积（结果保留π）．
【答案】（1）作图见解析，A′（6，4），B′（5，1）；
（2）π；
（3）．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作，A′（6，4），B′（5，1）；
（2）由勾股定理得，AC＝＝3，
如图，点A旋转到点A′所经过的路线长＝＝π．
故答案为：π；
如图，点A旋转到点A′时，线段AC所扫过的面积＝＝．
【典例6】（2023•丰润区二模）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．3π
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝3，
∴∠ABC＝30°．
∴AB＝2AC＝6．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC＝S△AB′C′，AB＝AB′．
∴S阴影＝S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC
＝
＝．
故选：C．
【变式6-1】（2023•凉山州模拟）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A．B．
C．6πD．以上答案都不对
【答案】B
【解答】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝60°．
∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积＝﹣＝π．
故选：B．
【变式6-2】（2023春•诸暨市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．π﹣B．π+C．πD．
【答案】C
【解答】解：连接BH，BH1，
∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1BC1的位置，
∴△OBH≌△O1BH1，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
∴AC＝＝＝2．
∵H为边AC的中点，
∴CH＝AC＝，
∴BH＝＝＝，
∴阴影部分面积＝＝＝π．
故选：C．
【变式6-3】（2023•义乌市校级开学）如图，已知Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝30°，点C在线段BD上，BC＝2．将△BDE绕点B按顺时针方向旋转30°，使得BE与BA重合，则线段DE所扫过的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴∠ABC＝60°，AB＝2BC＝4，
∴AC＝BC＝2，
∵∠ABE＝30°，
∴∠DBF＝30°，
∵Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴DB＝AC＝2，
由旋转变换可知，△BDE≌△BFA，
∴S△BDE＝S△BFA，
∴S阴影＝S扇形ABE+S△BDE﹣S△BFA﹣S扇形BDF
＝S扇形ABE﹣S扇形BDF
＝﹣
＝π﹣π
＝π．
故选：C．
【题型6 圆锥的计算】
【典例7】（2023•零陵区三模）如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【答案】B
【解答】解：∵圆锥底面圆的半径为1，
∴圆锥底面圆的周长为：2πr＝2π×1＝2π，
∴圆锥侧面展开图扇形的弧长为：2π．
故选：B．
【变式7-1】（2023•武陵区一模）已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．30cm2B．30πcm2C．15πcm2D．12πcm2
【答案】C
【解答】解：圆锥的侧面积＝（cm2）．
故选：C．
【变式7-2】（2023•仁和区二模）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为36πm2，圆柱高为4m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
A．B．144πm2
C．D．216πm2
【答案】A
【解答】解：设圆柱的底面圆的半径为rm，
根据题意得πr2＝36π，
解得r＝6，
所以圆锥的母线长为＝2（m），
所以需要毛毡的面积＝2π×6×4+×2π×6×2＝（48+12）πcm2．
故选：A．
【变式7-3】（2023•蜀山区二模）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥体，则该扇形的圆心角θ得大小为（ ）
A．90°B．120°C．150°D．180°
【答案】D
【解答】解：设圆锥的母线长为l，
∴，
∴，
∵π×2×l＝8π，
∴，
∴θ＝180°，
故选：D．
【题型7 圆柱的计算】
【典例8】（2022秋•怀柔区校级月考）将一个高6cm的圆柱转化成如图的一个几何体后，表面积增加了48cm2．这个圆柱的半径是（ ）cm．
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【解答】解：圆柱的底面半径：48÷2÷6
＝24÷6
＝4（厘米）．
故这个圆柱底面的半径是4厘米．
故选：B．
【变式8-1】（2022春•绥棱县校级月考）把一根长2米、底面积是20平方厘米的圆柱形木料平行于底面截成3段，表面积增加了（ ）平方厘米．
A．240B．80C．120D．160
【答案】B
【解答】解：因为把一根长2米、底面积是20平方厘米的圆柱形木料平行于底面截成3段会增加4个底面，
所以表面积增加了20×4＝80（平方厘米），
故选：B．
【变式8-2】（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
【答案】A
【解答】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m，
圆锥的高为0.4m，
则圆锥的母线长为：＝0.5m．
∴圆锥的侧面积S1＝π×0.3×0.5＝0.15π（m2），
∵圆柱的高为1m．
圆柱的侧面积S2＝2π×0.3×1＝0.6π（m2），
∴浮筒的表面积＝2S1+S2＝0.9π（m2），
∵每平方米用锌0.1kg，
∴一个浮筒需用锌：0.9π×0.1kg，
∴1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000×0.9π×0.1＝90π≈282.6（kg）．
故选：A．
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1．（2023•新疆）如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ ）
A．12πB．6πC．4πD．2π
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∴，
故选：B．
2．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣20B．π﹣20C．20πD．20
【答案】D
【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，
在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，
∴BD2＝AB2+AD2＝41，
S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆
＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2
＝+20﹣
＝20，
故选：D．
3．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（ ）
A．11﹣2B．11﹣4C．8﹣2D．8﹣4
【答案】B
【解答】解：连接ON，如图：
∵是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，
∴ON⊥AB，
∴M，N，O共线，
∵OA＝4，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，
∴ON＝OA•sin60°＝2，
∴MN＝OM﹣ON＝4﹣2，
∴l＝AB+＝4+＝11﹣4；
故选：B．
4．（2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 60 度．
【答案】60．
【解答】解：设扇形圆心角的度数为n°，
则＝6π，
解得：n＝60，
即扇形圆心角的度数为60°，
故答案为：60．
5．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 4π ．
【答案】4π．
【解答】解：由弧长公式得，
故答案为：4π．
6．（2023•金华）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 π cm．
【答案】π．
【解答】解：连接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD＝AB＝×6＝3（cm），
∴的长＝＝π（cm）．
故答案为：π．
7．（2023•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为 4﹣π （结果保留π）．
【答案】4﹣π．
【解答】解：∵AD＝2AB＝4，E为BC的中点，
∴BE＝CE＝2，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，
∴阴影部分的面积为﹣2×＝4﹣π．
故答案为：4﹣π．
8．（2023•重庆）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为 π﹣12 ．（结果保留π）
【答案】π﹣12．
【解答】解：连接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵AB＝4，AD＝3，
∴BD＝＝＝5，
∴S阴影＝S⊙O﹣S矩形ABCD＝﹣3×4＝π﹣12．
故答案为：π﹣12．
9．（2023•内江）如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 4 ．
【答案】4．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，
解得r＝2，
所以圆锥的高＝＝4．
故答案为：4．
10．（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 1500π cm2．（结果保留π）
【答案】1500π．
【解答】解：烟囱帽的侧面积为：×2π×30×50＝1500π（cm2），
故答案为：1500π．
11．（2023•自贡）如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 cm2．
【答案】．
【解答】解：如图，由题意得弧AC的长为2π×2＝4π（cm），
设弧AC所对的圆心角为n°，则
即＝4π，
解得n＝90，
∴粘贴部分所对应的圆心角为100°﹣90°＝10°，
∴圆锥上粘贴部分的面积是＝（cm2），
故答案为：．
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1．（2023•东莞市校级模拟）如图，点A、B、P在⊙O上，若AO＝2，∠APB＝35°，则劣弧的长度为（ ）
A．B．C．πD．
【答案】D
【解答】解：∵∠APB＝35°，
∴∠AOB＝2∠APB＝70°，
∴劣弧的长度为＝π．
故选：D．
2．（2023•南岗区校级三模）已知扇形半径为6，弧长为4π，则扇形面积为（ ）
A．10πB．12πC．16πD．24π
【答案】B
【解答】解：，
故选：B．
3．（2023•大同模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．﹣3C．D．
【答案】B
【解答】解：如图，过点O作OE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接OD，
根据折叠的性质，CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，
∴OB＝BD＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠DBO＝60°．
∵∠CBO＝∠DBO＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴OC＝OB•tan∠CBO＝3×＝，
∴S△BOC＝OB•OC＝，
∵△BOC与△BDC面积相等，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC﹣S△BDC
＝π×32﹣﹣＝﹣3．
故选：B．
4．（2023•建昌县一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交边CD于点E，连接AE，则扇形BAE的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交边CD于点E，
∴AE＝AB，
在矩形ABCD中，AD＝1，，
∴∠D＝∠DAB＝90°，DE＝＝1，
∴AD＝DE，△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝45°，
∴，
故选：B．
5．（2023•南皮县校级一模）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是（ ）
A．1B．1.5C．2D．
【答案】A
【解答】解：∵正方形的边长为1，
∴的长度＝2，
∴S扇形DAB＝lr＝×2×1＝1．
故选：A．
6．（2022秋•防城港期末）在中国书画艺术中，扇面书画是一种特殊的形式．如图扇面书法作品的形状是同心圆作出的扇面，扇面弧所对的圆心角是120°，大圆半径是20cm，小圆半径是10cm，则此书法作品的扇面面积是（ ）
A．300πcm2B．200πcm2C．100πcm2D．80πcm2
【答案】C
【解答】解：根据题意得：大扇形的面积S大＝＝π（cm2），
小扇形的面积S小＝＝π（cm2），
所以此书法作品的扇形面积S＝S大﹣S小＝π﹣π＝100π（cm2），
故选：C．
7．（2022•治多县模拟）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）
A．πB．πC．πD．4
【答案】B
【解答】解：从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是90°，
则分针在钟面上扫过的面积是：＝π．
故选：B．
8．（2023•宿迁一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A．12cm2B．24cm2C．12πcm2D．24πcm2
【答案】D
【解答】解：根据侧面积公式可得：π×2×3×4＝24πcm2，
故选：D．
9．（2023•常德三模）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的底面圆的面积为（ ）
A．2.25πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．36πcm2
【答案】B
【解答】解：圆锥侧面展开图扇形圆心角度数为n°，底面圆半径为r，
由题意得，，
∴n＝216，
∴，
∴r＝3cm，
∴底面圆的面积为32×π＝9π（cm2），
故选：B．
10．（2023•天门校级模拟）如图，圆锥的轴截面是一个斜边为2的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．B．C．2πD．
【答案】B
【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个斜边为2的等腰直角三角形，
∴底面半径＝1，母线长，底面周长＝2π，
∴圆锥的侧面积＝，
故选：B．
11．（2023•微山县一模）如图，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，弧BB′的长是（ ）
A．2πB．C．D．
【答案】D
【解答】解：如图，连接CC'，
∵∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB'C'，
∴∠BAC＝∠B'AC＝∠B'AC'＝α，AC＝AC'＝C'B'，
∴AB'⊥CC'，CQ＝C'Q，AQ＝B'Q，
∴四边形ACB'C'是菱形，∠AB'D＝α，
∴2α+α＝90°，
解得α＝30°，2α＝60°，
∵CA＝CB＝6，B'D⊥AB，
∴，，
∴弧BB'的长是，
故选：D．
12．（2023•庆元县一模）如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若一个弧三角形的周长为2π，则此弧三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．2π
【答案】A
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵一个弧三角形的周长为2π，
∴3×＝2π，
∴AB＝2，
∴此弧三角形的面积＝3S扇形BAC﹣2S△ABC＝3×﹣2×＝2π﹣2；
故选：A．
13．（2023•阳泉二模）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，半圆绕点B顺时针旋转45°．点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
​
A．B．πC．D．
【答案】D
【解答】解：∵以AB为直径半圆的面积＝以BA′为直径的半圆的面积，
∴阴影的面积＝扇形BAA′的面积+半圆的面积﹣半圆的面积＝扇形BAA′的面积，
由题意知扇形BAA′的圆心角是45°，半径是6，
∴扇形BAA′的面积＝＝，
∴阴影的面积＝．
故选：D．
14．（2022•南岗区校级开学）一个底面直径是10厘米，高是20厘米的圆柱，如果把它沿直径垂直于底面切成两半，表面积增加了 400 平方厘米．
【答案】400．
【解答】解：10×20×2＝400（平方厘米），
故表面积增加了400平方厘米．
故答案为：400．
15．（2022•常山县模拟）一个圆柱的底面半径为5cm，母线长为6cm，则这个圆柱的侧面积为 60π cm2．
【答案】60π．
【解答】解：圆柱的底面周长为：π×2×5＝10π（cm），
侧面积为10π×6＝60π（cm2）．
故答案为：60π．
16．（2023•西湖区校级二模）已知扇形的半径为3cm，圆心角为150°，则该扇形的弧长为 π cm．
【答案】π．
【解答】解：∵L＝，扇形的半径为3cm，圆心角为150°，
∴扇形的弧长L＝＝π．
故答案为：π．
17．（2023•镇平县二模）如图，扇形纸片AOB，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，已知，则图中阴影部分的周长为 +4 ．
​
【答案】+4．
【解答】解：连接OC，交AB于H，
∵扇形纸片AOB沿AB折叠，点O落在上的点C处，
∴AC＝OA，OB＝BC，OC⊥AB，
∵OC＝OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
同理：∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OC⊥AB，
∴AH＝AB＝×2＝，
∵sin∠AOC＝＝，
∴AO＝2，
∴AC＝BC＝OA＝2，
∵的长＝＝．
∴图中阴影部分的周长＝的长+AC+BC＝+4．
故答案为：+4．
18．（2022•盘龙区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1cm．将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△AB'C'位置．则边BC扫过的面积是 cm2．
【答案】．
【解答】解：∵∠ACB＝30°，∠B＝90°，AB＝1cm．
∴AC＝2AB＝2cm，BC＝cm，∠BAC＝60°，
∴边BC扫过区域的面积为：S扇形AC′C+S△ABC﹣S扇形AB′B﹣S△AB′C′，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△AB'C'位置．
∴∠CAC′＝60°，AC′＝AC＝2cm，B′C′＝BC＝cm，AB′＝AB＝1cm．S△ABC＝S△AB′C′，
∴边BC扫过区域的面积为：S扇形AC′C﹣S扇形AB′B＝﹣＝（cm2）．
故答案为：．
19．（2022秋•赵县期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 （﹣2，0） ；
（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为 ．（结果保留根号）
【答案】（1）（﹣2，0）；
（2）．
【解答】解：（1）如图，分别作AB、BC的垂直平分线，两直线的交点D即为该圆弧所在圆的圆心，由图可知，点D坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）；
（2）根据图形，由勾股定理得：，，
∴CD2+DA2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴该圆锥的底面圆的周长为，
故答案为：．
20．（禹会区一模）如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：从图中发现：B点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长
即第一段＝，第二段＝．
故B点从开始至结束所走过的路径长度＝+＝．
21．（海淀区校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．如果A（﹣4，0），B（﹣1，2）．请回答：
（1）点B'的坐标为 （2，1） ．
（2）点A经过的路径的长度为 2 π．（友情提示：已经有π）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：
∵A（﹣4，0），B（﹣1，2）．
∴A'的坐标为（0，4），
B'的坐标为（2，1），
∴OA＝OA'＝4，
∴点A经过的路径的长度＝＝2π．
22．（2022秋•牡丹区校级期末）一个圆柱体，高减少了4厘米，表面积就减少50.24平方厘米，求这个圆柱体的底面积．
【答案】12.56平方厘米．
【解答】解：底面周长为50.24÷4＝12.56 （cm），
底面半径为12.56÷3.14÷2＝2（厘米），
3.14×22＝12.56（平方厘米），
答：这个圆柱体的底面积12.56平方厘米．